Indicador Tamaño Económico

1. Introducción

El Indicador de Tamaño Económico, desarrollado por la Secretaría de Demarcación y Organización Territorial,permite la incorporación de un indicador que represente la productividad económica a nivel subnacional (provincial, distrital y centros poblados) como insumo relevante para el análisis de jerarquización de los centros y núcleos poblados en el marco del Informe 2: Centros y Unidades Funcionales (CUF) del Estudio de Diagnóstico y Zonificación (EDZ).

2. Objetivo

Obtener un indicador de productividad económica a nivel subnacional mediante un método de estimación indirecta del Producto Bruto Interno (PBI).

3. Supuestos

El método de estimación indirecta de la productividad implica el uso de variables proxy de capital (K) y fuerza laboral (L) mediante el método de escalonamiento planteado por Seminario & Palomino (2022), bajo los siguientes supuestos:

• El uso de la luminosidad nocturna como proxy del capital (K) y la densidad poblacional (D) como proxy de la fuerza laboral (L) permite reproducir las series de PBI a nivel departamental, cuando estas variables se integran mediante una función de producción cúbica, obteniendo resultados consistentes con los valores provenientes de las cuentas nacionales.
• El capital (K) es representado por la luminosidad nocturna, asumiendo que esta refleja la concentración de infraestructura y actividad productiva como representación del capital físico.
• La fuerza laboral (L) es representada por la densidad poblacional (D), asumiendo una relación positiva entre población residente y oferta de trabajo.
• Los Ingresos de hogares constituyen un proxy para el escalonamiento Del PIB departamental a nivel provincial, sustentados en su relación con la generación de valor agregado, permitiendo asignar el producto agregado a unidades territoriales menores de manera proporcional y consistente.
• La población constituye un proxy para el escalonamiento del PBI distrital a nivel de centros poblados, se sustenta en su relación con la concentración de la fuerza laboral (L) y la actividad económica local, su disponibilidad censal en escalas territoriales donde no existen mediciones directas de producción.

4. Limitaciones

El indicador está construido sobre la base de datos espaciales en una sola temporalidad, tomando como año base el 2017. La selección del año base responde a las fuentes de datos oficiales de ingresos y población, siendo necesario replicar el modelo ante actualizaciones futuras de las fuentes de datos.

5. Metodología

La estimación del PBI se basa en la metodología propuesta por Seminario y Palomino (2022), cuyo objetivo es desarrollar un procedimiento alternativo para estimar el PBI a nivel subnacional (provincial, distrital y centros poblados) utilizando información proveniente de censos y encuestas, estadísticas de cuentas nacionales y datos satelitales de luminosidad nocturna. En su estudio, los autores construyen series para el periodo 1993–2018 con el fin de analizar las tendencias recientes del desarrollo regional en el Perú.

Para los fines del presente estudio, se realiza una adaptación metodológica orientada a un análisis de corte transversal, considerando únicamente el año 2017, correspondiente al último censo nacional. Esta adaptación permite aplicar el enfoque de estimación subnacional utilizando información censal, datos de radiancia nocturna y estadísticas económicas disponibles para dicho año, asegurando consistencia territorial en la construcción del indicador económico.

5.1. Estructura metodológica

Figura 1: Proceso para calcular el PBI subnacional
Fuente: Elaboración propia

1. Obtención de los Datos de Luminosidad, Ingresos y Densidad Poblacional.
2. Aplicación de la fórmula adaptada de Geary & Stark, para la estimación Del PBI provincial, utilizando el proxy Ingresos de Hogares.
3. Aplicación de la fórmula de producción cúbica a nivel distrital, para la obtención de un índice de productividad a nivel distrital.
4. Integración Del PBI estimado a nivel provincial, con el Índice de productividad a nivel distrital, para la obtención Del PIB estimado a nivel distrital.
5. Aplicación de la fórmula adaptada de Geary & Stark, para la estimación Del PBI de Centros Poblados, utilizando el proxy de Población.

5.2. Variables

• PBI: Indicador que mide el comportamiento de la economía. Se define como el valor total de los bienes y servicios generados en el territorio económico durante un perioro de tiempo, este indicador se encuentra a valores constantes.El PBI departamental se obtiene del INEI (2017).

• Datos de luminosidad: se obtuvo partir de los datos de Day/Night Band (DNB) del instrumento Visible Infrared Imaging Radiometer Suite (VIIRS), estos datos son mensuales por lo cual se necesita calcular el promedio anual 2017.

