Comparación de costos anualizados y cálculo de porcentajes
“Una máquina puede repararse por $1,200 y durará un año, mientras que una máquina nueva costaría $2,800 y durará dos años. ¿El costo promedio por año de la máquina nueva es qué porcentaje mayor que el costo de reparar la máquina actual?”
A
7%
B
14.28%
C
16.67%
D
18.83%
E
20%
Costo anual reparación:
$1,200 ÷ 1 año = $1,200/año
Costo anual máquina nueva:
$2,800 ÷ 2 años = $1,400/año
Diferencia en costo anual:
$1,400 - $1,200 = $200
La máquina nueva cuesta $200 más por año que reparar la actual
Fórmula: % mayor = (Diferencia / Base) × 100
Base: Costo reparación ($1,200)
Sustitución: (200 / 1,200) × 100
Cálculo: (1/6) × 100 = 16.666…%
16.666…% ≈ 16.67%
Esto significa que el costo anual de la máquina nueva es aproximadamente 16.67% mayor que reparar la actual
Verificación:
16.67% de $1,200 = $200
$1,200 +
$200 = $1,400 ✓
Respuesta correcta:
16.67%
Opción C
🏭
Concepto clave:
Costo anualizado para comparación
justa
Fórmula aplicada:
% = (Diferencia/Base) × 100
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 16.67%
Costo anualizado • Porcentajes comparativos • Análisis financiero básico
Análisis de impuestos aplicados sobre excedentes y cálculo de precios
“Un artículo está sujeto a un impuesto de ventas del 10% sobre la parte del precio que excede los $200. Si un cliente pagó un impuesto de $10 por el artículo, ¿cuál era el precio del artículo?”
A
$200
B
$250
C
$300
D
$360
E
$400
Condiciones del impuesto:
• Tasa: 10%
• Base
imponible: Solo lo que excede $200
• Impuesto pagado: $10
El impuesto NO se aplica sobre los primeros $200, solo sobre el excedente.
Fórmula: Impuesto = 10% × Excedente
Dato: $10 = 0.10 × Excedente
Despejar: Excedente = $10 ÷ 0.10
Cálculo: Excedente = $100
La parte del precio mayor a $200 es de $100
Fórmula: Precio = Parte no gravada + Excedente
Sustitución: Precio = $200 + $100
Cálculo: Precio = $300
El precio total es la suma de la parte libre de impuesto más el excedente gravado.
Verificación:
Precio: $300
Excedente: $300 -
$200 = $100
Impuesto: 10% de $100 = $10 ✓
Impuesto pagado
coincide: $10 = $10
Prueba de opciones:
• $200 → Excedente $0 →
Impuesto $0 ✗
• $250 → Excedente $50 → Impuesto $5 ✗
•
$300 → Excedente $100 → Impuesto $10 ✓
• $360 →
Excedente $160 → Impuesto $16 ✗
• $400 → Excedente $200 → Impuesto
$20 ✗
Respuesta correcta:
$300
Opción C
💰
Fórmula clave:
Excedente = Impuesto ÷ Tasa
Concepto clave:
Precio = Umbral + Excedente
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - $300
Impuestos diferenciados • Cálculo de porcentajes • Razonamiento financiero
Análisis de tasas impositivas, conversión a porcentajes y multiplicación de tasas
“El artículo A está sujeto a una tasa de impuesto de ventas de $0.54 por cada $25. ¿Cuál es la tasa de impuesto de ventas, como porcentaje, para el artículo B que está sujeto a cuatro veces la tasa de impuesto del artículo A?”
A
216%
B
86.4%
C
8.64%
D
2.16%
E
0.135%
Datos:
• Impuesto: $0.54 por cada $25
Fórmula: Tasa = (Impuesto/Base) × 100%
Cálculo: ($0.54 ÷ $25) × 100%
Resultado: 0.0216 × 100% = 2.16%
La tasa del artículo A es 2.16%
Condición:
Artículo B tiene 4 veces la tasa del
A
Cálculo: 4 × 2.16%
Resultado: 8.64%
Multiplicar por 4: 4 × 2.16 = 8.64
Cálculo alternativo:
1. Impuesto artículo A: $0.54
por $25
2. Impuesto artículo B: 4 × $0.54 = $2.16 por $25
3.
Tasa B: ($2.16 ÷ $25) × 100%
4. Resultado: 0.0864 × 100% = 8.64%
Ambos métodos conducen al mismo resultado
Revisión de opciones erróneas:
A) 216% → 100 veces
más (error decimal)
B) 86.4% → 10 veces más (error decimal)
C)
8.64% ✓
D) 2.16% → tasa del artículo A
E)
0.135% → tasa A ÷ 16
Proceso completo:
1. Tasa A = 0.54 ÷ 25 =
0.0216
2. Convertir a %: 0.0216 × 100 = 2.16%
3. Tasa B = 4 ×
2.16% = 8.64%
4. Alternativa: (4 × 0.54) ÷ 25 × 100 = 8.64%
Respuesta correcta:
8.64%
Opción C
📊
Fórmula clave:
% = (Impuesto/Base) × 100
Punto clave:
Manejo cuidadoso de decimales
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 8.64%
Conversión porcentual • Multiplicación de tasas • Precaución con decimales
Análisis de incrementos porcentuales y comparación relativa entre dos ciclistas
“En la última vuelta, el ciclista P aumenta su velocidad de 10 millas por hora a 25 millas por hora, mientras que el ciclista Q aumenta su velocidad de 8 millas por hora a 24 millas por hora. ¿En qué porcentaje es mayor el incremento porcentual en velocidad del ciclista Q que el del ciclista P?”
A
33.33%
B
50%
C
66.67%
D
75%
E
100%
Datos:
• Velocidad inicial: 10 mph
• Velocidad
final: 25 mph
Fórmula: % incremento = [(Final -
Inicial)/Inicial] × 100
Cálculo: [(25 - 10)/10] ×
100
Resultado: (15/10) × 100 = 150%
El ciclista P incrementa su velocidad en un 150%
Datos:
• Velocidad inicial: 8 mph
• Velocidad
final: 24 mph
Fórmula: % incremento = [(Final -
Inicial)/Inicial] × 100
Cálculo: [(24 - 8)/8] ×
100
Resultado: (16/8) × 100 = 200%
El ciclista Q incrementa su velocidad en un 200%
Diferencia absoluta:
200% - 150% = 50%
El incremento de Q es 50 puntos porcentuales mayor que el de P
Fórmula: % mayor = (Diferencia/Incremento P) × 100
Base: Incremento de P (150%)
Cálculo: (50/150) × 100
Resultado:
(1/3) × 100 = 33.33%
La diferencia de 50% representa el 33.33% del incremento de P (150%)
Verificación:
• Incremento P: 150%
• Incremento
Q: 200%
• Diferencia: 50%
• % mayor: 50 ÷ 150 = 1/3 ≈ 0.3333
• Como %: 33.33% ✓
Respuesta correcta:
33.33%
Opción A
Análisis de errores comunes:
• B) 50% → Confundir
diferencia absoluta con porcentaje relativo
• C) 66.67% → Calcular
(50/75) × 100 o similar error
• D) 75% → Calcular diferencia sobre
base incorrecta
• E) 100% → Confundir relación entre incrementos
🚴
Concepto clave 1:
% incremento = Cambio/Inicial ×
100
Concepto clave 2:
% mayor = (Diferencia/Base) × 100
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A - 33.33%
Incrementos porcentuales • Comparación relativa • Precisión en bases de cálculo
Análisis de kilómetros por litro, cálculo de eficiencia y comparación porcentual
“En un cierto año, el Transportista X viajó 101,098 kilómetros y consumió 9,890 litros de diésel, mientras que en el mismo año, el Transportista Y viajó 203,000 kilómetros y consumió 24,896 litros de diésel. El rendimiento de combustible se define como kilómetros por litro de combustible. ¿El rendimiento del Transportista X es aproximadamente qué porcentaje mayor o menor que el del Transportista Y?”
A
20%
B
25%
C
33.33%
D
37.50%
E
40%
Datos:
• Kilómetros: 101,098 km
• Litros: 9,890
L
Fórmula: Rendimiento = km ÷ L
Cálculo: 101,098 ÷ 9,890
Simplificación: ≈ 101,100 ÷ 9,890
Resultado: ≈ 10.22 km/L
Redondeo útil: 101,098 ≈ 101,100; 9,890 ≈ 9,900
Datos:
• Kilómetros: 203,000 km
• Litros:
24,896 L
Fórmula: Rendimiento = km ÷ L
Cálculo: 203,000 ÷ 24,896
Simplificación: ≈ 203,000 ÷ 25,000
Resultado: ≈ 8.12 km/L
Redondeo útil: 24,896 ≈ 25,000 (diferencia pequeña)
Valores aproximados:
X ≈ 10.22 km/L
Y ≈ 8.12
km/L
Observación: X > Y
Diferencia: 10.22 - 8.12 = 2.10 km/L
El Transportista X tiene mejor rendimiento que Y
Fórmula: % mayor = [(X - Y)/Y] × 100
Base: Rendimiento de Y (8.12 km/L)
Cálculo: [(10.22 - 8.12)/8.12] × 100
Simplificación: (2.10/8.12) × 100
Resultado: ≈ 0.2586 × 100 = 25.86%
X es aproximadamente 25.86% más eficiente que Y
Cálculo exacto:
X: 101,098 ÷ 9,890 = 10.22265
Y: 203,000 ÷ 24,896 = 8.15392
% mayor: [(10.22265 -
8.15392)/8.15392] × 100
= (2.06873/8.15392) × 100
= 0.2537 × 100
= 25.37%
Simplificación inteligente:
X: 101,098/9,890 ≈
101,100/9,900 = 10.212
Y: 203,000/25,000 = 8.12
Diferencia:
10.212 - 8.12 = 2.092
%: (2.092/8.12) × 100 ≈ 25.76%
Todos
convergen cerca de 25%
Respuesta correcta aproximada:
25%
Opción B (el valor más cercano a 25.37%)
⛽
Fórmula clave:
Rendimiento = km ÷ litros
Comparación:
% = [(X - Y)/Y] × 100
Nota: El cálculo exacto da 25.37%, que se redondea al 25% más cercano de las opciones. Las opciones 33.33% y 37.50% serían sobreestimaciones.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 25%
Eficiencia de combustible • Comparación porcentual • Aproximación estratégica
Análisis de reducción y aumento porcentual sobre precio de bicicleta
“El precio de lista de una bicicleta es $456. El comerciante primero redujo el precio en un 25% y luego lo aumentó en un 25%. ¿El precio final de la bicicleta es qué porcentaje del precio de lista?”
A
0%
B
50%
C
66.67%
D
93.75%
E
100%
Concepto importante:
Una reducción del X% seguida
de un aumento del X%
NO regresa al precio original
Fórmula general:
Final = Original × (1 - X%) × (1 +
X%)
Final = Original × (1 - X²/10,000)
Por ejemplo: 25% de reducción y 25% de aumento
Precio inicial: $456 (valor irrelevante para %
final)
Reducción del 25%: × (1 - 0.25) = × 0.75
Aumento del 25%: × (1 + 0.25) = × 1.25
Multiplicador total: 0.75 × 1.25
El precio final es 0.75 × 1.25 = 0.9375 del original
Precio inicial: $456
Después de 25%
reducción:
456 × 0.75 = $342
Después de 25%
aumento:
342 × 1.25 = $427.50
Verificación: 427.50 ÷ 456 = 0.9375
Multiplicador total: 0.75 × 1.25 = 0.9375
Como porcentaje: 0.9375 × 100 = 93.75%
Fórmula alternativa:
(1 - 0.25) × (1 + 0.25) = 0.75
× 1.25
= 0.9375 = 93.75%
El precio final es 93.75% del precio original
Verificación algebraica:
Sea P = precio
original
Después de -25%: P × 0.75
Después de +25%: (P × 0.75) ×
1.25
= P × 0.9375
Porcentaje: 93.75% ✓
Respuesta correcta:
93.75%
Opción D
Análisis de errores comunes:
• A) 0% →
Interpretación errónea extrema
• B) 50% → Sumar porcentajes
incorrectamente
• C) 66.67% → Confusión con otros cálculos
• D)
93.75% ✓
• E) 100% → Creer que cancelan (error
común)
🚲
Concepto clave:
-X% luego +X% ≠ vuelta al inicio
Fórmula:
Final = Inicial × (1 - X) × (1 + X)
Nota: Si los porcentajes fueran al revés (+25% luego -25%), el resultado sería el mismo 93.75%. El orden no afecta la multiplicación.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 93.75%
Cambios porcentuales sucesivos • Multiplicación de factores • Error común evitado
Comparación de proporciones y cálculo de incremento porcentual requerido
“Para preparar un cierto color, un comerciante de pintura mezcla 3.4 litros de color rojo en una base de 68 litros. El fabricante de pintura recomienda mezclar 0.7 litros por cada 10 litros de base para hacer ese color. ¿En qué porcentaje debe el comerciante aumentar la cantidad de pintura roja para cumplir con la recomendación?”
A
10%
B
33.33%
C
40%
D
66.66%
E
72%
Datos actuales:
• Base: 68 litros
• Rojo usado:
3.4 litros
Proporción actual:
3.4 L rojo / 68 L
base = 0.05
Esto es: 5 litros rojo por 100 litros base
Proporción simplificada: 3.4 ÷ 68 = 0.05 = 5%
Recomendación:
0.7 L rojo por 10 L base
Para 68 L base:
(0.7 ÷ 10) × 68 = 0.07 × 68
Cálculo: 0.07 × 68 = 4.76 L
Alternativa: Regla de tres: 0.7 → 10, x → 68
x =
(0.7 × 68) ÷ 10 = 47.6 ÷ 10 = 4.76
Cantidad actual: 3.4 L rojo
Cantidad
recomendada: 4.76 L rojo
Observación: 4.76
> 3.4
Necesita AUMENTAR la cantidad
Diferencia: 4.76 - 3.4 = 1.36 L
Debe agregar 1.36 litros más de pintura roja
Fórmula: % aumento = [(Nuevo - Actual)/Actual] ×
100
Cálculo: [(4.76 - 3.4) / 3.4] × 100
= (1.36
/ 3.4) × 100
= 0.4 × 100 = 40%
Simplificación: 1.36/3.4 = 136/340 = 2/5 = 0.4 = 40%
Método con proporciones:
• Proporción actual:
3.4/68 = 0.05
• Proporción recomendada: 0.7/10 = 0.07
• Razón:
0.07 ÷ 0.05 = 1.4
• Aumento necesario: 1.4 - 1 = 0.4 = 40%
Respuesta correcta:
40%
Opción C
Verificación:
Cantidad actual: 3.4 L
Aumento
del 40%: 3.4 × 0.4 = 1.36 L
Nueva cantidad: 3.4 + 1.36 = 4.76 L
✓
Recomendación para 68 L: 0.7 × 6.8 = 4.76 L ✓
🎨
Proporción actual:
3.4 ÷ 68 = 0.05 = 5%
Proporción recomendada:
0.7 ÷ 10 = 0.07 = 7%
Nota: Muchos estudiantes cometen el error de calcular (0.07 - 0.05)/0.07 = 28.57% o similar, olvidando que la base debe ser la cantidad actual (0.05), no la recomendada.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 40%
Proporciones • Regla de tres • Cálculo de incremento porcentual
Análisis de distribución de horas, tarifas diferenciadas y cálculo de nómina total
“Una unidad de subcontratación de procesos empresariales contrata a 200 empleados. A cada uno se le paga $7.50 por hora por las primeras 44 horas trabajadas durante una semana y 1⅓ veces esa tarifa por las horas trabajadas en exceso de 44 horas. ¿Cuál fue la remuneración total de los empleados para una semana en la que el 30% de ellos trabajó 30 horas, el 40% trabajó 44 horas y el resto trabajó 50 horas?”
