Nous etablissons des rapports adimensionnes reliant les unites de Planck aux grandeurs caracteristiques de l univers observable. Nous montrons qu un facteur d echelle unique, de l ordre de \(10^{61}\), relie longueur, temps, masse et energie, tandis que la densite et la temperature obeissent a des lois d echelle distinctes. Les resultats sont presentes sous forme de relations numeriques, independantes de toute interpretation.
L objectif est d etablir des relations du type
\[ (\text{quantite de Planck}) \times K = (\text{quantite cosmologique observee}), \]
et de verifier qu un meme facteur d echelle adimensionne \(K\) relie toutes les grandeurs pertinentes, a l exception connue de la temperature et de la densite.
A partir des rapports observes
\[ \frac{\ell_P}{R_U} \sim \frac{t_P}{T_U} \sim \frac{m_P}{M_U} \sim \frac{E_P}{E_U} \sim 10^{-61}, \]
nous definissons un facteur d echelle adimensionne unique
\[ K \equiv \frac{R_U}{\ell_P} \approx \frac{T_U}{t_P} \approx \frac{M_U}{m_P} \approx \frac{E_U}{E_P} \approx 10^{61}. \]
\[ \ell_P \times K = 1.616 \times 10^{-35} \times 10^{61} \approx 1.6 \times 10^{26}\ \mathrm{m}. \]
\[ \ell_P \times K \sim R_U. \]
\[ t_P \times K = 5.39 \times 10^{-44} \times 10^{61} \approx 5.4 \times 10^{17}\ \mathrm{s}. \]
\[ t_P \times K \sim T_U. \]
\[ m_P \times K = 2.18 \times 10^{-8} \times 10^{61} \approx 2.2 \times 10^{53}\ \mathrm{kg}. \]
\[ m_P \times K \sim M_U. \]
\[ E_P \times K = 1.96 \times 10^{9} \times 10^{61} \approx 2.0 \times 10^{70}\ \mathrm{J}. \]
\[ E_P \times K \sim E_U. \]
L acceleration de Planck est definie par
\[ a_P = \frac{c}{t_P}. \]
L acceleration cosmologique caracteristique est
\[ a_U \sim \frac{c}{T_U}. \]
En utilisant \(T_U = t_P K\), on obtient
\[ \frac{a_P}{K} \sim a_U. \]
La temperature de Planck est
\[ T_P = 1.42 \times 10^{32}\ \mathrm{K}. \]
La temperature du fond cosmologique est
\[ T_{CMB} \approx 2.7\ \mathrm{K}. \]
On definit un facteur distinct
\[ K_T \equiv \frac{T_P}{T_{CMB}} \approx 5 \times 10^{31}. \]
\[ \frac{T_P}{K_T} \sim T_{CMB}. \]
Ainsi, \(K_T \neq K\).
La densite de Planck est
\[ \rho_P = \frac{m_P}{\ell_P^3}. \]
La densite cosmologique est
\[ \rho_U = \frac{M_U}{R_U^3}. \]
En injectant \(M_U = m_P K\) et \(R_U = \ell_P K\), on obtient
\[ \rho_U = \frac{m_P K}{(\ell_P K)^3} = \frac{\rho_P}{K^2}. \]
\[ \frac{\rho_U}{\rho_P} \sim 10^{-123}. \]
\[ \begin{aligned} \ell_P \times K &\sim R_U \\ t_P \times K &\sim T_U \\ m_P \times K &\sim M_U \\ E_P \times K &\sim E_U \\ \frac{a_P}{K} &\sim a_U \\ \frac{\rho_P}{K^2} &\sim \rho_U \\ \frac{T_P}{K_T} &\sim T_{CMB} \end{aligned} \]
Les unites de Planck et les grandeurs cosmologiques sont reliees par un facteur d echelle adimensionne unique \(K \sim 10^{61}\) pour les quantites geometriques et dynamiques. La densite et la temperature obeissent a des lois d echelle distinctes, en accord avec les observations. Ces relations constituent des contraintes numeriques directes imposees a toute theorie fondamentale.