• Densidad Poblacional: Cantidad de población por kilómetro cuadrado (hab/km²) a nivel distrital, obtenido del Censo Nacional de Población y Vivienda, realizado por el INEI (2017).

• Población: Cantidad de habitantes que pertenecen a un centros poblado, obtenido Del Censo Nacional de Población y Vivienda, realizado por el INEI (2017).

• Ingresos de Hogares: Estimación del Promedio de ingresos de los hogares a nivel provincial el cual se obtiene del INEI (2017).

5.3. Desarrollo metodológico

Paso 1: Preparación de insumos para la estimación del PBI subnacional

Primero, se obtiene los datos satelitales de luminosidad y densidad poblacional a escala distrital al año 2017 (Ver Figura 1 y 2).

Figura 1: Descarga del promedio anual de la luminosidad 2017
Fuente: Google Earth Engine

Figura 2: Luminocidad al año 2017 , Figura 3: Densidad poblacional distrital 2017)
Fuente: Elaboración propia en base a VIIRS e INEI 2017

Paso 2: Estimación del PBI provincial con el método adaptado de Geory y Stark (2002)

Con la fórmula adaptada de Geory y Stark (2002)

Fórmula (1) de Geory y Stark (2002):

\[ y_{i,k} = y_{k} \cdot \frac{I_{i,k}}{\sum_{j=1}^{N} I_{j,k}} \] donde:

• \(y_{i,k}\) corresponde al PIB estimado de la región territorial menor \(i\) (provincia o distrito) que pertenece a la región territorial mayor \(k\).

• \(y_{k}\) representa el PIB total de la región territorial mayor \(k\) (departamento o provincia, según el nivel de análisis) en el año base, obtenido a partir de información oficial.

• \(I_{i,k}\) denota el ingreso de la región territorial menor \(i\) que pertenece a la región territorial mayor \(k\).

• \(\sum_{j=1}^{N} I_{j,k}\) corresponde a la suma total de los ingresos de todas las regiones territoriales menores \(j\) que pertenecen a la región territorial mayor \(k\).

• \(i\) identifica a la región territorial menor (provincia o distrito).

• \(k\) identifica a la región territorial mayor (departamento o provincia).

• \(N\) representa el número total de regiones territoriales menores que conforman la región territorial mayor \(k\).

Fórmula operativizada:

\[ PBI^{provincial}_{i,k} = PBI^{oficial}_{k} \cdot \frac{Ingreso_{i,k}}{\sum_{j=1}^{N_k} Ingreso_{j,k}} \]

Paso 3: Cálculo del índice del PBI distrital utilizando la función cúbica de Seminario y Palomino (2022)

Función de Seminario y Palomino (2022):

\[ \ln(\hat{y}_{i,k,t}) = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \ln(L_{i,k}) + \hat{\alpha}_2 \ln(L_{i,k})^2 + \hat{\alpha}_3 \ln(L_{i,k})^3 + \hat{\alpha}_4 \ln(D_{i,k}) \]

donde:

• \(\ln(\hat{y}_{i,k})\) es el logaritmo natural del PIB estimado de la región territorial menor \(i\) (provincia o distrito) que pertenece a la región territorial mayor \(k\).

• \(\hat{\alpha}_0\) es el término constante de la función de producción estimada.

• \(\hat{\alpha}_1\), \(\hat{\alpha}_2\) y \(\hat{\alpha}_3\) son los coeficientes asociados al nivel de luminosidad nocturna promedio y a sus términos cuadrático y cúbico, respectivamente.

• \(\hat{\alpha}_4\) es el coeficiente asociado a la densidad poblacional.

• \(L_{i,k}\) representa el nivel de luminosidad nocturna promedio de la región territorial menor \(i\) que pertenece a la región territorial mayor \(k\).

• \(D_{i,k}\) representa la densidad poblacional de la región territorial menor \(i\) que pertenece a la región territorial mayor \(k\).

• \(i\) denota la región territorial menor (provincia o distrito).

• \(k\) denota la región territorial mayor (departamento o provincia, según el nivel de análisis).

Los coeficientes asociados a la función cúbica son recogidos del resultado de la regresión elaborada por Seminario y Palominio (2022) como se puede observar en la Tabla 1.

