Análisis de razón estudiante-profesor y cálculo basado en presupuesto salarial
“La escuela Milton tiene una relación estudiante-profesor de 25 a 2. El salario anual promedio (media aritmética) para los profesores es de $42,000. Si la escuela paga un total de $3,780,000 en salarios anuales a sus profesores, ¿cuántos estudiantes tiene la escuela?”
A
900
B
1,000
C
1,125
D
1,230
E
1,500
Datos de salarios:
• Salario promedio por profesor:
$42,000
• Total pagado en salarios: $3,780,000
Número de
profesores:
= Total salarios ÷ Salario promedio
=
$3,780,000 ÷ $42,000
= 90 profesores
¡La escuela tiene 90 profesores!
Razón dada: 25 a 2
• Esto significa: 25 estudiantes
por cada 2 profesores
• O expresado como fracción: 25/2
Interpretación:
Por cada grupo de 2 profesores, hay
25 estudiantes
La razón se mantiene constante en toda la escuela
Alternativa: Estudiantes/Profesores = 25/2
Usando la razón:
Estudiantes/Profesores = 25/2
Conocemos profesores: 90
Estudiantes
= (25/2) × Profesores
= (25/2) × 90
= 25 × 45
=
1,125 estudiantes
Verificación: 1,125 ÷ 90 = 12.5 = 25/2 ✓
Establecer proporción:
25 estudiantes / 2
profesores = x estudiantes / 90 profesores
Multiplicar
cruzado:
25 × 90 = 2 × x
2,250 = 2x
x = 2,250 ÷ 2 =
1,125
O usando factor de escala:
90 profesores
÷ 2 = 45 (factor)
45 × 25 = 1,125 estudiantes
Verificación de profesores:
90 profesores × $42,000
= $3,780,000 ✓
Verificación de razón:
1,125
estudiantes ÷ 90 profesores = 12.5
25/2 = 12.5 ✓
Verificación de grupo:
Cada 2 profesores atienden
25 estudiantes
90 profesores = 45 grupos de 2 profesores
45
grupos × 25 estudiantes/grupo = 1,125 ✓
Error 1: Invertir la razón
Usar 2:25 en lugar de
25:2 → 90×(2/25)=7.2 estudiantes
Error 2: Mal
cálculo de profesores
$3,780,000 ÷ $42,000 = 90 ✓ (no 94.5)
Error 3: Usar promedio incorrecto
90 × 42,000 =
3,780,000 ✓
Error 4: Confundir con razón
simplificada
25:2 ya está simplificada
Error 5:
Calcular estudiantes por grupo
90÷2=45 grupos, luego 45×25=1,125
✓
No: 90×25=2,250 (olvida dividir entre 2)
Sea:
• T = número de profesores
• E = número de
estudiantes
Datos:
1. 42,000T = 3,780,000 → T =
90
2. E/T = 25/2 → E = (25/2)T
Sustituir: E =
(25/2) × 90
E = 25 × 45 = 1,125
Fórmula
combinada:
E = (25/2) × (3,780,000 ÷ 42,000)
= (25/2) ×
90 = 1,125
Nuestro cálculo: 1,125 estudiantes
Opción
A: 900 → 900/90=10 (razón 20:2, no 25:2)
Opción
B: 1,000 → 1000/90≈11.11 (razón 22.22:2)
Opción
C: 1,125 ✓ → 1125/90=12.5 (razón 25:2)
Opción
D: 1,230 → 1230/90≈13.67 (razón 27.33:2)
Opción
E: 1,500 → 1500/90≈16.67 (razón 33.33:2)
Respuesta
correcta: Opción C
Interpretación de la razón 25:2:
• Por cada 25
estudiantes, hay 2 profesores
• Esto es 12.5 estudiantes por
profesor
• O 1 profesor por cada 12.5 estudiantes
En la
práctica educativa:
La razón 25:2 es aproximadamente
12.5:1
Lo que significa un profesor por cada 12-13 estudiantes
Verificación presupuestaria:
Presupuesto
total: $3,780,000
Profesores: 90
Salario promedio: $42,000
Estudiantes: 1,125
Costo por estudiante (solo
salarios):
$3,780,000 ÷ 1,125 = $3,360
Respuesta correcta:
1,125
Opción C
Número de estudiantes
Observación importante: Este problema combina tres conceptos matemáticos: 1) cálculo de cantidad a partir de total y promedio, 2) trabajo con razones y proporciones, y 3) aplicación de factores de escala. La clave está en calcular primero el número de profesores a partir del presupuesto salarial, y luego usar la razón estudiante-profesor para determinar el número de estudiantes.
🏫
Fórmula combinada:
E = (25/2) × (Total salarios ÷
Salario promedio)
Interpretación:
La escuela tiene 1,125
estudiantes
con 90 profesores, manteniendo
una razón de 25
estudiantes por 2 profesores
Conclusión clave: Este problema ilustra cómo usar información financiera (presupuesto salarial y salario promedio) junto con una razón operacional (estudiante-profesor) para determinar el tamaño de una población. La secuencia lógica es: 1) calcular el número de profesores a partir del presupuesto, 2) aplicar la razón para encontrar el número de estudiantes. La respuesta 1,125 es exacta y se verifica tanto con los datos salariales como con la razón dada.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 1,125
Cálculo con promedios • Razones y proporciones • Aplicación de factores de escala
Análisis de promedio total como combinación ponderada de promedios de subgrupos
“El salario anual promedio (media aritmética) de los empleados de una empresa era de $70,000. Si el salario promedio anual de los empleados masculinos era de $65,000 y el de las empleadas femeninas era de $80,000, ¿cuál podría ser el número de empleados masculinos y femeninos, respectivamente, en la empresa?”
A
6; 7
B
7; 15
C
7; 14
D
14; 7
E
15; 7
Sea:
• M = número de empleados masculinos
• F =
número de empleados femeninos
• Total empleados = M + F
Salarios promedio:
• Masculinos: $65,000
•
Femeninos: $80,000
• Total: $70,000
Fórmula promedio
ponderado:
Total = (M×65,000 + F×80,000) ÷ (M+F) = 70,000
Ecuación:
(M×65,000 + F×80,000) ÷ (M+F) =
70,000
Multiplicar ambos lados por (M+F):
65,000M + 80,000F = 70,000(M+F)
Expandir:
65,000M + 80,000F = 70,000M + 70,000F
Ahora tenemos una ecuación lineal con M y F
De: 65,000M + 80,000F = 70,000M + 70,000F
Reorganizar términos:
80,000F - 70,000F = 70,000M -
65,000M
10,000F = 5,000M
Simplificar dividiendo entre
1,000:
10F = 5M
Dividir entre 5:
2F = M
O equivalentemente:
M/F = 2/1
M : F
= 2 : 1
Relación encontrada: M : F = 2 : 1
Significado: Por cada 2 empleados masculinos, hay 1
empleada femenina
Forma general: M = 2k, F = k (k
entero positivo)
Buscar opciones que cumplan M:F =
2:1:
• A) 6:7 ≈ 0.857:1 ✗
• B) 7:15 ≈ 0.467:1 ✗
•
C) 7:14 = 0.5:1 ✗
• D) 14:7 = 2:1 ✓
• E) 15:7 ≈ 2.143:1 ✗
¡Solo la opción D tiene relación 2:1!
Concepto: El promedio total ($70,000) está entre
$65,000 y $80,000
Distancias al promedio:
• De
$65,000 a $70,000: $5,000
• De $70,000 a $80,000: $10,000
Regla de mezcla: Las proporciones son INVERSAS a las
distancias
Por lo tanto: M : F = (80,000-70,000) :
(70,000-65,000)
M : F = 10,000 : 5,000 = 2 : 1
Interpretación: Como el promedio total está más cerca
de $65,000 que de $80,000, debe haber más empleados masculinos (con
salario más bajo) que femeninos (con salario más alto).
Opción D: M = 14, F = 7
Total
empleados: 14 + 7 = 21
Salario total
masculinos: 14 × $65,000 = $910,000
Salario total
femeninos: 7 × $80,000 = $560,000
Salario total
empresa: $910,000 + $560,000 = $1,470,000
Salario
promedio: $1,470,000 ÷ 21 = $70,000 ✓
Verificación relación: 14:7 = 2:1 ✓
El
promedio $70,000 está exactamente a 2/3 del camino entre $65,000 y
$80,000:
(2×65,000 + 1×80,000)/3 = (130,000+80,000)/3 =
210,000/3 = 70,000
Opción A (6M, 7F):
Promedio = (6×65,000 +
7×80,000)/13
= (390,000 + 560,000)/13 = 950,000/13 ≈ $73,077 ≠
$70,000
Opción B (7M, 15F):
Promedio =
(7×65,000 + 15×80,000)/22
= (455,000 + 1,200,000)/22 = 1,655,000/22
≈ $75,227 ≠ $70,000
Opción C (7M, 14F):
Promedio = (7×65,000 + 14×80,000)/21
= (455,000 + 1,120,000)/21 =
1,575,000/21 = $75,000 ≠ $70,000
Opción E (15M,
7F):
Promedio = (15×65,000 + 7×80,000)/22
= (975,000 +
560,000)/22 = 1,535,000/22 ≈ $69,773 ≠ $70,000
Solo D da
exactamente $70,000
Fórmula general:
Promedio total = (w₁×p₁ +
w₂×p₂)/(w₁+w₂)
En nuestro caso:
70,000 =
(M×65,000 + F×80,000)/(M+F)
Simplificando: 10F = 5M
⇒ M = 2F
Cualquier par (2k, k) funciona:
• k=1:
(2,1)
• k=7: (14,7) ← Opción D
• k=10: (20,10)
Pero solo
(14,7) aparece en las opciones
Análisis económico:
• Salario masculino: $65,000
(más bajo)
• Salario femenino: $80,000 (más alto)
• Promedio
total: $70,000 (intermedio)
Para que el promedio sea
$70,000:
Debe haber más empleados con salario bajo que con
salario alto
Relación exacta: 2 hombres por cada 1 mujer
Verificación con 14M, 7F:
Promedio = (14×65 +
7×80)/21 miles
= (910 + 560)/21 = 1,470/21 = 70 ✓
Promedio como punto medio ponderado:
$70,000 está a
1/3 del camino desde $80,000 hacia $65,000
o a 2/3 del camino desde
$65,000 hacia $80,000
Respuesta correcta:
14; 7
Opción D
Masculinos; Femeninos
Observación importante: Este es un problema clásico de “promedio ponderado” o “regla de mezcla”. La relación 2:1 surge porque el promedio total ($70,000) está más cerca del salario masculino ($65,000) que del femenino ($80,000), específicamente a una distancia de $5,000 vs $10,000. Las distancias son inversamente proporcionales a las cantidades, por lo que hay el doble de empleados masculinos que femeninos.
