Métodos Quantitativos

Ciências de Comunicação - 2º Ano

1. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados: 2Pts

1.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos.

x = c(136,  103,    126,    116,    129,    143,    113)
Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão
Xi Média Desvio² Variância Desvio-Padrão Coeficiente de Variação (%)
136 123.71 150.94 193.24 13.9 11.24
103 123.71 429.08 193.24 13.9 11.24
126 123.71 5.22 193.24 13.9 11.24
116 123.71 59.51 193.24 13.9 11.24
129 123.71 27.94 193.24 13.9 11.24
143 123.71 371.94 193.24 13.9 11.24
113 123.71 114.80 193.24 13.9 11.24

2. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Pi = c(210, 350, 60); Pii = c(230, 370, 45); Piii = c(210, 300, 50)

Qi = c(157, 157, 64); Qii = c(160, 198, 7); Qiii = c(158, 129, 59)

2.1. Calcule o Índice Simples de Preço para os produtos A e C. 2,5Pts

A1     A2     A3     C1     C2     C3

100.00 383.33 100.00 100.00 21.43 83.33

2.2. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para o último trimestre. 4Pts

[1] 91.401

3. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

x = c(31,   39, 52, 59, 49, 74, 77, 92)
y   = c(5,  7,  10, 12, 6,  17, 15, 11)

3.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
Xi Yi Media X Media Y Produto Xi x Yi Quadrado do Xi Quadrado do Yi
31 5 59.12 10.38 155 961 25
39 7 59.12 10.38 273 1521 49
52 10 59.12 10.38 520 2704 100
59 12 59.12 10.38 708 3481 144
49 6 59.12 10.38 294 2401 36
74 17 59.12 10.38 1258 5476 289
77 15 59.12 10.38 1155 5929 225
92 11 59.12 10.38 1012 8464 121
473 83 NA NA 5375 30937 989

Intercepto (a) Inclinação (b) 1.0685 0.1574

3.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

3.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

30min/semana 85min/semana 5h/semana 5.790634 14.447806 48.289477

3.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

90min/semana 15.23482

4. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

x <- c(112.8,   100.8,  93.3,   83.4,   107,    111.5,  83.4,
103.9,  97.9,   109,    99.5,   75.8,   113.6,  75,
94, 101.8,  108.9,  89.8,   79.0,   70.9,   69.2
)
Tabela de Distribuição de Frequências
Classes Fi Fri (%) Fi_acum Fri_acum (%)
[69.2,77.2) 4 19.0 4 19.05
[77.2,85.2) 3 14.3 7 33.33
[85.2,93.2) 1 4.8 8 38.10
[93.2,101) 5 23.8 13 61.90
[101,109) 5 23.8 18 85.71
[109,117) 3 14.3 21 100.00
NA 21 100.0 NA NA

Probabilidade & Estatística I

Biologia - 2º Ano

1. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

x <- c(112.86,  100.87, 93.30,  83.42,  112.12, 111.51, 83.47,
103.96, 97.97,  109.13, 99.55,  101.69, 113.68, 75.74,
94.08,  101.87, 108.90, 89.81,  95.67,  70.94,  69.28
)

1.1. Organiza os dados numa tabela de Distribuição de Frequências (Expr. Sturges), para identificar padrões na distribuição dos níveis de glicose. 3,5Pts

Tabela de Distribuição de Frequências
Classes Fi Fri (%) Fi_acum Fri_acum (%)
[69.3,77.3) 3 14.3 3 14.29
[77.3,85.3) 2 9.5 5 23.81
[85.3,93.3) 1 4.8 6 28.57
[93.3,101) 6 28.6 12 57.14
[101,109) 5 23.8 17 80.95
[109,117) 4 19.0 21 100.00
NA 21 100.0 NA NA

2. Um laboratório de análises clínicas utiliza dois analisadores de hematologia, Máquina A e Máquina B, para processar diariamente 680 hemogramas (contagens celulares no sangue). A Máquina A processa diariamente 280 hemogramas, dos quais 2,5% apresentam erro analítico (resultado defeituoso, como contagem incorrecta de leucócitos ou plaquetas). A Máquina B processa as restantes amostras, das quais 3% apresentam erro analítico.

De uma amostra processada em um determinado dia, selecciona-se aleatoriamente um hemograma.

Dados do problema:

Total de hemogramas por dia: 680; ii) Máquina A: 280; Máquina B: 680 − 280 = 400

Taxas de erro: i) Máquina A: 2,5% = 0,025; ii) Máquina B: 3% = 0,03

total <- 680; A <- 280; B <- 400

# probabilidades de seleção
P_A <- A / total; P_B <- B / total

# probabilidades de erro
P_erro_A <- 0.025; P_erro_B <- 0.03

# probabilidades de NÃO erro
P_ok_A <- 1 - P_erro_A; P_ok_B <- 1 - P_erro_B

Apresente em percentagem, a probabilidade de:

2.1. o hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A. 2,5Pts

\[ \small P(\text{SemErro} \cap A) = P(A)\times P(\text{SemErro}\mid A) = P(A)\times \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)} \]

P_2_1 <- P_A * P_ok_A; P_2_1 * 100
## [1] 40.14706

2.2. o hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A. 2,5Pts

\[ P(\text{Sem erro}\mid A) = \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)} \]