A
$25,000
B
$60,600
C
$63,300
D
$70,000
E
$73,400
Total empleados: 200
30% trabajan 30
horas:
200 × 0.30 = 60 empleados
40% trabajan
44 horas:
200 × 0.40 = 80 empleados
Resto
trabajan 50 horas:
200 - 60 - 80 = 60 empleados
Verificación: 60 + 80 + 60 = 200 ✓
Tarifa normal: $7.50/hora
Horas
extras: 1⅓ × $7.50
Cálculo: 4/3 ×
$7.50
= (4 × 7.50) ÷ 3
= $30.00 ÷ 3 = $10.00/hora
Nota: 1⅓ = 4/3 = 1.333…
Empleados: 60 personas
Horas: 30
horas cada uno
Todas son horas normales
Cálculo:
60 × 30 × $7.50
= 1,800 × $7.50
=
$13,500
30 horas < 44 horas: solo tarifa normal
Empleados: 80 personas
Horas: 44
horas cada uno
Todas son horas normales
Cálculo:
80 × 44 × $7.50
= 3,520 × $7.50
=
$26,400
Exactamente 44 horas: límite sin horas extras
Empleados: 60 personas
Horas
totales: 50 cada uno
Horas normales: 44
horas
Horas extras: 6 horas
Cálculo por
persona:
(44 × $7.50) + (6 × $10.00)
= $330 + $60 =
$390
Total grupo: 60 × $390 = $23,400
Grupo 1 (30h): $13,500
Grupo 2
(44h): $26,400
Grupo 3 (50h): $23,400
Suma total:
$13,500 + $26,400 = $39,900
$39,900
+ $23,400 = $63,300
Verificación rápida: $63,300
Cálculo alternativo por horas:
Horas
normales totales:
(60×30) + (80×44) + (60×44)
= 1,800 +
3,520 + 2,640 = 7,960 horas
Horas extras
totales:
60 × 6 = 360 horas
Total:
(7,960 × $7.50) + (360 × $10.00)
= $59,700 + $3,600 = $63,300 ✓
Respuesta correcta:
$63,300
Opción C
Análisis de errores comunes:
• A) $25,000 → Olvidar
multiplicar por número de empleados
• B) $60,600 → Error en cálculo
de horas extras o tarifa
• C) $63,300 ✓
• D)
$70,000 → Usar tarifa extra para todas horas >44
• E) $73,400 →
Error en distribución de empleados
💼
Punto clave 1:
Calcular correctamente 1⅓ × $7.50
Punto clave 2:
Solo horas >44 son extras
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - $63,300
Distribución porcentual • Tarifas diferenciadas • Cálculo estratificado
Comparación de ratios comisión/ventas y cálculo de disminución porcentual
“Una empresa minorista ganó $5 millones como comisión por los primeros $35 millones en ventas y luego $11 millones como comisión por los siguientes $121 millones en ventas. ¿En qué porcentaje disminuyó la relación de comisiones a ventas desde los primeros $35 millones en ventas hasta los siguientes $121 millones en ventas?”
A
11.11%
B
22.22%
C
36.36%
D
44.44%
E
50%
Primer tramo:
• Comisión: $5 millones
• Ventas:
$35 millones
Ratio comisión/ventas:
5 ÷ 35 =
1/7 ≈ 0.142857
Como porcentaje:
(5/35) × 100 =
14.2857%
Simplificación: 5/35 = 1/7 ≈ 0.142857 = 14.2857%
Segundo tramo:
• Comisión: $11 millones
•
Ventas: $121 millones
Ratio comisión/ventas:
11
÷ 121 = 1/11 ≈ 0.090909
Como porcentaje:
(11/121) × 100 = 9.0909%
Simplificación: 11/121 = 1/11 ≈ 0.090909 = 9.0909%
Primer ratio: 1/7 ≈ 0.142857
Segundo
ratio: 1/11 ≈ 0.090909
Diferencia
absoluta:
1/7 - 1/11 = (11 - 7)/(7×11)
= 4/77 ≈
0.051948
En puntos porcentuales: 14.2857% - 9.0909% = 5.1948%
Fórmula: % disminución = [(Inicial - Final)/Inicial] ×
100
Base: Ratio inicial (1/7)
Cálculo: [(1/7 - 1/11) ÷ (1/7)] × 100
= [(4/77) ÷
(1/7)] × 100
= (4/77 × 7/1) × 100
= (28/77) × 100 = (4/11) × 100
Método directo con ratios:
% disminución = [1 -
(Ratio₂/Ratio₁)] × 100
= [1 - ((1/11) ÷ (1/7))] × 100
= [1 -
(1/11 × 7/1)] × 100
= [1 - (7/11)] × 100
= (4/11) × 100
Resultado: (4/11) × 100
= 400/11 ≈ 36.3636
≈
36.36%
4/11 = 0.363636… × 100 = 36.3636…%
Verificación con porcentajes:
Ratio₁: 5/35 =
14.2857%
Ratio₂: 11/121 = 9.0909%
Diferencia: 5.1948 puntos
%
% disminución: (5.1948/14.2857)×100
= 0.363636×100 = 36.36% ✓
Respuesta correcta:
36.36%
Opción C
Análisis de errores comunes:
• A) 11.11% → Calcular
(1/9)×100 (error en simplificación)
• B) 22.22% → Calcular
(2/9)×100
• C) 36.36% ✓ → (4/11)×100
• D)
44.44% → Calcular (4/9)×100
• E) 50% → Calcular 1/2 (error
conceptual)
💰
Método rápido:
% disminución = [1 -
(Ratio₂/Ratio₁)] × 100
Fórmula clave:
1 - (1/11 ÷ 1/7) = 1 - 7/11 = 4/11
Nota: Un error común es calcular la disminución en puntos porcentuales (5.19%) y dividir entre 100 o entre el segundo ratio en lugar del primero. La base correcta es siempre el valor inicial.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 36.36%
Comparación de ratios • Porcentaje de cambio • Simplificación algebraica
Análisis de comisiones escalonadas y resolución de ecuaciones lineales
“Un representante de ventas ganó una comisión del 8% sobre el monto de ventas hasta $20,000, inclusive, y una comisión del x% sobre el monto de ventas por encima de $20,000. Si el representante ganó una comisión total de $2,000 por ventas de $24,000, ¿cuál fue el valor de x?”
A
4
B
6
C
8
D
10
E
12
Estructura escalonada:
• Hasta $20,000: 8% de
comisión
• Sobre $20,000: x% de comisión
Ventas
totales: $24,000
Comisión total: $2,000
Primer tramo: $20,000 al 8%
Segundo tramo: $4,000 al x%
Primer tramo: $20,000 al 8%
Cálculo: 20,000 × 0.08
= $1,600
Alternativa: 8% de 20,000 = 20,000 × 8/100 = 1,600
Comisión total: $2,000
Comisión primer
tramo: $1,600
Comisión segundo tramo:
$2,000 - $1,600 = $400
La comisión sobre ventas > $20,000 es $400
Ventas totales: $24,000
Umbral primer
tramo: $20,000
Ventas segundo tramo:
$24,000 - $20,000 = $4,000
Las ventas sobre $20,000 son $4,000
Comisión segundo tramo: $400
Ventas segundo
tramo: $4,000
Ecuación: x% de $4,000 =
$400
(4,000 × x/100) = 400
4,000x/100 = 400
40x = 400
Ecuación: 40x = 400
Solución: x =
400 ÷ 40
x = 10
Verificación: 10% de $4,000 = $400 ✓
Verificación con x = 10:
• Comisión primer tramo:
8% de 20,000 = $1,600
• Comisión segundo tramo: 10% de 4,000 =
$400
• Total: $1,600 + $400 = $2,000 ✓
• Ventas totales: $20,000
+ $4,000 = $24,000 ✓
Respuesta correcta:
10
Opción D
Análisis de errores comunes:
• A) 4 → Calcular
400/4,000 = 0.10 pero interpretar como 4%
• B) 6 → Error en cálculo
de primer tramo o resta
• C) 8 → Asumir misma tasa para ambos
tramos
• D) 10 ✓
• E) 12 → Calcular
400/(24,000×0.01) sin separar tramos
💼
Concepto clave:
Separar ventas por tramos
Ecuación clave:
1,600 + 40x = 2,000
Nota: Un error común es calcular x como (400/24,000)×100 = 1.67% o similar, olvidando que los $400 de comisión provienen solo de los $4,000 de ventas sobre el umbral, no de las $24,000 totales.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 10
Comisiones escalonadas • Ecuaciones lineales • Análisis por tramos
Cálculo de porcentajes de ganancia/pérdida con ventas a diferentes márgenes
“Un comerciante compra un lote de 120,000 chips de computadora por $3,600,000. Vende dos quintas partes de los chips, cada uno a un 25 por ciento por encima del costo por chip. Vende los chips restantes a un precio por chip igual al 25 por ciento menos que el costo por chip. ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia o pérdida en el lote de chips?”
A
Pérdida 1%
B
Pérdida 5%
C
Pérdida 7.50%
D
Ganancia 10%
E
Ganancia 22.22%
Costo total: $3,600,000
Cantidad
total: 120,000 chips
Costo por chip:
3,600,000 ÷ 120,000 = $30
Cada chip cuesta $30 al comerciante
Total chips: 120,000
2/5 se venden con
ganancia:
120,000 × 2/5 = 48,000 chips
Resto se
venden con pérdida:
120,000 - 48,000 = 72,000 chips
Verificación: 2/5 = 40%, 3/5 = 60%
Chips: 48,000 unidades
Precio
venta: 25% sobre costo $30
$30 × 1.25 = $37.50 por chip
Ingreso total:
48,000 × $37.50 = $1,800,000
Ganancia: $7.50 por chip sobre 48,000 chips
Chips: 72,000 unidades
Precio
venta: 25% bajo costo $30
$30 × 0.75 = $22.50 por chip
Ingreso total:
72,000 × $22.50 = $1,620,000
Pérdida: $7.50 por chip sobre 72,000 chips
Ingreso con ganancia: $1,800,000
Ingreso
con pérdida: $1,620,000
Ingreso total:
$1,800,000 + $1,620,000
= $3,420,000
Suma de ambos ingresos
Costo total: $3,600,000
Ingreso
total: $3,420,000
Pérdida neta:
$3,600,000 - $3,420,000
= $180,000
El comerciante tuvo pérdida de $180,000
Fórmula: % pérdida = (Pérdida/Costo) × 100
Cálculo: (180,000/3,600,000) × 100
= 0.05 × 100 =
5%
Respuesta correcta:
Pérdida 5%
Opción B
Verificación rápida:
• 48,000 chips × ganancia
$7.50 = +$360,000
• 72,000 chips × pérdida $7.50 = -$540,000
•
Neto: -$180,000
• %: 180,000/3,600,000 = 0.05 = 5% ✓
💻
Método ponderado:
0.4×(25%) + 0.6×(-25%) = -5%
Fórmula clave:
% = (Ingreso - Costo)/Costo × 100
Nota: Muchos estudiantes calculan mal creyendo que 25% de ganancia sobre 2/5 y 25% de pérdida sobre 3/5 se cancelan, pero no consideran que las cantidades son diferentes. La pérdida neta es inevitable porque se vende más cantidad con pérdida que con ganancia.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - PÉRDIDA DEL 5%
Precios diferenciados • Cálculo de ingresos • Porcentaje de pérdida
Análisis de relación inversa entre precio y cantidad con presupuesto fijo
“Con el aumento del 20% en el precio de la leche, una ama de casa puede comprar 5 litros menos de cantidad por $60 que antes del aumento. ¿Cuál era el precio inicial por litro de leche?”
A
$2.00
B
$2.50
C
$2.75
D
$3.00
E
$3.50
Sea:
• P = precio inicial por litro ($)
• Q =
cantidad inicial (litros)
Presupuesto: $60
(constante)
Relación inicial: P × Q = 60
Con presupuesto fijo, precio y cantidad son inversamente proporcionales
Aumento del 20%:
Nuevo precio = P × 1.20 = 1.2P
Cantidad después del aumento:
Q - 5 litros (compra
5 litros menos)
Nueva relación:
1.2P × (Q - 5)
= 60
Ecuación 1: P × Q = 60
Ecuación 2:
1.2P × (Q - 5) = 60
De ecuación 1: Q = 60/P
Sustituir en ecuación 2:
1.2P × (60/P - 5) = 60
1.2P × (60/P - 5) = 60
1.2P × (60/P) - 1.2P × 5 = 60
1.2 × 60 -
6P = 60
72 - 6P = 60
72 - 60 = 6P
12 = 6P
De: 12 = 6P
Solución: P = 12 ÷
6
P = $2.00
El precio inicial por litro es $2.00
Con P = $2.00:
• Cantidad inicial: Q = 60 ÷ 2 = 30
litros
• Precio nuevo: 2.00 × 1.20 = $2.40
• Cantidad nueva: 60
÷ 2.40 = 25 litros
• Diferencia: 30 - 25 = 5 litros ✓
• Gasto
total: 30×2.00 = 60; 25×2.40 = 60 ✓
Método de diferencia de cantidades:
Cantidad
inicial: 60/P
Cantidad nueva: 60/(1.2P)
Diferencia: 5 litros
Ecuación: 60/P - 60/(1.2P) = 5
60/P - 50/P = 5
10/P = 5
P =
10/5 = 2
Respuesta correcta:
$2.00
Opción A
Análisis de errores comunes:
• B) $2.50 → Error en
ecuación: 60/2.5=24L, nuevo: 2.5×1.2=3.0, 60/3=20L, diferencia=4L≠5
• C) $2.75 → 60/2.75≈21.82L, nuevo: 3.30, 60/3.30≈18.18L,
diferencia≈3.64L≠5
• D) $3.00 → 60/3=20L, nuevo: 3.60,
60/3.60≈16.67L, diferencia≈3.33L≠5
• E) $3.50 → 60/3.5≈17.14L,
nuevo: 4.20, 60/4.20≈14.29L, diferencia≈2.85L≠5
🥛
Relación clave:
Precio × Cantidad = Constante
Ecuación clave:
1.2P × (60/P - 5) = 60
Nota: El método alternativo 60/P - 60/(1.2P) = 5 es más rápido porque elimina una variable. Note que 60/(1.2P) = 50/P, por lo que la ecuación se simplifica a 10/P = 5.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A - $2.00
Relación inversa precio-cantidad • Ecuaciones lineales • Presupuesto fijo
Análisis de fracciones secuenciales y comparación porcentual
“A una empresa se le aprobó gastar cierta suma de dinero por un año. Gastó un cuarto de la suma durante el primer trimestre y un sexto del resto durante el segundo trimestre. ¿En qué porcentaje es mayor la suma de dinero que quedó al comienzo del tercer trimestre que la suma gastada en los dos trimestres?”
A
10%
B
22.22%
C
33.33%
D
66.66%
E
133.33%
Sea el monto total: T
Valor
conveniente: Usar 100 (100%)
Monto
inicial: T = 100 unidades
Usar 100 facilita los cálculos porcentuales
Gasto primer trimestre: 1/4 de T
Cálculo: 1/4 × 100 = 25
Resto
después primer trimestre:
100 - 25 = 75
Queda 75 unidades después del primer trimestre
Gasto segundo trimestre:
1/6 del resto (75)
Cálculo: 1/6 × 75 = 12.5
Resto
después segundo trimestre:
75 - 12.5 = 62.5
Total gastado dos trimestres:
25 + 12.5 = 37.5
Dinero
restante inicio tercer trimestre:
62.5
Restante > Gastado: 62.5 > 37.5
Diferencia: Restante - Gastado
62.5 - 37.5 = 25
El dinero restante excede al gastado en 25 unidades
Pregunta: ¿Qué % es mayor el restante que el
gastado?
Fórmula: % = [(Restante -
Gastado)/Gastado] × 100
Cálculo: (25/37.5) ×
100
= (2/3) × 100 = 66.66%
Método con fracciones:
Total gastado: 1/4 + (1/6 ×
3/4)
= 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8
Restante: 1 - 3/8 = 5/8
%
mayor: [(5/8 - 3/8) ÷ (3/8)] × 100
= (2/8 ÷ 3/8) × 100 = (2/3) × 100
= 66.66%
Respuesta correcta:
66.66%
Opción D
Verificación con fracciones:
• Gastado: 3/8 = 0.375
= 37.5%
• Restante: 5/8 = 0.625 = 62.5%
• Diferencia: 2/8 = 0.25
= 25%
• % mayor: (2/8) ÷ (3/8) = 2/3 ≈ 0.6666 = 66.66% ✓
💰
Fracción gastada:
1/4 + (1/6 × 3/4) = 3/8
Fracción restante:
1 - 3/8 = 5/8
Nota: Un error común es calcular (62.5/37.5) × 100 = 166.67% o similar, lo que daría el porcentaje que representa el restante respecto al gastado (166.67%), pero la pregunta es “¿en qué porcentaje es MAYOR?”, que es (166.67% - 100%) = 66.67%.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 66.66%
Fracciones secuenciales • Porcentaje de diferencia • Cálculo con fracciones
Análisis de gastos individuales y conjuntos con cambios porcentuales
“David y Suzy gastaron $450 cada uno en 2013. En 2014, David gastó 10% más de lo que gastó en 2013, y juntos gastaron $600. Aproximadamente, ¿en qué porcentaje gastó menos Suzy en 2014 que en 2013?”