🏢
Fórmula regla de mezcla:
M:F =
(80,000-70,000):(70,000-65,000)
Interpretación:
14 empleados masculinos y
7
empleadas femeninas
(relación 2:1)
Conclusión clave: Este problema ilustra el concepto de promedio ponderado en un contexto de recursos humanos. El promedio total de $70,000 está más cerca del salario masculino ($65,000) que del femenino ($80,000), lo que indica que debe haber más empleados masculinos. La relación exacta 2:1 se determina mediante álgebra simple o la regla de mezcla. De todas las opciones, solo 14:7 cumple esta relación y produce exactamente el promedio total de $70,000.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 14; 7
Promedio ponderado • Regla de mezcla • Relación 2:1
Análisis de promedio total como combinación ponderada de promedios de subgrupos
“Una clase consta de 40 estudiantes y se divide en dos secciones. En la Sección A, el puntaje promedio en una prueba fue 85. En la Sección B, el puntaje promedio en la prueba fue 80. Si el puntaje promedio de la clase en la prueba fue 82, ¿cuántos estudiantes hay en la Sección A?”
A
12
B
14
C
16
D
20
E
22
Sea:
• A = número de estudiantes en Sección A
•
B = número de estudiantes en Sección B
• Total estudiantes = 40
Promedios:
• Sección A: 85 puntos
• Sección B:
80 puntos
• Promedio total: 82 puntos
Relación:
A + B = 40 ⇒ B = 40 - A
Fórmula promedio ponderado:
(A×85 + B×80) ÷ (A+B) =
82
Sustituir B = 40 - A:
(A×85 + (40-A)×80) ÷
40 = 82
Multiplicar ambos lados por 40:
85A +
80(40-A) = 82 × 40
Ecuación: 85A + 80(40-A) = 82 × 40
Calcular: 82 × 40 = 3,280
Expandir: 85A + 3,200 - 80A = 3,280
Simplificar: 5A + 3,200 = 3,280
Restar
3,200: 5A = 80
Dividir entre 5: A = 16
Si A = 16:
• B = 40 - 16 = 24
Calcular
promedio total:
(16×85 + 24×80) ÷ 40
= (1,360 + 1,920)
÷ 40
= 3,280 ÷ 40 = 82 ✓
Verificación
completa:
Promedio total = (16×85 + 24×80)/40 = 82 ✓
Promedios: A=85, B=80, Total=82
Distancias
al promedio:
• De 80 a 82: 2 puntos
• De 82 a 85: 3
puntos
Regla de mezcla: A:B = (82-80):(85-82)
A:B = 2:3
Interpretación: Por cada 2 estudiantes en
A, hay 3 en B
Si A=2k, B=3k:
2k + 3k = 40 ⇒ 5k
= 40 ⇒ k = 8
Entonces: A = 2×8 = 16, B = 3×8 = 24
Opción A (A=12, B=28):
Promedio = (12×85 +
28×80)/40
= (1,020 + 2,240)/40 = 3,260/40 = 81.5 ✗
Opción B (A=14, B=26):
Promedio = (14×85 +
26×80)/40
= (1,190 + 2,080)/40 = 3,270/40 = 81.75 ✗
Opción C (A=16, B=24):
Promedio = (16×85 +
24×80)/40
= (1,360 + 1,920)/40 = 3,280/40 = 82 ✓
Opción
D (A=20, B=20):
Promedio = (20×85 + 20×80)/40
= (1,700
+ 1,600)/40 = 3,300/40 = 82.5 ✗
Opción E (A=22,
B=18):
Promedio = (22×85 + 18×80)/40
= (1,870 +
1,440)/40 = 3,310/40 = 82.75 ✗
Concepto: Cada estudiante de A aporta 85-82 = 3 puntos
“extra”
Cada estudiante de B aporta 80-82 = -2 puntos “déficit”
Balance debe ser cero: 3A = 2B
Usando A + B
= 40:
3A = 2(40-A)
3A = 80 - 2A
5A = 80
A =
16
Verificación: 3×16 = 48, 2×24 = 48 ✓
Respuesta correcta:
16
estudiantes
Opción C
Sección A: 16 estudiantes
Sección B: 24 estudiantes
Relación encontrada: A:B = 2:3
Interpretación: Hay más estudiantes en la Sección B
(con promedio más bajo) que en la Sección A (con promedio más alto)
Porcentajes:
• Sección A: 16/40 = 40%
• Sección
B: 24/40 = 60%
El promedio total (82) está más cerca del
promedio de B (80) que del promedio de A (85), por lo que hay más
estudiantes en B que en A.
Verificación rápida:
16×85 + 24×80 = 3,280
3,280 ÷ 40 = 82 ✓
Proporción: 16:24 = 2:3 ✓
🏫
Fórmula regla de mezcla:
A:B = (82-80):(85-82) =
2:3
Interpretación:
16 estudiantes en Sección A
24
estudiantes en Sección B
Conclusión clave: Este problema ilustra perfectamente el concepto de promedio ponderado. El promedio total de 82 está más cerca del promedio de la Sección B (80) que del promedio de la Sección A (85), lo que indica que debe haber más estudiantes en la Sección B. La relación exacta 2:3 (A:B) se determina mediante álgebra simple o la regla de mezcla. De todas las opciones, solo 16 estudiantes en la Sección A cumple con esta relación y produce exactamente el promedio total de 82.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 16 ESTUDIANTES
Promedio ponderado • Regla de mezcla • Relación A:B = 2:3
Análisis de concentración final como promedio ponderado de concentraciones iniciales
“Un fabricante de jugos tiene 1,200 litros de pulpa de mango en stock, de los cuales el 25% es agua. Si el fabricante añade otros 400 litros de pulpa de mango, de los cuales el 20% es agua, ¿qué porcentaje, por volumen, de la pulpa de mango del fabricante contiene agua?”
A
21.50%
B
23.75%
C
33.33%
D
35.00%
E
37.50%
Primer lote (1,200 L):
• Porcentaje de agua:
25%
• Agua = 25% de 1,200 L
• Agua = 0.25 × 1,200 = 300
L
Segundo lote (400 L):
•
Porcentaje de agua: 20%
• Agua = 20% de 400 L
• Agua = 0.20 ×
400 = 80 L
Total de pulpa:
1,200 L + 400 L = 1,600
L
Total de agua:
300 L + 80 L =
380 L
Total de mango
puro:
1,600 L - 380 L = 1,220 L
o alternativamente:
(1,200×0.75 + 400×0.80) = 900 + 320 = 1,220 L
Fórmula:
Porcentaje agua = (Agua total ÷ Total
pulpa) × 100%
Sustituir valores:
Porcentaje agua = (380 ÷ 1,600) × 100%
Calcular:
380 ÷ 1,600 = 0.2375
0.2375 × 100% =
23.75%
Método del promedio ponderado:
Porcentaje final =
[(1,200×25%) + (400×20%)] ÷ (1,200+400)
= [(1,200×0.25) +
(400×0.20)] ÷ 1,600
= (300 + 80) ÷ 1,600
= 380 ÷ 1,600 = 0.2375
= 23.75%
Simplificación:
1,200:400 = 3:1
Porcentaje = (3×25% + 1×20%) ÷ 4
= (75% + 20%) ÷
4 = 95% ÷ 4 = 23.75%
Porcentajes: 25% y 20%
Porcentaje final:
x%
Proporciones:
Lote 1 (1,200 L) :
Lote 2 (400 L) = 3:1
Regla: (x - 20) : (25 - x) = 3
: 1
Resolver: 1×(x - 20) = 3×(25 - x)
x - 20 =
75 - 3x
x + 3x = 75 + 20
4x = 95
x = 23.75%
Interpretación: El porcentaje final (23.75%) está más
cerca de 25% que de 20% porque hay más del lote con 25% de agua.
Opción A (21.50%):
Agua = 0.2150 × 1,600 = 344
L
Pero tenemos 380 L ✗
Opción B (23.75%):
Agua = 0.2375 × 1,600 = 380 L ✓
Opción C
(33.33%):
Agua = 0.3333 × 1,600 ≈ 533 L ✗
Opción D (35.00%):
Agua = 0.3500 × 1,600 = 560 L
✗
Opción E (37.50%):
Agua = 0.3750 × 1,600 =
600 L ✗
¡Solo B da 380 L de agua!
Simplificar proporciones:
1,200 L : 400 L = 3:1
Porcentaje como fracción mixta:
Porcentaje final =
(3/4)×25% + (1/4)×20%
= 18.75% + 5% = 23.75%
Otra
forma:
Total agua = (3×0.25 + 1×0.20) × 400
= (0.75 +
0.20) × 400 = 0.95 × 400 = 380 L
Porcentaje = 380/1,600 = 95/400 =
19/80 = 0.2375 = 23.75%
Respuesta correcta:
23.75%
Opción B
Total: 1,600 L pulpa
380 L de agua (23.75%)
Relación encontrada: 3:1 (lote 1:lote 2)
Interpretación: Hay 3 veces más del lote con 25% de
agua que del lote con 20% de agua
El porcentaje final
(23.75%) está más cerca de 25% que de 20%:
• Distancia a
25%: 1.25 puntos porcentuales
• Distancia a 20%: 3.75 puntos
porcentuales
Es 3 veces más cercano a 25% que a 20%, lo que
corresponde a la relación 3:1.
Verificación rápida:
1,200 L × 25% = 300 L
400
L × 20% = 80 L
Total agua = 380 L
Total pulpa = 1,600 L
% =
380/1,600 = 0.2375 = 23.75% ✓
🍊
Fórmula promedio ponderado:
% = (1,200×25% +
400×20%)/1,600
Interpretación:
23.75% de la mezcla es agua
Relación 3:1 entre los lotes
Conclusión clave: Este problema ilustra el concepto de promedio ponderado en un contexto de mezcla de concentraciones. El porcentaje final de agua (23.75%) está entre los dos porcentajes originales (25% y 20%), pero más cerca del 25% porque hay tres veces más del primer lote que del segundo. Este es un problema típico de mezclas donde la concentración final es el promedio ponderado de las concentraciones iniciales, ponderadas por sus volúmenes respectivos.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 23.75%
Promedio ponderado • Mezcla de concentraciones • Relación 3:1
Análisis de restricciones con múltiples secciones y promedio total fijo
“Una clase tiene cuatro secciones: P, Q, R y S, y los pesos promedio de los estudiantes en las secciones son 45 lb, 50 lb, 55 lb y 65 lb, respectivamente. ¿Cuál es el número máximo posible de estudiantes en la Sección R si hay 40 estudiantes en la clase y el peso promedio de todos los estudiantes de la clase es 55 lb?”
