Ciências de Comunicação - 2º Ano

Métodos Quantitativos - PAUTA

1. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados:

1.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos. 2Pts

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão
\(X_i\) \(\overline{X}\) \((X_i-\overline{X})^2\) Variância Desvio-Padrão Coeficiente de Variação (%)
136 123.71 150.94 193.24 13.9 11.24
103 123.71 429.08 193.24 13.9 11.24
126 123.71 5.22 193.24 13.9 11.24
116 123.71 59.51 193.24 13.9 11.24
129 123.71 27.94 193.24 13.9 11.24
143 123.71 371.94 193.24 13.9 11.24
113 123.71 114.80 193.24 13.9 11.24

2. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

Pi = c(210, 350, 60); Pii = c(230, 370, 45); Piii = c(210, 300, 50)

Qi = c(157, 157, 64); Qii = c(160, 198, 7); Qiii = c(158, 129, 59)

2.1. Calcule o Índice Simples de Preço para os produtos A e C. 2,5Pts

##                 A1     A2  A3  C1 C2    C3
## Indice_simples 100 109.52 100 100 75 83.33

2.2. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para o último trimestre. 4Pts

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços
Produto
I Trimestre
II Trimestre
III Trimestre
Cálculo dos Produtos
\(P_i\) \(Q_i\) \(P_{ii}\) \(Q_{ii}\) \(P_{iii}\) \(Q_{iii}\) \(P_i \times Q_{iii}\) \(P_{iii} \times Q_{iii}\)
A 210 157 230 160 210 158 33180 33180
B 350 157 370 198 300 129 45150 38700
C 60 64 45 7 50 59 3540 2950
Soma NA NA NA NA NA NA 81870 74830 
##      Ind_Paasiii
## [1,]      91.401

3. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

3.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
\(X_i\) \(Y_i\) \(\overline{X}\) \(\overline{Y}\) \(X_i \times Y_i\) \(X_i^2\) \(Y_i^2\)
31 5 59.12 10.38 155 961 25
39 7 59.12 10.38 273 1521 49
52 10 59.12 10.38 520 2704 100
59 12 59.12 10.38 708 3481 144
49 6 59.12 10.38 294 2401 36
74 17 59.12 10.38 1258 5476 289
77 15 59.12 10.38 1155 5929 225
92 11 59.12 10.38 1012 8464 121
473 83 NA NA 5375 30937 989 
##              Coef. Linear (a) Coef. Angular (b)
## coeficientes           1.0685            0.1574

3.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

## [1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1574 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

3.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

##          30min/semana 85min/semana 5h/semana
## previsao     5.790634     14.44781  48.28948

3.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

##          90min/semana
## previsao     15.23482

4. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

x <- c(112.8,   100.8,  93.3,   83.4,   107,    111.5,  83.4, 103.9,    97.9,   109,    99.5,   75.8,
       113.6,   75, 94, 101.8,  108.9,  89.8,   79.0,   70.9,   69.2 )

4.1. Organiza os dados numa tabela de Distribuição de Frequências (Expr. Sturges), para identificar padrões na distribuição dos níveis de glicose. 3,5Pts

Tabela de Distribuição de Frequências
Classes \(F_i\) \(F{ri}\) (%) \(F{i_{ac}}\) \(F{ri_{ac}}\) (%)
[69.2,78.2) 4 19.0 4 19.05
[78.2,87.2) 3 14.3 7 33.33
[87.2,96.2) 3 14.3 10 47.62
[96.2,105) 5 23.8 15 71.43
[105,114) 6 28.6 21 100.00
NA 21 100.0 NA NA

Biologia - 2º Ano

Probabilidade & Estatística I - PAUTA

1. Um analista de dados do sector da Saúde pretende avaliar o perfil glicémico dos utentes atendidos num centro de saúde local. Para isso, recolheu os seguintes dados (em mg/dL):

x = c(112.86,   100.87, 93.30,  83.42,  112.12, 111.51, 83.47,103.96,   97.97,  109.13, 99.55,
       101.69,  113.68, 75.74, 94.08,   101.87, 108.90, 89.81,  95.67,  70.94,  69.28)