A
23%
B
66%
C
77%
D
80%
E
83%
En 2013:
• David: $450
• Suzy: $450
Total 2013: $450 + $450 = $900
Ambos gastaron la misma cantidad en 2013
Aumento del 10%:
David 2014 = $450 × 1.10
=
$450 + ($450 × 0.10)
= $450 + $45 = $495
David gastó $495 en 2014
Total conjunto 2014: $600
David
2014: $495
Suzy 2014:
$600 - $495 =
$105
Suzy gastó solo $105 en 2014
Suzy 2013: $450
Suzy 2014:
$105
Disminución absoluta:
$450 - $105 = $345
Suzy gastó $345 menos en 2014 que en 2013
Fórmula: % menos = [(Inicial - Final)/Inicial] ×
100
Cálculo: [($450 - $105)/$450] × 100
=
($345/$450) × 100
= (345/450) × 100
Simplificación:
345/450 = 69/90 = 23/30
Cálculo: (23/30) × 100
= 2,300/30 = 76.67%
Aproximadamente 77%
Verificación:
• Suzy 2013: $450
• 77% menos:
$450 × 0.77 = $346.50 de disminución
• Suzy 2014: $450 - $346.50 =
$103.50 (cerca de $105)
• Aproximación razonable para opción
múltiple
Respuesta aproximada:
77%
Opción C
Cálculo exacto:
345/450 = 0.766666… = 76.666…%
Redondeado al entero más cercano: 77%
Comparación con otras
opciones:
• 23% sería: 450×0.23=103.5↓, nuevo
gasto=346.5≠105
• 66% sería: 450×0.66=297↓, nuevo gasto=153≠105
• 77% ✓
• 80% sería: 450×0.80=360↓, nuevo
gasto=90≠105
• 83% sería: 450×0.83=373.5↓, nuevo gasto=76.5≠105
💰
Fórmula clave 1:
% aumento: Nuevo = Original × (1 +
%/100)
Fórmula clave 2:
% menos = [(Inicial -
Final)/Inicial] × 100
Nota: Un error común es calcular (105/450)×100 = 23.33% y seleccionar la opción A, pero eso sería el porcentaje que representa el nuevo gasto respecto al original, no la disminución. La disminución es 100% - 23.33% = 76.67% ≈ 77%.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 77%
Porcentajes de cambio • Gastos conjuntos • Aproximación razonable
Análisis de aumentos y disminuciones porcentuales sucesivas con efecto compuesto
“El día 1, un tendero aumenta el precio de un artículo en k%, y el día 2, disminuye el precio en k%. Al final del día 2, el precio del artículo baja $1. El día 3, vuelve a aumentar el precio en k%, y el día 4, vuelve a disminuir el precio en k%. Si, al final del día 4, el precio del artículo es $398, ¿cuál es el precio inicial aproximado del artículo?”
A
$325
B
$350
C
$375
D
$400
E
$450
Concepto clave:
Un aumento de k% seguido de
una
disminución de k% NO vuelve al inicio
Multiplicador
neto: (1 + k/100) × (1 - k/100)
= 1 - (k/100)²
Pérdida neta: (k/100)² del valor original
Por ejemplo: k=10% → 1.1×0.9=0.99 (pérdida 1%)
Sea:
• P = precio inicial
• k = porcentaje
(como decimal, k/100)
Multiplicador para +k% luego
-k%:
M = (1 + k) × (1 - k) = 1 - k²
k representa k/100 (ej: 10% = 0.10)
Precio final día 2: P × (1 - k²)
Dato: Disminuye $1 respecto al inicio
Ecuación: P - P(1 - k²) = 1
P × k² = 1
Por tanto: k² = 1/P
La pérdida después del primer ciclo es P × k² = $1
Precio inicio día 3: P(1 - k²)
Segundo
ciclo: ×(1 - k²) nuevamente
Precio final día
4:
P(1 - k²) × (1 - k²) = P(1 - k²)²
Dato: $398 al final día 4
Ecuación: P(1 - k²)² = 398
De: k² = 1/P
En: P(1 - k²)² =
398
Sustitución: P(1 - 1/P)² = 398
P ×
((P-1)/P)² = 398
P × (P-1)²/P² = 398
(P-1)²/P = 398
Ecuación: (P-1)²/P = 398
(P-1)² = 398P
P² - 2P
+ 1 = 398P
P² - 400P + 1 = 0
Ecuación cuadrática en P
Ecuación: P² - 400P + 1 = 0
Fórmula
cuadrática:
P = [400 ± √(400² - 4×1×1)]/(2×1)
P = [400
± √(160,000 - 4)]/2
P = [400 ± √159,996]/2
√159,996 ≈ 400 (ya que 400²=160,000)
P ≈ [400 ±
400]/2
Solución viable: (400 + 400)/2 = 400
Otra solución: (400 - 400)/2 = 0 (inválida)
P ≈
$400
La solución aproximada es $400
Verificación con P=400:
• k² = 1/P = 1/400 =
0.0025
• k = √0.0025 = 0.05 = 5%
• Día 2: P(1-k²)=400×0.9975=399
(↓$1)
• Día 4: P(1-k²)²=400×(0.9975)²
=400×0.99500625≈398 ✓
Respuesta aproximada:
$400
Opción D
Prueba con opciones cercanas:
• $375:
(375-1)²/375=374²/375≈373.01≠398
• $400:
(400-1)²/400=399²/400=398.0025≈398 ✓
• $450:
(450-1)²/450=449²/450≈447.89≠398
🛒
Concepto clave:
(1+k)(1-k) = 1 - k²
Ecuación clave:
(P-1)²/P = 398
Nota: La solución exacta sería P = [400 + √159,996]/2 ≈ 399.9975, pero para fines de opción múltiple, $400 es la aproximación correcta. El problema específicamente pide el precio “aproximado”.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - $400
Cambios porcentuales sucesivos • Ecuación cuadrática • Aproximación inteligente
Análisis de concentración tras evaporación parcial del solvente
“Una solución consiste en un 30 por ciento de agua en peso. Después de hervir la solución durante 15 minutos, se evaporó el 70 por ciento del agua, en peso. No hay pérdida de peso para la otra parte de la solución. ¿Qué porcentaje del peso total restante de la solución consiste en el agua restante?”
A
500/69%
B
600/69%
C
700/79%
D
900/79%
E
100/69%
Sea el peso total inicial: 100g (para facilidad)
Agua inicial: 30% de 100g = 30g
Sólidos
(otra parte): 70% de 100g = 70g
Trabajar con 100g facilita los cálculos porcentuales
70% del agua se evapora:
Agua evaporada: 70% de
30g
= 0.70 × 30g = 21g
Agua
restante:
30g - 21g = 9g
Queda solo 9g de agua después de hervir
Sólidos (sin pérdida): 70g
Agua
restante: 9g
Peso total final:
70g +
9g = 79g
El peso total se redujo de 100g a 79g
Porcentaje de agua final:
= (Agua restante / Peso
total final) × 100%
= (9g / 79g) × 100%
= (900/79)%
Como fracción: 9/79 = 900/79%
(9/79) × 100%
= 900/79 %
≈ 11.39%
Nota: 900/79 ≈ 11.3924
Sea peso total = W
Agua inicial = 0.30W
Agua
evaporada = 0.70 × 0.30W = 0.21W
Agua restante = 0.30W - 0.21W =
0.09W
Sólidos = 0.70W
Total final = 0.70W + 0.09W = 0.79W
%
agua final = (0.09W/0.79W)×100 = 900/79%
Verificación numérica:
• Agua inicial: 30g
•
Evaporado: 21g (70% de 30g)
• Agua restante: 9g
• Sólidos: 70g
(sin cambio)
• Total final: 79g
• % agua: 9/79 = 0.113924 =
11.3924%
• Como fracción: 900/79% ✓
Respuesta correcta:
900/79%
Opción D
Evaluación de opciones erróneas:
• A) 500/69% ≈
7.25% → Calcula mal el agua restante
• B) 600/69% ≈ 8.70% → Usa 10g
de agua restante
• C) 700/79% ≈ 8.86% → Error en cálculo de agua
evaporada
• D) 900/79% ≈ 11.39% ✓
• E) 100/69%
≈ 1.45% → Error grave en proporciones
🧪
Punto clave 1:
Solo se evapora agua, no sólidos
Punto clave 2:
% final = (agua restante)/(total
final)
Nota: Un error común es calcular (30% × 30%) = 9% y pensar que eso es el nuevo porcentaje, olvidando que el denominador (peso total) también cambió. También es común calcular 30% - 21% = 9% directamente, pero 21% no es 21% del total inicial, sino 21% del agua inicial.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 900/79%
Composición de soluciones • Evaporación parcial • Cálculo de porcentaje final
Análisis de mezclas, precios relativos y porcentajes de diferencia
“Un jugo mezclado contiene, por volumen, 25 por ciento de pulpa de banano y 75 por ciento de pulpa de papaya. Si este jugo mezclado cuesta 20 por ciento más que una cantidad igual de solo pulpa de banano, ¿en qué porcentaje es más cara la pulpa de papaya que la pulpa de banano?”
A
22.22%
B
26.67%
C
28%
D
30%
E
33.33%
Sea:
• B = precio por litro de pulpa de banano
• P = precio por litro de pulpa de papaya
Volumen
total: 1 litro (por simplicidad)
Composición
mezcla:
• 0.25 L de banano (25%)
• 0.75 L de papaya
(75%)
Costo de 1L de mezcla:
= (0.25 × B) + (0.75 ×
P)
= 0.25B + 0.75P
Suma ponderada de los costos
Dato: La mezcla cuesta 20% más que solo banano
Costo de 1L solo banano: B
Relación: Mezcla = 1.20 × B
Ecuación: 0.25B + 0.75P = 1.20B
0.25B + 0.75P = 1.20B
0.75P = 1.20B - 0.25B
0.75P = 0.95B
P
= 0.95B ÷ 0.75
P = (0.95/0.75)B
Simplificar 0.95/0.75:
Multiplicar por 100/100:
95/75 = 19/15
Por tanto: P = (19/15)B
P =
1.2666… × B
19/15 = 1.2666… = 1 + 4/15
Si P = (19/15)B:
Diferencia = P - B = (19/15)B -
B
= (19/15 - 15/15)B = (4/15)B
% más cara:
[(4/15)B / B] × 100
= (4/15) × 100 = 400/15 = 80/3
80/3 = 26.666…%
≈ 26.67%
Como fracción: 4/15 = 26.666…%
Supongamos B = $100/L
Entonces P = $126.67/L
(26.67% más)
Costo mezcla: 0.25×100 + 0.75×126.67
= 25 + 95 =
$120
Banano puro: $100
Diferencia: $20 = 20% de $100 ✓
Método con promedio ponderado:
Mezcla = 0.25B +
0.75P = 1.20B
0.75P = 1.20B - 0.25B = 0.95B
P = 0.95B/0.75 =
95B/75 = 19B/15
% más = (19/15 - 1) × 100
= (4/15) × 100 =
400/15 = 80/3 = 26.67%
Respuesta correcta:
26.67%
Opción B
Evaluación de otras opciones:
• A) 22.22% = 2/9 → P
= 11B/9 ≈ 1.2222B (incorrecto)
• B) 26.67% = 4/15 ✓
→ P = 19B/15 ≈ 1.2667B
• C) 28% → P = 1.28B (incorrecto)
• D)
30% → P = 1.30B (incorrecto)
• E) 33.33% = 1/3 → P = 4B/3 ≈ 1.3333B
(incorrecto)
🥤
Ecuación clave:
0.25B + 0.75P = 1.20B
Resultado clave:
P = (19/15)B = 1.2667B
Nota: Un error común es pensar que si la mezcla (25% banano, 75% papaya) cuesta 20% más que banano puro, entonces la papaya debe costar 20% más. Esto ignora el efecto de ponderación: la papaya constituye el 75% de la mezcla, por lo que su precio necesita ser mayor que un simple 20% para compensar el banano más barato.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 26.67%
Promedio ponderado • Porcentajes de diferencia • Resolución algebraica
Análisis de frecuencias de reproducción y comparación porcentual en periodo de 3 años
“En un laboratorio, la bacteria P se multiplica cada 18 días, mientras que la bacteria Q se multiplica cada 15 días. ¿Aproximadamente en qué porcentaje es mayor el número de veces que la bacteria Q se multiplica que el número de veces que la bacteria P se multiplica en un período de 3 años? Suponga que un año equivale a 365 días.”
A
12%
B
16%
C
20%
D
22%
E
33%
Período: 3 años
1 año: 365
días
Total días: 3 × 365 = 1,095 días
Tiempo total de observación: 1,095 días
Ciclo: 18 días
Número de
multiplicaciones:
1,095 ÷ 18 = 60.833…
≈ 60.83 veces
Cálculo exacto: 1,095/18 = 365/6 ≈ 60.8333
Ciclo: 15 días
Número de
multiplicaciones:
1,095 ÷ 15 = 73
Cálculo
exacto:
1,095 ÷ 15 = 73 (división exacta)
365 × 3 ÷ 15 = 365 ÷ 5 = 73
Bacteria Q: 73 multiplicaciones
Bacteria
P: ≈ 60.833 multiplicaciones
Diferencia:
73 - 60.833 = 12.167
Q se multiplica aproximadamente 12.17 veces más
Fórmula: % mayor = [(Q - P)/P] × 100
Cálculo: (12.167/60.833) × 100
= (12.167 ÷ 60.833)
× 100
≈ 0.20 × 100 = 20%
Exactamente:
P = 1,095/18 = 365/6
Q = 1,095/15
= 73 = 438/6
Diferencia: (438/6 - 365/6) = 73/6
% mayor: (73/6) ÷ (365/6) × 100
= (73/365) × 100
Fracción: 73/365
Simplificar:
73/365 = 1/5
(73 ÷ 73)/(365 ÷ 73) = 1/5
%:
(1/5) × 100 = 20%
Nota: ¡73/365 = 1/5 exactamente!
Razón de frecuencias:
Q: cada 15 días → 24.33
veces/año
P: cada 18 días → 20.28 veces/año
Razón: 18/15 = 1.20 = 20% más frecuente
En
3 años: 20% más multiplicaciones
Relación directa:
El número de multiplicaciones es
inversamente proporcional al periodo.
Si Q tarda 15 días y P 18
días:
Q/P = 18/15 = 6/5 = 1.20
Q es 20% más frecuente que P
Esto se mantiene para cualquier periodo.
Respuesta exacta:
20%
Opción C
Análisis de otras opciones:
• A) 12% → Calcular
(18-15)/18×100 ≈ 16.67% y luego error
• B) 16% → Calcular
(18-15)/18×100 ≈ 16.67% y redondear
• C) 20% ✓ →
1/5 exactamente
• D) 22% → Error en cálculo de días o división
•
E) 33% → Calcular (18-15)/15×100 = 20% pero luego sumar error
🦠
Fórmula clave:
Número de eventos = Tiempo ÷ Periodo
Relación clave:
Q/P = Periodo_P/Periodo_Q
Nota: Un error común es calcular el porcentaje como (18-15)/15×100 = 20% y pensar que esa es la respuesta, pero eso sería el porcentaje que el periodo de P es mayor que el de Q. La pregunta es sobre el número de multiplicaciones, que es inversamente proporcional al periodo, por lo que la respuesta es la misma pero por una razón diferente: (1/15 - 1/18)/(1/18) = (18/15 - 1) = 0.20 = 20%.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - 20%
Frecuencia de eventos • Relación inversamente proporcional • Simplificación fraccionaria
Análisis de precios con impuestos y cálculo de diferencia porcentual
“Jack compró un teléfono por $1,500 y pagó impuestos a una tasa del 5 por ciento, mientras que Tom compró un teléfono por $1,200 y pagó impuestos a una tasa del 15 por ciento. ¿El monto total que pagó Tom fue qué porcentaje menos que el monto total que pagó Jack?”
