📅 A. FUNDAMENTOS TEÓRICOS - ESTADÍSTICA INFERENCIAL

📚 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL CON R Y PYTHON

Fundamentos teóricos, metodología científica y aplicaciones computacionales

🎯 01. INTRODUCCIÓN - LA CIENCIA AUXILIAR

“La estadística es, en principio, una ciencia auxiliar. Los procedimientos estadísticos deben ayudar, por lo tanto, a encontrar, verificar y/o rechazar, si es el caso, ciertos aspectos, relaciones, reglas, propiedades, etc., que pueden ser relevantes para algún problema de interés.”

🔍 Proceso Estadístico del Investigador

  • Inicia con un problema práctico de aplicación real
  • Identifica variables de interés relevantes
  • Determina escalas de medición apropiadas
  • Considera relaciones causa-efecto (X → Y)
  • Traduce a modelos probabilísticos

📊 Clasificación de Variables

  • Nominal: Etiquetas sin orden (género, color)
  • Ordinal: Con orden pero sin distancia (escala Likert)
  • Métrica: Con distancia y orden (edad, peso)
  • Cualitativas: Codificación simbólica
  • Cuantitativas: Valores numéricos reales

📈 Relaciones de Dependencia

🏷️ Variables Independientes (X)

  • Representan causas
  • Variables predictoras
  • Factores de influencia
  • Manipulables en experimentos

📉 Variables Dependientes (Y)

  • Representan efectos
  • Variables respuesta
  • Resultados observados
  • Medidas de desempeño

🔄 02. MODELADO PROBABILÍSTICO Y MUESTREO

🎯 Traducción a Modelos Probabilísticos

  • Variables → Variables Aleatorias
  • Cualitativas → Distribución Binomial/Multinomial
  • Cuantitativas → Distribución Normal
  • Parámetros θ reflejan aspectos relevantes
  • Validación constante del modelo

📐 Definiciones Matemáticas

  • Modelo Probabilístico: \(f_Y(y, \theta)\)
  • Función de Densidad/Probabilidad
  • Muestra: \(Y = (Y_1, Y_2, ..., Y_n)\)
  • Función de Verosimilitud: \(L(\theta|y)\)
  • Modelo Estadístico: Muestra + Distribución

🔄 Proceso de Modelado

1

Problema Real
Identificación de variables

2

Modelo Probabilístico
\(f_Y(y, \theta)\)

3

Recolección de Datos
Muestra \(Y_1, ..., Y_n\)

4

Análisis Estadístico
Inferencia sobre θ

📊 03. ESTADÍSTICOS Y ESTIMADORES PUNTUALES

🎯 Reducción de Dimensionalidad

“Por lo general, no se trabaja con toda la muestra \(Y\), sino con funciones \(S(Y)\), llamadas estadísticas, que consisten en una reducción de la dimensión de la observación.”

📈 Estadísticas Suficientes

  • Reducción de datos sin pérdida de información
  • Contienen toda la información sobre θ
  • Ejemplos: Media muestral, varianza muestral
  • Teorema de factorización de Fisher-Neyman
  • Aplicación en inferencia eficiente

🎯 Estimación Puntual

  • Estadística \(\hat{\theta}(Y)\) que estima θ
  • Valor concreto \(\hat{\theta}(y)\) calculado de datos
  • Propiedades deseables:
    • Insesgamiento
    • Eficiencia
    • Consistencia
  • Métodos: MLE, momentos, Bayesiana

🔬 04. TRES NÚCLEOS DEL ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1️⃣

📏 Estimación Puntual

  • Valor único \(\hat{\theta}(y)\)
  • Aproxima el parámetro θ
  • Ejemplos: Media, mediana, moda
  • Sin medida de precisión
  • Base para otros análisis

2️⃣

📐 Intervalos de Confianza

  • Intervalo aleatorio \(IC(Y)\)
  • Probabilidad \(1-\alpha\) de contener θ
  • Precisión de la estimación
  • \(IC(y) = \hat{\theta}(y) \pm D(y)\)
  • Interpretación frecuentista

3️⃣

🧪 Pruebas de Hipótesis

  • \(H_0\) vs \(H_1\) sobre θ
  • Error tipo I (α)
  • Región de aceptación/rechazo
  • Relación con intervalos
  • Valor p (p-value)

🎓 05. ESQUEMA INTEGRAL DEL TRABAJO ESTADÍSTICO

📈 Proceso Científico de Cuatro Pasos

\[ \text{Problema} \Rightarrow \text{Modelo} \Rightarrow \text{Datos} \Rightarrow \text{Análisis} \]

“El esquema anterior debe mantenerse en mente para estudiar y aprender los conceptos fundamentales de Estadística. El esquema no es de una sola dirección; debe volverse siempre a los pasos anteriores, comprobando, verificando, modificando y, finalmente, interpretando los resultados de los análisis en términos del problema original.”

🎯 Problema

  • Aplicación real y práctica
  • Variables de interés
  • Preguntas de investigación
  • Contexto del estudio
  • Objetivos claros

📐 Modelo

  • Traducción probabilística
  • Distribuciones apropiadas
  • Parámetros relevantes
  • Supuestos verificables
  • Validación teórica

📊 Datos

  • Muestra representativa
  • Recolección sistemática
  • Calidad y limpieza
  • Tamaño adecuado
  • Documentación completa

🔬 Análisis

  • Métodos estadísticos apropiados
  • Validación de supuestos
  • Interpretación de resultados
  • Comunicación efectiva
  • Retorno al problema

💡 Principios Fundamentales

🔄 Ciclo Iterativo

  • No es proceso lineal
  • Retroalimentación constante
  • Revisión de pasos anteriores
  • Ajuste de modelos
  • Mejora continua

🎯 Interpretación Contextual

  • Resultados en términos del problema
  • Significancia práctica vs estadística
  • Limitaciones del estudio
  • Recomendaciones accionables
  • Comunicación a stakeholders

🎓 FILOSOFÍA DE LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Ciencia auxiliar • Metodología rigurosa • Pensamiento crítico • Aplicación práctica • Herramienta para la toma de decisiones informadas

🧪 EJEMPLOS CONTEXTUALIZADOS

🏥 Ejemplo 1: Eficacia de un Nuevo Fármaco

1. Problema: Un laboratorio farmacéutico quiere determinar si un nuevo medicamento para reducir la presión arterial es efectivo.

2. Modelo: La variable de interés es la reducción media de presión (en mmHg) en pacientes. Se asume que esta reducción sigue una distribución Normal: Y ~ N(μ, σ²), donde μ (parámetro θ) es la reducción media poblacional real.

3. Datos: Se administra el fármaco a n=100 pacientes seleccionados aleatoriamente y se mide la reducción en cada uno, obteniendo la muestra y = (y₁, y₂, …, y₁₀₀).