1.1. Organiza os dados numa tabela de Distribuição de Frequências (Expr. Sturges), para identificar padrões na distribuição dos níveis de glicose. 3,5Pts

Tabela de Distribuição de Frequências
Classes \(F_i\) \(F{ri}\) (%) \(F{i_{ac}}\) \(F{ri_{ac}}\) (%)
[69.3,78.3) 3 14.3 3 14.29
[78.3,87.3) 2 9.5 5 23.81
[87.3,96.3) 4 19.0 9 42.86
[96.3,105) 6 28.6 15 71.43
[105,114) 6 28.6 21 100.00
NA 21 100.0 NA NA

2. Um laboratório de análises clínicas utiliza dois analisadores de hematologia, Máquina A e Máquina B, para processar diariamente 680 hemogramas (contagens celulares no sangue). A Máquina A processa diariamente 280 hemogramas, dos quais 2,5% apresentam erro analítico (resultado defeituoso, como contagem incorrecta de leucócitos ou plaquetas). A Máquina B processa as restantes amostras, das quais 3% apresentam erro analítico.

De uma amostra processada em um determinado dia, selecciona-se aleatoriamente um hemograma.

Dados do problema:

Total de hemogramas por dia: 680; ii) Máquina A: 280; Máquina B: 680 − 280 = 400

Taxas de erro: i) Máquina A: 2,5% = 0,025; ii) Máquina B: 3% = 0,03

Apresente em percentagem, a probabilidade de:

2.1. o hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A. 2,5Pts

\[ \small P(\text{SemErro} \cap A) = P(A)\times P(\text{SemErro}\mid A) = P(A)\times \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=40,147 \]

2.2. o hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A. 2,5Pts

\[ P(\text{Sem erro}\mid A) = \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=97,5 \]

3. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para os dois últimos trimestres. 4Pts

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços
Produto
I Trimestre
II Trimestre
III Trimestre
Cálculo dos Produtos
\(P_i\) \(Q_i\) \(P_{ii}\) \(Q_{ii}\) \(P_{iii}\) \(Q_{iii}\) \(P_i \times Q_{ii}\) \(P_{ii} \times Q_{ii}\) \(P_i \times Q_{iii}\) \(P_{iii} \times Q_{iii}\)
A 143 210 157 160 240 220 22880 25120 31460 52800
B 119 300 157 138 240 380 16422 21666 45220 91200
C 392 20 455 480 8 0 188160 218400 0 0
D 45 50 64 70 50 40 3150 4480 1800 2000
Soma NA NA NA NA NA NA 230612 269666 78480 146000 
##      Paasche_T2 Paasche_T3
## [1,]   116.9349   186.0347

4. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

4.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
\(X_i\) \(Y_i\) \(\overline{X}\) \(\overline{Y}\) \(X_i \times Y_i\) \(X_i^2\) \(Y_i^2\)
30 5 55.12 10.38 150 900 25
38 7 55.12 10.38 266 1444 49
46 9 55.12 10.38 414 2116 81
54 11 55.12 10.38 594 2916 121
39 13 55.12 10.38 507 1521 169
70 6 55.12 10.38 420 4900 36
78 13 55.12 10.38 1014 6084 169
86 19 55.12 10.38 1634 7396 361
441 83 NA NA 4999 27277 1011 
##              Coef. Linear (a) Coef. Angular (b)
## coeficientes            2.504            0.1428

4.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1,5Pts

## [1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1428 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

4.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

##          30min/semana 85min/semana 5h/semana
## previsao     6.787529      14.6407  45.33946

4.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1,5Pts

##              previsao
## 90min/semana 15.35462

Economia / Gestão - 2º Ano

Estatística para Economista I - PAUTA / Estatística I - PAUTA

1. Uma rede deseja avaliar a concentração de vendas entre suas 6 lojas, comparando a proporção acumulada de clientes (população) com a proporção acumulada do volume de vendas (renda). Isso mostra se poucas lojas concentram a maior parte das vendas:

1.1. A partir da Curva de Lorenz, a distribuição de vendas pode ser considerada pouco concentrada, moderadamente concentrada, ou altamente concentrada? 3,5Pts.