A
5%
B
7%
C
9%
D
12%
E
15%
Precio teléfono: $1,500
Impuesto:
5%
Impuesto en $: 1,500 × 0.05 = $75
Total Jack: 1,500 + 75
= $1,575
Alternativa: 1,500 × 1.05 = $1,575
Precio teléfono: $1,200
Impuesto:
15%
Impuesto en $: 1,200 × 0.15 = $180
Total Tom: 1,200 + 180
= $1,380
Alternativa: 1,200 × 1.15 = $1,380
Total Jack: $1,575
Total Tom:
$1,380
Diferencia: 1,575 - 1,380
= $195
Tom pagó $195 menos que Jack
Fórmula: % menos = [(Jack - Tom)/Jack] × 100
Base: Total de Jack ($1,575)
Cálculo: (195/1,575) × 100
= (195 ÷ 1,575) × 100
Simplificar 195/1,575:
Dividir por 15:
195 ÷ 15
= 13
1,575 ÷ 15 = 105
Fracción: 13/105
Verificación: 15 × 13 = 195, 15 × 105 = 1,575 ✓
Cálculo: (13/105) × 100
= 1,300/105
= 260/21 ≈
12.38%
≈ 12%
Exacto: 260/21 ≈ 12.381%
Calcular directamente:
Jack: 1,500 × 1.05 =
1,575
Tom: 1,200 × 1.15 = 1,380
Diferencia: 195
%:
(195/1,575) × 100
= (195 ÷ 1,575) × 100
= 0.1238095 × 100 =
12.38%
Aproximación mental:
195/1,575 ≈ 200/1,600 = 1/8 =
12.5%
Valor real: 12.38%
Opción más cercana: 12%
Verificación: 12% de 1,575 = 189
Diferencia real:
195 (muy cercano)
Evaluación numérica:
• 5%: 0.05×1,575=78.75 ≠
195
• 7%: 0.07×1,575=110.25 ≠ 195
• 9%: 0.09×1,575=141.75 ≠
195
• 12%: 0.12×1,575=189 ≈ 195 ✓
• 15%:
0.15×1,575=236.25 ≠ 195
Respuesta aproximada:
12%
Opción D
Nota sobre aproximación: El cálculo exacto da 12.38%, que se redondea a 12% para las opciones dadas. 12% es la opción más cercana (12.38% está más cerca de 12% que de 15%).
📱
Fórmula clave:
Total = Precio × (1 + tasa)
Fórmula clave:
% menos = (Diferencia/Mayor) × 100
Nota: Un error común es calcular la diferencia porcentual usando el precio base sin impuestos (1,500 vs 1,200) o usando como base el monto de Tom en lugar de Jack. La pregunta específicamente pregunta “qué porcentaje menos que el total que pagó Jack”, por lo que la base debe ser el total de Jack ($1,575).
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 12%
Cálculo con impuestos • Porcentaje de diferencia • Simplificación fraccionaria
Análisis de mezcla de porcentajes y cálculo de proporción de géneros
“En una clase, el 65 por ciento de los niños y el 78 por ciento de las niñas juegan baloncesto. Si el 72 por ciento de todos los estudiantes juegan baloncesto, ¿cuál es la proporción del número de niñas al número de niños?”
A
4/3
B
7/6
C
8/7
D
9/8
E
13/11
Sea:
• B = número de niños
• G = número de
niñas
Total estudiantes: B + G
Porcentajes:
• 65% niños juegan baloncesto
•
78% niñas juegan baloncesto
• 72% total juegan baloncesto
Número de jugadores:
Niños que juegan: 0.65B
Niñas que juegan: 0.78G
Total que juegan: 0.72(B + G)
Ecuación:
0.65B + 0.78G = 0.72(B + G)
0.65B + 0.78G = 0.72B + 0.72G
0.78G - 0.72G = 0.72B - 0.65B
0.06G = 0.07B
Términos con G a la izquierda, con B a la derecha
De: 0.06G = 0.07B
Reorganizar: G/B
= 0.07/0.06
Simplificar: Multiplicar por
100/100
G/B = 7/6
Verificación: 7/6 ≈ 1.1667
Proporción: G : B = 7 : 6
Como
fracción: G/B = 7/6
Por cada 6 niños hay 7 niñas
Concepto: El promedio total (72%) está entre 65% y
78%
Distancia: 72 - 65 = 7 (de niños a
promedio)
78 - 72 = 6 (de promedio a niñas)
Proporción
inversa: G/B = 7/6
Regla: Promedio más
cerca de 78% → más niñas
Supongamos: B = 60, G = 70 (ratio 7/6)
Niños que juegan: 0.65×60 = 39
Niñas que
juegan: 0.78×70 = 54.6
Total jugadores: 39
+ 54.6 = 93.6
Total estudiantes: 60 + 70 = 130
% que juegan: 93.6/130 = 0.72 = 72% ✓
Niños (65%) — Niñas (78%)
Diferencias respecto a 72%:
72 - 65 = 7 ← proporción niñas
78 -
72 = 6 ← proporción niños
Ratio: G/B = 7/6
Verificación: (7×78 + 6×65)/(7+6)
= (546 + 390)/13
= 936/13 = 72 ✓
Evaluación rápida:
• A) 4/3 ≈ 1.333 → promedio ≈
(4×78+3×65)/7 = 77.57 ≠ 72
• B) 7/6 ≈ 1.167 ✓ →
promedio = (7×78+6×65)/13 = 72
• C) 8/7 ≈ 1.143 → promedio =
(8×78+7×65)/15 = 71.93 ≈ 71.93 ≠ 72
• D) 9/8 = 1.125 → promedio =
(9×78+8×65)/17 = 71.88 ≠ 72
• E) 13/11 ≈ 1.182 → promedio =
(13×78+11×65)/24 = 72.04 ≈ 72.04 (cercano pero no exacto)
Respuesta exacta:
7/6
Opción B
Nota sobre la opción E: 13/11 ≈ 1.1818 es muy cercano a 7/6 ≈ 1.1667, y da un promedio de aproximadamente 72.04%, pero 7/6 da exactamente 72%. La solución algebraica da exactamente 7/6.
🏀
Regla de mezcla:
G/B = (72-65)/(78-72)
Ratio final:
Niñas : Niños = 7 : 6
Nota: Este es un problema clásico de “promedio ponderado” o “regla de mezcla”. El promedio total (72%) está más cerca del porcentaje de las niñas (78%) que del de los niños (65%), lo que indica que hay más niñas que niños. La proporción exacta se obtiene mediante las diferencias con respecto al promedio.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 7/6
Promedio ponderado • Regla de mezcla • Proporción exacta
Análisis de poblaciones de espectadores y cálculo de apoyo al equipo
“En un estadio, el equipo Royal Challengers tenía el apoyo de 24,500 espectadores nativos y el 10 por ciento de espectadores no nativos. Si S es el número total de espectadores en el estadio y el 40 por ciento eran nativos, ¿cuál de las siguientes opciones representa el número de seguidores del equipo Royal Challengers?”
A
0.6S + 12,250
B
0.28S + 12,250
C
0.28S + 24,500
D
0.06S + 24,500
E
0.6S + 24,500
Datos dados:
• S = total de espectadores
• 40%
de S son nativos = 0.4S
• 60% de S son no nativos = 0.6S
• Apoyo
de nativos = 24,500 espectadores
• Apoyo de no nativos = 10% de los
no nativos
Objetivo: Expresión para seguidores
totales
¡Atención! Hay una ambigüedad en el enunciado:
¿“24,500 espectadores de nativos” significa:
1. 24,500 nativos
apoyan al equipo (absoluto)
2. 24,500 como porcentaje o número
total?
Interpretación lógica: 24,500 es un número
absoluto de nativos que apoyan.
No nativos totales: 0.6S
Apoyo de no
nativos: 10% de 0.6S
= 0.10 × 0.6S
= 0.06S
Apoyo total del equipo:
= Nativos que apoyan + No
nativos que apoyan
= 24,500 + 0.06S
Primera expresión posible: 0.06S + 24,500
Revisemos: “24,500 espectadores de nativos”
Interpretación alternativa:
¿Podría ser 24,500 el
TOTAL de espectadores (nativos y no nativos) que apoyan?
No: Porque luego dice “10% de no nativos”
Conclusión: 24,500 son nativos específicamente
Opción correspondiente: D) 0.06S + 24,500
Supongamos S = 100,000
• Nativos totales: 40,000
(40% de 100,000)
• No nativos totales: 60,000 (60% de 100,000)
•
Nativos que apoyan: 24,500 (dato)
• No nativos que apoyan: 6,000
(10% de 60,000)
Total apoyo: 24,500 + 6,000 =
30,500
Con fórmula: 0.06×100,000 + 24,500 = 6,000 +
24,500 = 30,500 ✓
A) 0.6S + 12,250: Demasiado grande, 0.6S son todos los
no nativos
B) 0.28S + 12,250: Sin relación con
datos
C) 0.28S + 24,500: 0.28S no aparece en
cálculos
D) 0.06S + 24,500: ✓ 0.06S = 10% de no
nativos + 24,500 nativos
E) 0.6S + 24,500: Contaría
todos los no nativos, no solo 10%
Otra interpretación:
¿“24,500 espectadores de
nativos” podría significar el 100% de apoyo de nativos?
Entonces:
Todos los nativos (0.4S) apoyan = 24,500
Por lo tanto: 0.4S = 24,500
→ S = 61,250
Pero esto contradice que S es variable en las
opciones.
Conclusión: 24,500 es constante, no
porcentaje.
Apoyo total =
Nativos que apoyan + No nativos que
apoyan
= 24,500 + 0.10 × (0.6S)
= 24,500 + 0.06S
Opción: D) 0.06S + 24,500
Verificación: Si S aumenta, aumenta apoyo de no nativos (0.06S), pero apoyo de nativos se mantiene en 24,500.
Caso 1: S pequeño
S = 10,000
• No nativos:
6,000
• Apoyo no nativos: 600 (10%)
• Apoyo nativos: 24,500
Total: 25,100
Fórmula D:
0.06×10,000 + 24,500 = 600 + 24,500 = 25,100 ✓
Nota: ¡Más apoyo que espectadores totales! Esto es
posible si la interpretación es correcta.
Respuesta correcta:
0.06S + 24,500
Opción D
Nota importante: La situación con S pequeño parece extraña (más seguidores que espectadores), pero matemáticamente es consistente con el enunciado. Los 24,500 nativos que apoyan podrían ser de un grupo mayor que solo los presentes en ese partido.
🏟️
Desglose:
24,500 (nativos) + 6%S (no nativos)
Expresión:
0.06S + 24,500
Nota final: Este problema destaca la importancia de distinguir entre valores absolutos (24,500) y porcentajes (10%). La respuesta correcta combina un término constante (24,500) con un término proporcional a S (0.06S), donde 0.06 resulta de calcular el 10% del 60% de S.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 0.06S + 24,500
Porcentajes anidados • Constantes y variables • Interpretación precisa
Análisis de porcentajes superpuestos y cálculo de probabilidad condicional
“En una escuela, el 40 por ciento de los estudiantes estudia ciencias, y el 60 por ciento de ellos va a clases especiales después de la escuela. Si el 30 por ciento de los estudiantes de la escuela va a clases especiales, ¿qué porcentaje del total de estudiantes que no estudian ciencias va a clases especiales?”
A
6%
B
12%
C
15%
D
24%
E
27%
Supongamos 100 estudiantes totales:
• Total
estudiantes: 100
• Estudian ciencias: 40% de 100 = 40
• No
estudian ciencias: 60% de 100 = 60
• De los que estudian ciencias,
60% va a clases especiales:
60% de 40 = 24 estudiantes
• Total
que va a clases especiales: 30% de 100 = 30
Clases especiales (30 estudiantes):
1. De ciencias:
24 estudiantes
2. De no ciencias: ? estudiantes
Ecuación:
Total clases especiales =
Clases
especiales (ciencias) +
Clases especiales (no ciencias)
30 = 24 +
Clases especiales (no ciencias)
De la ecuación:
30 = 24 + X
X = 30 - 24
X =
6 estudiantes
Interpretación:
6 estudiantes que
NO estudian ciencias
van a clases especiales
Hay 60 estudiantes que no estudian ciencias, y 6 de ellos van a clases especiales
Porcentaje =
(Estudiantes no ciencias en clases
especiales /
Total estudiantes no ciencias) × 100%
= (6 / 60) ×
100%
= 0.10 × 100%
= 10%
¡Espera! 10% no aparece en las opciones. Revisemos…
Posible confusión:
¿“qué porcentaje del total de
estudiantes que no estudian ciencias” significa:
1. Porcentaje
respecto a estudiantes no ciencias (nuestra interpretación)
2.
Porcentaje respecto al TOTAL de estudiantes
El problema
pide: “what percent of the total students who do not study
science”
Esto claramente significa: porcentaje respecto al grupo de
no ciencias
Pero 10% no está en opciones…
Sea T = total estudiantes:
• Ciencias: 0.4T
•
No ciencias: 0.6T
• Ciencias en clases: 0.6 × 0.4T = 0.24T
•
Total en clases: 0.3T
• No ciencias en clases: 0.3T - 0.24T =
0.06T
Porcentaje respecto a no ciencias:
(0.06T
/ 0.6T) × 100% = 10%
¡Error común de lectura!
La pregunta podría
interpretarse mal:
“what percent of the total students who do not
study science go to special classes?”
Podría leerse como:
“¿qué
porcentaje de TODOS los estudiantes son personas que no estudian
ciencias y van a clases especiales?”
Esto sería:
(0.06T / T) × 100% = 6%
¡6% SÍ está en las opciones (A)!
Comparar dos interpretaciones:
1. “De los que no
estudian ciencias, ¿qué % va a clases?” → 10%
2. “¿Qué % del TOTAL
son no-ciencias que van a clases?” → 6%
La redacción sugiere
la segunda:
“what percent of the total students”
→
porcentaje del total
“who do not study science”
→ que no estudian
ciencias
“go to special classes”
→ van a clases especiales
Es decir: % del total = 6%
Con T = 100 estudiantes:
• Ciencias: 40
estudiantes
• No ciencias: 60 estudiantes
• Ciencias en clases:
24 estudiantes (60% de 40)
• Total en clases: 30 estudiantes (30% de
100)
• No ciencias en clases: 6 estudiantes (30 - 24)
Interpretación 1 (errónea para este problema):
% de
no ciencias = 6/60 = 10%
Interpretación 2
(correcta):
% del total = 6/100 = 6%
Respuesta correcta:
6%
Opción A
(% del total de estudiantes)
Nota importante: Este es un problema clásico de “trampa de redacción”. Muchos estudiantes calculan correctamente 10% pero no encuentran la opción, porque malinterpretan que preguntan el porcentaje respecto al grupo de no ciencias, cuando en realidad preguntan el porcentaje respecto al total.
🏫
Error común:
Calcular 6/60 = 10%
(incluye en
opciones trampa: no aparece)
Respuesta correcta:
6/100 = 6%
(Opción A)
Consejo clave: En problemas de porcentajes, leer MUY cuidadosamente si preguntan el porcentaje respecto al grupo específico o respecto al total. La frase “what percent of the total students” es CLAVE aquí: significa porcentaje del total, no del subgrupo.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A - 6%
Porcentajes superpuestos • Interpretación precisa • Álgebra de conjuntos
Cálculo de razones entre tasas de transferencia de niños y niñas
“En una clase de una escuela, había 40 por ciento de niños. Si algunos estudiantes fueron transferidos a una nueva sección y el 30 por ciento de los estudiantes transferidos eran niños, ¿cuál era la razón de la tasa de transferencia para los niños a la tasa de transferencia para las niñas?”
A
1 : 4
B
2 : 7
C
4 : 9
D
9 : 14
E
9 : 16
Definiciones clave:
• Tasa de transferencia =
(Transferidos del grupo) / (Total del grupo)
Variables:
• Total estudiantes inicial: T
•
Niños iniciales: 40% de T = 0.4T
• Niñas iniciales: 60% de T =
0.6T
• Total transferidos: X
• Niños transferidos: 30% de X =
0.3X
• Niñas transferidas: 70% de X = 0.7X
Tasa de transferencia niños:
TR_boys = (Niños
transferidos) / (Niños iniciales)
= (0.3X) / (0.4T)
= (0.3/0.4)
× (X/T)
= 0.75 × (X/T)
Tasa de transferencia
niñas:
TR_girls = (Niñas transferidas) / (Niñas
iniciales)
= (0.7X) / (0.6T)
= (0.7/0.6) × (X/T)
= 1.1667 ×
(X/T)
Razón = TR_boys : TR_girls
= [0.75 × (X/T)] :
[1.1667 × (X/T)]
= 0.75 : 1.1667
Simplificar:
Multiplicar por 4
= (0.75×4) : (1.1667×4)
= 3 : 4.6667
= 3 :
(14/3)
= 9 : 14
¡La razón es independiente de X/T!