A
18
B
20
C
25
D
35
E
37
Sea:
• P = estudiantes en sección P (promedio 45
lb)
• Q = estudiantes en sección Q (promedio 50 lb)
• R =
estudiantes en sección R (promedio 55 lb)
• S = estudiantes en
sección S (promedio 65 lb)
Condiciones:
1. P +
Q + R + S = 40 (total estudiantes)
2. (45P + 50Q + 55R + 65S)/40 =
55 (promedio total)
Objetivo: Maximizar R
De la condición 2:
(45P + 50Q + 55R + 65S)/40 =
55
Multiplicar por 40:
45P + 50Q + 55R + 65S =
55 × 40
45P + 50Q + 55R + 65S = 2,200
Observación
clave: 55R = 55 × R
Reescribir:
45P +
50Q + 65S = 2,200 - 55R
Para maximizar R:
1. Debemos minimizar P, Q y S
2. Pero P, Q, S ≥ 0 (no negativos)
3. Podemos considerar P = Q = 0
si es posible
Si P = Q = 0:
Entonces: R + S =
40
Y ecuación: 55R + 65S = 2,200
Resolver
sistema:
R + S = 40
55R + 65S = 2,200
Multiplicar primera por 55: 55R + 55S = 2,200
Restar: 10S = 0 ⇒ S = 0
Entonces:
R = 40
Pero: ¡Esto da R = 40! ¿Es posible?
Si R = 40, P = Q = S = 0:
Promedio = (40 × 55)/40 =
55 ✓
Problema: El enunciado dice “cuatro
secciones”, implícitamente sugiriendo que hay estudiantes en todas las
secciones
Pero matemáticamente: R = 40 es posible
si permitimos P=Q=S=0
Revisando opciones: 40 no
está entre las opciones
Máximo en opciones: 37
Debemos buscar el máximo R tal que P, Q, S ≥ 1 (al
menos 1 estudiante por sección)
Asumamos: P ≥ 1, Q ≥ 1, S ≥ 1
Para
maximizar R, minimizamos P, Q, S:
Tomemos P = 1, Q = 1, S =
1
Entonces: R = 40 - (1+1+1) = 37
Verificar promedio:
Total peso = 45×1 + 50×1 +
55×37 + 65×1
= 45 + 50 + 2,035 + 65 = 2,195
Promedio = 2,195/40
= 54.875 ≠ 55 ✗
Necesitamos ajustar para obtener promedio 55
exacto
Tenemos:
P + Q + R + S = 40 …(1)
45P + 50Q +
55R + 65S = 2,200 …(2)
Restar 55×(1) de (2):
(45P+50Q+55R+65S) - 55(P+Q+R+S) = 2,200 - 55×40
45P+50Q+55R+65S -
55P - 55Q - 55R - 55S = 2,200 - 2,200
-10P - 5Q + 10S = 0
Simplificar: 10S = 10P + 5Q
Dividir entre
5: 2S = 2P + Q
Esta es la relación clave!
De: 2S = 2P + Q
Y: R = 40 - (P + Q
+ S)
Sustituir S = P + Q/2:
R = 40 - [P + Q +
(P + Q/2)]
R = 40 - (2P + 1.5Q)
R = 40 - 2P - 1.5Q
Para maximizar R: Minimizar P y Q
Valores
mínimos: P ≥ 1, Q ≥ 1
Si P = 1, Q = 1:
R = 40 - 2×1 - 1.5×1 = 40 - 2 - 1.5 = 36.5
¡R debe ser
entero! 36.5 no es entero
De 2S = 2P + Q: Q debe ser par para que S sea
entero
Probar Q = 2 (mínimo par ≥ 1):
Si Q = 2,
P = 1 (mínimo):
2S = 2×1 + 2 = 4 ⇒ S = 2
R = 40 - (1 + 2 + 2) =
35
Verificar: 1 + 2 + 35 + 2 = 40 ✓
Promedio: (45×1 + 50×2 + 55×35 + 65×2)/40
= (45 +
100 + 1,925 + 130)/40 = 2,200/40 = 55 ✓
¿Podemos obtener R
> 35?
Si R = 37 (opción E):
P + Q + S = 3
Ecuación promedio: 45P + 50Q + 55×37 + 65S = 2,200
45P + 50Q + 2,035 + 65S = 2,200
45P + 50Q + 65S = 165
Con P+Q+S=3:
Probar combinaciones:
• Si P=1,
Q=1, S=1: 45+50+65=160 ≠ 165
• Si P=1, Q=2, S=0: 45+100+0=145 ≠ 165
(S=0 no permitido)
• Si P=2, Q=1, S=0: 90+50+0=140 ≠ 165
No hay solución entera con P,Q,S ≥ 1
R = 37 no es
posible
R máximo encontrado:
35 estudiantes
Opción D
Con: P=1, Q=2, R=35, S=2
Solución óptima: P=1, Q=2, R=35, S=2
Verificación:
• Total: 1+2+35+2 = 40 ✓
• Peso
total: 45×1 + 50×2 + 55×35 + 65×2
= 45 + 100 + 1,925 + 130 =
2,200
• Promedio: 2,200 ÷ 40 = 55 ✓
¿Podría ser
R=36?
Si R=36: P+Q+S=4
45P+50Q+55×36+65S=2,200
45P+50Q+65S=2,200-1,980=220
Con P+Q+S=4 y P,Q,S≥1
Máximo
posible: 45×1+50×1+65×2=225 (muy alto)
No hay solución exacta
Lógica intuitiva:
R tiene promedio 55, igual al
promedio total
Para balancear las secciones con promedio <55
(P,Q) y >55 (S)
Se necesitan más estudiantes en S que en P y Q
combinados
La relación: 2S = 2P + Q
Con mínimos: P=1, Q=2,
S=2
Eso deja R=35 máximo
🎓
Relación clave:
2S = 2P + Q
Solución óptima:
P=1, Q=2, R=35, S=2
Conclusión clave: Este problema combina promedio ponderado con optimización bajo restricciones. La sección R tiene el mismo promedio (55 lb) que el promedio total, por lo que los estudiantes en R no afectan el balance del promedio. Para maximizar R, debemos minimizar los estudiantes en las otras secciones, manteniendo el balance entre las secciones con promedio menor a 55 (P y Q) y mayor a 55 (S). La relación 2S = 2P + Q surge del balance necesario, y con los valores mínimos enteros que la satisfacen (P=1, Q=2, S=2), obtenemos R máximo = 35.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 35 ESTUDIANTES
Promedio ponderado • Optimización • Relación 2S = 2P + Q
Análisis de conjuntos superpuestos usando sumas de promedios
“El promedio de nueve números es 25. El promedio de los primeros cinco números es 20, y el promedio de los últimos cinco es 32. ¿Cuál es el valor del quinto número?”
A
30
B
32
C
35
D
36
E
38
Sean los 9 números: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈,
a₉
Datos:
• Promedio de 9 números = 25 → Suma
total = 9 × 25 = 225
• Promedio primeros 5 = 20 → Suma primeros 5 =
5 × 20 = 100
• Promedio últimos 5 = 32 → Suma últimos 5 = 5 × 32 =
160
Queremos: a₅ (el quinto número)
Los conjuntos:
• Primeros 5: a₁, a₂, a₃, a₄,
a₅
• Últimos 5: a₅, a₆, a₇, a₈,
a₉
Observación clave: El quinto número (a₅) está en
AMBOS grupos
Si sumamos:
Suma primeros 5 + Suma
últimos 5 = 100 + 160 = 260
Pero esto cuenta a₅ dos
veces!
Expresar en términos de a₅:
Suma primeros 5 =
(a₁+a₂+a₃+a₄) + a₅ = 100 …(1)
Suma últimos 5 = a₅ + (a₆+a₇+a₈+a₉) =
160 …(2)
Suma total 9 = (a₁+a₂+a₃+a₄) + a₅ + (a₆+a₇+a₈+a₉) = 225
…(3)
Sumar (1) y (2):
(a₁+a₂+a₃+a₄) + 2a₅ +
(a₆+a₇+a₈+a₉) = 100 + 160 = 260
Pero de (3):
(a₁+a₂+a₃+a₄) + a₅ + (a₆+a₇+a₈+a₉) = 225
Sustraer (3) de la
suma:
[(a₁+a₂+a₃+a₄) + 2a₅ + (a₆+a₇+a₈+a₉)] -
[(a₁+a₂+a₃+a₄) + a₅ + (a₆+a₇+a₈+a₉)] = 260 - 225
De la sustracción:
2a₅ - a₅ = 260 - 225
a₅ =
35
Solución directa fórmula:
a₅ = (Suma
primeros 5 + Suma últimos 5) - Suma total
a₅ = (100 + 160) - 225
a₅ = 260 - 225 = 35
Respuesta: El quinto
número es 35
Supongamos a₅ = 35:
Primeros 5 suma =
100:
Si a₁,a₂,a₃,a₄ suman: 100 - 35 = 65
Promedio
primeros 4 = 65/4 = 16.25
Últimos 5 suma = 160:
Si a₆,a₇,a₈,a₉ suman: 160 - 35 = 125
Promedio últimos 4 = 125/4 =
31.25
Suma total: 65 + 35 + 125 = 225 ✓
Promedio total: 225/9 = 25 ✓
Ejemplo
concreto:
a₁-a₄: 15, 15, 15, 20 (suma 65)
a₅: 35
a₆-a₉: 30, 30, 30, 35 (suma 125)
Verifica todos los promedios ✓
Fórmula: a₅ = (100 + 160) - 225 = 260 - 225 = 35
Opción A (30):
Suma otros = 260 - 30 = 230 ≠ 225
✗
Opción B (32):
Suma otros = 260 - 32 = 228 ≠
225 ✗
Opción C (35):
Suma otros = 260 - 35 =
225 ✓
Opción D (36):
Suma otros = 260 - 36 =
224 ≠ 225 ✗
Opción E (38):
Suma otros = 260 -
38 = 222 ≠ 225 ✗
Solo 35 hace que la suma total sea
225
Representación:
a₁ a₂ a₃ a₄ [a₅] a₆ a₇ a₈ a₉
└───── primeros 5 ─────┘
└───── últimos 5 ─────┘
Suma
conjuntos superpuestos:
Suma(primeros 5) = 100
Suma(últimos 5) = 160
Suma(ambos) = 260
Pero a₅ se
cuenta dos veces
Suma(9 números) + a₅ = 260
225 + a₅ =
260
a₅ = 35
Respuesta correcta:
35
Opción C
Quinto número = 35
Fórmula general:
Para n números totales, con:
•
Promedio primeros k = P₁
• Promedio últimos k = P₂
• Promedio
total n = P
El elemento superpuesto (k-ésimo) es:
Elemento =
(k×P₁ + k×P₂) - n×P
En nuestro caso:
n=9, k=5,
P₁=20, P₂=32, P=25
a₅ = (5×20 + 5×32) - 9×25
= (100 + 160) - 225
= 35
Explicación intuitiva:
Al sumar los promedios de
los primeros 5 y últimos 5,
el quinto número se cuenta 2 veces.