1.2. Determine o Índice de Gini. 2Pts

Tabela de Distribuição de Frequências
Loja Clientes \(F_i\) Vendas \(Yi\) \(F_{i_{ac}}\) \(Y_{i_{ac}}\) \(Fr_{i_{ac}}\) ou \(p_i\) (%) \(Yr_{i_{ac}}\) ou \(q_i\) (%)
1 217 26 217 26 4.77 1.01
2 433 91 650 117 14.29 4.55
3 650 195 1300 312 28.57 12.12
4 867 351 2167 663 47.63 25.76
5 1083 611 3250 1274 71.43 49.49
6 1300 1300 4550 2574 100.00 100.00
NA 4550 2574 NA NA NA NA

2. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados:

2.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos. 2,5Pts

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão
\(X_i\) \(\overline{X}\) \((X_i-\overline{X})^2\) Variância Desvio-Padrão Coeficiente de Variação (%)
136 123 169 81.62 9.66 7.85
103 123 400 81.62 9.66 7.85
126 123 9 81.62 9.66 7.85
119 123 16 81.62 9.66 7.85
122 123 1 81.62 9.66 7.85
123 123 0 81.62 9.66 7.85
116 123 49 81.62 9.66 7.85
126 123 9 81.62 9.66 7.85

2.2. Como classificas a distribuição dos dados, com base nos conhecimentos sobre a assimetria. 2,5Pts

\[ A_{S_1}=G_1= \frac{\overline X - M_o}{S}=-0,311 \]

3. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Laspeyres (Curso de Economia) para o último trimestre. 3Pts

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços
Produto
I Trimestre
II Trimestre
III Trimestre
Cálculo dos Produtos
\(P_i\) \(Q_i\) \(P_{ii}\) \(Q_{ii}\) \(P_{iii}\) \(Q_{iii}\) \(P_i \times Q_i\) \(P_{ii} \times Q_i\) \(P_{iii} \times Q_i\)
A 160 250 162 230 143 210 40000 40500 35750
B 198 380 135 370 119 300 75240 51300 45220
C 400 80 470 5 392 20 32000 37600 31360
D 7 50 68 45 45 50 350 3400 2250
Soma NA NA NA NA NA NA 147590 132800 114580 
##      Ind_Laspeyresii Ind_Laspeyresiii
## [1,]          89.979         77.63399

3.1. Tomando o primeiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche (Curso de Gestão) para o último trimestre. 3Pts

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços
Produto
I Trimestre
II Trimestre
III Trimestre
Cálculo dos Produtos
\(P_i\) \(Q_i\) \(P_{ii}\) \(Q_{ii}\) \(P_{iii}\) \(Q_{iii}\) \(P_i \times Q_{ii}\) \(P_i \times Q_{iii}\) \(P_{ii} \times Q_{ii}\) \(P_{iii} \times Q_{iii}\)
A 160 250 162 230 143 210 36800 33600 37260 30030
B 198 380 135 370 119 300 73260 59400 49950 35700
C 400 80 470 5 392 20 2000 8000 2350 7840
D 7 50 68 45 45 50 315 350 3060 2250
Soma NA NA NA NA NA NA 112375 101350 92620 75820 
##      Ind_Paascheii Ind_Paascheiii
## [1,]      82.42047       74.81006

4. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

4.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3,5Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
\(X_i\) \(Y_i\) \(\overline{X}\) \(\overline{Y}\) \(X_i \times Y_i\) \(X_i^2\) \(Y_i^2\)
57 5 58 10.62 285 3249 25
69 11 58 10.62 759 4761 121
84 15 58 10.62 1260 7056 225
55 10 58 10.62 550 3025 100
61 12 58 10.62 732 3721 144
51 5 58 10.62 255 2601 25
31 8 58 10.62 248 961 64
56 19 58 10.62 1064 3136 361
464 85 NA NA 5153 28510 1065 
##                   coeficientes
## Coef. Linear (a)        2.5311
## Coef. Angular (b)       0.1395