TR_boys = (0.3X)/(0.4T) = (3/4)(X/T)
TR_girls = (0.7X)/(0.6T) = (7/6)(X/T)
Razón
= (3/4) : (7/6)
= (3/4) ÷ (7/6)
= (3/4) × (6/7)
=
18/28 = 9/14
Por tanto: TR_boys : TR_girls = 9 : 14
Verificación: 9/14 ≈ 0.6429
Supongamos T = 100 estudiantes:
• Niños iniciales:
40
• Niñas iniciales: 60
Supongamos X = 100
transferidos:
• Niños transferidos: 30
• Niñas
transferidas: 70
Tasa niños: 30/40 = 0.75
Tasa niñas: 70/60 ≈ 1.1667
Razón:
0.75 : 1.1667 = 75 : 116.67
Multiplicar por 4/3: = 100 : 155.56 ≈ 9
: 14
Sean:
• p = % inicial de niños = 40% = 0.4
• q
= % transferidos que son niños = 30% = 0.3
Entonces:
TR_boys = q/p = 0.3/0.4 = 3/4
TR_girls = (1-q)/(1-p) = 0.7/0.6 = 7/6
Razón: (q/p)
: [(1-q)/(1-p)]
= (3/4) : (7/6) = 9 : 14
Interpretación:
• Inicialmente: 40% niños, 60%
niñas
• Entre transferidos: 30% niños, 70% niñas
• Los niños
están subrepresentados entre los transferidos (30% vs
40%)
• Las niñas están sobrerrepresentadas (70% vs
60%)
• Por tanto, tasa de transferencia niños < tasa de
transferencia niñas
• Razón debe ser menor que 1:1 (niños:niñas)
Nuestra razón calculada: 9:14 ≈ 0.6429
Evaluemos opciones:
A) 1:4 = 0.25 → muy bajo
B)
2:7 ≈ 0.2857 → bajo
C) 4:9 ≈ 0.4444 → bajo
D) 9:14 ≈ 0.6429
✓
E) 9:16 = 0.5625 → bajo
Conclusión: Opción D
Tomemos T = 200, X = 100:
• Niños iniciales: 80
(40% de 200)
• Niñas iniciales: 120 (60% de 200)
• Niños
transferidos: 30 (30% de 100)
• Niñas transferidas: 70 (70% de
100)
Tasa niños: 30/80 = 0.375
Tasa
niñas: 70/120 ≈ 0.5833
Razón: 0.375 :
0.5833
= 375 : 583.33
= (375×24) : (583.33×24)
= 9000 :
14000 = 9 : 14 ✓
Respuesta correcta:
9
: 14
Opción D
Tasa niños : Tasa niñas
Nota importante: La razón 9:14 significa que por cada 9 niños transferidos (como proporción de los niños totales), hay 14 niñas transferidas (como proporción de las niñas totales). Los niños tienen menor tasa de transferencia que las niñas.
🏫
Fórmula general:
Razón = [q/p] : [(1-q)/(1-p)]
donde p=0.4, q=0.3
Interpretación:
Los niños se transfieren a
9/14
≈ 64% de la tasa de las niñas
Conclusión clave: Este problema ilustra cómo comparar tasas de participación entre grupos. Aunque inicialmente hay menos niñas que niños (60% vs 40%), las niñas están sobrerrepresentadas entre los transferidos (70% vs 30%), lo que resulta en una mayor tasa de transferencia para las niñas. La razón 9:14 refleja esta diferencia.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 9 : 14
Tasas de transferencia • Razones de porcentajes • Álgebra de fracciones
Análisis de valores fraccionarios y cálculo de disminución porcentual
“Al inicio de un año, un automóvil se valoraba (5/7) del precio original, y al final del año, se valoraba (3/5) del precio original. ¿En qué porcentaje disminuyó el valor del automóvil durante el año?”
A
11.11%
B
16%
C
17.50%
D
19%
E
22.22%
Sea P = Precio original
• Valor inicial (comienzo
del año): (5/7)P
• Valor final (fin del año): (3/5)P
Importante: Ambos valores se comparan con el mismo
precio original P
Objetivo: Calcular % de
disminución DURANTE el año
% disminución = [(Valor inicial - Valor
final)/Valor inicial] × 100%
Disminución absoluta = Valor inicial - Valor final
= (5/7)P - (3/5)P
Para restar, encontramos denominador común:
Denominador común = 35
(5/7)P = (25/35)P (multiplicado por 5/5)
(3/5)P = (21/35)P (multiplicado por 7/7)
Disminución
= (25/35)P - (21/35)P = (4/35)P
Fórmula: % disminución = (Disminución/Valor inicial) ×
100%
= [(4/35)P ÷ (5/7)P] × 100%
= [(4/35) ÷ (5/7)] × 100%
=
[(4/35) × (7/5)] × 100%
= (28/175) × 100%
= (4/25) × 100%
(simplificado: 28/175 = 4/25)
= 16%
¡Nota: P se cancela en el cálculo
Sea V_i = 5/7, V_f = 3/5
% disminución = [(V_i -
V_f)/V_i] × 100%
= [(5/7 - 3/5) ÷ (5/7)] × 100%
= [((25-21)/35)
÷ (5/7)] × 100%
= [(4/35) × (7/5)] × 100%
= (28/175) × 100%
= (4/25) × 100% = 16%
Verificación: 4/25 = 0.16 = 16%
Supongamos P = $35 (mínimo común múltiplo de 7 y
5):
• Valor inicial: (5/7)×$35 = $25
• Valor final:
(3/5)×$35 = $21
• Disminución absoluta: $25 - $21 = $4
• %
disminución: ($4/$25)×100% = 0.16×100% = 16%
Con P =
$100:
• Valor inicial: (5/7)×$100 ≈ $71.43
• Valor
final: (3/5)×$100 = $60
• Disminución: $71.43 - $60 = $11.43
• %
disminución: ($11.43/$71.43)×100% ≈ 16%
Error común 1: Calcular desde precio original
%
desde original inicial = (1 - 5/7)×100% = (2/7)×100% ≈ 28.57%
%
desde original final = (1 - 3/5)×100% = (2/5)×100% = 40%
Diferencia
= 40% - 28.57% = 11.43% → Incorrecto
Error común 2:
Usar denominador incorrecto
(5/7 - 3/5) = 4/35 ≈ 0.1143 = 11.43% →
Olvidó dividir por valor inicial
Correcto: (4/35) ÷
(5/7) = 4/25 = 16%
Sean:
• Valor inicial = a/b del original
•
Valor final = c/d del original
% disminución =
[(a/b - c/d) ÷ (a/b)] × 100%
= [(ad - bc)/bd ÷ (a/b)] × 100%
=
[(ad - bc)/bd × (b/a)] × 100%
= [b(ad - bc)/(abd)] × 100%
= [(ad
- bc)/(ad)] × 100%
En nuestro caso: a=5, b=7, c=3,
d=5
= [(5×5 - 7×3)/(5×5)] × 100%
= [(25 - 21)/25] × 100% = 16%
Nuestro cálculo: 16%
Opción A:
11.11% ≈ 1/9 → podrían obtener de (4/36)
Opción B:
16% ✓
Opción C: 17.50% = 7/40
Opción
D: 19%
Opción E: 22.22% ≈ 2/9
Respuesta correcta: Opción B
Verificación con 16%:
Si valor inicial = 5/7 ≈
0.7143 del original
Disminución del 16%: 0.7143 × 0.16 ≈ 0.1143
Valor final = 0.7143 - 0.1143 = 0.6000
0.6000 = 3/5 del original
✓
Otra verificación:
(5/7) disminuido en 16% =
(5/7)×0.84
= 4.2/7 = 21/35 = 3/5 ✓
Respuesta correcta:
16%
Opción B
Disminución durante el año
Nota importante: El porcentaje de disminución se calcula siempre respecto al valor INICIAL del período considerado. No es la diferencia entre los porcentajes del precio original, sino la disminución relativa al valor al comienzo del año.
🚗
Fórmula clave:
%↓ = [(Vᵢ - V_f)/Vᵢ] × 100%
donde Vᵢ = 5/7, V_f = 3/5
Interpretación:
El auto perdió 16% de su valor
durante ese año específico
Conclusión clave: Este problema demuestra la importancia de calcular correctamente porcentajes de cambio. Aunque ambos valores se expresan como fracciones del precio original, la disminución durante el año se calcula comparando el valor final con el valor inicial de ese año, no con el precio original. La respuesta 16% es exacta y se obtiene mediante operaciones cuidadosas con fracciones.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 16%
Porcentajes de cambio • Operaciones con fracciones • Cálculo preciso
Análisis de esquemas de comisión con y sin bono fijo
“A un vendedor se le ofrece un 5 por ciento de comisión sobre sus ventas mensuales, en dólares, y un bono mensual de $500, o un 7 por ciento de comisión sobre sus ventas mensuales sin bono. ¿A qué nivel de ventas, en dólares, ambas ofertas le darán la misma remuneración?”
A
$22,500
B
$25,000
C
$32,500
D
$35,000
E
$40,000
Sea S = Ventas mensuales en dólares
Oferta
1 (5% + bono):
Remuneración₁ = 5% de S + $500
= 0.05S +
500
Oferta 2 (7% sin bono):
Remuneración₂ = 7%
de S
= 0.07S
Objetivo: Encontrar S donde ambas
sean iguales
Igualar ambas remuneraciones:
0.05S + 500 =
0.07S
Reorganizar términos:
500 = 0.07S -
0.05S
500 = 0.02S
Resolver para S:
S = 500
÷ 0.02
S = 25,000
¡La solución parece ser $25,000!
Para S = $25,000:
Oferta 1: 5% de
$25,000 + $500
= 0.05 × 25,000 + 500
= 1,250 + 500 = $1,750
Oferta 2: 7% de $25,000
= 0.07 × 25,000 =
$1,750
¡Son iguales! ✓
Ambas ofertas pagan
$1,750
Diferencia en porcentaje de comisión:
7% - 5% =
2%
Bono fijo: $500
La
ecuación: 2% de S = $500
0.02S = 500
S = 500 ÷ 0.02 =
25,000
Interpretación: El bono de $500
compensa
exactamente la diferencia del 2% en ventas de $25,000
Verificación: 2% de $25,000 = $500 ✓
Representación de las dos funciones:
• Oferta 1: y
= 0.05x + 500 (línea con pendiente 0.05 e intercepto 500)
• Oferta
2: y = 0.07x (línea con pendiente 0.07 por el origen)
Punto
de intersección:
0.07x = 0.05x + 500
0.02x = 500
x
= 25,000
Interpretación: Para ventas menores a
$25,000,
la oferta 1 (5% + bono) es mejor.
Para ventas mayores a
$25,000,
la oferta 2 (7% sin bono) es mejor.
Para S = $20,000 (menor):
Oferta 1: 0.05×20,000 +
500 = 1,000 + 500 = $1,500
Oferta 2: 0.07×20,000 = $1,400
→
Oferta 1 es mejor por $100
Para S = $30,000
(mayor):
Oferta 1: 0.05×30,000 + 500 = 1,500 + 500 =
$2,000
Oferta 2: 0.07×30,000 = $2,100
→ Oferta 2 es mejor por
$100
¡Consistente con nuestro análisis!
Usando fracciones:
5% = 1/20, 7% = 7/100
Ecuación:
(1/20)S + 500 = (7/100)S
Multiplicar
por 100 (mcm):
5S + 50,000 = 7S
50,000 = 7S - 5S
50,000 =
2S
S = 25,000
Alternativa usando 2% = 1/50:
(1/50)S = 500
S = 500 × 50 = 25,000
Nuestro cálculo: S = $25,000
Opción
A: $22,500 → pago₁=$1,625, pago₂=$1,575
Opción
B: $25,000 ✓ → ambos pagan $1,750
Opción
C: $32,500 → pago₁=$2,125, pago₂=$2,275
Opción
D: $35,000 → pago₁=$2,250, pago₂=$2,450
Opción
E: $40,000 → pago₁=$2,500, pago₂=$2,800
Respuesta
correcta: Opción B
Concepto general:
Cuando comparamos dos esquemas
lineales:
y₁ = a₁x + b (pendiente a₁, intercepto b)
y₂ = a₂x
(pendiente a₂, sin intercepto)
Punto de
equilibrio:
a₁x + b = a₂x
x = b/(a₂ - a₁)
En nuestro caso:
a₁ = 0.05, a₂ = 0.07, b = 500
x = 500/(0.07 - 0.05) = 500/0.02 = 25,000
Respuesta correcta:
$25,000
Opción B
Punto de equilibrio de ventas
Aplicación práctica: Este tipo de problema es común en decisiones de compensación de ventas. El vendedor debe considerar su volumen de ventas esperado: si espera vender menos de $25,000 mensuales, le conviene la opción con bono fijo; si espera vender más, le conviene la mayor comisión sin bono.
💼
Fórmula general:
S = Bono ÷ (Comisión₂ -
Comisión₁)
= 500 ÷ (0.07 - 0.05)
Interpretación:
Para ventas < $25,000: 5% +
bono
Para ventas > $25,000: 7% sin bono
Conclusión clave: Este problema ilustra el concepto de punto de equilibrio en decisiones económicas. La solución $25,000 surge naturalmente al igualar las dos funciones lineales. Es importante notar que el bono fijo de $500 compensa exactamente la diferencia del 2% en comisión cuando las ventas son $25,000, ya que el 2% de $25,000 es precisamente $500.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - $25,000
Punto de equilibrio • Ecuaciones lineales • Análisis de compensación
Análisis de crecimiento de clientes minoristas en un período de 24 meses
“Al comienzo del año, el 35 por ciento de los 120 clientes de la empresa X eran minoristas, y después del período de 24 meses, el 25 por ciento de sus 240 clientes eran minoristas. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento porcentual anual simple en el número de minoristas?”
A
14.28%
B
21.43%
C
24.0%
D
30.0%
E
37.25%
Al inicio (año 0):
• Total clientes: 120
• %
retailers: 35%
• Número de retailers: 35% de 120
= 0.35 × 120 =
42 retailers
Después de 24 meses (año 2):
•
Total clientes: 240
• % retailers: 25%
• Número de retailers:
25% de 240
= 0.25 × 240 = 60 retailers
Crecimiento en número de retailers:
Valor final -
Valor inicial
= 60 - 42 = 18 retailers
Crecimiento
porcentual total en 24 meses:
(Crecimiento / Valor inicial)
× 100%
= (18 / 42) × 100%
= (3/7) × 100% ≈ 42.857%
¡El número de retailers creció ~42.86% en 24 meses!
Definición clave:
• “Simple” significa crecimiento
lineal, no compuesto
• Si crece R% anual simple, en 2 años crece
2R%
• Fórmula: Crecimiento total = 2 × (Crecimiento anual)
En nuestro caso:
Crecimiento total en 24 meses =
42.857%
Crecimiento anual simple = 42.857% ÷ 2
= 21.4285% ≈
21.43%
Fórmula crecimiento anual simple:
R_anual = [(V_f -
V_i) / V_i] ÷ n × 100%
donde n = número de años
En
nuestro caso:
V_i = 42, V_f = 60, n = 2 años
R_anual =
[(60 - 42)/42] ÷ 2 × 100%
= (18/42) ÷ 2 × 100%
= (3/7) ÷ 2 ×
100%
= (3/14) × 100% ≈ 21.43%
Verificación: 3/14 ≈ 0.2142857 = 21.42857%
Crecimiento anual del 21.43% simple:
• Año 0: 42
retailers
• Crecimiento año 1: 42 × 21.43% = 9 retailers
• Año
1: 42 + 9 = 51 retailers
• Crecimiento año 2: 42 × 21.43% = 9
retailers
• Año 2: 51 + 9 = 60 retailers ✓
Nota: En crecimiento simple, cada año se suma
la
misma cantidad absoluta: 42 × 0.2143 ≈ 9
Error 1: Usar crecimiento compuesto
60 = 42(1+r)² →
r = √(60/42) - 1 ≈ √(1.4286) - 1 ≈ 19.52%
Esto es incorrecto porque
pregunta por “simple”
Error 2: Calcular crecimiento
total
(18/42)×100% = 42.86% → Opción E (37.25% cercano pero no)
Error 3: Usar porcentajes de totales
incorrectamente
35% vs 25% → la diferencia no es 10% del
crecimiento
Correcto: Crecimiento simple =
(18/42)÷2 = 3/14 = 21.43%
Usando fracciones sin decimales:
V_i = 35% de 120 =
35/100 × 120 = 42
V_f = 25% de 240 = 25/100 × 240 = 60
Crecimiento total fracción: (60-42)/42 = 18/42 =
3/7
Crecimiento anual simple: (3/7) ÷ 2 = 3/14
Porcentaje: (3/14) × 100%
= (300/14)% = (150/7)% ≈
21.42857%
= 21.43%
Nuestro cálculo: 21.43%
Opción A:
14.28% = 1/7 → crecimiento total 2/7 ≈ 28.57%
Opción
B: 21.43% = 3/14 ✓ → crecimiento total 3/7 ≈ 42.86%
Opción C: 24.0% → crecimiento total 48%
Opción D: 30.0% → crecimiento total 60%
Opción E: 37.25% ≈ 37.25% → cerca de 42.86% pero no
exacto
Respuesta correcta: Opción B
Comparación crecimiento simple vs compuesto:
Simple: Cada año suma cantidad fija
• Fórmula: V_f
= V_i(1 + r×n)
• r = (V_f/V_i - 1)/n
• En nuestro caso: r =
(60/42 - 1)/2 = (10/7 - 1)/2 = (3/7)/2 = 3/14
Compuesto: Cada año multiplica por (1+r)
• Fórmula:
V_f = V_i(1+r)ⁿ
• r = (V_f/V_i)^(1/n) - 1 = (60/42)^(0.5) - 1 ≈
19.52%
El problema especifica “simple”
Respuesta correcta:
21.43%
Opción B
Tasa anual simple de crecimiento
Observación importante: Aunque el porcentaje de retailers en el total de clientes disminuyó (de 35% a 25%), el número absoluto de retailers AUMENTÓ (de 42 a 60). El problema pregunta específicamente por el crecimiento en el NÚMERO de retailers, no por el porcentaje que representan.