La diferencia entre esa suma y la suma total
es exactamente el
quinto número.
260 - 225 = 35
🔢
Fórmula clave:
a₅ = (Suma primeros 5 + Suma últimos
5) - Suma total
Valores:
a₅ = (100 + 160) - 225 = 35
Conclusión clave: Este es un problema clásico de conjuntos superpuestos aplicado a promedios. Cuando tenemos promedios de grupos que se superponen en un elemento común, la suma de las sumas de los grupos excede la suma total exactamente por el valor del elemento superpuesto (porque se cuenta dos veces). Restar la suma total de la suma de los grupos da directamente el valor del elemento común. Esta técnica es útil para muchos problemas similares con promedios superpuestos.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 35
Conjuntos superpuestos • Promedios • Fórmula: a₅ = (100+160)-225
Análisis de relaciones entre promedios usando variables y álgebra
“La Caja X y la Caja Y contienen muchas bolas amarillas y verdes. Todas las bolas verdes tienen el mismo radio. El radio de cada bola verde es 4 pulgadas menor que el radio promedio de las bolas en la Caja X y 2 pulgadas mayor que el radio promedio de las bolas en la Caja Y. ¿Cuál es la diferencia entre el radio promedio (media aritmética), en pulgadas, de las bolas en la Caja X y las bolas en la Caja Y?”
A
4
B
6
C
7
D
8
E
10
Sea:
• G = radio de cada bola verde (todas
iguales)
• X = radio promedio de todas las bolas en Caja X
• Y =
radio promedio de todas las bolas en Caja Y
Según el
enunciado:
1. G = X - 4 (verde es 4 menos que promedio de
X)
2. G = Y + 2 (verde es 2 más que promedio de Y)
Objetivo: Encontrar X - Y
De las relaciones dadas:
G = X - 4 …(1)
G = Y +
2 …(2)
Como ambas igualdades son iguales a G:
X
- 4 = Y + 2
Reorganizar para encontrar X - Y:
X
- Y = 2 + 4
X - Y = 6
¡La solución es directa! No necesitamos información sobre bolas amarillas
El problema nos dice:
• Radio verde está 4 pulgadas
debajo del promedio de X
• Radio verde está 2
pulgadas arriba del promedio de Y
Visualización en recta numérica:
Y <—2in—> G
<—4in—> X
Distancia total entre X e Y:
Distancia(Y→G) + Distancia(G→X) = 2 + 4 = 6
Por lo
tanto: X - Y = 6 pulgadas
Supongamos: G = 10 pulgadas
Entonces:
• X = G + 4 = 14 pulgadas (promedio Caja
X)
• Y = G - 2 = 8 pulgadas (promedio Caja Y)
Diferencia: X - Y = 14 - 8 = 6 ✓
Otro
ejemplo: G = 15 pulgadas
• X = 19 pulgadas
• Y = 13
pulgadas
• X - Y = 19 - 13 = 6 ✓
La diferencia siempre
es 6, independiente de G
El problema dice: “Box X and Box Y each contain many
yellow and green balls”
Pero luego: Da relaciones
específicas entre el radio verde y los promedios
Clave: Las relaciones son absolutas, no relativas
G
= X - 4 significa: El radio verde es exactamente 4 menos que el promedio
de TODAS las bolas en X
Las bolas amarillas están incluidas
en los promedios X e Y
Pero las ecuaciones G = X-4
y G = Y+2 ya consideran todos los elementos
No necesitamos
descomponer en componentes verde/amarillo
Según nuestra solución: X - Y = 6
Opción A
(4): Implicaría G = X-4 y G = Y+?
Si X-Y=4, entonces Y+? =
X-4 ⇒ ? = X-4-Y = 4-4=0
Pero dice “2 pulgadas mayor”, no 0 ✗
Opción B (6): ✓ Ya demostrado
Opción C
(7): Implicaría ? = 7-4=3 ≠ 2 ✗
Opción D
(8): Implicaría ? = 8-4=4 ≠ 2 ✗
Opción E
(10): Implicaría ? = 10-4=6 ≠ 2 ✗
Solo 6 satisface
ambas condiciones
Dado:
1. G = X - 4
2. G = Y + 2
Igualar (1) y (2):
X - 4 = Y + 2
Despejar X - Y:
X - Y = 2 + 4
X - Y = 6
Respuesta: La diferencia es 6 pulgadas
Respuesta correcta:
6
pulgadas
Opción B
Diferencia X - Y = 6
Representación en recta numérica:
Y —–(2in)—– G —–(4in)—–
X
Distancia Y→X = Distancia Y→G +
Distancia G→X
= 2 + 4 = 6 pulgadas
Verificación algebraica:
De G = X - 4 ⇒ X = G +
4
De G = Y + 2 ⇒ Y = G - 2
X - Y = (G + 4) - (G - 2)
= G + 4
- G + 2 = 6
Puntos clave:
1. Las bolas verdes tienen radio
constante G
2. G se relaciona con X e Y de manera específica
3.
La diferencia X-Y es independiente de G
4. Información sobre bolas
amarillas es irrelevante para la diferencia
5. Solución: 2 + 4 = 6
📦
Fórmula clave:
X - Y = (distancia G a Y) +
(distancia X a G)
Valores:
X - Y = 2 + 4 = 6 pulgadas
Conclusión clave: Este problema parece complicado por la mención de bolas amarillas y verdes, pero en realidad es un simple ejercicio de álgebra. Las relaciones dadas son absolutas y directas: el radio de las bolas verdes está fijo en relación con los promedios de cada caja. Al plantear las ecuaciones y eliminar la variable G, encontramos que la diferencia entre los promedios X e Y es simplemente la suma de las distancias dadas (4 + 2 = 6). La información sobre las bolas amarillas es irrelevante para responder la pregunta, ya que ya está incorporada en los promedios X e Y.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 6 PULGADAS
Álgebra básica • Eliminación de variables • X - Y = 2 + 4 = 6
Aplicación de promedio ponderado con múltiples grupos de empleados
“Cierta compañía tiene 60 empleados. El salario promedio (media aritmética) de 10 de los empleados es $35,000; el salario promedio de otros 35 empleados es $30,000; y el salario promedio de los 15 empleados restantes es $60,000. ¿Cuál es el salario promedio de los 60 empleados de la compañía?”
A
$32,500
B
$38,333
C
$39,500
D
$40,000
E
$42,222
Grupos de empleados:
• Grupo 1: 10 empleados →
promedio $35,000
• Grupo 2: 35 empleados → promedio $30,000
•
Grupo 3: 15 empleados → promedio $60,000
Total
empleados: 10 + 35 + 15 = 60 ✓
Método:
Promedio ponderado
Promedio total = (Suma total salarios) ÷ 60
Suma = (Número empleados) × (Salario promedio)
Grupo 1 (10 emp × $35,000):
10 × 35,000 =
$350,000
Grupo 2 (35 emp × $30,000):
35 ×
30,000 = $1,050,000
Grupo 3 (15 emp ×
$60,000):
15 × 60,000 = $900,000
Suma total = Suma Grupo 1 + Suma Grupo 2 + Suma Grupo
3
= $350,000 + $1,050,000 + $900,000
= $2,300,000
Verificación rápida:
350,000 + 1,050,000 =
1,400,000
1,400,000 + 900,000 = 2,300,000 ✓
Fórmula:
Promedio total = Suma total ÷ Total
empleados
Cálculo:
Promedio total =
$2,300,000 ÷ 60
= $38,333.33…
≈ $38,333
El promedio es $38,333.33, que redondeado es $38,333
Fórmula ponderada:
Promedio = (w₁×p₁ + w₂×p₂ +
w₃×p₃) ÷ (w₁+w₂+w₃)
Sustituir:
Promedio =
(10×35,000 + 35×30,000 + 15×60,000) ÷ 60
= (350,000 + 1,050,000 +
900,000) ÷ 60
= 2,300,000 ÷ 60
= 38,333.33…
En
fracción: 2,300,000/60 = 230,000/6 = 115,000/3
Opción A ($32,500):
Suma total = 32,500 × 60 =
$1,950,000
Pero tenemos $2,300,000 ✗
Opción B
($38,333):
Suma total = 38,333 × 60 ≈ $2,299,980
Cerca
de $2,300,000 ✓ (exacto: 38,333.33×60=2,300,000)
Opción C
($39,500):
Suma total = 39,500 × 60 = $2,370,000 ✗
Opción D ($40,000):
Suma total = 40,000 × 60 =
$2,400,000 ✗
Opción E ($42,222):
Suma total =
42,222 × 60 ≈ $2,533,320 ✗
Solo B da suma cercana a
$2,300,000
Usar proporciones del total:
• Grupo 1: 10/60 = 1/6
del total
• Grupo 2: 35/60 = 7/12 del total
• Grupo 3: 15/60 =
1/4 del total
Promedio ponderado:
=
(1/6)×35,000 + (7/12)×30,000 + (1/4)×60,000
= 5,833.33 + 17,500 +
15,000
= 38,333.33
Respuesta correcta:
$38,333
Opción B
Promedio ponderado: $38,333.33
Cálculo exacto en fracciones:
Suma total = 350,000
+ 1,050,000 + 900,000
= 2,300,000
Promedio = 2,300,000 ÷
60
= 230,000 ÷ 6
= 115,000 ÷ 3
= 38,333⅓
Como decimal: 38,333.333…
Redondeado: $38,333
Verificación
inversa:
38,333.33 × 60 = 2,299,999.8 ≈ 2,300,000 ✓
Distribución de pesos:
• 10 empleados (16.67%) →
$35,000
• 35 empleados (58.33%) → $30,000
• 15 empleados
(25.00%) → $60,000
El promedio ($38,333) está más cerca
de $30,000 porque el grupo más grande (35 empleados) tiene el salario
más bajo.
💼
Fórmula clave:
Promedio = (∑(nᵢ × pᵢ)) ÷ N
Resultado:
$38,333.33 ≈ $38,333
Conclusión clave: Este problema es un ejemplo clásico de promedio ponderado. No podemos simplemente promediar los tres salarios promedios ($35,000, $30,000 y $60,000) porque los grupos tienen diferentes tamaños. El grupo de $30,000 tiene 35 empleados (más de la mitad del total), por lo que tiene mayor peso en el cálculo. El promedio final ($38,333) está más cerca de $30,000 que de los otros valores, reflejando el mayor peso del grupo más numeroso. La solución correcta es $38,333 (Opción B).
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - $38,333
Promedio ponderado • Suma total: $2,300,000 ÷ 60 = $38,333.33
Análisis de promedio ponderado con cambio en la composición de la compra
“En cierta papelería, el precio de un lápiz es 20 centavos y el precio de un borrador es 30 centavos. Un niño compra un total de 20 lápices y borradores de la tienda, y el precio promedio (media aritmética) de las 20 piezas es de 28 centavos. ¿Cuántos borradores debe devolver el niño para que el precio promedio de las piezas que compra sea de 26 centavos?”