4. Análisis:

  • Estimación Puntual: Calcular la media muestral x̄ como estimador μ̂.
  • Intervalo de Confianza: Construir un IC del 95% para μ. Si el IC resultante es, por ejemplo, (5.2, 8.8) mmHg, podemos afirmar con 95% de confianza que la reducción media real está en ese rango.
  • Prueba de Hipótesis: Plantear H₀: μ ≤ 0 (no hay reducción) vs. H₁: μ > 0. Si el IC del 95% (5.2, 8.8) no contiene el 0, se rechaza H₀, concluyendo evidencia estadística de efectividad.

🏭 Ejemplo 2: Control de Calidad en una Fábrica

1. Problema: Un ingeniero de producción necesita asegurar que la proporción de piezas defectuosas en una línea de montaje no supere el 2%.

2. Modelo: La variable es si una pieza es defectuosa (éxito=1) o no (fracaso=0). El número de defectuosas en una muestra de n piezas sigue una distribución Binomial: X ~ Binomial(n, p), donde p (parámetro θ) es la proporción real de defectos en la población.

3. Datos: Se inspeccionan n=500 piezas al azar de un día de producción. Se cuenta cuántas son defectuosas, digamos x=8.

4. Análisis:

  • Estimación Puntual: Calcular la proporción muestral p̂ = 8/500 = 0.016 como estimador de p.
  • Intervalo de Confianza: Calcular un IC del 99% para p usando la aproximación normal o métodos exactos. Si resulta ser (0.005, 0.027), hay confianza en que la tasa real está entre 0.5% y 2.7%.
  • Prueba de Hipótesis: Plantear H₀: p ≤ 0.02 vs. H₁: p > 0.02. Si el límite superior del IC (0.027) es mayor que 0.02, podría haber indicios de un problema, pero se requiere la prueba formal para tomar una decisión (e.g., detener la línea).

📱 Ejemplo 3: Análisis de Satisfacción de Usuarios (App)

1. Problema: Una startup de tecnología quiere saber si el tiempo promedio de respuesta de su aplicación móvil es menor a 3 segundos tras una actualización.

2. Modelo: La variable es el tiempo de respuesta (en segundos) para una acción específica. Por el Teorema del Límite Central, la media muestral de estos tiempos tenderá a una distribución Normal, incluso si los tiempos individuales no la siguen: X̄ ~ N(μ, σ²/n), donde μ es el tiempo medio poblacional real.

3. Datos: Se registran automáticamente los tiempos de n=200 usuarios seleccionados aleatoriamente después de la actualización.

4. Análisis:

  • Estimación Puntual: Calcular la media muestral de los 200 tiempos, por ejemplo, x̄ = 2.8 s.
  • Intervalo de Confianza: Construir un IC unilateral del 95% para μ. Si el límite superior es 2.95 s, podemos decir con 95% de confianza que el tiempo medio real es menor a 2.95 s.
  • Prueba de Hipótesis: Plantear H₀: μ ≥ 3 s vs. H₁: μ < 3 s. Si todo el IC (e.g., (2.65, 2.95)) está por debajo de 3, se rechaza H₀, concluyendo que la actualización sí mejoró el rendimiento.

💻 CÓDIGO DE ILUSTRACIÓN (R & Python)

Ejemplo en R (Fármaco) 

# Simulación de datos: Reducción de presión arterial en 100 pacientes
set.seed(123)
reduccion <- rnorm(100, mean = 7, sd = 2) # μ=7, σ=2

# 1. Estimación Puntual (Media muestral)
estimacion_puntual <- mean(reduccion)
cat("Estimación puntual (μ̂):", round(estimacion_puntual, 2), "mmHg\n")

# 2. Intervalo de Confianza del 95%
ic <- t.test(reduccion, conf.level = 0.95)$conf.int
cat("IC 95% para μ: [", round(ic[1],2), ", ", round(ic[2],2), "] mmHg\n")

# 3. Prueba de Hipótesis (Unilateral derecha: H1: μ > 0)
prueba <- t.test(reduccion, alternative = "greater", mu = 0)
cat("Prueba H0: μ ≤ 0 vs H1: μ > 0\n")
cat("Estadístico t:", round(prueba$statistic, 3), "\n")
cat("Valor p:", format.pval(prueba$p.value, digits=3), "\n")
if(prueba$p.value < 0.05) {
  cat("Conclusión: Rechazamos H0. El fármaco es efectivo.\n")
} else {
  cat("Conclusión: No hay evidencia suficiente para rechazar H0.\n")
}

Ejemplo en Python (Control de Calidad) 

import numpy as np
import statsmodels.stats.proportion as smprop

# Datos: 8 defectuosas en 500 piezas
n, x = 500, 8
p_muestral = x / n

# 1. Estimación Puntual
print(f"Estimación puntual (p̂): {p_muestral:.3%}")

# 2. Intervalo de Confianza del 99% (Método de Wilson)
ic_inf, ic_sup = smprop.proportion_confint(x, n, alpha=0.01, method='wilson')
print(f"IC 99% para p: [{ic_inf:.3%}, {ic_sup:.3%}]")

# 3. Prueba de Hipótesis (Unilateral derecha: H1: p > 0.02)
# Estadístico Z y valor p
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
z_stat, p_value = proportions_ztest(x, n, value=0.02, alternative='larger')
print(f"\nPrueba H0: p ≤ 0.02 vs H1: p > 0.02")
print(f"Estadístico Z: {z_stat:.3f}")
print(f"Valor p: {p_value:.4f}")

if p_value < 0.01: # Nivel de significancia del 1%
    print("Conclusión: Rechazamos H0. Evidencia de que la tasa de defectos > 2%.")
else:
    print("Conclusión: No hay evidencia suficiente para rechazar H0.")

📅 B. FUNDAMENTOS TEÓRICOS - DISTRIBUCIONES MUESTRALES

📊 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Y SUS APLICACIONES

Fundamentos teóricos, teoremas clave y aplicaciones prácticas con R y Python

📈 03. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA MUESTRAL

Supuestos básicos: Variables \(Y_1, Y_2, ..., Y_n\) independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) de una población bajo estudio.

🎯 Estimador de la Media Poblacional

\[ \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \]

  • Valor estimado: \(\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i\)
  • Propósito: Estimar \(\mu\) (media poblacional)
  • Bondad: Depende del comportamiento de \(Y_i\)
  • Aplicación: Inferencia sobre parámetros poblacionales

📐 Teorema Fundamental

Sea \(Y_1, Y_2, ..., Y_n\) una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una distribución normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\). Entonces:

\[ \bar{Y} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]

  • Media: \(\mu_{\bar{Y}} = \mu\)
  • Varianza: \(\sigma_{\bar{Y}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}\)
  • Error estándar: \(\sigma_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

🏭 05. EJEMPLO 1: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE \(\bar{Y}\)

🏭 Problema de Embotelladora

Contexto: Máquina llena botellas con distribución normal, \(\sigma = 1.0\) onza. Muestra de \(n = 9\) botellas.