🏢
Fórmula clave:
r = [(V_f - V_i)/V_i] ÷ n
donde
n = número de años
Interpretación:
Cada año el número de retailers
aumenta en ~21.43% del valor inicial
Conclusión clave: Este problema requiere atención a tres detalles cruciales: 1) calcular números absolutos, no solo porcentajes; 2) entender que 24 meses = 2 años; 3) aplicar crecimiento “simple” (lineal) no compuesto (exponencial). La respuesta 21.43% surge naturalmente al dividir el crecimiento total de 42.86% entre los 2 años del período.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 21.43%
Crecimiento simple • Porcentajes • Análisis de períodos
Análisis de porcentajes de votación diferenciados por género
“En una escuela, el 70 por ciento de los estudiantes son niños, y el resto son niñas. En una elección de prefecto, el 30 por ciento de los niños y el 70 por ciento de las niñas votaron por Juan. ¿Qué porcentaje del total de estudiantes votó por Juan?”
A
37%
B
42%
C
50%
D
58%
E
66%
Supongamos 100 estudiantes totales:
• Total
estudiantes: 100
• Niños: 70% de 100 = 70
• Niñas: 30% de 100 =
30 (100% - 70%)
Votos por Juan:
• Niños que
votaron por Juan: 30% de 70
• Niñas que votaron por Juan: 70% de 30
Votos de niños por Juan:
30% de 70 = 0.30 × 70 = 21
votos
Votos de niñas por Juan:
70% de 30 = 0.70
× 30 = 21 votos
Total votos por Juan:
21 + 21 =
42 votos
¡Interesante! Ambos grupos aportan 21 votos cada uno
Porcentaje del total =
(Total votos por Juan /
Total estudiantes) × 100%
= (42 / 100) × 100%
= 42%
Verificación: 42% de 100 = 42 estudiantes
Sea T = total estudiantes:
• Niños = 0.70T
•
Niñas = 0.30T
• Votos niños por Juan = 0.30 × 0.70T = 0.21T
•
Votos niñas por Juan = 0.70 × 0.30T = 0.21T
Total votos por
Juan = 0.21T + 0.21T = 0.42T
Porcentaje =
(0.42T/T) × 100% = 42%
La T se cancela, resultado es independiente del total
¡Coincidencia simétrica!
Niños: 70% del total, 30%
votan por Juan
Niñas: 30% del total, 70% votan por Juan
Productos cruzados iguales:
0.70 × 0.30 = 0.21
0.30 × 0.70 = 0.21
Suma: 0.21 + 0.21 = 0.42 =
42%
Patrón general: Si a% son niños y b%
votan,
y (100-a)% son niñas y (100-b)% votan,
y a+b=100, entonces
porcentaje total = 50%
Nuestro cálculo: 42%
Opción A: 37%
→ muy bajo
Opción B: 42% ✓
Opción
C: 50% → promedio simple incorrecto
Opción
D: 58% → demasiado alto
Opción E: 66% →
extremadamente alto
Respuesta correcta: Opción B
Error 1: Promedio simple incorrecto
(30% + 70%) ÷ 2
= 50% → Opción C
¡Incorrecto! No considera proporciones de
grupos
Error 2: Usar porcentajes directos
30%
de 70% = 21% (correcto para niños)
70% de 30% = 21% (correcto para
niñas)
21% + 21% = 42% ✓
Error 3: Confundir base de
cálculo
30% de TOTAL (no de niños) = 30 votos →
incorrecto
70% de TOTAL (no de niñas) = 70 votos → incorrecto
Sean:
• p = proporción de niños (0.70)
• q =
proporción de niñas (0.30)
• a = % niños que votan por Juan
(0.30)
• b = % niñas que votan por Juan (0.70)
% total =
p×a + q×b
= (0.70×0.30) + (0.30×0.70)
= 0.21 + 0.21 =
0.42 = 42%
Nota: Cuando a+b=1 (30%+70%=100%),
y
p+q=1 (70%+30%=100%), hay simetría
Método del promedio ponderado:
El porcentaje total
es un promedio ponderado de
los porcentajes de cada grupo, donde los
pesos
son las proporciones de cada grupo.
Cálculo:
% total = (70% × 30%) + (30% × 70%)
=
(0.70 × 0.30) + (0.30 × 0.70)
= 0.21 + 0.21 = 0.42 = 42%
Interpretación: 42% está entre 30% y 70%,
pero más
cerca de 30% porque hay más niños
(70%) que votan solo 30% por Juan.
Respuesta correcta:
42%
Opción B
Porcentaje total de estudiantes
Observación interesante: En este problema específico, los productos cruzados son iguales (0.70×0.30 = 0.30×0.70 = 0.21), lo que hace que ambos grupos contribuyan exactamente lo mismo al total, a pesar de que tienen tamaños y porcentajes de apoyo muy diferentes. Esto ocurre porque el porcentaje de apoyo de cada grupo es el complemento del porcentaje de población del otro grupo.
🏫
Fórmula general:
% total = (p × a) + (q × b)
donde p+q=1, a+b=1 en este caso
Interpretación:
42% de todos los
estudiantes
votaron por Juan
Conclusión clave: Este problema ilustra la importancia de calcular promedios ponderados correctamente. Aunque el apoyo de Juan es bajo entre los niños (30%) y alto entre las niñas (70%), el resultado final (42%) está más cerca del 30% porque los niños representan el 70% de la población. La respuesta 42% surge de sumar las contribuciones proporcionales de cada grupo.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 42%
Promedio ponderado • Porcentajes anidados • Cálculo preciso
Cálculo de diferencia porcentual entre regiones basado en distribución de empresas
“Según la tabla dada a continuación, un estado tiene un total de 23,000 empresas de siete regiones. ¿En qué porcentaje del número total de empresas en la región es el número de empresas en la Región S mayor que el número de empresas en la Región R?”
| Región | N° de Empresas |
|---|---|
| Región P | 2,345 |
| Región Q | 3,456 |
| Región R | 3,421 |
| Región S | 5,721 |
| Región T | 3,445 |
| Región U | 80 |
| Región V | 4,532 |
| TOTAL | 23,000 |
📊 Datos Clave:
• Total empresas: 23,000
• 7
regiones diferentes
• Región R: 3,421 empresas
• Región S: 5,721
empresas
• Diferencia: 5,721 - 3,421 = 2,300
🎯
Pregunta:
“¿En qué porcentaje del número total de empresas
en la región es el número de empresas en la Región S mayor que el número
de empresas en la Región R?”
A
5%
B
10%
C
17.5%
D
22.5%
E
33.33%
Frase clave:
“¿En qué porcentaje del número total
de empresas en la región es el número de empresas en la Región S mayor
que el número de empresas en la Región R?”
Interpretación:
Diferencia = Empresas S - Empresas
R
Base de comparación = Total de empresas en “la región”
¡Atención! ¿“la región” se refiere a:
1. Región
R?
2. Región S?
3. ¿Todas las regiones juntas?
Análisis gramatical:
“del número total de empresas
en la región”
→ “la región” (singular, definida)
→ No dice “en
las regiones” (plural)
→ No dice “en todas las regiones”
Posibles interpretaciones:
1. Región R (la
mencionada antes)
2. Región S (la mencionada después)
3. TOTAL
estatal (pero diría “del estado”)
Interpretación más
lógica:
“la región” = TOTAL del estado (23,000)
De la tabla:
• Región S: 5,721 empresas
•
Región R: 3,421 empresas
Diferencia absoluta:
5,721 - 3,421 = 2,300 empresas
Observación
interesante:
2,300 = 10% de 23,000 (el total)
¡La diferencia es exactamente 2,300!
Si “la región” = TOTAL estatal (23,000):
Porcentaje
= (Diferencia / Total) × 100%
= (2,300 / 23,000) × 100%
= (1/10)
× 100%
= 10%
Interpretación:
La diferencia (2,300) es el 10% del
total estatal
Verificación: 10% de 23,000 = 2,300 ✓
Si “la región” = Región R (3,421):
Porcentaje =
(Diferencia / Empresas R) × 100%
= (2,300 / 3,421) × 100%
≈
0.6723 × 100%
≈ 67.23%
→ No está en las opciones
Si
“la región” = Región S (5,721):
Porcentaje = (2,300 /
5,721) × 100%
≈ 0.4020 × 100%
≈ 40.20%
→ No está en las
opciones
Cálculo exacto:
Diferencia = 5,721 - 3,421 =
2,300
Total estatal = 23,000
Porcentaje = (2,300 / 23,000) ×
100%
= (23/230) × 100%
= (1/10) × 100% = 10%
Opción
correspondiente: B) 10%
¿Podría ser “mayor que” como porcentaje de R?
(5,721 - 3,421) / 3,421 × 100%
= 2,300 / 3,421 × 100% ≈ 67.23%
→
No está en opciones
¿Podría ser “mayor que” como
porcentaje de S?
2,300 / 5,721 × 100% ≈ 40.20%
→ No
está en opciones
¿Promedio de las dos
regiones?
Promedio = (5,721 + 3,421)/2 = 4,571
2,300 /
4,571 × 100% ≈ 50.32%
→ No está en opciones
Nuestro cálculo: 10%
Opción A: 5%
→ mitad de 10%
Opción B: 10% ✓
Opción
C: 17.5% → 2,300/13,143 ≈ 17.5%
Opción D:
22.5% → no coincide con datos
Opción E: 33.33% →
1/3 ≈ 33.33%
Opción plausible errónea: 67.23% ≈
2/3
pero no está en opciones
Patrón interesante en los datos:
• Total =
23,000
• Diferencia S-R = 2,300
• 2,300 = 23,000 ÷ 10
•
Coincidencia exacta: 10%
Contexto del
problema:
El problema enfatiza “total de 23,000
empresas”
y pregunta “porcentaje del número total”
Interpretación más razonable:
“la región” se
refiere al total estatal
(usado como referencia/base)
Respuesta correcta:
10%
Opción B
Porcentaje del total estatal
Nota sobre redacción ambigua: La frase “del número total de empresas en la región” es gramaticalmente ambigua. Sin embargo, dado que 10% es una opción disponible y coincide exactamente con los datos (2,300 es exactamente 10% de 23,000), y las otras interpretaciones no producen porcentajes que estén en las opciones, la interpretación correcta debe ser que “la región” se refiere al total estatal.
📈
Fórmula aplicada:
% = [(S - R) / Total] × 100%
= (2,300 / 23,000) × 100%
Interpretación:
La Región S tiene 2,300
empresas
más que la Región R, lo que
representa el 10% del total
estatal
Conclusión clave: Este problema ilustra la importancia de interpretar cuidadosamente las preguntas de porcentajes, especialmente cuando hay ambigüedad gramatical. La solución correcta (10%) se obtiene interpretando “la región” como el total estatal y calculando el porcentaje que representa la diferencia entre las regiones S y R respecto al total de empresas del estado. La coincidencia exacta de que 2,300 es precisamente el 10% de 23,000 confirma esta interpretación.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - 10%
Interpretación de datos tabulares • Cálculo de porcentajes • Análisis contextual
Análisis de ventas parciales de inventario y cálculo de ingresos totales
“Un tendero solo pudo vender (4/5) del stock a razón de $3 por artículo. Si 100 artículos no se vendieron, ¿cuál fue el monto total que recibió por la venta?”
A
$240
B
$1,200
C
$1,250
D
$1,300
E
$1,500
Datos del problema:
• Fracción vendida: 4/5 del
stock
• Artículos no vendidos: 100
• Precio por artículo: $3
Relaciones clave:
• No vendido = 1/5 del stock (1 -
4/5)
• No vendido = 100 artículos
Por lo tanto: 1/5 del stock =
100 artículos
Si 1/5 del stock = 100 artículos
Entonces stock
total = 100 ÷ (1/5)
= 100 × 5
= 500 artículos
Verificación:
• Stock total: 500
• 1/5 de 500 =
100 ✓
• 4/5 de 500 = 400
El tendero tenía 500 artículos en total
Artículos vendidos:
4/5 del stock total
= 4/5 ×
500
= 400 artículos
Verificación con datos:
Total = Vendido + No vendido
500 = 400 + 100 ✓
Nota: El problema dice “solo pudo vender (4/5) del stock”
Ingreso =
(Artículos vendidos) × (Precio por
artículo)
= 400 × $3
= $1,200
Verificación rápida: 400×3 = 1,200
Usando solo fracciones:
No vendido = 1/5 = 100
artículos
⇒ Stock total = 100 ÷ (1/5) = 500
Vendido = 4/5 × 500
= 400
Ingreso = 400 × $3 = $1,200
O
directamente:
Si 1/5 = 100, entonces 4/5 = 400
Ingreso
= 400 × 3 = $1,200
Error 1: Usar 100 como total
100×3 = $300 → pero
100 son NO vendidos
Error 2: Confundir
fracciones
Si 100 = 4/5, entonces total = 125
125×3 = $375 →
incorrecto
Error 3: Calcular ingreso total
potencial
500×3 = $1,500 → Opción E (pero pregunta ingresos
REALES)
Error 4: Sumar artículos
incorrectamente
400 + 100 = 500, luego 500×3÷2 = $750 → sin sentido
Nuestro cálculo: $1,200
Opción A:
$240 → 80×3 = 240 (si 100=5/4)
Opción B: $1,200 ✓ →
400×3 = 1,200
Opción C: $1,250 → no relación con
datos
Opción D: $1,300 → 433.33×3 ≈ 1,300
Opción E: $1,500 → 500×3 = 1,500 (total potencial)
Respuesta correcta: Opción B
Sea x = stock total
No vendido = x - (4/5)x =
(1/5)x
Dato: (1/5)x = 100
x = 500
Artículos
vendidos: (4/5)×500 = 400
Ingreso: 400 ×
$3 = $1,200
Fórmula directa:
Ingreso = [4/5 ×
(100 ÷ 1/5)] × 3
= [4/5 × 500] × 3 = 400 × 3 = 1,200
Verificación con $1,200:
Si ingreso = $1,200 y
precio = $3/artículo
⇒ Artículos vendidos = 1,200 ÷ 3 = 400
Si
vendió 4/5 del stock ⇒ stock total = 400 ÷ (4/5) = 500
No vendido =
500 - 400 = 100 ✓
Verificación con opción E
($1,500):
Artículos = 1,500 ÷ 3 = 500
No vendido = 0
(pero problema dice 100 no vendidos) ✗
Conclusión: Solo $1,200 cumple todas las condiciones
Respuesta correcta:
$1,200
Opción B
Ingreso total por ventas
Nota importante: El problema pregunta específicamente por “el monto total que recibió por la venta”, es decir, el ingreso REAL de las ventas efectuadas, no el ingreso potencial si hubiera vendido todo el stock. Por eso la opción E ($1,500) es incorrecta aunque sea el ingreso potencial total.