A
2
B
4
C
6
D
8
E
10
Sea:
• P = número de lápices (20¢ cada uno)
• E
= número de borradores (30¢ cada uno)
Condiciones
iniciales:
1. P + E = 20 (total 20 artículos)
2. (20P +
30E)/20 = 28 (promedio 28¢)
Simplificar (2):
20P + 30E = 28 × 20 = 560
Sistema:
P + E = 20 …(1)
20P + 30E = 560
…(2)
De (1): P = 20 - E
Sustituir en
(2):
20(20 - E) + 30E = 560
400 - 20E + 30E = 560
400 + 10E = 560
10E = 160
E = 16
Entonces:
P = 20 - 16 = 4
Compra inicial: 4 lápices, 16
borradores
Con P=4, E=16:
• Total artículos: 4 + 16 = 20 ✓
• Costo total: 4×20 + 16×30 = 80 + 480 = 560¢ ✓
• Promedio: 560 ÷ 20
= 28¢ ✓
Regla de mezcla alternativa:
Promedio 28 entre 20 y 30:
(28-20):(30-28) = 8:2 = 4:1
Por cada
4 borradores (30¢), 1 lápiz (20¢)
Ratio E:P = 4:1, con total 20 ⇒
E=16, P=4 ✓
Sea x = borradores devueltos
Después de
devolución:
• Borradores restantes: 16 - x
• Lápices
(no se devuelven): 4
• Total artículos: (16 - x) + 4 = 20 - x
Nuevo promedio debe ser 26¢:
[20×4 +
30×(16-x)]/(20-x) = 26
Costo total después: 80 +
480 - 30x = 560 - 30x
Ecuación:
(560 - 30x)/(20 - x) = 26
Multiplicar ambos lados por (20-x):
560 - 30x =
26(20 - x)
560 - 30x = 520 - 26x
Reorganizar:
560 - 520 = 30x - 26x
40 = 4x
x = 10
Si devuelve 10 borradores:
• Borradores restantes:
16 - 10 = 6
• Lápices: 4
• Total artículos: 6 + 4 = 10
•
Costo total: 80 + 30×6 = 80 + 180 = 260¢
• Promedio: 260 ÷ 10 = 26¢
✓
Verificación regla de mezcla:
Promedio
26 entre 20 y 30:
(26-20):(30-26) = 6:4 = 3:2
Ratio E:P = 3:2,
con P=4 ⇒ E=6 ✓
Borradores devueltos: 16 - 6 = 10 ✓
Compra inicial (20 artículos, avg 28):
E:P =
(28-20):(30-28) = 8:2 = 4:1
E=16, P=4
Compra final (n
artículos, avg 26):
E:P = (26-20):(30-26) = 6:4 = 3:2
Como P=4 fijo: E = (3/2)×4 = 6
Borradores
devueltos: 16 - 6 = 10
Total final: 4 + 6
= 10 artículos
Verificación: (80+180)/10=260/10=26
✓
Respuesta correcta:
10
borradores
Opción E
Compra final: 4 lápices + 6 borradores
Opción A (2 borradores):
Borradores finales:
16-2=14
Total: 4+14=18 artículos
Costo: 80+420=500¢
Promedio: 500/18≈27.78≠26 ✗
Opción B (4
borradores):
Borradores finales: 16-4=12
Total: 4+12=16
artículos
Costo: 80+360=440¢
Promedio: 440/16=27.5≠26 ✗
Opción C (6 borradores):
Borradores finales:
16-6=10
Total: 4+10=14 artículos
Costo: 80+300=380¢
Promedio: 380/14≈27.14≠26 ✗
Opción D (8 borradores):
Borradores finales:
16-8=8
Total: 4+8=12 artículos
Costo: 80+240=320¢
Promedio:
320/12≈26.67≠26 ✗
Opción E (10 borradores):
Borradores finales: 16-10=6
Total: 4+6=10 artículos
Costo:
80+180=260¢
Promedio: 260/10=26 ✓
Solo 10 da
promedio exacto 26¢
✏️
Compra inicial:
4 lápices + 16 borradores = 20
artículos
Promedio: 28¢
Compra final:
4 lápices + 6 borradores = 10
artículos
Promedio: 26¢
Conclusión clave: Este problema combina promedio ponderado con un escenario de cambio en la composición. Primero debemos determinar la compra inicial usando las condiciones dadas (20 artículos con promedio 28¢). Luego, al devolver borradores (que son más caros), el promedio disminuye. La clave es notar que solo se devuelven borradores, no lápices, por lo que el número de lápices permanece constante en 4. Resolviendo la ecuación resultante, encontramos que debe devolver 10 borradores, dejándolo con 6 borradores y 4 lápices para un promedio de 26¢.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN E - 10 BORRADORES
Compra inicial: 4 lápices + 16 borradores • Compra final: 4 lápices + 6 borradores
Análisis de condiciones para que el nuevo promedio sea un entero mayor
“El puntaje promedio (media aritmética) de un estudiante en cuatro pruebas es 78. Si cada prueba se califica sobre 100, ¿cuál de los siguientes puede ser el puntaje del estudiante en la quinta prueba para que el puntaje promedio del estudiante en cinco pruebas aumente en un valor entero?”
A
82
B
87
C
89
D
93
E
95
Promedio en 4 pruebas = 78
Suma de 4 pruebas = 4 ×
78 = 312
Sea x = puntaje en quinta prueba
Nueva suma total = 312 + x
Nuevo promedio = (312 + x)/5
Promedio inicial: 78 (entero)
Condición: Nuevo promedio debe ser entero y mayor que
78
Es decir: (312 + x)/5 = entero > 78
Para que (312 + x)/5 sea entero:
312 + x debe ser
divisible por 5
312 mod 5 = 312 ÷ 5 = 62 resto
2
Porque 5 × 62 = 310, resto 2
Entonces: 312 + x divisible por 5 ⇔
(2 + x)
divisible por 5
x debe terminar en 3 u 8 (para que
2+x termine en 0 o 5)
Posibles terminaciones: 3, 8
Sea k = aumento entero
Nuevo promedio = 78 + k, con
k entero positivo
Ecuación: (312 + x)/5 = 78 +
k
312 + x = 5(78 + k)
312 + x = 390 + 5k
x = 390 - 312 +
5k
x = 78 + 5k
Además: 0 ≤ x ≤ 100
(puntaje sobre 100)
Entonces: 78 + 5k ≤ 100
5k ≤ 22
k ≤ 4.4
⇒ k ≤ 4 (entero)
k puede ser: 1, 2, 3, 4
De x = 78 + 5k:
• Si k = 1: x = 78 + 5 = 83
•
Si k = 2: x = 78 + 10 = 88
• Si k = 3: x = 78 + 15 = 93
• Si k =
4: x = 78 + 20 = 98
Verificar
terminaciones:
83 → termina en 3 ✓
88 → termina en 8
✓
93 → termina en 3 ✓
98 → termina en 8 ✓
Todos
terminan en 3 u 8, como esperado
Nuestros valores posibles: 83, 88, 93, 98
Opciones dadas:
A) 82 → no está en nuestra lista
✗
B) 87 → no está en nuestra lista ✗
C) 89 → no está en nuestra
lista ✗
D) 93 → SÍ está en nuestra lista ✓ (k=3)
E) 95 → no está
en nuestra lista ✗
Verificación directa para
93:
Nuevo promedio = (312 + 93)/5 = 405/5 = 81
Aumento
= 81 - 78 = 3 (entero) ✓
Opción A (82):
Nuevo promedio = (312+82)/5 = 394/5
= 78.8
Aumento = 0.8 (no entero) ✗
Opción B
(87):
Nuevo promedio = (312+87)/5 = 399/5 = 79.8
Aumento = 1.8 (no entero) ✗
Opción C (89):
Nuevo promedio = (312+89)/5 = 401/5 = 80.2
Aumento = 2.2 (no entero)
✗
Opción D (93):
Nuevo promedio = (312+93)/5 =
405/5 = 81
Aumento = 3 (entero) ✓
Opción E
(95):
Nuevo promedio = (312+95)/5 = 407/5 = 81.4
Aumento = 3.4 (no entero) ✗
Solo 93 funciona
Condiciones:
1. (312+x) divisible por 5
2.
(312+x)/5 > 78 ⇒ 312+x > 390 ⇒ x > 78
3. x ≤ 100
312 mod 5 = 2
Para divisible por 5: x mod 5 = 3
x ≡ 3 (mod 5)
x posibles: 83, 88, 93,
98
De opciones: solo 93 cumple
93 mod 5 = 3
✓
Respuesta correcta:
93
Opción D
Nuevo promedio: 81 (aumento de 3)
Resumen lógico:
• Suma inicial: 4×78 = 312
•
Nueva suma: 312 + x
• Nuevo promedio: (312+x)/5
• Para aumento
entero k: (312+x)/5 = 78+k
• Entonces: 312+x = 390+5k
• x =
78+5k
• Con 0≤x≤100: k≤4.4 ⇒ k=1,2,3,4
• x = 83, 88, 93, 98
• De opciones: solo 93 presente
Verificación
93:
(312+93)/5 = 405/5 = 81
81-78=3 (entero) ✓
Puntos clave:
1. El nuevo promedio debe ser
entero
2. El aumento debe ser entero
3. 312+x debe ser múltiplo
de 5
4. x debe ser >78 para aumento positivo
5. x ≤ 100 por
límite de puntaje
6. Solo 93 cumple todas las condiciones entre las
opciones
Fórmula general:
x = 78 + 5k
k =
1,2,3,4
📚
Fórmula clave:
x = 78 + 5k, k=1,2,3,4
Valores posibles:
83, 88, 93, 98
Solo 93 en
opciones
Conclusión clave: Este problema combina conceptos de promedios, divisibilidad y álgebra. La condición clave es que el nuevo promedio debe ser un número entero que aumente en un valor entero respecto al promedio original de 78. Esto requiere que la suma total (312+x) sea divisible por 5. Resolviendo algebraicamente, encontramos que x debe tener la forma 78+5k, con k entero positivo. Dado que x no puede exceder 100, k solo puede ser 1, 2, 3 o 4, dando valores de x: 83, 88, 93 y 98. Entre las opciones dadas, solo 93 aparece en esta lista, por lo tanto es la respuesta correcta.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 93
Nuevo promedio: 81 • Aumento: 3 • Fórmula: x = 78 + 5k
Aplicación de promedio ponderado con proporciones entre grupos
“Un instructor aplicó la misma prueba a tres grupos: P, Q y R. Los puntajes promedio (media aritmética) para los tres grupos fueron 64, 84 y 72, respectivamente. La proporción de números de candidatos en los grupos P, Q y R fue 3:5:4, respectivamente. ¿Cuál fue el puntaje promedio para los tres grupos combinados?”