4.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1Pts

## [1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1395 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

4.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1,5Pts

##          30min/semana 85min/semana 5h/semana
## previsao     6.717616     14.39283  44.39596

4.4. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1Pts

##              previsao
## 90min/semana 15.09058

Matemática - 1º Ano

Estatística Descritiva - PAUTA

1. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

1.1. Calcule e classifique a correlação existente entre as duas variáveis. 3Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
\(X_i\) \(Y_i\) \(\overline{X}\) \(\overline{Y}\) \(X_i \times Y_i\) \(X_i^2\) \(Y_i^2\)
32 6 63.6 12.27 192 1024 36
38 9 63.6 12.27 342 1444 81
44 12 63.6 12.27 528 1936 144
50 15 63.6 12.27 750 2500 225
56 18 63.6 12.27 1008 3136 324
60 20 63.6 12.27 1200 3600 400
30 5 63.6 12.27 150 900 25
36 8 63.6 12.27 288 1296 64
42 11 63.6 12.27 462 1764 121
70 6 63.6 12.27 420 4900 36
80 9 63.6 12.27 720 6400 81
90 12 63.6 12.27 1080 8100 144
100 15 63.6 12.27 1500 10000 225
110 18 63.6 12.27 1980 12100 324
116 20 63.6 12.27 2320 13456 400
954 184 NA NA 12940 72556 2630

\[ \rho = r = \frac{n \cdot \sum X_i \cdot Y_i - \sum X_i \cdot \sum Y_i}{\sqrt{ \left[ n \cdot \sum X_i^2 - \left(\sum X_i \right)^2 \right] \cdot \left[ n \cdot \sum Y_i^2 - \left(\sum Y_i \right)^2 \right]}} =0,588 \]

1.2. Estime a equação da regressão linear simples. 3Pts

##                   coeficientes
## Coef. Linear (a)        5.6420
## Coef. Angular (b)       0.1042

1.3. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1Pts

## [1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1042 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

1.4. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1Pts

##          30min/semana 85min/semana 5h/semana
## previsao     8.766855     14.49571  36.89034

1.5. Um aumento de 90 min de estudo faz diferença significativa no desempenho? 1Pts

##              previsao
## 90min/semana 15.01652

2. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados:

2.1. Qual é o percentual da variação da pressão sanguínea, com base nos dados recolhidos. 2Pts

Tabela auxiliar para Medidas de Dispersão
\(X_i\) \(\overline{X}\) \((X_i-\overline{X})^2\) Variância Desvio-Padrão Coeficiente de Variação (%)
136 123 169 131.11 11.45 9.31
103 123 400 131.11 11.45 9.31
126 123 9 131.11 11.45 9.31
119 123 16 131.11 11.45 9.31
122 123 1 131.11 11.45 9.31
123 123 0 131.11 11.45 9.31
116 123 49 131.11 11.45 9.31
129 123 36 131.11 11.45 9.31
143 123 400 131.11 11.45 9.31
113 123 100 131.11 11.45 9.31

2.2. Como classificas a distribuição dos dados, com base nos conhecimentos sobre a assimetria. 2Pts

\[ \small A_{S_2}=G_2= \frac{Q_3 + Q_1 - 2\cdot Q_2}{Q_3 + Q_1}= \frac{Q_3 + Q_1 - 2\cdot M_e}{Q_3 + Q_1}=0 \]

3. Uma rede deseja avaliar a concentração de vendas entre suas 10 lojas, comparando a proporção acumulada de clientes (população) com a proporção acumulada do volume de vendas (renda). Isso mostra se poucas lojas concentram a maior parte das vendas:

3.1. A partir da Curva de Lorenz, a distribuição de vendas pode ser considerada pouco concentrada, moderadamente concentrada, ou altamente concentrada? 2Pts.