🛒
Fórmula clave:
Ingreso = [(1 - fracción no vendida)
× (no vendido ÷ fracción no vendida)] × precio
Interpretación:
El tendero vendió 400
artículos
a $3 cada uno, generando
$1,200 en ingresos
Conclusión clave: Este problema combina el manejo de fracciones con el cálculo de ingresos. La clave está en reconocer que los 100 artículos no vendidos representan 1/5 del stock total, lo que permite calcular primero el stock total (500), luego los artículos vendidos (400), y finalmente el ingreso ($1,200). Es importante distinguir entre ingreso real e ingreso potencial para no caer en la trampa de la opción E.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN B - $1,200
Fracciones • Cálculo de ingresos • Resolución paso a paso
Análisis de ventas con ganancias y pérdidas porcentuales sobre diferentes porciones del inventario
“Un comerciante compró 900 cajas de cierta marca de helado a un costo de $20 por caja. Si vendió 2/3 de las cajas por una y un cuarto veces su precio de costo y vendió las cajas restantes con una pérdida del 20 por ciento de su precio de costo, ¿cuál fue la ganancia bruta del comerciante en la venta total?”
A
$1,800
B
$2,400
C
$2,700
D
$3,000
E
$3,200
Datos iniciales:
• Total cajas: 900
• Costo por
caja: $20
Costo total de compra:
= 900 × $20 =
$18,000
Distribución de ventas:
• 2/3 vendidas
con ganancia
• 1/3 vendidas con pérdida
Cantidades:
Ventas con ganancia: 2/3 × 900 = 600
cajas
Ventas con pérdida: 1/3 × 900 = 300 cajas
Precio de costo por caja: $20
Ventas con
ganancia (600 cajas):
“una y un cuarto veces” = 1.25
veces
Precio venta = 1.25 × $20 = $25
Ventas con pérdida
(300 cajas):
Pérdida del 20% del costo
Precio venta =
80% de $20 = $16
(100% - 20% = 80%)
600 cajas a $25 y 300 cajas a $16
Ingresos por ventas con ganancia:
600 cajas × $25 =
$15,000
Ingresos por ventas con pérdida:
300
cajas × $16 = $4,800
Ingreso total por ventas:
$15,000 + $4,800 = $19,800
Costo total de compra: $18,000
Ingreso
total por ventas: $19,800
Ganancia
bruta:
= Ingreso total - Costo total
= $19,800 -
$18,000
= $1,800
Verificación: 19,800 - 18,000 = 1,800
Ganancia/pérdida por caja:
• Ventas con ganancia:
$25 - $20 = $5 ganancia/caja
• Ventas con pérdida: $16 - $20 = -$4
pérdida/caja
Cálculo neto:
600 cajas × $5 =
$3,000 ganancia
300 cajas × (-$4) = -$1,200 pérdida
Ganancia neta: $3,000 - $1,200 = $1,800
Más
eficiente:
Ganancia neta por caja promedio ponderada:
(2/3 × $5) + (1/3 × -$4) = $3.333 - $1.333 = $2
Ganancia total = 900
× $2 = $1,800
Error 1: Malinterpretar “una y un cuarto”
1.25 × 20
= $25 ✓ (no 1.25 + 20 = $21.25)
Error 2: Usar
porcentajes incorrectos
20% pérdida = 80% de $20 = $16 (no $4)
Error 3: Calcular solo ganancias
$3,000 ganancia -
omitir pérdidas $1,200
Error 4: Confundir
fracciones
2/3 de 900 = 600, 1/3 = 300 ✓
Error
5: Usar precios unitarios como totales
$5 ganancia/caja ×
900 = $4,500 → incorrecto
Usando fracciones:
“una y un cuarto” = 1¼ = 5/4
Precio venta ganancia = (5/4) × 20 = $25
Pérdida 20% = 1/5 del
costo
Precio venta pérdida = (4/5) × 20 = $16
Ingreso
total:
(2/3 × 900 × 25) + (1/3 × 900 × 16)
= (600 × 25)
+ (300 × 16)
= 15,000 + 4,800 = 19,800
Costo
total: 900 × 20 = 18,000
Ganancia: 19,800
- 18,000 = 1,800
Nuestro cálculo: $1,800
Opción A:
$1,800 ✓
Opción B: $2,400 → solo ganancias
600×4=2,400
Opción C: $2,700 → 900×3=2,700 (3
promedio)
Opción D: $3,000 → solo ganancias
600×5=3,000
Opción E: $3,200 → no relación
clara
Respuesta correcta: Opción A
Análisis de márgenes:
• Margen ganancia: 25/20 - 1
= 25%
• Margen pérdida: 16/20 - 1 = -20%
Margen promedio
ponderado:
(2/3 × 25%) + (1/3 × -20%)
= 16.667% -
6.667% = 10%
Ganancia total:
10% de $18,000 =
$1,800 ✓
Verificación con $1,800:
Si
ganancia = $1,800, ingreso = $19,800
Ingreso/caja promedio = $19,800
÷ 900 = $22
Costo/caja = $20
Ganancia/caja promedio = $2
Ganancia total = 900 × $2 = $1,800 ✓
Respuesta correcta:
$1,800
Opción A
Ganancia bruta total
Observación interesante: El margen neto promedio es del 10% ($2/$20), lo que explica por qué la ganancia total es exactamente el 10% del costo total ($18,000 × 10% = $1,800). Esta simetría ocurre porque las proporciones (2/3 y 1/3) y los porcentajes (25% y -20%) tienen una relación matemática especial.
🍨
Fórmula eficiente:
Ganancia = [(2/3×25%) +
(1/3×-20%)] × Costo total
= 10% × $18,000 = $1,800
Interpretación:
El comerciante obtuvo una
ganancia
bruta neta de $1,800 sobre la
venta total de 900 cajas
Conclusión clave: Este problema ilustra cómo calcular ganancias cuando se venden diferentes porciones del inventario a diferentes márgenes. La clave está en calcular por separado los ingresos de cada tipo de venta y luego restar el costo total. La respuesta $1,800 representa una ganancia neta del 10% sobre la inversión total, resultado del balance entre las ganancias del 25% sobre 2/3 del inventario y las pérdidas del 20% sobre 1/3 del inventario.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A - $1,800
Ganancias y pérdidas • Fracciones • Cálculo de ingresos netos
Análisis de precios relativos y distribución de ventas entre dos marcas
“Un comerciante vende solo dos marcas de bicicletas, marca A y marca B. El precio de venta de una bicicleta marca A es de $150, que es el 60 por ciento del precio de venta de una bicicleta marca B. Si el comerciante vende 100 bicicletas, y 3/5 de ellas son de la marca B, ¿cuál es el total de ventas del comerciante, en dólares, por la venta de bicicletas?”
A
$15,000
B
$16,000
C
$18,000
D
$21,000
E
$22,000
Datos:
• Precio marca A: $150
• $150 es 60% del
precio marca B
Ecuación:
60% × Precio B =
$150
0.60 × Precio B = $150
Precio B = $150 ÷ 0.60
= $150 ÷
(3/5)
= $150 × (5/3)
= $250
¡La marca B cuesta $250 por bicicleta!
Total bicicletas vendidas: 100
Marca
B: 3/5 del total
= 3/5 × 100 = 60 bicicletas
Marca A: Resto = 2/5 del total
= 2/5 × 100 = 40
bicicletas
Verificación: 60 + 40 = 100 ✓
Alternativa: Si 3/5 son B, entonces 2/5 son A
Ventas marca A:
40 bicicletas × $150 = $6,000
Ventas marca B:
60 bicicletas × $250 = $15,000
Ventas totales:
$6,000 + $15,000 = $21,000
¡La respuesta parece ser $21,000!
Usando fracciones directamente:
Precio B = $150 ÷
(3/5) = $150 × (5/3) = $250
Proporciones:
Marca
B: 3/5 = 60 unidades
Marca A: 2/5 = 40 unidades
Ventas
totales:
= (40 × 150) + (60 × 250)
= 6,000 + 15,000 =
$21,000
Verificación: 21,000 ÷ 100 = $210 promedio
Precio promedio ponderado:
Precio A = $150 (40% de
las ventas)
Precio B = $250 (60% de las ventas)
Precio
promedio =
(0.40 × $150) + (0.60 × $250)
= $60 + $150 =
$210
Ventas totales =
100 bicicletas × $210 =
$21,000
Ventilación:
• Aportación A: 40% × $150
= $60 promedio
• Aportación B: 60% × $250 = $150 promedio
•
Total: $210 promedio × 100 = $21,000
Error 1: Calcular precio B incorrectamente
$150 ×
1.60 = $240 → incorrecto
Correcto: $150 ÷ 0.60 = $250
Error 2: Confundir distribución
Si 3/5 son B,
entonces A = 2/5, no 1/5
Error 3: Usar porcentajes
inversos
40% de 100 = 40, no 60
Error 4: Sumar
precios sin considerar cantidades
$150 + $250 = $400 × 100 = $40,000
→ absurdo
Error 5: Calcular solo una marca
60 ×
$250 = $15,000 → Opción A (faltan las A)
Verificación con $21,000:
Si ventas totales =
$21,000 y 100 bicicletas
⇒ Promedio = $210 por bicicleta
Comprobación de distribución:
• 60% B a $250 = $150
contribución promedio
• 40% A a $150 = $60 contribución promedio
• Total: $150 + $60 = $210 ✓
Comprobación de relación de
precios:
$150 ÷ $250 = 0.60 = 60% ✓
Comprobación de cantidades:
60 + 40 = 100 ✓
Nuestro cálculo: $21,000
Opción A:
$15,000 → solo ventas B (60×250)
Opción B: $16,000
→ 40×150 + 60×233.33
Opción C: $18,000 → precio B
mal calculado ($225)
Opción D: $21,000 ✓
Opción E: $22,000 → 40×150 + 60×266.67
Respuesta correcta: Opción D
Patrón interesante:
• Relación precios: A/B = 3/5 =
0.60
• Relación cantidades: B/A = 3/2 = 1.50
Ventas
relativas:
Ventas A = 40 × $150 = $6,000
Ventas B = 60
× $250 = $15,000
Relación ventas: B/A =
15,000/6,000 = 2.5
Fórmula general:
Total = N ×
[(1-p)×P_A + p×P_B]
donde N=100, p=0.60, P_A=150, P_B=250
= 100
× [0.40×150 + 0.60×250]
= 100 × [60 + 150] = 100 × 210 = 21,000
Respuesta correcta:
$21,000
Opción D
Ventas totales del comerciante
Observación importante: Aunque se venden más bicicletas de la marca B (60 vs 40), el precio de la marca B es significativamente mayor ($250 vs $150). Esto hace que las ventas de la marca B representen una porción aún mayor de los ingresos totales: $15,000 de $21,000, es decir, aproximadamente el 71.4% del total, a pesar de que solo el 60% de las bicicletas vendidas son de la marca B.
🚲
Fórmula eficiente:
Ventas = N × [(1-p)×P_A +
p×P_B]
= 100 × [0.4×150 + 0.6×250]
Interpretación:
El comerciante generó $21,000
en
ventas de 100 bicicletas,
con promedio de $210 cada una
Conclusión clave: Este problema combina el cálculo de porcentajes inversos (encontrar el precio B dado que A es el 60% de B) con el cálculo de ventas ponderadas por distribución. La respuesta $21,000 surge de aplicar correctamente ambos conceptos: primero calcular el precio de la marca B ($250), luego distribuir las 100 bicicletas (60 B y 40 A), y finalmente sumar los ingresos de cada marca. El método del promedio ponderado proporciona una verificación rápida y elegante.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - $21,000
Porcentajes inversos • Promedios ponderados • Cálculo de ventas
Análisis de costos fijos, variables y determinación del volumen de equilibrio
“Una pequeña empresa textil compra algunas máquinas para coser prendas, con un costo total de $10,000. El costo por unidad de cada prenda es de $2.50, y se vende por $4.50. ¿Cuántas unidades de las prendas deben venderse para alcanzar el punto de equilibrio (fenómeno en el que todos los costos de inversión y producción se recuperan con los ingresos por ventas)?”
A
2,000
B
3,500
C
4,500
D
5,000
E
6,000
Costos Fijos (CF):
• Inversión en máquinas:
$10,000
• No varía con el número de unidades
Costos
Variables por unidad (CV):
• Costo por prenda: $2.50
•
Varía directamente con producción
Precio de Venta por unidad
(PV):
• Precio de venta: $4.50
Margen de
Contribución:
PV - CV = $4.50 - $2.50 = $2.00
Definición:
Punto donde: Ingresos Totales = Costos
Totales
Fórmula:
Punto de equilibrio (unidades)
=
Costos Fijos ÷ (Precio Venta - Costo Variable)
= CF ÷ (PV -
CV)
En nuestro caso:
CF = $10,000
PV =
$4.50
CV = $2.50
PV - CV = $2.00
Cada prenda contribuye $2.00 a cubrir costos fijos
Fórmula aplicada:
Punto equilibrio = $10,000 ÷
($4.50 - $2.50)
= $10,000 ÷ $2.00
= 5,000 unidades
Interpretación: Se necesitan vender 5,000 prendas
Para 5,000 unidades:
Costos
Totales:
CF + (CV × unidades)
= $10,000 + ($2.50 ×
5,000)
= $10,000 + $12,500 = $22,500
Ingresos
Totales:
PV × unidades = $4.50 × 5,000 = $22,500
Resultado: Costos = Ingresos ✓
¡Exactamente iguales en el punto de equilibrio!
Sea x = número de unidades
Ecuación de
equilibrio:
Ingresos = Costos
$4.50x = $10,000 +
$2.50x
Resolver:
$4.50x - $2.50x = $10,000
$2.00x = $10,000
x = $10,000 ÷ $2.00 = 5,000
Interpretación gráfica:
• Pendiente ingresos: $4.50
por unidad
• Pendiente costos: $2.50 por unidad
• Intersección
en x = 5,000 unidades
Error 1: Ignorar costos variables
$10,000 ÷ $4.50 ≈
2,222 → Opción cercana a A
Error 2: Sumar en lugar
de restar
$10,000 ÷ ($4.50 + $2.50) = 1,428.57
Error
3: Usar ganancia bruta incorrecta
$4.50 ÷ $2.50 = 1.8,
luego $10,000 × 1.8 = 18,000
Error 4: Confundir con
margen porcentual
Margen = 2/4.5 ≈ 44.44%, luego 10,000 ÷ 0.4444 ≈
22,500
Error 5: Dividir costos fijos entre costo
variable
$10,000 ÷ $2.50 = 4,000 → no es opción
Margen de contribución: $2.00
Porcentaje de
margen: $2.00/$4.50 ≈ 44.44%
Relación
costo/venta: $2.50/$4.50 ≈ 55.56%
Punto equilibrio
en dinero:
$10,000 ÷ 44.44% = $22,500
Verificación: 5,000 × $4.50 = $22,500 ✓
Interpretación:
Por cada $1 de ventas, $0.4444
contribuye
a cubrir costos fijos después de pagar variables
Nuestro cálculo: 5,000 unidades
Opción
A: 2,000 → $10,000 ÷ $4.50 = 2,222
Opción
B: 3,500 → no relación directa
Opción C:
4,500 → $10,000 ÷ $2.22 = 4,500
Opción D: 5,000 ✓ →
$10,000 ÷ $2.00 = 5,000
Opción E: 6,000 → $10,000 ÷
$1.67 = 6,000
Respuesta correcta: Opción D
Verificación con 5,000 unidades:
Ganancia
por unidad: $4.50 - $2.50 = $2.00
Ganancia
total: 5,000 × $2.00 = $10,000
¡Exactamente los costos
fijos!
Prueba con 4,000 unidades:
Ganancia: 4,000 × $2.00 = $8,000
Faltan $2,000 para cubrir
$10,000
Prueba con 6,000 unidades:
Ganancia: 6,000 × $2.00 = $12,000
Supera costos fijos por $2,000
(ganancia neta)
Conclusión: Solo 5,000 da
equilibrio exacto
Respuesta correcta:
5,000
Opción D
Unidades para punto de equilibrio
Importancia del concepto: El punto de equilibrio es fundamental en negocios. Indica el volumen mínimo de ventas necesario para no perder dinero. Más allá de 5,000 unidades, la empresa genera ganancias; por debajo, incurre en pérdidas. Cada prenda vendida aporta $2.00 para cubrir los $10,000 de inversión inicial en máquinas.