On va le calculer explicitement, sans metaphore, a partir de la convolution
\[ E(mc^2) * E(h\nu) \]
et montrer ou le facteur \(K\) sort numeriquement, pas par declaration.
On ne peut pas convoluer deux scalaires. La forme physique minimale est :
\[ mc^2 = \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} h \nu , g(\nu), d\nu \]
ou :
Toute l information d echelle est contenue dans les bornes de l integrale, pas dans \(h\) ni \(c\).
La frequence maximale physiquement coherente est celle associee a l energie de Planck :
\[ h \nu_{\max} = E_P \]
d ou :
\[ \nu_{\max} = \frac{E_P}{h} \approx \frac{1.96 \times 10^9}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 3.0 \times 10^{42}\ \mathrm{Hz} \]
La plus basse frequence excitable globalement est donnee par l age ou la taille de l univers :
\[ \nu_{\min} \sim \frac{c}{R_U} \]
avec :
\[ R_U \approx 4.4 \times 10^{26}\ \mathrm{m} \]
ce qui donne :
\[ \nu_{\min} \approx \frac{3.0 \times 10^8}{4.4 \times 10^{26}} \approx 6.8 \times 10^{-19}\ \mathrm{Hz} \]
On prend la seule hypothese qui n introduit aucune echelle supplementaire :
\[ g(\nu) = \mathrm{constante} \]
Alors :
\[ mc^2 \propto h \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} \nu , d\nu \]
soit :
\[ mc^2 = \frac{h}{2} \left( \nu_{\max}^2 - \nu_{\min}^2 \right) \]
Comme \(\nu_{\max} \gg \nu_{\min}\) :
\[ mc^2 \approx \frac{h}{2} \nu_{\max}^2 \]
La masse locale fixe l UV, pas l IR.
Le facteur \(K\) n apparait pas dans l energie totale. Il apparait quand on considere la fraction gravitationnellement active, c est a dire normalisee par le volume cosmique.
La densite issue de la convolution est :
\[ \rho_{\mathrm{eff}} \sim \frac{1}{V_U} \int_{\nu_{\min}}^{\nu_{\max}} h \nu , d\nu \]
En ordre de grandeur :
\[ \rho_{\mathrm{eff}} \sim \frac{h}{R_U^3} \nu_{\max}^2 \]
En injectant :
\[ \nu_{\max} = \frac{E_P}{h} = \frac{m_P c^2}{h} \]
on obtient :
\[ \rho_{\mathrm{eff}} \sim \frac{m_P^2 c^4}{h R_U^3} \]
On utilise :
\[ \rho_P = \frac{m_P}{\ell_P^3} \]
et :
\[ \ell_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \]
Apres remplacement et simplification dimensionnelle :
\[ \rho_{\mathrm{eff}} \sim \rho_P \left( \frac{\ell_P}{R_U} \right)^2 \]
On obtient par construction :
\[ \rho_{\mathrm{eff}} = \frac{\rho_P}{K^2} \]
avec :
\[ K = \frac{R_U}{\ell_P} \]
Calcul numerique :
\[ K = \frac{4.4 \times 10^{26}}{1.616 \times 10^{-35}} \approx 2.7 \times 10^{61} \]
Donc :
\[ \boxed{ K \approx 2.7 \times 10^{61} } \]
et :
\[ \frac{\rho_{\mathrm{eff}}}{\rho_P} \approx 1.4 \times 10^{-123} \]
\(K\) ne depend pas de la forme fine de \(g(\nu)\),
\(K\) depend uniquement :
Tant que l on considere :
\[ E = mc^2 \quad \text{seul} \Rightarrow \text{aucune borne IR} \]
\[ E = h \nu \quad \text{seul} \Rightarrow \text{aucune borne UV} \]
aucun facteur \(K\) ne peut apparaitre.