  1. Probabilidad \(\bar{Y}\) cercana a \(\mu\)

Calcular \(P(|\bar{Y} - \mu| \leq 0.3)\):

\[ \begin{aligned} P(|\bar{Y} - \mu| \leq 0.3) &= P\left(-\frac{0.3}{\sigma/\sqrt{n}} \leq Z \leq \frac{0.3}{\sigma/\sqrt{n}}\right) \\ &= P\left(-\frac{0.3}{1/\sqrt{9}} \leq Z \leq \frac{0.3}{1/\sqrt{9}}\right) \\ &= P(-0.9 \leq Z \leq 0.9) = 0.6318 \end{aligned} \]

  1. Tamaño Muestral para Precisión

Encontrar \(n\) tal que \(P(|\bar{Y} - \mu| \leq 0.3) = 0.95\):

\[ \begin{aligned} \frac{0.3}{\sigma/\sqrt{n}} &= 1.96 \quad (\text{valor crítico para } 95\%) \\ 0.3\sqrt{n} &= 1.96 \\ n &= \left(\frac{1.96}{0.3}\right)^2 = 42.68 \approx 43 \end{aligned} \]

💻 Implementación en R 

# Parámetros
sigma <- 1.0; n <- 9; delta <- 0.3

# (a) Probabilidad
z_score <- delta / (sigma / sqrt(n))
prob_a <- pnorm(z_score) - pnorm(-z_score)  # Resultado: 0.6318

# (b) Tamaño muestral
z_alpha <- qnorm(0.975)  # 1.96 para 95%
n_b <- ceiling((z_alpha * sigma / delta)^2)  # Resultado: 43

06. Ahora usaremos R

# Parámetros dados
sigma <- 1.0     # Desviación estándar poblacional
n <- 9           # Tamaño de la muestra
delta <- 0.3     # Margen de error (0.3 onzas)
mu <- 0          # Media real (asumimos μ = 0 para la gráfica)

# Error estándar de la media
se <- sigma / sqrt(n)

# Límites del área a sombrear
lower_limit <- mu - delta
upper_limit <- mu + delta

# Crear una secuencia de valores para la distribución normal
x <- seq(mu - 4 * se, mu + 4 * se, length.out = 1000)

# Calcular la densidad de la distribución normal
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = se)

# Graficar la distribución normal
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Media muestral (Ȳ)", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución normal de la media muestral -Julio Hurtado")

# Sombrear el área entre lower_limit y upper_limit
x_shade <- seq(lower_limit, upper_limit, length.out = 1000)
y_shade <- dnorm(x_shade, mean = mu, sd = se)
polygon(c(lower_limit, x_shade, upper_limit), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir líneas verticales para los límites
abline(v = lower_limit, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
abline(v = upper_limit, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución normal", "Área sombreada (P(|Ȳ - μ| ≤ 0.3))"),
       col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

# Parámetros dados
sigma <- 1.0     # Desviación estándar poblacional
n <- 9           # Tamaño de la muestra (inciso a)
delta <- 0.3     # Margen de error (0.3 onzas)
prob <- 0.95     # Probabilidad deseada (inciso b)

# (a) Probabilidad de que la media muestral esté a lo más 0.3 onzas de μ
z_score <- delta / (sigma / sqrt(n))  # Cálculo del puntaje Z
prob_a <- pnorm(z_score) - pnorm(-z_score)  # Probabilidad usando la distribución normal

# Mostrar resultado del inciso (a)
print(paste("(a) La probabilidad de que la media muestral esté a lo más 0.3 onzas de μ es:", round(prob_a, 4)))
## [1] "(a) La probabilidad de que la media muestral esté a lo más 0.3 onzas de μ es: 0.6319"
# (b) Tamaño de la muestra para que la media esté a lo más 0.3 onzas de μ con probabilidad 0.95
z_alpha <- qnorm((1 + prob) / 2)  # Valor crítico de Z para una probabilidad de 0.95
n_b <- ceiling((z_alpha * sigma / delta)^2)  # Cálculo del tamaño de la muestra

# Mostrar resultado del inciso (b)
print(paste("(b) El tamaño de la muestra necesario para que la media esté a lo más 0.3 onzas de μ con una probabilidad de 0.95 es:", n_b))
## [1] "(b) El tamaño de la muestra necesario para que la media esté a lo más 0.3 onzas de μ con una probabilidad de 0.95 es: 43"

📐 07. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADA

🎯 Teorema Fundamental

Sea \(Y_1, Y_2, ..., Y_n\) una muestra aleatoria de una distribución normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\).

\[ \sum_{i=1}^n \frac{(Y_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n)} \]

📊 Ejemplo 2: Valor Crítico

Problema: \(Z_1, ..., Z_6 \sim N(0,1)\), hallar \(b\) tal que \(P(\sum Z_i^2 \leq b) = 0.95\)

\[ \sum_{i=1}^6 Z_i^2 \sim \chi^2_{(6)} \\ P(\chi^2_{(6)} \leq 12.5916) = 0.95 \\ \Rightarrow b = 12.5916 \]

Implementación R: qchisq(0.95, df=6)

🔬 Distribución de la Varianza Muestral

Teorema: Para muestra normal:

\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)} \]

Propiedad clave: \(\bar{Y}\) y \(S^2\) son independientes

🏭 Ejemplo 3: Muestreo de Varianzas

📊 Problema

  • \(n = 10\) botellas, \(\sigma = 1.0\)
  • Encontrar \(b_1, b_2\) tal que \(P(b_1 \leq S^2 \leq b_2) = 0.90\)
  • Usar: \(\frac{9S^2}{1} \sim \chi^2_{(9)}\)

🎯 Solución

  • Tabla \(\chi^2(9)\): \(P(3.325 \leq \chi^2 \leq 16.919) = 0.90\)
  • \(b_1 = 3.325/9 = 0.369\)
  • \(b_2 = 16.919/9 = 1.880\)

Usando R

# Parámetros dados
n <- 6           # Tamaño de la muestra (grados de libertad)
prob <- 0.95     # Probabilidad deseada

# Encontrar el valor crítico b usando la distribución chi-cuadrado
b <- qchisq(prob, df = n)

# Mostrar el valor de b
print(paste("El valor de b tal que P(∑Z_i² ≤ b) = 0.95 es:", round(b, 4)))
## [1] "El valor de b tal que P(∑Z_i² ≤ b) = 0.95 es: 12.5916"
# Crear una secuencia de valores para la distribución chi-cuadrado
x <- seq(0, 20, length.out = 1000)

