Nous formulons rigoureusement la convolution entre les relations E=mc² et E=hν en imposant des conditions de bord explicites : condition de Dirac à l’UV (échelle de Planck) et condition de Heaviside à l’IR (échelon inertiel sur le volume cosmique). Nous montrons que le facteur 10^(-123) émerge comme conséquence directe de ces conditions de bord, sans aucun paramètre libre. La constante cosmologique apparaît comme un effet de bord global, et non comme une somme de contributions locales UV.
Les relations
\[E = mc^2 \qquad\text{et}\qquad E = h\nu\]
ne peuvent pas être identifiées terme à terme : * \(mc^2\) est une énergie scalaire locale * \(h\nu\) est une énergie spectrale
La seule identification physiquement correcte est intégrale :
\[mc^2 = \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} h\nu \, g(\nu) \, d\nu\]
où \(g(\nu)\) est une densité effective de modes excités.
Principe fondamental : Toute l’information d’échelle est portée exclusivement par les bornes \(\nu_{\min}\) et \(\nu_{\max}\).
La borne UV est fixée par l’énergie maximale physiquement cohérente, l’énergie de Planck :
\[E_P = m_P c^2\]
Condition de bord de type Dirac :
\[h\nu_{\max} = E_P \quad\Longrightarrow\quad \nu_{\max} = \frac{E_P}{h}\]
Numériquement :
\[\nu_{\max} \simeq \frac{1.96\times10^9 \text{ J}}{6.63\times10^{-34} \text{ J·s}} \simeq 3.0\times10^{42}\text{ Hz}\]
Interprétation physique :
Cette borne est non négociable. Au-delà de \(\nu_{\max}\), la physique sort du domaine de validité : la notion même de fréquence perd son sens car la longueur d’onde devient inférieure à l’échelle de Planck.
La condition de Dirac stipule : “Il existe une fréquence maximale absolue.”
La borne IR est imposée par l’existence d’un univers observable de taille finie. La plus basse fréquence globalement excitable est de l’ordre :
\[\nu_{\min} \sim \frac{c}{R_U}\]
où \(R_U \approx 4.4\times10^{26}\) m est le rayon de Hubble actuel.
Numériquement :
\[\nu_{\min} \simeq \frac{3\times10^8 \text{ m/s}}{4.4\times10^{26} \text{ m}} \simeq 6.8\times10^{-19}\text{ Hz}\]
Différence cruciale avec la coupure UV :
Cette borne n’est pas locale. Elle encode une contrainte causale globale : aucune oscillation de longueur d’onde supérieure à l’horizon cosmique ne peut être excitée de manière cohérente.
Pour ne pas introduire d’échelle supplémentaire, on impose :
\[g(\nu) = g_0 = \text{constante}\]
Alors :
\[mc^2 = g_0 h \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} \nu \, d\nu = \frac{g_0 h}{2}\left(\nu_{\max}^2 - \nu_{\min}^2\right)\]
Comme \(\nu_{\max} \gg \nu_{\min}\) :
\[mc^2 \simeq \frac{g_0 h}{2}\nu_{\max}^2\]
Conclusion partielle : La masse locale fixe donc la coupure UV. Aucune information IR n’apparaît encore à ce stade.
La masse \(m\) est une quantité localisée. Son énergie n’est gravitationnellement active que là où la matière existe.
On encode cette localisation par une fonction échelon de Heaviside :
\[E(x) = mc^2 \cdot \Theta_{V_U}(x)\]
où
\[\Theta_{V_U}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in V_U \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]
avec \(V_U = \frac{4\pi}{3}R_U^3\) le volume cosmique observable.
Interprétation physique :
Cette condition impose que l’énergie gravitationnelle est moyennée sur le volume cosmique total, pas localement. C’est ici que la condition IR devient physiquement pertinente.
La densité gravitationnellement active issue de la convolution est :
\[\rho_{\text{eff}} = \frac{1}{V_U} \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} h\nu \, g(\nu) \, d\nu\]
Avec \(g(\nu) = g_0\) constant et \(V_U \sim R_U^3\) :
\[\rho_{\text{eff}} \sim \frac{g_0 h}{R_U^3} \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} \nu \, d\nu \sim \frac{g_0 h}{R_U^3} \nu_{\max}^2\]
C’est à ce stade précis que la borne IR devient physiquement pertinente.
