Fórmulas para Análisis de Varianza (ANOVA) - Diseños Experimentales

1. ANOVA de Una Vía (One-Way ANOVA)

Explicación: Se usa para comparar medias de tres o más grupos independientes definidos por un solo factor.

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio
Entre Grupos \(SC_{entre} = \sum_{j=1}^q n_j (\overline{Y}_j - \overline{Y})^2\) \(gl_{entre} = q-1\) \(CM_{entre} = \frac{SC_{entre}}{gl_{entre}}\)
Dentro de Grupos (Error) \(SC_{intra} = \sum_{j=1}^q \sum_{i=1}^{n_j} (Y_{ij} - \overline{Y}_j)^2\) \(gl_{intra} = n-q\) \(CM_{intra} = \frac{SC_{intra}}{gl_{intra}}\)
Total \(SC_{total} = \sum_{j=1}^q \sum_{i=1}^{n_j} (Y_{ij} - \overline{Y})^2\) \(n-1\)

Estadístico F: \[F = \frac{CM_{entre}}{CM_{intra}} \sim F(q-1, n-q)\]

Ejemplo en Ingeniería Agrícola: Evaluación de 4 dosis de nitrógeno en el rendimiento de maíz.

2. ANOVA de Dos Vías (sin interacción)

Explicación: Analiza el efecto de dos factores independientes (A y B) sin considerar que se influyan mutuamente.

Modelo: \[Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ijk}\]

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio
Factor A \(SCA = bn\sum_{i=1}^a (\overline{Y}_{i\cdot\cdot} - \overline{Y})^2\) \(a-1\) \(CMA = \frac{SCA}{a-1}\)
Factor B \(SCB = an\sum_{j=1}^b (\overline{Y}_{\cdot j\cdot} - \overline{Y})^2\) \(b-1\) \(CMB = \frac{SCB}{b-1}\)
Error \(SCE = \text{Restante (SCT - SCA - SCB)}\) \((a-1)(b-1)\) \(CME = \frac{SCE}{gl_E}\)
Total \(SCT = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^n (Y_{ijk} - \overline{Y})^2\) \(abn-1\)

Estadísticos F: * Para Factor A: \(F_A = \frac{CMA}{CME}\) * Para Factor B: \(F_B = \frac{CMB}{CME}\)

Ejemplo en Ingeniería Agroindustrial: Efecto de Tipo de Filtro y Marca de Bomba en la velocidad de filtrado.

3. ANOVA de Dos Vías con Interacción

Explicación: Considera que el efecto de un factor depende del nivel del otro factor.

Modelo: \[Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}\]

Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio
Factor A \(SCA = bn\sum_{i=1}^a (\overline{Y}_{i\cdot\cdot} - \overline{Y})^2\) \(a-1\) \(CMA = \frac{SCA}{gl_A}\)
Factor B \(SCB = an\sum_{j=1}^b (\overline{Y}_{\cdot j\cdot} - \overline{Y})^2\) \(b-1\) \(CMB = \frac{SCB}{gl_B}\)
Interacción A×B \(SCAB = n\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b (\dots)^2\) \((a-1)(b-1)\) \(CMAB = \frac{SCAB}{gl_{AB}}\)
Error \(SCE = \sum \sum \sum (Y_{ijk} - \overline{Y}_{ij\cdot})^2\) \(ab(n-1)\) \(CME = \frac{SCE}{gl_E}\)

(Nota: He abreviado la fórmula de SCAB dentro de la tabla para evitar que se rompa el formato en PDF, la fórmula completa es la suma de las desviaciones de la media de celda menos los efectos principales).

Estadísticos F: \[F_{AB} = \frac{CMAB}{CME} \sim F((a-1)(b-1), ab(n-1))\]

Ejemplo en Agroindustrial: Efecto de Temperatura y Tipo de Envase en el pH del yogur.

4. ANOVA de Medidas Repetidas

Explicación: Mismo sujeto medido múltiples veces. Reduce la varianza del error al eliminar diferencias entre sujetos.

Modelo: \[Y_{ij} = \mu + \pi_i + \tau_j + \varepsilon_{ij}\]

Fuente Suma de Cuadrados Gl CM
Entre Sujetos \(SC_{suj} = k\sum_{i=1}^n (\overline{Y}_{i\cdot} - \overline{Y})^2\) \(n-1\) \(CM_{suj}\)
Dentro Sujetos \(SC_{dentro} = \sum \sum (Y_{ij} - \overline{Y}_{i\cdot})^2\) \(n(k-1)\)
- Tratamientos \(SC_{trat} = n\sum_{j=1}^k (\overline{Y}_{\cdot j} - \overline{Y})^2\) \(k-1\) \(CM_{trat}\)
- Error \(SC_{error} = SC_{dentro} - SC_{trat}\) \((n-1)(k-1)\) \(CM_{error}\)

Estadístico F: \[F = \frac{CM_{trat}}{CM_{error}}\]

Corrección de esfericidad (Greenhouse-Geisser): \[\hat{\epsilon} = \frac{k^2(\bar{s}_{jj} - \bar{s}_{..})^2}{(k-1)\left[\sum\sum s_{jj'}^2 - 2k\sum\bar{s}_{j.}^2 + k^2\bar{s}_{..}^2\right]}\]

Ejemplo en Civil: Profundidad de grietas en pavimento medidas a los 6, 12 y 18 meses.

5. Diseño de Bloques Completos Aleatorizados (DBCA)

Explicación: Se agrupan las unidades experimentales en bloques homogéneos para controlar una fuente de variación externa.

Modelo: \[Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}\]

Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio
Tratamientos \(SC_{trat} = b\sum_{i=1}^t (\overline{Y}_{i\cdot} - \overline{Y})^2\) \(t-1\) \(CM_{trat}\)
Bloques \(SC_{bloques} = t\sum_{j=1}^b (\overline{Y}_{\cdot j} - \overline{Y})^2\) \(b-1\) \(CM_{bloques}\)
Error \(SC_{error} = \text{Sustracción}\) \((t-1)(b-1)\) \(CM_{error}\)

Estadístico F: \[F = \frac{CM_{trat}}{CM_{error}}\]

Ejemplo en Agrícola: Evaluación de variedades de arroz bloqueando por pendiente del terreno.

6. ANOVA Multivariado (MANOVA)

Explicación: Evalúa múltiples variables de respuesta dependientes simultáneamente.

Modelo: \[\mathbf{Y}_{ij} = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\tau}_i + \boldsymbol{\varepsilon}_{ij}\]

Matrices de Suma de Cuadrados y Productos Cruzados (SCP):

  1. SCP Total: \(\mathbf{T} = \mathbf{H} + \mathbf{E}\)
  2. SCP Entre Grupos (Hipótesis): \(\mathbf{H} = \sum n_i(\overline{\mathbf{Y}}_i - \overline{\mathbf{Y}})(\overline{\mathbf{Y}}_i - \overline{\mathbf{Y}})'\)
  3. SCP Dentro Grupos (Error): \(\mathbf{E} = \sum \sum (\mathbf{Y}_{ij} - \overline{\mathbf{Y}}_i)(\mathbf{Y}_{ij} - \overline{\mathbf{Y}}_i)'\)

Estadísticos de Prueba (Lambda de Wilks): \[\Lambda = \frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{H}+\mathbf{E}|}\]

Ejemplo en Agrícola: Efecto de fertilización en [Peso, Brix, pH] de un fruto.