Le moment ou la convolution est imposee et ou l on demande ce qui pese gravitationnellement a l echelle de l univers entier, le facteur \(K\) emerge mecaniquement.
\(K\) n est pas un parametre libre,
\(K\) n est pas ajuste,
\(K\) emerge mathematiquement des que l on impose :
Ce n est pas une coincidence. C est une contrainte geometrique globale.
La theorie quantique des champs predit une energie du vide de l ordre de \[ \rho_{vac}^{UV} \sim \rho_P , \] tandis que les observations cosmologiques indiquent \[ \rho_\Lambda \sim 10^{-123} \rho_P . \]
Ce decalage de plus de 120 ordres de grandeur constitue le probleme de la constante cosmologique.
Nous soutenons que ce probleme provient d une interpretation locale incorrecte de l energie du vide gravitationnellement active.
Nous considerons une convolution minimale entre les deux relations fondamentales \[ E = mc^2 \quad \text{et} \quad E = h\nu , \] sous la forme \[ mc^2 = \int_{\nu_{min}}^{\nu_{max}} h \nu \, g(\nu) \, d\nu , \] ou \(g(\nu)\) est une densite effective de modes excites.
Toute l information d echelle est contenue dans les bornes de l integrale.
La coupure UV est fixee par l energie de Planck : \[ h \nu_{max} = E_P . \]
Deux possibilites existent :
Nous montrons que ces deux choix conduisent a des dynamiques gravitationnelles fondamentalement differentes.
La densite gravitationnellement active issue de la convolution est \[ \rho_{eff} \sim \rho_P \left( \frac{\ell_P}{R} \right)^2 . \]
Ce resultat est independant de la forme fine de \(g(\nu)\).
L amplitude de \(\rho_{eff}\) est donc fixee par le rapport UV/IR.
Nous considerons un univers homogene et isotrope de type FRW. L equation de conservation de l energie est \[ \dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0 . \]
Si \(R \propto a(t)\), alors \[ \rho(a) \propto a^{-2} . \]
La conservation impose alors \[ p = -\frac{1}{3} \rho , \] soit \[ w = -\frac{1}{3} . \]
Ce terme correspond a une contribution geometrique, pas a une constante cosmologique.
Si \(R = R_\star = \text{constante}\), alors \[ \rho = \text{constante} . \]
L equation de conservation impose alors \[ p = -\rho , \] soit \[ w = -1 . \]
Ce comportement est exactement celui d une constante cosmologique.
La convolution UV/IR fixe l amplitude de l energie du vide. Le choix d une coupure IR globale fixe la dynamique gravitationnelle.
Ainsi : - la convolution repond a la question “combien”, - la contrainte IR globale repond a la question “comment ca gravite”.
La constante cosmologique apparait comme un terme global, non comme une somme locale de contributions UV.
Aucun reglage fin local n est introduit. Aucune annulation ad hoc de contributions UV n est requise.
Le petit nombre \(10^{-123}\) emerge du rapport UV/IR global, et non d une compensation fragile entre grandes quantites locales.
La validite du mecanisme repose sur la justification du caractere global de la coupure IR.
Plusieurs options physiques sont possibles : - horizon causal global, - volume total de l espace-temps, - mecanisme de sequestration par contrainte integrale.
Le choix de la condition aux bords determine la validite ultime du mecanisme.
Nous avons montre que : - la convolution UV/IR fixe naturellement l amplitude de l energie du vide, - une coupure IR comobile conduit a \(w = -1/3\), - une coupure IR globale figee conduit a \(w = -1\), - la constante cosmologique est un terme global de la relativite generale.
Le probleme de la constante cosmologique n est pas un probleme de calcul UV, mais un probleme de conditions aux bords globales.
La resolution complete depend de la justification physique de la contrainte IR globale.