En remplaçant :
\[\nu_{\max} = \frac{E_P}{h} = \frac{m_P c^2}{h}\]
on obtient :
\[\rho_{\text{eff}} \sim \frac{m_P^2 c^4}{h \, R_U^3}\]
Réécrivons avec la densité de Planck \(\rho_P = m_P/\ell_P^3\) et \(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3}\).
En posant \(h = 2\pi\hbar\) et en effectuant les substitutions dimensionnelles :
\[\rho_{\text{eff}} \sim \frac{m_P^2 c^4}{h R_U^3} = \frac{m_P^2 c^4}{2\pi\hbar R_U^3}\]
En utilisant \(\ell_P^2 = \hbar G/c^3\) et \(m_P = \sqrt{\hbar c/G}\) :
\[m_P^2 = \frac{\hbar c}{G} \quad\Rightarrow\quad m_P^2 c^4 = \frac{\hbar c^5}{G}\]
D’où :
\[\rho_{\text{eff}} \sim \frac{\hbar c^5}{2\pi\hbar G R_U^3} = \frac{c^5}{2\pi G R_U^3}\]
En réintroduisant \(\ell_P = \sqrt{\hbar G/c^3}\) :
\[\rho_{\text{eff}} = \frac{m_P}{\ell_P^3} \cdot \left(\frac{\ell_P}{R_U}\right)^2 = \rho_P \left(\frac{\ell_P}{R_U}\right)^2\]
On définit :
\[K \equiv \frac{R_U}{\ell_P}\]
Numériquement :
\[K = \frac{4.4\times10^{26}}{1.616\times10^{-35}} \approx 2.7\times10^{61}\]
Alors :
\[\boxed{\rho_{\text{eff}} = \frac{\rho_P}{K^2}}\]
Avec \(K \approx 2.7\times10^{61}\) :
\[\frac{\rho_{\text{eff}}}{\rho_P} \approx \frac{1}{(2.7\times10^{61})^2} \approx 1.4\times10^{-123}\]
| Condition | Type | Côté | Effet |
|---|---|---|---|
| Dirac | Coupure UV locale | E=hν | Fixe \(\nu_{\max}\) à l’échelle de Planck |
| Heaviside | Moyenne spatiale globale | E=mc² | Normalise par \(V_U \sim R_U^3\) |
Le facteur K^(-2) émerge de la tension entre ces deux conditions de bord :
Le facteur 10^(-123) n’est pas : - Un paramètre libre ajustable - Une annulation miraculeuse - Un ajustement fin
C’est la conséquence géométrique directe de :
Analogie géométrique :
Demander “pourquoi \(\rho_\Lambda/\rho_P \sim 10^{-123}\) ?” revient à demander “pourquoi le rapport surface/volume d’une sphère de rayon \(R\) décroît comme \(1/R\) ?”
C’est une conséquence de la géométrie, pas une coïncidence numérique.
La question centrale est : \(R\) est-il comobile ou global ?
Si \(R\) suit l’expansion :
\[\rho_{\text{eff}}(t) = \rho_P \left(\frac{\ell_P}{R(t)}\right)^2 \propto a(t)^{-2}\]
L’équation de conservation \(\dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0\) avec \(\rho \propto a^{-2}\) donne :
\[-2H\rho + 3H(\rho + p) = 0 \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{\rho}{3}\]
Équation d’état :
\[\boxed{w = -\frac{1}{3}}\]
Interprétation : Ce n’est pas une constante cosmologique, mais une contribution géométrique à la courbure effective.
Si \(R\) est fixé par une contrainte causale globale :
\[\rho_{\text{eff}} = \rho_P \left(\frac{\ell_P}{R_\star}\right)^2 = \text{constante}\]
L’équation de conservation impose :
\[\dot{\rho} = 0 \quad\Rightarrow\quad 3H(\rho + p) = 0 \quad\Rightarrow\quad p = -\rho\]
Équation d’état :
\[\boxed{w = -1}\]
Interprétation : C’est exactement le comportement d’une constante cosmologique.
Pourquoi \(R = R_\star\) serait-il constant ?
En espace-temps de de Sitter asymptotique (dominé par \(\Lambda\)), le rayon de l’horizon des événements est :
\[R_{dS} = \frac{c}{\sqrt{\Lambda/3}} = \frac{c}{H_\Lambda}\]
Proposition : La convolution est limitée causalement par cet horizon absolu, qui définit \(R_\star\).