A
72
B
75
C
77
D
78
E
80
Proporción P:Q:R = 3:5:4
Podemos usar estos números
directamente como pesos
Sea:
• Peso grupo P =
3
• Peso grupo Q = 5
• Peso grupo R = 4
Promedios:
• Grupo P: 64 puntos
• Grupo Q: 84
puntos
• Grupo R: 72 puntos
Total pesos: 3 + 5
+ 4 = 12
Fórmula promedio ponderado:
Promedio total = (w₁×p₁
+ w₂×p₂ + w₃×p₃) ÷ (w₁+w₂+w₃)
Sustituir
valores:
Promedio = (3×64 + 5×84 + 4×72) ÷ (3+5+4)
=
(192 + 420 + 288) ÷ 12
= (900) ÷ 12
= 75
Asignar números según proporción:
• Grupo P: 3k
estudiantes, promedio 64
• Grupo Q: 5k estudiantes, promedio 84
• Grupo R: 4k estudiantes, promedio 72
Suma total
puntos:
= (3k×64) + (5k×84) + (4k×72)
= 192k + 420k +
288k = 900k
Total estudiantes:
= 3k + 5k + 4k =
12k
Promedio: 900k ÷ 12k = 75
Nota: k se cancela, no necesitamos su valor
Tomar k=1 (mínimo caso):
• Grupo P: 3 estudiantes,
suma = 3×64 = 192
• Grupo Q: 5 estudiantes, suma = 5×84 = 420
•
Grupo R: 4 estudiantes, suma = 4×72 = 288
Suma total
puntos: 192+420+288 = 900
Total
estudiantes: 3+5+4 = 12
Promedio: 900 ÷ 12
= 75 ✓
Con k=100 (ejemplo grande):
Suma =
900×100 = 90,000
Estudiantes = 12×100 = 1,200
Promedio = 90,000
÷ 1,200 = 75 ✓
Opción A (72):
Suma necesaria = 72×12 = 864
Pero tenemos 900 ✗
Opción B (75):
Suma
necesaria = 75×12 = 900 ✓
Opción C (77):
Suma
necesaria = 77×12 = 924 ✗
Opción D (78):
Suma
necesaria = 78×12 = 936 ✗
Opción E (80):
Suma
necesaria = 80×12 = 960 ✗
Solo 75 da suma 900
¡No se puede promediar promedios sin pesos!
Promedio simple = (64+84+72)/3 = 220/3 ≈ 73.33 ✗
Pero con
pesos proporcionales:
Como fracciones del total:
• P:
3/12 = 1/4
• Q: 5/12
• R: 4/12 = 1/3
Promedio
ponderado:
= (1/4)×64 + (5/12)×84 + (1/3)×72
= 16 + 35
+ 24 = 75 ✓
Error común: Promediar sin considerar
tamaños de grupo
Tomar media provisional 72:
• Grupo P: 64-72 = -8
(desviación)
• Grupo Q: 84-72 = +12
• Grupo R: 72-72 = 0
Desviaciones ponderadas:
= 3×(-8) + 5×12 + 4×0
= -24 + 60 + 0 = +36
Ajuste por total pesos:
36
÷ 12 = +3
Promedio real: 72 + 3 = 75
Respuesta correcta:
75
Opción B
Promedio ponderado: 75 puntos
Cálculo detallado:
Suma ponderada = 3×64 + 5×84 +
4×72
= 192 + 420 + 288
= 900
Total pesos = 3 + 5 + 4 =
12
Promedio = 900 ÷ 12 = 75
Interpretación: El promedio final (75) está más cerca
de 84 que de 64 porque el grupo Q (con promedio 84) es el más grande
(peso 5 de 12).
Verificación con regla de mezcla:
Para grupos P y R
(sin Q):
Promedio = (3×64 + 4×72)/7 = (192+288)/7=480/7≈68.57
Luego mezclar con grupo Q (5×84):
Promedio total =
(480+420)/12=900/12=75 ✓
También: 75 está
entre 64 y 84, pero más cerca de 84 por mayor peso del grupo Q.
👨🏫
Fórmula clave:
Promedio = (3×64 + 5×84 + 4×72) ÷ 12
Resultado:
75 puntos
Conclusión clave: Este problema ilustra la importancia del promedio ponderado frente al promedio simple. No podemos simplemente promediar los tres promedios (64, 84, 72) porque los grupos tienen diferentes tamaños. La proporción 3:5:4 nos da los pesos relativos: el grupo Q (con promedio más alto de 84) tiene el mayor peso (5 de 12), mientras que el grupo P (con promedio más bajo de 64) tiene el menor peso (3 de 12). Por lo tanto, el promedio combinado (75) está más cerca del promedio del grupo Q que del grupo P. La solución correcta es 75 (Opción B).
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 75 PUNTOS
Promedio ponderado • Pesos 3:5:4 • (192+420+288)/12 = 900/12 = 75
Cálculo de promedio de subgrupo usando información del grupo completo
“Un club de fitness tiene 50 hombres y 20 mujeres. El promedio de edad (media aritmética) de todos los miembros es 23 años. Si la edad promedio de los miembros masculinos era 20 años, ¿cuál de las siguientes es la edad promedio, en años, de los miembros femeninos?”
A
30.50
B
31.50
C
32.50
D
33.00
E
34.50
Datos:
• Hombres: 50 personas, promedio = 20
años
• Mujeres: 20 personas, promedio = ? (llamémoslo F)
• Total
miembros: 50 + 20 = 70 personas
• Promedio total: 23 años
Fórmula promedio ponderado:
Promedio total = (50×20
+ 20×F) ÷ 70 = 23
Ecuación del promedio total:
(50×20 + 20×F) ÷ 70 =
23
Calcular 50×20: 1,000
Entonces:
(1,000 + 20F) ÷ 70 = 23
Multiplicar ambos lados por 70:
1,000 + 20F = 23 ×
70
1,000 + 20F = 1,610
Ecuación: 1,000 + 20F = 1,610
Restar
1,000: 20F = 610
Dividir entre 20: F = 610
÷ 20
Cálculo: 610 ÷ 20 = 30.5
Solución: Promedio mujeres = 30.5 años
Con F = 30.5:
• Suma edades hombres: 50×20 = 1,000
años
• Suma edades mujeres: 20×30.5 = 610 años
• Suma total:
1,000 + 610 = 1,610 años
• Total personas: 50 + 20 = 70
•
Promedio total: 1,610 ÷ 70 = 23 ✓
También:
30.5 = 30.50 (Opción A)
Promedios: Hombres=20, Mujeres=F, Total=23
Proporción: Hombres:Mujeres = 50:20 = 5:2
Regla de mezcla: H:M = (F-23):(23-20)
5:2 =
(F-23):3
Producto cruzado: 5×3 = 2×(F-23)
15 =
2F - 46
2F = 61
F = 30.5
Interpretación: Como hay más hombres (con promedio
bajo), las mujeres deben tener promedio alto para compensar
Opción A (30.50):
Suma total = 50×20 + 20×30.50 =
1,000+610=1,610
Promedio = 1,610/70=23 ✓
Opción B
(31.50):
Suma = 1,000+630=1,630
Promedio =
1,630/70≈23.29 ✗
Opción C (32.50):
Suma =
1,000+650=1,650
Promedio = 1,650/70≈23.57 ✗
Opción D
(33.00):
Suma = 1,000+660=1,660
Promedio =
1,660/70≈23.71 ✗
Opción E (34.50):
Suma =
1,000+690=1,690
Promedio = 1,690/70≈24.14 ✗
Solo
30.50 da promedio exacto 23
Concepto: Cada hombre está 3 años bajo el promedio
(20-23=-3)
Total déficit hombres = 50×(-3) = -150 años
Las mujeres deben compensar con +150 años
Cada
mujer debe aportar: 150÷20 = 7.5 años extra
Promedio mujeres
= Promedio total + extra
= 23 + 7.5 = 30.5 años
Verificación: 30.5-23=7.5, 20×7.5=150 ✓
Respuesta correcta:
30.50 años
Opción A
Promedio mujeres = 30.5 años
Cálculo detallado:
Suma hombres = 50 × 20 = 1,000
años
Suma total necesaria para promedio 23:
70 × 23 = 1,610
años
Suma mujeres necesaria = 1,610 - 1,000 = 610 años
Promedio mujeres = 610 ÷ 20 = 30.5 años
Como
fracción: 610/20 = 61/2 = 30.5
Interpretación: Las mujeres son en promedio 10.5 años
mayores que los hombres (30.5-20=10.5)
Verificación intuitiva:
• Hay 2.5 veces más hombres
que mujeres (50:20=5:2)
• Los hombres tienen promedio bajo (20)
• Para lograr promedio total 23, las mujeres deben tener promedio
alto
• La diferencia 30.5-20=10.5 años
• Compensación: 50
hombres × 3 años bajo = 150 años
• 150 años ÷ 20 mujeres = 7.5 años
extra cada una
• 23 + 7.5 = 30.5 ✓
💪
Fórmula clave:
(1,000 + 20F)/70 = 23
Resultado:
30.5 años = 30.50 años
Conclusión clave: Este problema es un ejemplo clásico de promedio ponderado donde conocemos el promedio total y el promedio de un subgrupo, y necesitamos encontrar el promedio del otro subgrupo. La clave es notar que hay muchos más hombres (50) que mujeres (20), y los hombres tienen un promedio bajo (20 años). Para que el promedio total sea 23 (que está mucho más cerca de 20 que de cualquier número alto), las mujeres deben tener un promedio significativamente mayor para compensar. El cálculo muestra que el promedio femenino debe ser 30.5 años, lo cual es 10.5 años mayor que el promedio masculino. La solución correcta es 30.50 (Opción A).
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A - 30.50 AÑOS
Promedio ponderado • Compensación: mujeres 10.5 años mayores que hombres
Cálculo preciso de promedio ponderado con números decimales
“Un club de fitness tiene 50 hombres y 20 mujeres. El promedio de edad (media aritmética) de todos los miembros es 23.89 años. Si la edad promedio de los miembros masculinos era 20.89 años, ¿cuál de las siguientes es la edad promedio, en años, de los miembros femeninos?”
A
29.75
B
30.50
C
31.39
D
34.39
E
37.50
Datos:
• Hombres: 50 personas, promedio = 20.89
años
• Mujeres: 20 personas, promedio = F años
• Total miembros:
50 + 20 = 70 personas
• Promedio total: 23.89 años
Fórmula promedio ponderado:
(50×20.89 + 20×F) ÷ 70
= 23.89
50 × 20.89 = ?