# Calcular la densidad de la distribución chi-cuadrado
y <- dchisq(x, df = n)

# Graficar la distribución chi-cuadrado
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Valores de ∑Z_i²", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución chi-cuadrado con 6 grados de libertad")

# Sombrear el área correspondiente a P(∑Z_i² ≤ b)
x_shade <- seq(0, b, length.out = 1000)
y_shade <- dchisq(x_shade, df = n)
polygon(c(0, x_shade, b), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir una línea vertical en el valor crítico b
abline(v = b, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución chi-cuadrado", "Área sombreada (P(∑Zi²≤ b) = 0.95)"),
       col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

Usando R

# Parámetros dados
n <- 10          # Tamaño de la muestra
sigma <- 1.0     # Desviación estándar poblacional
alpha <- 0.10    # Nivel de significancia (1 - 0.90)

# Grados de libertad
df <- n - 1

# Encontrar los valores críticos de la distribución chi-cuadrado
b1 <- qchisq(alpha / 2, df) * sigma^2 / df
b2 <- qchisq(1 - alpha / 2, df) * sigma^2 / df

# Mostrar los resultados
print(paste("El valor de b1 es:", round(b1, 4)))
## [1] "El valor de b1 es: 0.3695"
print(paste("El valor de b2 es:", round(b2, 4)))
## [1] "El valor de b2 es: 1.8799"
# Crear una secuencia de valores para la distribución chi-cuadrado
x <- seq(0, 30, length.out = 1000)

# Calcular la densidad de la distribución chi-cuadrado
y <- dchisq(x, df = df)

# Graficar la distribución chi-cuadrado
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Varianza muestral (S²)", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución chi-cuadrado con 9 grados de libertad")

# Sombrear el área correspondiente a P(b1 ≤ S² ≤ b2)
x_shade <- seq(b1, b2, length.out = 1000)
y_shade <- dchisq(x_shade, df = df)
polygon(c(b1, x_shade, b2), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir líneas verticales para los límites
abline(v = b1, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
abline(v = b2, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución chi-cuadrado", "Área sombreada (P(b1 ≤ S² ≤ b2) = 0.90)"),
       col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

📊 08. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

🎓 Definición Formal

Sea \(Z \sim N(0,1)\) y \(\chi^2_\nu \sim \chi^2(\nu)\) independientes. Entonces:

\[ T = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_\nu / \nu}} \sim t_{(\nu)} \]

🔬 Ejemplo 4: Resistencia de Alambre

Contexto: Resistencia a tensión ∼ \(N(\mu, \sigma^2)\), \(n=6\) segmentos

\[ \frac{\bar{Y} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{(5)} \\ P(|\bar{Y} - \mu| \leq 2S/\sqrt{n}) = P(-2 \leq t_{(5)} \leq 2) = 0.8980 \]

Comparación con σ conocida: \(P(-2 \leq Z \leq 2) = 0.9544\)

💻 Implementación en R 

# Parámetros
n <- 6; k <- 2; df <- n-1

# Probabilidad usando t-Student
prob_t <- pt(k, df) - pt(-k, df)  # 0.8980

# Comparación con normal (σ conocida)
prob_z <- pnorm(k) - pnorm(-k)    # 0.9544

# Gráfico distribución t
x <- seq(-4, 4, length=1000)
y <- dt(x, df)
plot(x, y, type="l", main="Distribución t(5)")

Usando R

# Parámetros dados
n <- 6           # Tamaño de la muestra
k <- 2           # Factor de escala (2 en este caso)

# Grados de libertad
df <- n - 1

# Calcular la probabilidad usando la distribución t de Student
prob <- pt(k, df = df) - pt(-k, df = df)

# Mostrar la probabilidad
print(paste("La probabilidad de que Ȳ esté a lo más a 2S/√n de μ es:", round(prob, 4)))
## [1] "La probabilidad de que Ȳ esté a lo más a 2S/√n de μ es: 0.8981"
# Crear una secuencia de valores para la distribución t de Student
x <- seq(-4, 4, length.out = 1000)

# Calcular la densidad de la distribución t de Student
y <- dt(x, df = df)

# Graficar la distribución t de Student
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Valores de t", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución t de Student con 5 grados de libertad")

# Sombrear el área correspondiente a P(-2 ≤ t ≤ 2)
x_shade <- seq(-k, k, length.out = 1000)
y_shade <- dt(x_shade, df = df)
polygon(c(-k, x_shade, k), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir líneas verticales para los límites
abline(v = -k, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
abline(v = k, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución t de Student", "Área sombreada (P(-2 ≤ t ≤ 2))"),
       col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

📈 09. DISTRIBUCIÓN F

🎯 Definición Matemática

Sean \(\chi^2_{\nu_1}\) y \(\chi^2_{\nu_2}\) independientes con \(\nu_1\) y \(\nu_2\) grados de libertad.

\[ F = \frac{\chi^2_{\nu_1} / \nu_1}{\chi^2_{\nu_2} / \nu_2} \sim F_{(\nu_1, \nu_2)} \]

📊 Ejemplo 5: Razón de Varianzas

Problema: \(n_1=6\), \(n_2=10\), poblaciones normales con igual varianza

\[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F_{(5,9)} \\ P\left(\frac{S_1^2}{S_2^2} \leq b\right) = 0.95 \\ \Rightarrow b = F_{0.95}(5,9) = 3.48 \]

Aplicación: Pruebas de homogeneidad de varianzas

💻 Código R Completo 

# Distribución F en R
n1 <- 6; n2 <- 10; df1 <- n1-1; df2 <- n2-1

# Valor crítico b
b <- qf(0.95, df1, df2)  # 3.48

# Gráfico distribución F
x <- seq(0, 5, length=1000)
y <- df(x, df1, df2)
plot(x, y, type="l", main="F(5,9)")

# Sombrear área P(F ≤ b)
polygon(c(0,seq(0,b,length=100),b), 
        c(0,df(seq(0,b,length=100),df1,df2),0), 
        col="lightblue")

📋 Resumen de Distribuciones Muestrales

📊 Normal

\(\bar{Y} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\)

📐 Chi-cuadrada

\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)}\)

📈 t-Student

\(\frac{\bar{Y}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{(n-1)}\)

📊 F

\(\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F_{(n_1-1,n_2-1)}\)

Usando R

# Parámetros dados
n1 <- 6           # Tamaño de la primera muestra
n2 <- 10          # Tamaño de la segunda muestra
prob <- 0.95      # Probabilidad deseada