Le nombre de degrés de liberté dans un volume est limité par son aire de surface :
\[N_{\text{dof}} \leq \frac{A}{4\ell_P^2} = \frac{4\pi R^2}{4\ell_P^2} = \pi K^2\]
Proposition : La convolution est contrainte par l’entropie maximale de l’horizon, fixant \(R_\star \sim R_U\) actuel.
Lien fascinant :
\[S_{\text{horizon}} = \pi K^2 \approx 10^{123} \quad\text{et}\quad \frac{\rho_\Lambda}{\rho_P} \approx 10^{-123}\]
Le même facteur \(K^2\) apparaît de part et d’autre !
En cosmologie, le temps conforme total :
\[\eta_{\text{total}} = \int_0^\infty \frac{dt}{a(t)}\]
est fini dans certains modèles (de Sitter asymptotique), définissant :
\[R_{\text{conf}} = c\eta_{\text{total}}\]
Proposition : La convolution s’étend sur tout le temps conforme accessible, fixant naturellement \(R_\star\).
CONDITION DIRAC (UV) CONDITION HEAVISIDE (IR)
↓ ↓
ν_max = E_P/h E(x) = mc² Θ(x ∈ V_U)
↓ ↓
Planck Cosmologie
↓ ↓
└──────── CONVOLUTION ──────────┘
↓
ρ_eff = ρ_P (ℓ_P/R)²
↓
┌─────────┴─────────┐
↓ ↓
R comobile R = R_★ figé
w = -1/3 w = -1
(géométrique) (constante cosmologique)1. Émergence du facteur 10^(-123) :
\[\rho_\Lambda = \rho_P \left(\frac{\ell_P}{R_U}\right)^2 \approx 10^{-123} \rho_P\]
Aucun paramètre libre. Conséquence directe des conditions de bord.
2. Équation d’état :
3. Absence de réglage fin :
Le “petit nombre” 10^(-123) est le carré du rapport géométrique entre la plus petite et la plus grande échelle de l’univers. Ce n’est pas une coïncidence fragile.
Paradigme standard (erroné) :
\[\rho_{\text{vac}} = \sum_{\text{tous modes}} \rho_{\text{local}}(k) \sim \rho_P\]
→ Problème : pourquoi est-ce supprimé de 123 ordres de grandeur ?
Notre paradigme (conditions de bord) :
\[\rho_{\text{eff}} = \left[\text{Dirac UV}\right] \ast \left[\text{Heaviside IR}\right] = \rho_P/K^2\]
→ Pas de suppression mystérieuse : c’est une normalisation géométrique globale
1. Équation d’état :
Si \(R_\star\) strictement constant → \(w = -1.000...\)
Toute déviation mesurée contraindrait l’évolution de \(R_\star(t)\).
Observations actuelles : \(w = -1.03 \pm 0.03\) (Planck 2018)
2. Dépendance en redshift :
Si \(R_\star(z)\) évolue lentement :
\[\rho_\Lambda(z) = \rho_P \left(\frac{\ell_P}{R_\star(z)}\right)^2\]
Testable par supernovae, BAO, lentillage faible.
3. Fluctuations CMB aux grandes échelles :
Suppression attendue pour \(\ell \lesssim 2\pi R_U/R_\star\) ?
Lien possible avec l’anomalie du quadrupôle CMB.
1. Forme du noyau de convolution :
Pourquoi \(g(\nu) = \text{constante}\) ? Lien avec le propagateur du graviton en espace courbe ?
2. Mécanisme physique de gel de \(R_\star\) :
Horizon causal ? Holographie ? Topologie ? Il faut trancher.
3. Connexion à la QFT standard :
Comment réconcilier avec les calculs d’énergie du vide en QFT ? Les fluctuations UV sont-elles “réelles localement mais inertes gravitationnellement” ?
4. Gravité quantique :
Quel cadre théorique complet (cordes, LQG, géométrie émergente) réalise naturellement ces conditions de bord ?
Nous avons montré que le problème de la constante cosmologique se résout en imposant deux conditions de bord explicites :
Le facteur 10^(-123) émerge comme le carré du rapport géométrique UV/IR, sans aucun ajustement fin.
Le problème n’est pas “pourquoi l’énergie du vide est-elle petite ?”, mais “pourquoi la coupure IR est-elle globale et figée ?”
C’est un problème de structure causale et de conditions aux bords, pas un problème de renormalisation UV.
La résolution complète dépend de la justification physique du gel de \(R_\star\), qui pourrait provenir de : - L’holographie gravitationnelle - La structure de l’horizon cosmologique - La finitude du temps conforme - Un principe encore inconnu de la gravité quantique