20.89 × 50 = 20.89 × 10 × 5
=
208.9 × 5
= 1,044.5
Verificación
alternativa:
20.89 × 100 = 2,089
Mitad = 1,044.5 ✓
Suma hombres = 1,044.5 años
Para promedio 23.89 con 70 personas:
Suma total =
70 × 23.89
= 70 × 23 + 70 × 0.89
= 1,610 + 62.3
= 1,672.3
años
Verificación:
23.89 × 100 = 2,389
23.89 × 70 = (2,389 × 7)/10
= 16,723/10 = 1,672.3 ✓
Suma mujeres = Suma total - Suma hombres
= 1,672.3
- 1,044.5
= 627.8 años
Cálculo paso a
paso:
1,672.3 - 1,044.5 =
1,672.3 - 1,000 = 672.3
672.3 - 44.5 = 627.8 ✓
Verificación: 627.8 +
1,044.5 = 1,672.3
Promedio mujeres = Suma mujeres ÷ 20
F = 627.8 ÷
20
Cálculo:
627.8 ÷ 20 =
627.8 ÷ 10 =
62.78
62.78 ÷ 2 = 31.39
Verificación:
31.39 × 20 = 627.8 ✓
Solución: Promedio
mujeres = 31.39 años
Opción A (29.75):
Suma = 1,044.5 +
(20×29.75)=1,044.5+595=1,639.5
Promedio = 1,639.5/70=23.421 ✗
Opción B (30.50):
Suma = 1,044.5 + 610=1,654.5
Promedio = 1,654.5/70=23.636 ✗
Opción C
(31.39):
Suma = 1,044.5 + 627.8=1,672.3
Promedio =
1,672.3/70=23.89 ✓
Opción D (34.39):
Suma =
1,044.5 + 687.8=1,732.3
Promedio = 1,732.3/70=24.747 ✗
Opción E (37.50):
Suma = 1,044.5 + 750=1,794.5
Promedio = 1,794.5/70=25.636 ✗
Solo 31.39 da promedio
exacto 23.89
Promedios: Hombres=20.89, Mujeres=F, Total=23.89
Proporción: Hombres:Mujeres = 50:20 = 5:2
Regla de mezcla: H:M = (F-23.89):(23.89-20.89)
5:2
= (F-23.89):3
Producto cruzado: 5×3 =
2×(F-23.89)
15 = 2F - 47.78
2F = 62.78
F = 31.39
Interpretación: Diferencia hombres-total: 3 años
Diferencia mujeres-total: F-23.89
Respuesta correcta:
31.39 años
Opción C
Promedio mujeres = 31.39 años
Método de balance:
Cada hombre está 3 años bajo el
promedio:
20.89 - 23.89 = -3 años
Total déficit hombres = 50 ×
(-3) = -150 años
Las mujeres deben compensar con +150 años
Cada mujer debe aportar: 150 ÷ 20 = 7.5 años extra
Pero
cuidado: ¡Este método solo funciona si la diferencia es
exacta!
En realidad: 23.89 - 20.89 = 3 exacto ✓
Entonces: Promedio mujeres = 23.89 + 7.5 = 31.39 ✓
Verificación completa:
Suma hombres:
50×20.89=1,044.5
Suma mujeres: 20×31.39=627.8
Suma total:
1,044.5+627.8=1,672.3
Total personas: 70
Promedio:
1,672.3÷70=23.89 ✓
Relación con problema
anterior:
Versión anterior: H=20, M=30.5, T=23
Esta
versión: H=20.89, M=31.39, T=23.89
¡Todos aumentaron 0.89!
💪
Ecuación clave:
(1,044.5 + 20F)/70 = 23.89
Resultado:
31.39 años
Conclusión clave: Este problema modificado mantiene la misma estructura del problema original pero con valores decimales. La relación clave es que la diferencia entre el promedio total y el promedio masculino sigue siendo exactamente 3 años (23.89 - 20.89 = 3), lo que permite usar el método de compensación de manera directa. Los hombres tienen un déficit total de 150 años respecto al promedio (50 × 3), que debe ser compensado por las 20 mujeres, dando 7.5 años extra por mujer. Sumando esto al promedio total se obtiene 31.39 años. Esta versión demuestra que el método es robusto incluso con valores decimales, siempre que las diferencias sean consistentes.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 31.39 AÑOS
Promedio ponderado • Compensación: 7.5 años extra por mujer • F=23.89+7.5=31.39
Modelo lineal de costos con componente fijo y variable
“El costo total de fabricar cojinetes metálicos incurre en un costo fijo de $25,000 y un gasto variable, que depende del número de cojinetes fabricados. Si para 50,000 cojinetes el costo total es $100,000, ¿cuál es el costo total para 100,000 cojinetes?”
A
$125,000
B
$150,000
C
$175,000
D
$200,000
E
$275,000
Modelo de costo total:
Costo Total = Costo Fijo +
Costo Variable
Costo Variable = (Costo por unidad) × (Número de
unidades)
Datos:
• Costo fijo = $25,000
•
Para 50,000 unidades: Costo total = $100,000
• Queremos costo para
100,000 unidades
Para 50,000 unidades:
Costo Total = Costo Fijo +
Costo Variable
$100,000 = $25,000 + Costo Variable(50,000)
Costo Variable(50,000) = $100,000 - $25,000
=
$75,000
Esto es el costo variable TOTAL para 50,000
unidades
Costo variable por unidad:
Costo variable para
50,000 unidades = $75,000
Costo por unidad = $75,000 ÷ 50,000
=
$1.50 por unidad
Verificación:
50,000 ×
$1.50 = $75,000 ✓
Fórmula completa:
Costo
Total = $25,000 + ($1.50 × número de unidades)
Aplicar fórmula:
Costo Total = $25,000 + ($1.50 ×
100,000)
= $25,000 + $150,000
= $175,000
Verificación paso a paso:
Costo variable = 100,000
× $1.50 = $150,000
+ Costo fijo = $25,000
Total = $175,000
Observación: Al duplicar la producción (50,000 →
100,000):
• Costo fijo se mantiene igual: $25,000
• Costo
variable se duplica: $75,000 → $150,000
Cálculo
directo:
Costo para 50,000: $100,000 = $25,000 (fijo) +
$75,000 (variable)
Costo para 100,000: $25,000 (fijo) + 2×$75,000
(variable)
= $25,000 + $150,000 = $175,000
Generalización: Cada 50,000 unidades cuesta $75,000
adicionales
Opción A ($125,000):
Costo variable =
$125,000-$25,000=$100,000
Costo por unidad =
$100,000/100,000=$1.00
Pero para 50,000:
50,000×$1.00+$25,000=$75,000≠$100,000 ✗
Opción B
($150,000):
Costo variable = $125,000
Costo por unidad
= $125,000/100,000=$1.25
Para 50,000:
50,000×$1.25+$25,000=$87,500≠$100,000 ✗
Opción C
($175,000):
Costo variable = $150,000
Costo por unidad
= $150,000/100,000=$1.50
Para 50,000: 50,000×$1.50+$25,000=$100,000
✓
Opción D ($200,000):
Costo variable =
$175,000
Costo por unidad = $175,000/100,000=$1.75
Para 50,000:
50,000×$1.75+$25,000=$112,500≠$100,000 ✗
Opción E
($275,000):
Costo variable = $250,000
Costo por unidad
= $250,000/100,000=$2.50
Para 50,000:
50,000×$2.50+$25,000=$150,000≠$100,000 ✗
Sea:
TC(n) = Costo total para n unidades
F =
Costo fijo = $25,000
v = Costo variable por unidad
Ecuación: TC(n) = 25,000 + v×n
Para
n=50,000: 100,000 = 25,000 + v×50,000
v×50,000 = 75,000
v = 1.50
Para n=100,000:
TC(100,000) = 25,000 +
1.50×100,000
= 25,000 + 150,000 = 175,000
Respuesta correcta:
$175,000
Opción C
Costo fijo: $25,000 • Variable: $1.50/unidad
Cálculos detallados:
Para 50,000
unidades:
• Costo total: $100,000
• Costo fijo:
$25,000
• Costo variable: $100,000-$25,000=$75,000
• Costo por
unidad: $75,000÷50,000=$1.50
Para 100,000
unidades:
• Costo fijo: $25,000 (igual)
• Costo
variable: 100,000×$1.50=$150,000
• Costo total:
$25,000+$150,000=$175,000
Costo promedio por
unidad:
• Para 50,000: $100,000÷50,000=$2.00
• Para
100,000: $175,000÷100,000=$1.75
Verificación económica:
Al duplicar la
producción:
• Costo fijo se reparte entre más unidades
• Costo
variable aumenta proporcionalmente
• Costo promedio disminuye de
$2.00 a $1.75
• Economías de escala por el costo fijo
Patrón:
Cada 50,000 unidades:
+$75,000 de costo
variable
Costo fijo constante
Total = $25,000 + $75,000×n
🏭
Fórmula clave:
TC(n) = 25,000 + 1.50×n
Resultado:
$175,000 para 100,000 unidades
Conclusión clave: Este problema ilustra un modelo económico fundamental de costos lineales. El costo fijo ($25,000) es constante independientemente del volumen de producción, mientras que el costo variable aumenta proporcionalmente con el número de unidades. Al resolver para el costo variable por unidad ($1.50) usando la información dada para 50,000 unidades, podemos calcular fácilmente el costo para cualquier nivel de producción. Para 100,000 unidades (el doble de 50,000), el costo variable se duplica ($75,000 → $150,000) mientras el costo fijo permanece igual, resultando en un costo total de $175,000. Este es un ejemplo clásico de cómo los costos fijos se reparten entre más unidades a medida que aumenta la producción, reduciendo el costo promedio por unidad.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - $175,000
Costo fijo: $25,000 • Costo variable: $1.50/unidad • TC=25,000+1.50×n
Análisis de evaporación diaria con porcentajes diferentes por componente
“Un vaso de precipitados se llenó con 40 litros de mezcla. La mezcla tiene agua y un químico líquido en la proporción de 3:5, respectivamente. Si cada día, durante un período de 10 días, se evapora el 2 por ciento de la cantidad inicial de agua y el 5 por ciento de la cantidad inicial de químico líquido, ¿qué porcentaje de la cantidad original de mezcla se evaporó durante este período?”
A
22.22%
B
33.33%
C
38.75%
D
44.44%
E
58.33%
Proporción agua:químico = 3:5
Total partes = 3 + 5
= 8 partes
Total mezcla = 40 litros
Cantidad inicial agua:
(3/8) × 40 = 15 litros
Cantidad inicial químico:
(5/8) × 40 = 25
litros
Verificación: 15 + 25 = 40 litros ✓
¡Cuidado con la redacción!