Tabla 1: Estimación de una función cúbica de producción a nivel de distritos) Fuente: Seminario y Palomino (2022)

Función operativizada:

\[ \ln(PBI^{\text{índice distrital}}_{i,k}) = \hat{\alpha}_0 + 0.3813 \, \ln(L_{i,k}) + 0.0586 \, \ln(L_{i,k})^2 + 0.0025 \, \ln(L_{i,k})^3 + 0.2251 \, \ln(D_{i,k}) \]

Paso 4: Estimación del PBI distrital mediante escalonamiento

Fórmula de escalonamiento distrital:

\[ PBI^{final}_{dist \in prov} = PBI^{estimado}_{prov} \cdot \frac{I^{PBI}_{dist}}{\sum_{dist \in prov} I^{PBI}_{dist}} \]

donde:

• \(PBI^{final}_{dist \in prov}\) es el PBI final del distrito (\(dist\)) perteneciente a una provincia (\(prov\)), obtenido mediante escalonamiento.

• \(PBI^{estimado}_{prov}\) es el PBI estimado de la provincia \(prov\) (anclado previamente al PBI departamental mediante el escalonamiento con ingresos).

• \(I^{PBI}_{dist}\) es el índice del PBI distrital del distrito \(dist\), calculado a partir de la función cúbica (luminosidad nocturna y densidad poblacional). Este índice es un ponderador relativo, no un valor monetario.

• \(\sum_{dist \in prov} I^{PBI}_{dist}\) es la suma de los índices distritales \(I^{PBI}\) de todos los distritos que pertenecen a la provincia \(prov\) (normaliza los ponderadores para que el total provincial se conserve).

• \(dist \in prov\) indica que el distrito \(dist\) forma parte de la provincia \(prov\).

Paso 5: Estimación del PBI CCPP con la fórmula de escalonamiento de Seminario y Palomino (2022)

Fórmula de escalonamiento de Seminario y Palomino (2022):

\[ y^{cp}_{i,k} = y^{r,d}_{k} \cdot \frac{p^{cp}_{i,k}}{\sum_{j=1}^{N} p^{cp}_{j,k}} \]

Operativización de la fórmula:

\[ PBI^{final}_{cp \in dist} = PBI^{estimado}_{dist} \cdot \frac{Pob^{cp}_{dist}}{\sum_{cp \in dist} Pob^{cp}_{dist}} \]

donde:

• \(PBI^{final}_{cp \in dist}\) es el PBI final del centro poblado (\(cp\)) que pertenece al distrito \(dist\).

• \(PBI^{estimado}_{dist}\) es el PBI distrital estimado, obtenido previamente mediante el escalonamiento provincial–distrital.

• \(Pob^{cp}_{dist}\) es la población del centro poblado \(cp\) dentro del distrito \(dist\) (según datos censales).

• \(\sum_{cp \in dist} Pob^{cp}_{dist}\) es la población total de todos los centros poblados que pertenecen al distrito \(dist\).

• \(cp \in dist\) indica que el centro poblado \(cp\) forma parte del distrito \(dist\).

6. Resultados

6.1. Cálculo del PIB distrital

Cargar librerías

library(terra)
library(sf)
library(dplyr)
library(exactextractr)
library(units)

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# Raster en UTM 18S (usa bilinear para variables continuas como radiancia)
viirs_utm <- project(viirs, "EPSG:32718", method = "bilinear")

dendist_pob <- st_make_valid(dendist_pob)

Revisar CRS y valores

crs(viirs)
st_crs(dendist_pob)

Extraer VIIRS por distrito

# Promedio de radiancia dentro de cada distrito
dendist_pob$viirs_mean <- exactextractr::exact_extract(
  viirs_utm,
  dendist_pob,
  fun = "mean"
)

# Revisión rápida
summary(dendist_pob$viirs_mean)

# Revisión de nombres
names(dendist_pob)

##  [1] "gid"        "ubigeo"     "nombdep"    "nombprov"   "nombdist"  
##  [6] "capital"    "region_nat" "tipo_norma" "numero"     "fecha_fin" 
## [11] "comentario" "Total_Pob"  "area"       "perimeter"  "Area_KM2"  
## [16] "Densidad"   "geometry"   "viirs_mean"

Coeficientes según Seminario y Palomino (2022)

# Coeficientes (columna 3)
a0 <- 0        # intercepto (no reportado → se calibra después)
a1 <- 0.3813   # ln(luz)
a2 <- 0.0586   # ln(luz)^2
a3 <- 0.0025   # ln(luz)^3
a4 <- 0.2251   # ln(densidad)