# Grados de libertad
df1 <- n1 - 1     # Grados de libertad para S1²
df2 <- n2 - 1     # Grados de libertad para S2²

# Encontrar el valor crítico b usando la distribución F
b <- qf(prob, df1 = df1, df2 = df2)

# Mostrar el valor de b
print(paste("El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es:", round(b, 4)))
## [1] "El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es: 3.4817"
# Crear una secuencia de valores para la distribución F
x <- seq(0, 5, length.out = 1000)

# Calcular la densidad de la distribución F
y <- df(x, df1 = df1, df2 = df2)

# Graficar la distribución F
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Valores de F = S1²/S2²", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución F con (5, 9) grados de libertad")

# Sombrear el área correspondiente a P(F ≤ b)
x_shade <- seq(0, b, length.out = 1000)
y_shade <- df(x_shade, df1 = df1, df2 = df2)
polygon(c(0, x_shade, b), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir una línea vertical en el valor crítico b
abline(v = b, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución F", "Área sombreada (P(F ≤ b) = 0.95)"),
       col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

# Parámetros dados
n1 <- 6           # Tamaño de la primera muestra
n2 <- 10          # Tamaño de la segunda muestra
prob <- 0.95      # Probabilidad deseada

# Grados de libertad
df1 <- n1 - 1     # Grados de libertad para S1²
df2 <- n2 - 1     # Grados de libertad para S2²

# Encontrar el valor crítico b usando la distribución F
b <- qf(prob, df1 = df1, df2 = df2)

# Mostrar el valor de b
print(paste("El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es:", round(b, 4)))
## [1] "El valor de b tal que P(S1²/S2² ≤ b) = 0.95 es: 3.4817"
# Crear una secuencia de valores para la distribución F
x <- seq(0, 5, length.out = 1000)

# Calcular la densidad de la distribución F
y <- df(x, df1 = df1, df2 = df2)

# Graficar la distribución F
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Valores de F = S1²/S2²", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución F con (5, 9) grados de libertad")

# Sombrear el área correspondiente a P(F ≤ b)
x_shade <- seq(0, b, length.out = 1000)
y_shade <- df(x_shade, df1 = df1, df2 = df2)
polygon(c(0, x_shade, b), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir una línea vertical en el valor crítico b
abline(v = b, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución F", "Área sombreada (P(F ≤ b) = 0.95)"),
       col = c("blue", "lightblue"), lwd = 2, lty = c(1, NA), fill = c(NA, "lightblue"), border = NA)

🎓 DISTRIBUCIONES MUESTRALES COMPLETAS

Teoremas fundamentales • Aplicaciones prácticas • Implementación en R • Bases para inferencia estadística

📅 C. FUNDAMENTOS TEÓRICOS - TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

📊 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL (TLC) Y APLICACIONES PRÁCTICAS

El pilar fundamental de la inferencia estadística moderna y sus aplicaciones en contextos reales

⚡ 10. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL (TLC) - EL CORAZÓN DE LA ESTADÍSTICA

“El Teorema del Límite Central (TLC) es uno de los resultados más importantes en estadística y probabilidad. Establece que, bajo ciertas condiciones, la distribución de la media muestral de una muestra aleatoria se aproxima a una distribución normal, independientemente de la forma de la distribución de la población original, siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.”

🎯 Enunciado Matemático Formal

Sean \(Y_1, Y_2, \dots, Y_n\) variables aleatorias i.i.d. con:

  • Media: \(E[Y_i] = \mu\)
  • Varianza: \(Var[Y_i] = \sigma^2 < \infty\)

\[ U_n = \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) \]

Convergencia en distribución: \(U_n \xrightarrow{d} N(0, 1)\) cuando \(n \to \infty\)

📈 Interpretación Práctica

  • Distribución de \(\bar{Y}\): \(\bar{Y} \approx N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\)
  • Independiente de la forma original: Aplica incluso para poblaciones no normales
  • Tamaño muestral: Generalmente \(n \geq 30\) es suficiente
  • Error estándar: \(\sigma_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) disminuye con \(n\)
  • Fundamento para inferencia: Intervalos de confianza, pruebas de hipótesis

🔬 10.3. EJEMPLO 6: ILUSTRACIÓN DEL TLC CON SIMULACIÓN

📊 Demostración Visual del TLC

Objetivo: Mostrar cómo la distribución de medias muestrales de una población exponencial (no normal) converge a normalidad conforme aumenta \(n\).

📊

\(n = 5\)

  • Distribución claramente asimétrica
  • Forma similar a exponencial original
  • Poca aproximación a normal
  • Variabilidad alta

📈

\(n = 30\)

  • Mayor simetría
  • Inicio de forma campana
  • Buena aproximación práctica
  • Variabilidad moderada

📐

\(n = 100\)

  • Excelente aproximación normal
  • Forma campana perfecta
  • Curva teórica (roja) se ajusta
  • Variabilidad baja

💻 Código R para Simulación 

# Parámetros de simulación
set.seed(123)
mu <- 1                     # Media exponencial
n_sim <- 1000               # Número de simulaciones
sample_sizes <- c(5, 30, 100)

# Función de simulación
simulate_sample_means <- function(n) {
  sapply(1:n_sim, function(i) mean(rexp(n, rate = 1/mu)))
}

# Gráficos comparativos
par(mfrow = c(1, 3))
for (n in sample_sizes) {
  sample_means <- simulate_sample_means(n)
  hist(sample_means, breaks = 30, freq = FALSE,
       main = paste("n =", n), xlab = "Media muestral",
       col = "lightblue", border = "white")
  # Curva normal teórica
  curve(dnorm(x, mean = mu, sd = mu/sqrt(n)),
        add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
}

Código en R para la ilustración:

# Parámetros
set.seed(123)  # Para reproducibilidad
mu <- 1        # Media de la distribución exponencial
n_sim <- 1000  # Número de simulaciones
sample_sizes <- c(5, 30, 100)  # Tamaños de muestra

# Función para simular medias muestrales
simulate_sample_means <- function(n) {
  sapply(1:n_sim, function(i) mean(rexp(n, rate = 1/mu)))
}

# Crear gráficos
par(mfrow = c(1, 3))  # 1 fila, 3 columnas
for (n in sample_sizes) {
  sample_means <- simulate_sample_means(n)
  hist(sample_means, breaks = 30, freq = FALSE, main = paste("n =", n),
       xlab = "Media muestral", col = "lightblue", border = "white")
  curve(dnorm(x, mean = mu, sd = mu/sqrt(n)), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
}

🗳️ 10.5. EJEMPLO 8: APLICACIÓN EN ELECCIONES

🏛️ Problema de Campaña Electoral

Contexto: Candidato A necesita al menos 55% de votos en el Distrito I para ganar. Encuestas muestran que aproximadamente 50% de votantes le favorecen. Con \(n = 100\) votantes esperados en el distrito, ¿cuál es la probabilidad de que gane?