P_2_2 <- P_ok_A; P_2_2 * 100
## [1] 97.5
Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão
Xi Média Desvio² Variância Desvio-Padrão Coeficiente de Variação (%)
112.86 96.66 262.50 185.72 13.63 14.1
100.87 96.66 17.74 185.72 13.63 14.1
93.30 96.66 11.28 185.72 13.63 14.1
83.42 96.66 175.25 185.72 13.63 14.1
112.12 96.66 239.07 185.72 13.63 14.1
111.51 96.66 220.58 185.72 13.63 14.1
83.47 96.66 173.93 185.72 13.63 14.1
103.96 96.66 53.32 185.72 13.63 14.1
97.97 96.66 1.72 185.72 13.63 14.1
109.13 96.66 155.55 185.72 13.63 14.1
99.55 96.66 8.36 185.72 13.63 14.1
101.69 96.66 25.32 185.72 13.63 14.1
113.68 96.66 289.75 185.72 13.63 14.1
75.74 96.66 437.57 185.72 13.63 14.1
94.08 96.66 6.65 185.72 13.63 14.1
101.87 96.66 27.16 185.72 13.63 14.1
108.90 96.66 149.86 185.72 13.63 14.1
89.81 96.66 46.90 185.72 13.63 14.1
95.67 96.66 0.98 185.72 13.63 14.1
70.94 96.66 661.42 185.72 13.63 14.1
69.28 96.66 749.56 185.72 13.63 14.1

3. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Pi = c(143, 119, 392, 45); Pii = c(157, 157, 455, 64); Piii = c(240, 240, 8, 50)

Qi = c(210, 300, 20, 50); Qii = c(160, 138, 480, 70); Qiii = c(220, 380, 0, 40)

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para os dois últimos trimestres. 4Pts

 Ind_Paasii Ind_Paasiii

[1,] 116.9349 186.0347

4. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

x = c(30,   38, 46, 54, 39, 70, 78, 86)
y   = c(5,  7,  9,  11, 13, 6,  13, 19)

4.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
Xi Yi Media X Media Y Produto Xi x Yi Quadrado do Xi Quadrado do Yi
30 5 55.12 10.38 150 900 25
38 7 55.12 10.38 266 1444 49
46 9 55.12 10.38 414 2116 81
54 11 55.12 10.38 594 2916 121
39 13 55.12 10.38 507 1521 169
70 6 55.12 10.38 420 4900 36
78 13 55.12 10.38 1014 6084 169
86 19 55.12 10.38 1634 7396 361
441 83 NA NA 4999 27277 1011

Intercepto (a) Inclinação (b) 2.5040 0.1428

4.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

4.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

30min/semana 85min/semana 5h/semana 6.787529 14.640699 45.339456

4.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

90min/semana 15.35462

Probabilidade & Estatística I

Biologia - 2º Ano

1. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados: 2Pts

1.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos.

x = c(136,  103,    126,    116,    129,    143,    113)
Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão
Xi Média Desvio² Variância Desvio-Padrão Coeficiente de Variação (%)
136 123.71 150.94 193.24 13.9 11.24
103 123.71 429.08 193.24 13.9 11.24
126 123.71 5.22 193.24 13.9 11.24
116 123.71 59.51 193.24 13.9 11.24
129 123.71 27.94 193.24 13.9 11.24
143 123.71 371.94 193.24 13.9 11.24
113 123.71 114.80 193.24 13.9 11.24

3. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Pi = c(143, 119, 392, 45); Pii = c(157, 157, 455, 64); Piii = c(240, 240, 8, 50)

Qi = c(210, 300, 20, 50); Qii = c(160, 138, 480, 70); Qiii = c(220, 380, 0, 40)

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para os dois últimos trimestres. 4Pts

 Ind_Paasii Ind_Paasiii

[1,] 116.9349 186.0347

4. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

x = c(30,   38, 46, 54, 39, 70, 78, 86)
y   = c(5,  7,  9,  11, 13, 6,  13, 19)

4.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
Xi Yi Media X Media Y Produto Xi x Yi Quadrado do Xi Quadrado do Yi
30 5 55.12 10.38 150 900 25
38 7 55.12 10.38 266 1444 49
46 9 55.12 10.38 414 2116 81
54 11 55.12 10.38 594 2916 121
39 13 55.12 10.38 507 1521 169
70 6 55.12 10.38 420 4900 36
78 13 55.12 10.38 1014 6084 169
86 19 55.12 10.38 1634 7396 361
441 83 NA NA 4999 27277 1011

Intercepto (a) Inclinação (b) 2.5040 0.1428

4.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

4.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

30min/semana 85min/semana 5h/semana 6.787529 14.640699 45.339456

4.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

90min/semana 15.35462

1. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

x <- c(112.86,  100.87, 93.30,  83.42,  112.12, 111.51, 83.47,
103.96, 97.97,  109.13, 99.55,  101.69, 113.68, 75.74,
94.08,  101.87, 108.90, 89.81,  95.67,  70.94,  69.28
)

1.1. Organiza os dados numa tabela de Distribuição de Frequências (Expr. Sturges), para identificar padrões na distribuição dos níveis de glicose. 3,5Pts

Tabela de Distribuição de Frequências
Classes Fi Fri (%) Fi_acum Fri_acum (%)
[69.3,77.3) 3 14.3 3 14.29
[77.3,85.3) 2 9.5 5 23.81
[85.3,93.3) 1 4.8 6 28.57
[93.3,101) 6 28.6 12 57.14
[101,109) 5 23.8 17 80.95
[109,117) 4 19.0 21 100.00
NA 21 100.0 NA NA