“2% de la cantidad
inicial de agua”
“5% de la cantidad inicial de químico”
Esto significa: Cada día se evapora:
• Agua: 2% de
15 litros = 0.02 × 15 = 0.3 L/día
• Químico: 5% de 25 litros = 0.05
× 25 = 1.25 L/día
NO es un porcentaje del
remanente cada día, sino del inicial
Evaporación diaria total:
0.3 L (agua) + 1.25 L
(químico) = 1.55 L/día
Evaporación en 10
días:
1.55 L/día × 10 días = 15.5 litros
Desglose por componente:
• Agua evaporada: 0.3 × 10
= 3 litros
• Químico evaporado: 1.25 × 10 = 12.5 litros
Total: 3 + 12.5 = 15.5 litros ✓
Porcentaje de mezcla original evaporada:
=
(Evaporación total ÷ Mezcla original) × 100%
= (15.5 ÷ 40) ×
100%
Cálculo:
15.5 ÷ 40 = 0.3875
0.3875 × 100% = 38.75%
Respuesta: 38.75% de la
mezcla original se evaporó
Como fracción de la mezcla total:
• Agua: 15/40 =
3/8 = 37.5% de la mezcla
• Químico: 25/40 = 5/8 = 62.5% de la
mezcla
Evaporación como % de mezcla total:
• Agua: 2% de su cantidad inicial = 2% × 37.5% = 0.75% de mezcla/día
• Químico: 5% de su cantidad inicial = 5% × 62.5% = 3.125% de
mezcla/día
Total diario: 0.75% + 3.125% =
3.875% de mezcla/día
En 10 días: 3.875% × 10 =
38.75% ✓
Opción A (22.22%):
Evaporación = 0.2222×40=8.888
L
Pero tenemos 15.5 L ✗
Opción B (33.33%):
Evaporación = 0.3333×40=13.333 L ✗
Opción C
(38.75%):
Evaporación = 0.3875×40=15.5 L ✓
Opción D (44.44%):
Evaporación = 0.4444×40=17.776 L
✗
Opción E (58.33%):
Evaporación =
0.5833×40=23.333 L ✗
También verificar
lógica:
Agua inicial: 15L → 2%×10=20% de 15L=3L
Químico
inicial: 25L → 5%×10=50% de 25L=12.5L
Total evaporado: 15.5L de 40L
= 38.75%
Sea:
• A = cantidad inicial agua = (3/8)×40 =
15L
• Q = cantidad inicial químico = (5/8)×40 = 25L
• r₁ = tasa
evaporación agua = 2% = 0.02
• r₂ = tasa evaporación químico = 5% =
0.05
• n = días = 10
Evaporación
total:
E = n×(r₁×A + r₂×Q)
= 10×(0.02×15 + 0.05×25)
= 10×(0.3 + 1.25) = 10×1.55 = 15.5L
Porcentaje: (15.5/40)×100% = 38.75%
Respuesta correcta:
38.75%
Opción C
15.5 litros evaporados de 40 litros
Desglose completo:
Cantidades
iniciales:
• Agua: 3/8 de 40 = 15 L
• Químico: 5/8 de
40 = 25 L
Evaporación diaria (de cantidades
iniciales):
• Agua: 2% de 15 = 0.3 L/día
• Químico: 5%
de 25 = 1.25 L/día
• Total: 1.55 L/día
En 10
días:
• Agua: 10 × 0.3 = 3 L
• Químico: 10 × 1.25 =
12.5 L
• Total: 15.5 L
Porcentaje: 15.5/40
= 0.3875 = 38.75%
¡Trampa común!
Algunos podrían pensar que es:
•
2% × 10 = 20% del agua
• 5% × 10 = 50% del químico
Pero luego
promedian mal:
(20%+50%)/2=35% ✗
Otra
trampa:
Pensar que es porcentaje del remanente cada día
(decaimiento exponencial), pero el problema dice claramente “de la
cantidad inicial”
⚗️
Evaporación total:
15.5 litros de 40 litros
Porcentaje:
38.75%
Conclusión clave: Este problema tiene dos puntos cruciales de interpretación: 1) Las cantidades iniciales se calculan del ratio 3:5 sobre 40L, y 2) La evaporación diaria es un porcentaje constante de las cantidades INICIALES, no del remanente de cada día. Esto significa que cada día se evapora exactamente la misma cantidad (0.3L de agua y 1.25L de químico), independientemente de cuánto quede. El químico se evapora más rápido (5% vs 2%) y constituye una mayor parte de la mezcla (62.5% vs 37.5%), por lo que domina la evaporación total. La solución correcta es 38.75% (Opción C).
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 38.75%
15.5 litros evaporados de 40 litros • Tasa ponderada: 3.875%/día × 10 días
Análisis de fracciones anidadas en conjuntos
“En la colección de muñecas de Ghazal, 3/5 de las muñecas son Barbies, y 4/7 de las Barbies fueron compradas antes de los 10 años. Si 90 muñecas en la colección de Ghazal son Barbies que fueron compradas a los 10 años o después, ¿cuántas muñecas en su colección son muñecas no-Barbie?”
A
70
B
90
C
140
D
154
E
192
Sea:
• T = Total de muñecas en la colección
•
Barbies = (3/5) × T
• No-Barbies = T - (3/5)T = (2/5)T
De las Barbies:
• Compradas antes de 10 años =
(4/7) × Barbies
• Compradas a los 10 años o después = (3/7) ×
Barbies
Dato: Barbies compradas a los 10+ = 90
Barbies compradas a los 10+:
(3/7) × Barbies =
90
Pero Barbies = (3/5)T
Sustituir:
(3/7) ×
(3/5)T = 90
(9/35)T = 90
Ecuación: (9/35)T = 90
Multiplicar ambos
lados por 35:
9T = 90 × 35
9T = 3,150
Dividir entre 9:
T = 3,150 ÷ 9
T = 350
Verificación: 9/35 de 350 = 9×10 = 90 ✓
No-Barbies = (2/5) × T
= (2/5) × 350
= 2 ×
70
= 140
Verificación:
• Total
muñecas: 350
• Barbies: (3/5)×350 = 210
• No-Barbies: 350 - 210
= 140 ✓
Con T = 350:
• Barbies totales: (3/5)×350 = 210
• Barbies compradas antes de 10: (4/7)×210 = 120
• Barbies compradas
a los 10+: (3/7)×210 = 90 ✓ (dato)
• No-Barbies: (2/5)×350 = 140
Verificación alternativa:
Fracción de Barbies
compradas a los 10+ respecto al total:
(3/7)×(3/5) = 9/35 del
total
Si 9/35 de T = 90, entonces T = 90×(35/9)=350
No-Barbies =
2/5 de 350 = 140
Opción A (70):
No-Barbies=70 ⇒
Total=70×(5/2)=175
Barbies=175-70=105
Barbies 10+=(3/7)×105=45 ≠
90 ✗
Opción B (90):
No-Barbies=90 ⇒
Total=90×(5/2)=225
Barbies=225-90=135
Barbies
10+=(3/7)×135≈57.86 ≠ 90 ✗
Opción C (140):
No-Barbies=140 ⇒ Total=140×(5/2)=350
Barbies=350-140=210
Barbies
10+=(3/7)×210=90 ✓
Opción D (154):
No-Barbies=154 ⇒ Total=154×(5/2)=385
Barbies=385-154=231
Barbies
10+=(3/7)×231=99 ≠ 90 ✗
Opción E (192):
No-Barbies=192 ⇒ Total=192×(5/2)=480
Barbies=480-192=288
Barbies
10+=(3/7)×288≈123.43 ≠ 90 ✗
Solo 140 verifica el dato
de 90 Barbies 10+
Sea T = 35k (MCM de denominadores 5 y 7)
• Barbies
= (3/5)×35k = 21k
• No-Barbies = 35k - 21k = 14k
• Barbies 10+ =
(3/7)×21k = 9k
Dato: 9k = 90 ⇒ k = 10
No-Barbies: 14k = 14×10 = 140
Ventaja: Evita fracciones, trabaja con enteros
Respuesta correcta:
140 muñecas
Opción C
Total: 350 muñecas • Barbies: 210 • No-Barbies: 140
Resumen con diagrama mental:
Total muñecas =
350
┣━ Barbies: 3/5 de 350 = 210
┃ ┣━ Compradas antes de 10: 4/7
de 210 = 120
┃ ┗━ Compradas a los 10+: 3/7 de 210 = 90 ✓
┗━
No-Barbies: 2/5 de 350 = 140
Fracciones respecto al
total:
• Barbies 10+: (3/7)×(3/5)=9/35 del total
• 9/35
× Total = 90 ⇒ Total = 350
• No-Barbies: 2/5 × 350 = 140
Verificación con MCM:
Denominadores: 5 y 7
MCM
= 35
Sea Total = 35 partes
• Barbies: 3/5 de 35 = 21 partes
• No-Barbies: 35-21=14 partes
• Barbies 10+: 3/7 de 21 = 9
partes
Dato: 9 partes = 90
1 parte = 10
No-Barbies: 14 partes = 140
🎀
Total muñecas:
350
No-Barbies:
140
Conclusión clave: Este problema involucra fracciones anidadas: una fracción de una fracción. La clave es reconocer que las Barbies compradas a los 10 años o después representan 3/7 de las Barbies, y las Barbies a su vez son 3/5 del total. Por lo tanto, estas muñecas representan (3/7)×(3/5)=9/35 del total. Dado que hay 90 de estas muñecas, podemos encontrar el total (350) y luego calcular las no-Barbies como 2/5 de ese total (140). El método del MCM (usando 35k) proporciona una forma elegante de evitar trabajar con fracciones directamente. La respuesta correcta es 140 (Opción C).
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 140 MUÑECAS
Total: 350 • Barbies: 210 • No-Barbies: 140 • Barbies 10+: 90
Aplicación de progresiones aritméticas en contexto financiero
“Suzy ahorra $20 el primer mes. En cada uno de los 30 meses, ahorró $20
más de lo que ahorró el mes anterior.
¿Cuál es la cantidad total que ahorró durante el período de 30 meses?”
A
$3,600
B
$4,800
C
$6,000
D
$9,300
E
$12,000
Fórmula: aₙ = a₁ + (n-1)d
Sustitución: a₃₀ = 20 + (30-1)×20
Cálculo: a₃₀ = 20 + 29×20 = 20 + 580
Resultado: a₃₀ = 600
El mes 30 ahorra $600
Fórmula: Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
Sustitución: S₃₀ = 30/2 × (20 + 600)
Cálculo: S₃₀ = 15 × 620
Resultado:
S₃₀ = 9,300
Total ahorrado en 30 meses
Verificación rápida:
Promedio = (20 + 600)/2 =
310
Total = 310 × 30 = 9,300 ✓
Respuesta correcta:
$9,300
Opción D
💰
El problema se resuelve identificando una progresión aritmética con
primer término $20, diferencia $20, y 30 términos.
La suma total es $9,300, correspondiente a la opción
D.
Patrón identificado:
20, 40, 60, 80, …, 600
Fórmula aplicada:
S₃₀ = 15 × (20 + 600)
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - $9,300
Progresión aritmética • Razonamiento cuantitativo • Aplicación práctica financiera