📊 Modelado Estadístico

  • Variable: \(Y =\) # votantes a favor
  • Distribución: \(Y \sim B(100, 0.5)\)
  • Representación: \(Y = \sum_{i=1}^{100} X_i\)
  • Indicadores: \(X_i = 1\) (vota por A) o \(0\) (no vota)
  • Proporción: \(\frac{Y}{100} = \bar{X}\)

🧮 Cálculo de Probabilidad

\[ \begin{aligned} P\left(\frac{Y}{100} \geq 0.55\right) &= P\left(\frac{\bar{X} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \geq \frac{0.55 - 0.5}{\sqrt{0.25/100}}\right) \\ &= P\left(Z \geq \frac{0.05}{0.05}\right) = P(Z \geq 1) \\ &= 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \end{aligned} \]

Interpretación: Solo 15.87% de probabilidad de ganar

💡 Implicaciones Estratégicas

📉 Riesgo Alto

  • Probabilidad baja (15.9%)
  • Necesita 5% más del esperado
  • Margen muy estrecho
  • Estrategia de campaña crítica

🎯 Decisiones de Campaña

  • Intensificar campaña en distrito
  • Segmentar votantes indecisos
  • Aumentar tamaño muestral encuestas
  • Considerar alianzas estratégicas

🏫 10.6. EJEMPLO 6: EVALUACIÓN DE INSTITUCIONES EDUCATIVAS

🎓 Análisis de Desempeño Académico

Contexto: Pruebas estatales tienen media 60, varianza 64. Una preparatoria con \(n = 100\) estudiantes obtiene media 58. ¿Es esta institución inferior al promedio estatal?

📚 Análisis Estadístico

\[ \begin{aligned} \text{Parámetros: } &\mu = 60, \sigma^2 = 64, n = 100 \\ \text{Error estándar: } &SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{10} = 0.8 \\ \text{Estadístico Z: } &Z = \frac{58 - 60}{0.8} = -2.5 \\ \text{Valor p: } &P(Z \leq -2.5) = 0.0062 \end{aligned} \]

Significancia: \(p = 0.0062 < 0.05\) → Evidencia estadística fuerte

💻 Implementación en R 

# Análisis de desempeño escolar
mu_poblacion <- 60
var_poblacion <- 64
n <- 100
media_muestral <- 58

# Cálculos
se <- sqrt(var_poblacion / n)  # 0.8
z <- (media_muestral - mu_poblacion) / se  # -2.5
p_valor <- pnorm(z)  # 0.0062

# Conclusión estadística
alpha <- 0.05
if (p_valor < alpha) {
  print("Rechazar H₀: La escuela es inferior")
} else {
  print("No rechazar H₀: Sin evidencia de inferioridad")
}

🎯 Implicaciones Educativas

📉 Hallazgos Estadísticos

  • Diferencia significativa (p = 0.0062)
  • La escuela está 2.5 SE por debajo
  • Probabilidad muy baja por azar (0.62%)
  • Evidencia sólida de inferioridad

🏫 Acciones Recomendadas

  • Revisar métodos de enseñanza
  • Capacitar profesores
  • Implementar tutorías
  • Monitorear progreso continuo
  • Asignar recursos adicionales

Código en R:

# Parámetros dados
mu_poblacion <- 60      # Media poblacional
var_poblacion <- 64     # Varianza poblacional
n <- 100                # Tamaño de la muestra
media_muestral <- 58    # Media muestral

# Error estándar de la media
se <- sqrt(var_poblacion / n)

# Estadístico de prueba Z
z <- (media_muestral - mu_poblacion) / se

# Valor p (prueba de una cola, cola inferior)
p_valor <- pnorm(z)

# Mostrar resultados
print(paste("Estadístico de prueba Z:", round(z, 4)))
## [1] "Estadístico de prueba Z: -2.5"
print(paste("Valor p:", round(p_valor, 4)))
## [1] "Valor p: 0.0062"
# Conclusión
alpha <- 0.05  # Nivel de significancia
if (p_valor < alpha) {
  print("Rechazamos la hipótesis nula: La preparatoria es inferior.")
} else {
  print("No rechazamos la hipótesis nula: No hay evidencia suficiente para afirmar que la preparatoria es inferior.")
}
## [1] "Rechazamos la hipótesis nula: La preparatoria es inferior."
# Gráfica de la distribución normal estándar
x <- seq(-4, 4, length.out = 1000)  # Rango de valores para Z
y <- dnorm(x)                       # Densidad de la distribución normal estándar

# Crear la gráfica
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "blue", xlab = "Z", ylab = "Densidad",
     main = "Distribución normal estándar y región de rechazo")

# Sombrear la región correspondiente al valor p (cola inferior)
x_shade <- seq(-4, z, length.out = 1000)
y_shade <- dnorm(x_shade)
polygon(c(-4, x_shade, z), c(0, y_shade, 0), col = "lightblue", border = NA)

# Añadir una línea vertical en el estadístico de prueba Z
abline(v = z, col = "red", lty = 2, lwd = 2)

# Añadir leyenda
legend("topright", legend = c("Distribución normal", "Región de rechazo (Valor p)", "Estadístico Z"),
       col = c("blue", "lightblue", "red"), lwd = 2, lty = c(1, NA, 2), fill = c(NA, "lightblue", NA))

El enunciado en R

# Cargar librería para gráficos
#install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)

# Parámetros
media_poblacion <- 60
desviacion_estandar <- 8 / sqrt(100)  # Error estándar
nivel_significancia <- 0.05
valor_critico <- qnorm(nivel_significancia)  # Valor crítico Z

# Crear un rango de valores para la distribución
x <- seq(media_poblacion - 4 * desviacion_estandar, 
         media_poblacion + 4 * desviacion_estandar, 
         length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = media_poblacion, sd = desviacion_estandar)

# Crear un data frame para ggplot
datos <- data.frame(x = x, y = y)

# Gráfico
ggplot(datos, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +  # Curva de la distribución
  geom_area(data = subset(datos, x <= media_poblacion + valor_critico * desviacion_estandar), 
            aes(x = x, y = y), 
            fill = "red", alpha = 0.5) +  # Región de rechazo
  geom_vline(xintercept = media_poblacion + valor_critico * desviacion_estandar, 
             color = "black", linetype = "dashed", size = 1) +  # Línea del valor crítico
  annotate("text", x = media_poblacion + valor_critico * desviacion_estandar, 
           y = 0.1, label = "Z crítico = -1.645", 
           hjust = 1.2, color = "black") +  # Etiqueta del valor crítico
  labs(title = "Región de rechazo para prueba de una cola (cola izquierda)",
       x = "Media muestral",
       y = "Densidad") +
  theme_minimal()
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

⏱️ 10.7. EJEMPLO 7: GESTIÓN DE SERVICIOS Y TIEMPOS DE ESPERA

🛒 Optimización de Atención al Cliente

Contexto: Tienda minorista con tiempos de espera promedio 1.5 minutos, varianza 1.0. ¿Cuál es la probabilidad de atender 100 clientes en menos de 2 horas (120 minutos)?