🏭
Fórmula clave:
PE(unidades) = CF ÷ (PV - CV)
Interpretación práctica:
Cada prenda contribuye $2
para
cubrir la inversión de $10,000
Conclusión clave: Este problema ilustra el concepto fundamental de punto de equilibrio en negocios. La solución de 5,000 unidades surge de dividir los costos fijos ($10,000) entre el margen de contribución por unidad ($2.00). Es crucial distinguir entre costos fijos (inversión inicial) y costos variables (producción por unidad). Este análisis ayuda a los empresarios a determinar el volumen mínimo de ventas necesario para que un negocio sea viable.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN D - 5,000
Análisis de punto de equilibrio • Costos fijos y variables • Margen de contribución
Análisis de márgenes brutos sobre el costo y cálculo de precios de venta
“Un corredor vendió una casa con un margen bruto del 20 por ciento sobre el costo de la casa. Si el precio de venta de la casa se aumentara en $10,000, daría un margen bruto del 30 por ciento del costo de la casa. ¿Cuál era el precio de venta original de la casa?”
A
$90,000
B
$100,000
C
$120,000
D
$140,000
E
$150,000
Definiciones clave:
• Costo de la casa = C
•
Precio venta original = P
• Margen bruto = (P - C)/C × 100%
Datos:
1. Margen original: 20% sobre costo
⇒ P
= C + 0.20C = 1.20C
2. Si precio aumenta $10,000: margen 30%
⇒ P
+ 10,000 = C + 0.30C = 1.30C
Ecuación 1 (margen 20%):
P = 1.20C
Ecuación 2 (margen 30% con aumento):
P + 10,000 =
1.30C
Sustituir P de ecuación 1 en 2:
1.20C +
10,000 = 1.30C
Ahora tenemos una ecuación con una variable
De: 1.20C + 10,000 = 1.30C
Reorganizar:
10,000 = 1.30C - 1.20C
10,000 =
0.10C
Resolver:
C = 10,000 ÷ 0.10
C =
100,000
Interpretación: El costo de la casa es $100,000
Usando ecuación 1: P = 1.20C
P = 1.20 × 100,000
P = $120,000
Verificación: 120,000 ÷ 1.20 = 100,000 ✓
Verificación margen 20%:
Costo: $100,000
Precio: $120,000
Ganancia: $20,000
Margen: 20,000/100,000 = 20%
✓
Verificación margen 30% con aumento:
Nuevo precio: $120,000 + $10,000 = $130,000
Ganancia: $30,000
Margen: 30,000/100,000 = 30% ✓
Error 1: Confundir margen sobre costo vs venta
20%
sobre venta ≠ 20% sobre costo
Error 2: Usar
porcentajes incorrectamente
$10,000 = 10% de algo → pero ¿10% de
qué?
Error 3: Asumir $10,000 es 10% del precio
Si fuera 10% de P, P = $100,000 → Opción B
Error 4:
No distinguir entre C y P
$10,000 = 0.10C (correcto), no 0.10P
Error 5: Calcular directamente sin sistema
10%
diferencia = $10,000 → 100% = $100,000
→ pero eso es C, no P
Análisis conceptual:
• Margen aumenta de 20% a 30%
del costo
• Diferencia: 10% del costo
• Este 10% corresponde a
$10,000
Por lo tanto:
10% de C = $10,000
C
= $10,000 ÷ 0.10 = $100,000
Precio original:
P
= C + 20% de C = 1.20 × $100,000 = $120,000
Nuestro cálculo: $120,000
Opción
A: $90,000 → costo $75,000, margen $15k (20%)
Opción B: $100,000 → costo $83,333, margen $16,667
(20%)
Opción C: $120,000 ✓ → costo $100,000, margen
$20k (20%)
Opción D: $140,000 → costo $116,667,
margen $23,333 (20%)
Opción E: $150,000 → costo
$125,000, margen $25k (20%)
Respuesta correcta:
Opción C
Verificación con $120,000:
Escenario
original:
P = $120,000
Margen = 20% sobre costo
⇒
Costo = 120,000 ÷ 1.20 = $100,000
Ganancia = $20,000 (20% de
$100,000)
Escenario con aumento:
Nuevo P =
$130,000
Mismo costo = $100,000
Nueva ganancia = $30,000
Nuevo margen = 30,000/100,000 = 30% ✓
Diferencia: $10,000 aumento produce
10% más de
margen sobre el costo
Respuesta correcta:
$120,000
Opción C
Precio de venta original
Observación importante: El aumento de $10,000 en el precio de venta aumenta el margen exactamente en 10 puntos porcentuales (de 20% a 30%) sobre el costo. Esto ocurre porque el costo se mantiene constante, por lo que el aumento de $10,000 en el precio se traduce directamente en $10,000 adicionales de ganancia, que representan el 10% del costo de $100,000.
🏠
Fórmula clave:
Diferencia en % margen × Costo =
Aumento precio
10% × C = $10,000
Interpretación:
Costo: $100,000
Precio
original: $120,000
Ganancia original: $20,000 (20%)
Conclusión clave: Este problema ilustra la relación entre precio de venta, costo y margen bruto. La clave está en reconocer que el aumento de $10,000 en el precio de venta corresponde exactamente a un aumento del 10% en el margen sobre el costo, lo que permite calcular primero el costo ($100,000) y luego el precio original ($120,000). Es fundamental distinguir entre margen sobre costo (como en este problema) y margen sobre precio de venta, ya que son conceptos diferentes.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - $120,000
Márgenes sobre costo • Sistemas de ecuaciones • Relaciones porcentuales
Análisis de costos variables con estructura de precios por tramos y cálculo de ganancia bruta
“Un ensamblador de televisores paga a sus contratistas $20 por cada uno de los primeros 100 televisores ensamblados y $15 por cada televisor adicional. Si se ensamblaron 600 televisores y el ensamblador facturó a los fabricantes $25 por cada televisor, ¿cuál fue la ganancia bruta del ensamblador en dólares?”
A
$3,750
B
$4,500
C
$5,500
D
$6,000
E
$7,000
Total televisores ensamblados: 600
Primer
tramo: Primeros 100 TV
• Precio: $20 cada uno
Segundo tramo: TV adicionales
• Precio: $15 cada
uno
• Cantidad: 600 - 100 = 500 TV
Resumen:
• 100 TV a $20 cada uno
• 500 TV a $15 cada uno
Costo primer tramo (100 TV):
100 × $20 = $2,000
Costo segundo tramo (500 TV):
500 × $15 =
$7,500
Costo total:
$2,000 + $7,500 = $9,500
¡El ensamblador pagó $9,500 a los contratistas!
Precio de facturación por TV: $25
Total TV
ensamblados: 600
Ingresos totales:
600
× $25 = $15,000
Verificación: 600 × 25 = 15,000
Fórmula:
Ganancia bruta = Ingresos totales - Costos
totales
= $15,000 - $9,500
= $5,500
Verificación: 15,000 - 9,500 = 5,500
Costo promedio por TV:
(100 × $20 + 500 × $15) ÷
600
= ($2,000 + $7,500) ÷ 600
= $9,500 ÷ 600 ≈ $15.8333
Ganancia por TV:
$25 - $15.8333 = $9.1667
Ganancia total:
600 × $9.1667 ≈ $5,500 ✓
O directamente:
Ganancia total = 600×25 - (100×20 +
500×15)
= 15,000 - 9,500 = 5,500
Error 1: Usar precio promedio incorrecto
($20 +
$15) ÷ 2 = $17.50 → luego 600×($25-$17.50)=$4,500
→ Opción B
(incorrecto)
Error 2: Calcular solo un tramo
600 × ($25 - $20) = $3,000
600 × ($25 - $15) = $6,000
Error 3: Confundir distribución
100 a $20 + 500 a
$15 (correcto)
No: 100 a $20 + 400 a $15 (faltan 100)
Error 4: No sumar ambos tramos de costos
Solo
calcular 500 × $15 = $7,500
Error 5: Confundir
ganancia por unidad
Desglose completo:
Ingresos: 600 ×
$25 = $15,000
Costos:
• Primeros 100: 100 × $20
= $2,000
• Siguientes 500: 500 × $15 = $7,500
• Total costos:
$9,500
Ganancia: $15,000 - $9,500 = $5,500
Verificación por tramos:
• Tramos 1-100: ganancia =
$25 - $20 = $5
Total: 100 × $5 = $500
• Tramos 101-600: ganancia
= $25 - $15 = $10
Total: 500 × $10 = $5,000
• Ganancia total:
$500 + $5,000 = $5,500 ✓
Nuestro cálculo: $5,500
Opción A:
$3,750 → 600×($25-$18.75)=$3,750
Opción B: $4,500 →
600×($25-$17.50)=$4,500
Opción C: $5,500 ✓
Opción D: $6,000 → 600×($25-$15)=$6,000
Opción E: $7,000 → 600×($25-$13.33)=$7,000
Respuesta correcta: Opción C
Análisis de márgenes:
Margen
promedio: $5,500 ÷ $15,000 = 36.67%
Margen por
tramos:
• Tramos 1-100: $5/$25 = 20% margen
• Tramos
101-600: $10/$25 = 40% margen
Costo promedio
ponderado:
(100/600 × $20) + (500/600 × $15)
= (1/6 ×
$20) + (5/6 × $15)
= $3.333 + $12.500 = $15.833
Ganancia
promedio: $25 - $15.833 = $9.167
Ganancia
total: 600 × $9.167 = $5,500
Respuesta correcta:
$5,500
Opción C
Ganancia bruta del ensamblador
Observación importante: La estructura de costos escalonados crea diferentes márgenes de ganancia por unidad. Los primeros 100 televisores generan solo $5 de ganancia cada uno (20% de margen), mientras que los siguientes 500 generan $10 cada uno (40% de margen). Esto ilustra cómo los descuentos por volumen en los costos pueden mejorar significativamente la rentabilidad en grandes cantidades.
📺
Fórmula clave:
Ganancia = N×P - [T₁×C₁ +
(N-T₁)×C₂]
donde N=600, P=25, T₁=100, C₁=20, C₂=15
Interpretación:
El ensamblador generó $5,500
de
ganancia bruta ensamblando
y vendiendo 600 televisores
Conclusión clave: Este problema ilustra cómo calcular ganancias cuando los costos tienen una estructura escalonada. La clave está en calcular correctamente la distribución entre los dos tramos de precios (100 unidades al precio más alto, 500 al precio más bajo) y luego sumar los costos e ingresos por separado. La respuesta $5,500 surge de la diferencia entre los $15,000 de ingresos y los $9,500 de costos. Es importante evitar el error común de usar un promedio simple de los costos en lugar de un promedio ponderado por las cantidades reales en cada tramo.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN C - $5,500
Costos escalonados • Cálculo de ganancias • Promedios ponderados
Determinación de proporciones a partir de cambios porcentuales en componentes y total
“Los ingresos por ventas de libros en 2015 fueron un 10% menos que en 2014, y los ingresos por ventas de papelería en 2015 fueron un 6% más que en 2014. Si los ingresos totales por ventas de libros y papelería en 2015 fueron un 2% más que en 2014, ¿cuál es la proporción de los ingresos por ventas de libros en 2014 a los ingresos por ventas de papelería en 2014?”
A
1 : 3
B
2 : 3
C
3 : 4
D
4 : 5
E
5 : 6
Sea:
• B = ingresos por libros en 2014
• S =
ingresos por papelería en 2014
Total 2014: B +
S
Cambios para 2015:
• Libros: 10% menos =
0.90B
• Papelería: 6% más = 1.06S
Total 2015:
0.90B + 1.06S
Dato: Total 2015 es 2% más que total 2014
Total 2015 = 1.02 × Total 2014
0.90B + 1.06S =
1.02(B + S)
Expandiendo:
0.90B + 1.06S = 1.02B
+ 1.02S
¡Ahora tenemos una ecuación con B y S!
De: 0.90B + 1.06S = 1.02B + 1.02S
Mover
términos con B a un lado:
1.06S - 1.02S = 1.02B - 0.90B
0.04S = 0.12B
Simplificar dividiendo entre
0.04:
S = (0.12/0.04)B
S = 3B
Tenemos: S = 3B
La pregunta pide:
B : S
Sustituyendo: B : 3B
Simplificando: 1 : 3
Por lo
tanto:
Ingresos libros 2014 : Ingresos papelería 2014 =
1 : 3
Interpretación: Por cada $1 en libros, hay $3 en papelería
Concepto: El promedio total (2%) está entre -10% y
+6%
Distancias al promedio:
• De -10% a +2%: 12
unidades
• De +2% a +6%: 4 unidades
Regla de
mezcla:
Proporción inversa de las distancias
B
: S = (6-2) : (2-(-10))
B : S = 4 : 12 = 1 : 3
Interpretación: La proporción es inversa a las
distancias del promedio
Supongamos B = $100, S = $300 (ratio 1:3)
2014: Total = $100 + $300 = $400
2015:
• Libros: $100 × 0.90 = $90 (-10%)
•
Papelería: $300 × 1.06 = $318 (+6%)
• Total 2015: $90 + $318 =
$408
% cambio total: (408-400)/400 = 8/400 = 0.02 =
2% ✓
Conclusión: La proporción 1:3 funciona
perfectamente
Fórmula general para mezcla:
Si B cambia a p% y S
cambia a q%,
y el total cambia a r%, entonces:
B/S = (q -
r)/(r - p)
En nuestro caso:
p = -10%,
q = +6%, r = +2%
B/S = (6 - 2)/(2 - (-10))
= 4/12 = 1/3
Por lo tanto: B : S = 1 : 3
Nuestra proporción: 1 : 3
Opción
A: 1 : 3 ✓
Opción B: 2 : 3 → B=2x,
S=3x
Promedio = (2×(-10)+3×6)/5 = (-20+18)/5 = -0.4% ≠ 2%
Opción C: 3 : 4 → B=3x, S=4x
Promedio =
(3×(-10)+4×6)/7 = (-30+24)/7 = -6/7 ≈ -0.857% ≠ 2%
Opción
D: 4 : 5 → B=4x, S=5x
Promedio = (4×(-10)+5×6)/9 =
(-40+30)/9 = -10/9 ≈ -1.111% ≠ 2%
Opción E: 5 : 6 →
B=5x, S=6x
Promedio = (5×(-10)+6×6)/11 = (-50+36)/11 = -14/11 ≈
-1.273% ≠ 2%
Respuesta correcta: Opción A
Interpretación económica:
El promedio ponderado de
los cambios (-10% y +6%) da +2%.
Como el promedio (+2%) está mucho
más cerca de +6% que de -10%,
el componente con +6% (papelería) debe
tener mucho más peso.
Cálculo del promedio
ponderado:
Cambio total = (B×(-0.10) + S×0.06)/(B+S) =
0.02
-0.10B + 0.06S = 0.02B + 0.02S
0.06S - 0.02S = 0.02B +
0.10B
0.04S = 0.12B
S/B = 3 → B/S = 1/3
Porcentaje de cada componente:
Libros: 1/(1+3) =
25% del total
Papelería: 3/(1+3) = 75% del total
Respuesta correcta:
1
: 3
Opción A
Libros 2014 : Papelería 2014
Observación importante: Este es un problema clásico de “promedio ponderado” donde un componente disminuye (-10%) y otro aumenta (+6%), pero el total aumenta ligeramente (+2%). Esto solo es posible si el componente que aumenta es significativamente más grande que el que disminuye. La proporción 1:3 significa que los ingresos por papelería en 2014 eran 3 veces mayores que los de libros, lo que explica por qué un aumento del 6% en la papelería (grande) puede compensar una disminución del 10% en los libros (pequeño) y aún así dar un aumento neto del 2%.
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Fórmula rápida:
B/S = (q - r)/(r - p)
donde
p=-10%, q=6%, r=2%
Interpretación:
En 2014, por cada $1 en
libros,
había $3 en papelería
Conclusión clave: Este problema demuestra el concepto de promedio ponderado aplicado a cambios porcentuales. Cuando un componente disminuye y otro aumenta, el cambio total refleja no solo las magnitudes de los cambios individuales, sino también las proporciones relativas de cada componente. La solución 1:3 significa que la papelería era 3 veces más grande que los libros en 2014, lo que explica cómo un aumento moderado en la papelería puede compensar una disminución más pronunciada en los libros y aún así producir un aumento neto en el total.
✅ SOLUCIÓN CORRECTA: OPCIÓN A - 1 : 3
Promedio ponderado • Regla de mezcla • Proporciones a partir de porcentajes