Preparar variables según función cúbica del paper Seminario y Palomino (2022)

dendist_pob <- dendist_pob %>%
  mutate(
    # Limpiar valores no válidos
    viirs_mean = ifelse(viirs_mean <= 0 | is.na(viirs_mean), NA_real_, viirs_mean),
    dens_pop   = ifelse(Densidad   <= 0 | is.na(Densidad),   NA_real_, Densidad),

    # Logs
    ln_luz  = log(viirs_mean),
    ln_dens = log(dens_pop),

    # Potencias de la luminosidad
    ln_luz2 = ln_luz^2,
    ln_luz3 = ln_luz^3,

    # Función de producción PIB (Seminario & Palomino)
    ln_pib_hat = a0 +
                 a1 * ln_luz +
                 a2 * ln_luz2 +
                 a3 * ln_luz3 +
                 a4 * ln_dens,

    pib_hat = exp(ln_pib_hat)
  )

# Revisión rápida
summary(dendist_pob$pib_hat)

##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max.     NA's 
##   0.3300   0.9342   1.2098   3.8996   1.6529 168.9626        1

Verificación del índice del PIB distrital estimado

dendist_pob %>%
  st_drop_geometry() %>%
  arrange(desc(pib_hat)) %>%
  select(nombdist, pib_hat) %>%
  head(10)

Verificación del índice del PIB distrital estimado en relación a la densidad y luminocidad

dendist_pob %>%
  st_drop_geometry() %>%
  arrange(desc(pib_hat)) %>%
  select(nombdist, viirs_mean, Densidad, pib_hat) %>%
  head(15)

Exportar el índice del PIB estimado provincial

getwd()

st_write( dendist_pob, “PIB_distrital_VIIRS_2017.gpkg”, delete_dsn = TRUE )

6.2.Cálculo del índice del PIB provincial (OPCIONAL) no es necesario

Cargar archivos

denprov_pob <- st_make_valid(denprov_pob)

## Revisar CRS y valores
st_crs(denprov_pob)

Extraer VIIRS por distrito

# Promedio de radiancia dentro de cada distrito
denprov_pob$viirs_mean <- exactextractr::exact_extract(
  viirs_utm,
  denprov_pob,
  fun = "mean"
)

# Revisión rápida
summary(denprov_pob$viirs_mean)

names(denprov_pob)

##  [1] "gid"        "iddpto"     "nombdep"    "idprov"     "nombprov"  
##  [6] "capital"    "tipo_norma" "numero"     "fecha"      "Total_Pob" 
## [11] "area"       "perimeter"  "Area_KM2"   "Densidad"   "geometry"  
## [16] "viirs_mean"

Coeficientes según Seminario y Palomino (2022)

# Coeficientes (columna 3)
b0 <- 0        # intercepto (no hay/sabemos)
b1 <- 0.7249   # ln(luz)
b2 <- 0.0881   # ln(luz)^2
b3 <- 0.0042   # ln(luz)^3
b4 <- 0.0756   # ln(densidad)

Preparar variables según función cúbica del paper Seminario y Palomino (2022)

# Preparar variables según función cúbica del paper

denprov_pob <- denprov_pob %>%
  mutate(
    # Limpiar valores no válidos
    viirs_mean = ifelse(viirs_mean <= 0 | is.na(viirs_mean), NA_real_, viirs_mean),
    densprov_pop   = ifelse(Densidad   <= 0 | is.na(Densidad),   NA_real_, Densidad),

    # Logs
    ln_luz  = log(viirs_mean),
    ln_dens = log(densprov_pop),

    # Potencias de la luminosidad
    ln_luz2 = ln_luz^2,
    ln_luz3 = ln_luz^3,

    # Función de producción PIB (Seminario & Palomino)
    ln_pibprov_est = b0 +
                 b1 * ln_luz +
                 b2 * ln_luz2 +
                 b3 * ln_luz3 +
                 b4 * ln_dens,

    pibprov_est = exp(ln_pibprov_est)
  )

# Revisión rápida
summary(denprov_pob$pibprov_est)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.3026  0.4561  0.5215  1.2089  0.6185 95.4212

Verificación del índice del PIB provincial estimado

denprov_pob %>%
  st_drop_geometry() %>%
  arrange(desc(pibprov_est)) %>%
  select(nombprov, pibprov_est) %>%
  head(20)