📊 Modelado del Problema

\[ \begin{aligned} \text{Datos: } &\mu = 1.5 \text{ min}, \sigma^2 = 1.0, n = 100 \\ \text{Tiempo total: } &T = \sum_{i=1}^{100} Y_i \\ \text{Objetivo: } &P(T \leq 120) = P\left(\frac{T}{100} \leq 1.2\right) \\ &= P(\bar{Y} \leq 1.2) \end{aligned} \]

Aplicación TLC: \(\bar{Y} \approx N(1.5, 0.01)\)

🧮 Cálculo de Probabilidad

\[ \begin{aligned} P(\bar{Y} \leq 1.2) &= P\left(Z \leq \frac{1.2 - 1.5}{1/\sqrt{100}}\right) \\ &= P\left(Z \leq \frac{-0.3}{0.1}\right) \\ &= P(Z \leq -3.0) = 0.0013 \end{aligned} \]

Interpretación: Solo 0.13% de probabilidad de éxito

💡 Recomendaciones Operativas

📉 Análisis de Riesgo

  • Probabilidad extremadamente baja (0.13%)
  • Meta prácticamente imposible
  • Necesita reducir tiempo promedio en 0.3 min
  • Requiere mejora significativa en procesos

🔄 Estrategias de Mejora

  • Aumentar personal en cajas
  • Implementar sistema de filas único
  • Automatizar procesos de pago
  • Capacitar personal en eficiencia
  • Rediseñar layout de tienda

🎓 TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL: APLICACIONES EN CONTEXTOS REALES

Elecciones políticas • Evaluación educativa • Gestión de servicios • Toma de decisiones basada en evidencia estadística

📅 D. FUNDAMENTOS TEÓRICOS - ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES

📊 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES: FUNDAMENTOS Y PROPIEDADES

Teoría de estimación puntual, propiedades de estimadores y aplicaciones en inferencia estadística

🎯 11. FUNDAMENTOS DE LA ESTIMACIÓN POBLACIONAL

“El objetivo de la estadística es obtener una inferencia con respecto a la población basándose en la información contenida en una muestra. Como las poblaciones se describen mediante medidas numéricas denominadas parámetros, la mayoría de las investigaciones se conducen en deducir inferencias acerca de ellos. Los procedimientos de la inferencia estadística involucran ya sea la estimación o la Prueba de Hipótesis, las cuales tienen muchas aplicaciones prácticas.”

📈 Parámetros Poblacionales vs. Estadísticos Muestrales

  • Parámetro (θ): Característica numérica fija de la población
  • Estadístico (θ̂): Función de los datos muestrales que estima θ
  • Ejemplos comunes:
    • Media poblacional: μ → Media muestral: Ȳ
    • Varianza poblacional: σ² → Varianza muestral: S²
    • Proporción poblacional: p → Proporción muestral: p̂
  • Objetivo: Inferir θ desconocido usando θ̂ calculado de muestra

🔍 Principio Fundamental de Estimación

“Para que un estimador sea bueno, se desea que la varianza del estimador sea lo más pequeña posible, mientras que la distribución de muestreo debe concentrarse alrededor del valor del parámetro.”

Dualidad: Precisión (varianza baja) + Exactitud (centrado en θ)

📐 11.3. ESTIMADORES INSESGADOS: EL CORAZÓN DE LA INFERENCIA

🎯 Definición Matemática

Se dice que la estadística \(\hat{\theta} = H(X_1, X_2, \dots, X_n)\) es un estimador insesgado del parámetro \(\theta\) si:

\[ E(\hat{\theta}) = \theta \]

Interpretación: En promedio, a largo plazo, el estimador da el valor correcto

📊 Ejemplo Clave: Media Muestral

\[ \text{Sea } Y_1, Y_2, \dots, Y_n \sim \text{i.i.d. con } E(Y_i) = \mu \\ \text{Estimador: } \bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \\ E(\bar{Y}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(Y_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu \]

Conclusión: Ȳ es estimador insesgado de μ

🎭 Sesgo vs. Insesgamiento

✅ Estimador Insesgado

  • \(E(\hat{\theta}) = \theta\)
  • Centrado en valor real
  • Precisión sistemática
  • Ejemplo: Ȳ para μ

❌ Estimador Sesgado

  • \(E(\hat{\theta}) \neq \theta\)
  • Sistemáticamente alto/bajo
  • Error sistemático
  • Ejemplo: S*² para σ²

📋 Tabla de Estimadores Insesgados Comunes

Parámetro θ Estimador θ̂ \(E(θ̂)\) \(V(θ̂)\)
Media μ \(\bar{Y}\) μ \(\frac{σ²}{n}\)
Proporción p \(\hat{p} = Y/n\) p \(\frac{pq}{n}\)
Diferencia μ₁-μ₂ \(\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2\) μ₁-μ₂ \(\frac{σ₁²}{n₁} + \frac{σ₂²}{n₂}\)
Diferencia p₁-p₂ \(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\) p₁-p₂ \(\frac{p₁q₁}{n₁} + \frac{p₂q₂}{n₂}\)

🔍 11.5. DEMOSTRACIÓN CRÍTICA: VARIANZA SESGADA VS INSESGADA

📊 El Problema Fundamental de la Varianza

Contexto: ¿Por qué usamos \((n-1)\) en lugar de \(n\) en el denominador de la varianza muestral? Esta demostración explica una de las decisiones más importantes en estadística inferencial.

