Sea una muestra de tamaño
\[ \{Y_1, Y_2, \dots, Y_N\} \sim \text{Bernoulli}(p), \quad Y_i \in \{0,1\}, \quad i = 1, \dots, N. \]
Definimos la media muestral como:
\[ \bar Y = P = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} Y_i \]
La varianza muestral está dada por:
\[ S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(Y_i - \bar Y)^2 \]
Sustituyendo \[\bar Y = P\]:
\[ S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(Y_i -P)^2 \]
Partimos del término:
\[ \sum_{i=1}^{N}(Y_i - P)^2 \]
Desarrollamos:
\[ = \sum_{i=1}^{N} (Y_i^2 - 2Y_iP + P^2) \]
Separando términos:
\[ = \sum_{i=1}^{N} Y_i^2 - 2P\sum_{i=1}^{N} Y_i + \sum_{i=1}^{N} P^2 \]
Como \[Y_i \in \{0,1\}\], se cumple que:
\[ Y_i^2 = Y_i \]
Entonces:
\[ \sum_{i=1}^{N} Y_i^2 = \sum_{i=1}^{N} Y_i = NP \]
Además:
\[ \sum_{i=1}^{N} P^2 = NP^2 \]
Sustituyendo:
\[ = NP - 2NP^2 + NP^2 \]
\[ = NP(1-P) \] # Se sabe que \[ Q= 1-P \] # Sustitución en la varianza
Sustituimos en la expresión original:
\[ S^2 = \frac{1}{N-1}\cdot NPQ \]
\[ \boxed{ S^2 = \frac{N}{N-1}PQ } \]
Tomando raíz cuadrada:
\[ \boxed{ S = \sqrt{\frac{N}{N-1}PQ} } \]
Se ha demostrado que para una muestra Bernoulli, la desviación estándar muestral está dada por:
\[ S = \sqrt{\frac{N}{N-1}PQ}. \]