Verificación del índice del PIB provincial estimado en relación a la densidad y luminocidad

denprov_pob %>%
  st_drop_geometry() %>%
  arrange(desc(pibprov_est)) %>%
  select(nombprov, viirs_mean, Densidad, pibprov_est) %>%
  head(20)

Exportar el índice del PIB estimado provincial

st_write(
  denprov_pob,
  "PIB_prov_VIIRS_2017.gpkg",
  delete_dsn = TRUE
)

6.3.CALCULAR EL PIB DISTRITAL (ESTIMADO)

Este cálculo se realiza a partir del siguiente escalonamiento:

Paso 1: departamento - > provincia: con ingresos

PIBe_provincial (1) = PIBdepartamental * Ingresos (1) / Sumatoria (Ingresos 1->n)

Paso 2: provincia - > distritos

Con el PIB distrital estimado (el índice) y el PIB escalonado provincial que se hizo previamente con ingresos

PIBe_distrital (1) = PIBe_provincia * PIBi_est^/ sumatoria (PIBi_est^ 1->n)

Cargar el PIB estimado a nivel provincial (PIBe_Prov)

PIBe_Prov <- st_read("Provincias_PIBestimado/Provincias_PIBestimado.shp", 
                    stringsAsFactors=TRUE, 
                    quiet = TRUE)

PIBi_distrital <- st_read("PIB_distrital_VIIRS_2017.gpkg", 
                    stringsAsFactors=TRUE, 
                    quiet = TRUE)

Crear un nuevo campo de idprov

PIBi_distrital02 <- PIBi_distrital %>% 
  left_join(PIBe_Prov %>% 
              st_drop_geometry() %>%
              select(nombprov, idprov, PIBe_Prov),
                    by = "nombprov"
            )

Crear la sumatoria de todos los PIBi_est distritales que se encuentran en una misma provincia

PIBi_distrital02 <- PIBi_distrital02 %>% 
  group_by(idprov) %>%
  mutate(
    PIBest_sumdist = sum(PIBi_est, na.rm = TRUE)
  )

Calcular el PIB distrital

PIBi_distrital03 <- PIBi_distrital02 %>%
  mutate(
    PIB_dist = PIBe_Prov * PIBi_est / PIBest_sumdist
)

Descargar información del PIB estimado distrital

st_write( PIBi_distrital03, “PIB_distrital3.gpkg”, delete_dsn = TRUE )

6.4.Cálculo del PIB estimado CCPP (ESTIMADO)

Escalonamiento de DISTRITO -> CENTROS POBLADOS>150hab

Cargar la base de datos de centros poblados

Añadir el campo de UBIGEO correspondiente al nivel CCPP

ccpp02 <- ccpp %>% 
  left_join(PIBi_distrital03 %>% 
              st_drop_geometry() %>%
              select(nombdist, ubigeo, PIB_dist),
                    by = "ubigeo"
            )

Crear la sumatoria de todos los PIBi_est CCPP que se encuentran en una misma provincia

ccpp02 <- ccpp02 %>% 
  group_by(ubigeo) %>%
  mutate(
    POB_sum = sum(POB)
  )

Calcular el PIB CCPP

ccpp02 <- ccpp02 %>%
  mutate(
    PIB_ccpp = PIB_dist * POB / POB_sum
)

View(ccpp02)

Descargar información del PIB estimado a nivel de CCPP

st_write( ccpp02, “PIB_ccpp02.gpkg”, delete_dsn = TRUE )

7. Fuentes

Díez-Minguela, A., & Sanchis Llopis, M. T. (2020). Comparing different estimation methodologies of regional GDPs in Latin American countries. In D. A. Tirado-Fabregat, M. Badia-Miró, & H. Willebald (Eds.), Time and space (Palgrave Studies in Economic History). Palgrave Macmillan. https://doi.org/10.1007/978-3-030-47553-6_2

Seminario, B., & Palomino, L. (2022). Estimación del PIB a nivel subnacional utilizando datos satelitales de luminosidad: Perú, 1993-2018 (1.ª ed.) [Documento de investigación, 20]. Universidad del Pacífico. http://dx.doi.org/10.21678/978-9972-57-493-1

Díez-Minguela, A., & Sanchis Llopis, M. T. (2020). Comparing different estimation methodologies of regional GDPs in Latin American countries. En D. A. Tirado-Fabregat, M. Badia-Miró, & H. Willebald (Eds.), Time and space: Latin American regional development in historical perspective (pp. xx–xx). Palgrave Macmillan. https://doi.org/10.1007/978-3-030-47553-6_2