❌ Varianza Sesgada: S*²

\[ S^{*2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \\ E(S^{*2}) = \frac{(n-1)\sigma^2}{n} \]

Propiedades:

  • Sesgo: \(\text{Sesgo} = E(S^{*2}) - \sigma^2 = -\frac{\sigma^2}{n}\)
  • Dirección: Subestima sistemáticamente σ²
  • Magnitud: Error relativo: \(\frac{1}{n}\) del valor real

✅ Varianza Insesgada: S²

\[ S^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \\ E(S^{2}) = \sigma^2 \]

Propiedades:

  • Sesgo: \(\text{Sesgo} = 0\) (exactamente insesgado)
  • Precisión: En promedio da el valor correcto
  • Corrección: Factor \(n/(n-1)\) ajusta por pérdida de un grado de libertad

📈 Interpretación Gráfica del Sesgo

🎯 Por Qué Ocurre el Sesgo

  • Pérdida de libertad: Usar Ȳ (estimado) en lugar de μ (desconocido)
  • Restricción: \(\sum (Y_i - \bar{Y}) = 0\) reduce variabilidad
  • Intuición: Muestra “se ajusta” a sus propios datos
  • Corrección Bessel: Factor \((n-1)\) compensa esta pérdida

📊 Implicaciones Prácticas

  • Muestras pequeñas: Sesgo más pronunciado (ej: n=5 → 20% subestimación)
  • Muestras grandes: Diferencia mínima (n=100 → 1% diferencia)
  • Estándar académico: Siempre usar S² en investigación
  • Software estadístico: Todos usan fórmula con (n-1) por defecto

Aqui lq prueba - Estimadores Insesgados y Sesgados

Sea \(Y_1, Y_2, \dots, Y_n\) una muestra aleatoria con \(E(Y_i) = \mu\) y \(V(Y_i) = \sigma^2\). Demuestre que:

  1. \(S^{*2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2\) es un estimador sesgado para \(\sigma^2\).
  2. \(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2\) es un estimador insesgado para \(\sigma^2\).

Solución:

  1. Paso 1: Expresamos \((Y_i - \bar{Y})^2\) como: \[ (Y_i - \bar{Y})^2 = Y_i^2 - 2Y_i \bar{Y} + \bar{Y}^2 \]

  2. Paso 2: Sumamos sobre todas las observaciones: \[ \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2 - 2n \bar{Y}^2 + n \bar{Y}^2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2 - n \bar{Y}^2 \]

  3. Paso 3: Calculamos la esperanza: \[ E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = E\left( \sum_{i=1}^n Y_i^2 - n \bar{Y}^2 \right) = \sum_{i=1}^n E(Y_i^2) - n E(\bar{Y}^2) \]

  4. Paso 4: Recordamos que: \[ E(Y_i^2) = \sigma^2 + \mu^2 \quad \text{y} \quad E(\bar{Y}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \]

  5. Paso 5: Sustituimos: \[ E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) = (n-1)\sigma^2 \]

  6. Paso 6: Por tanto: \[ E(S^{*2}) = \frac{1}{n} E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = \frac{(n-1)\sigma^2}{n} \] Esto muestra que \(S^{*2}\) es sesgado.

  7. Paso 7: Para \(S^2\): \[ E(S^2) = \frac{1}{n-1} E\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \right) = \sigma^2 \] Por tanto, \(S^2\) es insesgado.

📈 11.6. CONSISTENCIA: CONVERGENCIA A LA VERDAD

🔄 Propiedad de Consistencia

“Es razonable esperar que un buen estimador de un parámetro θ sea cada vez mejor conforme crece el tamaño de la muestra y la información se vuelve más completa. La distribución de muestreo de un buen estimador se encuentra cada vez más concentrada alrededor del parámetro θ.”

\[ \lim_{n \to \infty} \hat{\theta} = \theta \quad \text{o equivalentemente} \quad \lim_{n \to \infty} V(\hat{\theta}) = 0 \]

📊 Ejemplo: Media Muestral

\[ \text{Para } \bar{Y} \text{ como estimador de } \mu: \\ V(\bar{Y}) = \frac{\sigma^2}{n} \\ \lim_{n \to \infty} V(\bar{Y}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n} = 0 \]

Interpretación: A mayor n, menor varianza → mayor precisión

🎯 Implicaciones Prácticas

  • Diseño de estudios: Muestras más grandes → estimaciones más confiables
  • Ley de rendimientos decrecientes: Mejoras marginales decrecen con n
  • Criterio práctico: n suficiente para V(θ̂) aceptable
  • Relación costo-beneficio: Balance entre precisión y recursos

⚡ 11.7. EFICIENCIA: OPTIMIZANDO LA PRECISIÓN

📐 Definición de Eficiencia Relativa

Sean \(\hat{\theta}_1\) y \(\hat{\theta}_2\) dos estimadores insesgados de θ. Se dice que \(\hat{\theta}_1\) es más eficiente que \(\hat{\theta}_2\) si:

\[ V(\hat{\theta}_1) \leq V(\hat{\theta}_2) \quad \text{y} \quad e = \frac{V(\hat{\theta}_1)}{V(\hat{\theta}_2)} \]

Donde \(e\) es la eficiencia relativa (0 ≤ e ≤ 1). Valores cercanos a 0 indican mayor eficiencia.

📊 Ejemplo: Media vs. Mediana

Para población normal:

  • Estimador 1 (Ȳ): \(V(Ȳ) = \frac{\sigma^2}{n}\)
  • Estimador 2 (Mediana): \(V(\text{Med}) \approx \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sigma^2}{n}\)
  • Eficiencia relativa: \(e = \frac{V(Ȳ)}{V(\text{Med})} \approx \frac{2}{\pi} \approx 0.637\)

Conclusión: La media es ~64% más eficiente que la mediana para distribuciones normales

🎯 Selección de Estimadores

  • Eficiencia asintótica: Comparación cuando n → ∞
  • Cota de Cramér-Rao: Límite inferior teórico para varianza
  • Estimador eficiente: Alcanza la cota de Cramér-Rao
  • MLE (Maximum Likelihood): Generalmente eficiente asintóticamente
  • Robustez vs. Eficiencia: Trade-off en presencia de outliers

🗳️ 11.9. EJEMPLO APLICADO: ENCUESTAS ELECTORALES

🏛️ Caso Real: Campaña del Candidato Gómez

Contexto: Encuesta de n = 1000 votantes muestra 560 a favor del candidato Gómez. Estimar la proporción poblacional p con límite de error.

📊 Estimación Puntual

\[ \text{Datos: } n = 1000, \quad Y = 560 \\ \hat{p} = \frac{Y}{n} = \frac{560}{1000} = 0.56 \\ E(\hat{p}) = p \quad (\text{insesgado}) \\ V(\hat{p}) = \frac{pq}{n} \]

Interpretación: Estimamos que 56% de votantes favorece a Gómez

🎯 Límite de Error con 95% Confianza

\[ \text{Error: } b = 2\sigma_{\hat{p}} = 2\sqrt{\frac{pq}{n}} \\ \text{Usando } \hat{p} \approx p: \\ b \approx 2\sqrt{\frac{(0.56)(0.44)}{1000}} = 2\sqrt{0.0002464} \\ = 2 \times 0.0157 = 0.0314 \approx 0.03 \]

Interpretación: Error máximo ≈ ±3% con 95% confianza