3.2. Determine o Índice de Gini. 2Pts

Tabela de Distribuição de Frequências
Loja Clientes \(F_i\) Vendas \(Yi\) \(F_{i_{ac}}\) \(Y_{i_{ac}}\) \(Fr_{i_{ac}}\) ou \(p_i\) (%) \(Yr_{i_{ac}}\) ou \(q_i\) (%)
1 237 9 237 9 3.08 0.36
2 356 18 593 27 7.70 1.07
3 474 31 1067 58 13.86 2.29
4 593 51 1660 109 21.56 4.31
5 710 81 2370 190 30.78 7.51
6 829 124 3199 314 41.55 12.42
7 947 189 4146 503 53.85 19.89
8 1066 280 5212 783 67.70 30.96
9 1184 443 6396 1226 83.08 48.48
10 1303 1303 7699 2529 100.00 100.00
NA 7699 2529 NA NA NA NA

4. Durante sete trimestres do ano de 2007, os preços (em Euros) e quantidades vendidas de quatro produtos, numa mercearia foram os seguintes:

4.1. Tomando o terceiro trimestre como período base, calcule os índices de preços de Paasche para os restantes trimestres. 3Pts

Tabela auxiliar para o cálculo do Índice de Preços
Produto
I Trimestre
II Trimestre
III Trimestre
Cálculo dos Produtos
\(P_i\) \(Q_i\) \(P_{ii}\) \(Q_{ii}\) \(P_{iii}\) \(Q_{iii}\) \(P_i \times Q_i\) \(P_{iii} \times Q_i\) \(P_{ii} \times Q_{ii}\) \(P_{iii} \times Q_{ii}\)
A 157 138 210 157 230 160 21666 31740 32970 36110
B 455 480 350 157 370 198 218400 177600 54950 58090
C 64 70 10 455 5 400 4480 350 4550 2275
D 157 160 60 64 45 7 25120 7200 3840 2880
Soma NA NA NA NA NA NA 269666 216890 96310 99355 
##      Ind_Paasi Ind_Paasii
## [1,]  124.3331   96.93523

Enfermagem - 3º Ano

BioEstatística - PAUTA

1. Uma plataforma de ensino online para os cursos da Economia e Gestão deseja investigar se o tempo de estudo semanal dedicado às disciplinas (X, em minutos por semana) influencia o desempenho na prova final (Y, nota de 0 a 20). A prova avalia conteúdos da Fiscalidade, Auditoria, TEOE, Matemática e Estatística. Foram recolhidos os seguintes dados:

1.1. Estime a equação da regressão linear simples. 3Pts

Tabela auxiliar para regressão linear simples
\(X_i\) \(Y_i\) \(\overline{X}\) \(\overline{Y}\) \(X_i \times Y_i\) \(X_i^2\) \(Y_i^2\)
30 5 58.8 11.4 150 900 25
38 7 58.8 11.4 266 1444 49
46 9 58.8 11.4 414 2116 81
54 11 58.8 11.4 594 2916 121
39 13 58.8 11.4 507 1521 169
70 6 58.8 11.4 420 4900 36
78 13 58.8 11.4 1014 6084 169
86 19 58.8 11.4 1634 7396 361
45 11 58.8 11.4 495 2025 121
102 20 58.8 11.4 2040 10404 400
588 114 NA NA 7534 39706 1532 
##              Coef. Linear (a) Coef. Angular (b)
## coeficientes           1.8803            0.1619

1.2. Interprete o coeficiente angular (b) em termos do problema. 1Pts

## [1] "Em média, por cada minuto adicional de estudo semanal, a nota na prova final aumenta 0.1619 pontos, mantendo-se todo o resto constante."

1.3. Estime (Previsão) a nota esperada para um aluno que estuda: 30min/semana, 85min/semana e 5h/semana. 1Pts

##          20min/semana 65min/semana 3h/semana
## previsao     5.118326     12.40377  31.02214

2. Um laboratório de análises clínicas utiliza dois analisadores de hematologia, Máquina A e Máquina B, para processar diariamente 680 hemogramas (contagens celulares no sangue). A Máquina A processa diariamente 280 hemogramas, dos quais 2,5% apresentam erro analítico (resultado defeituoso, como contagem incorrecta de leucócitos ou plaquetas). A Máquina B processa as restantes amostras, das quais 3% apresentam erro analítico.

De uma amostra processada em um determinado dia, selecciona-se aleatoriamente um hemograma.

Dados do problema:

Total de hemogramas por dia: 680; ii) Máquina A: 280; Máquina B: 680 − 280 = 400

Taxas de erro: i) Máquina A: 2,5% = 0,025; ii) Máquina B: 3% = 0,03

Apresente em percentagem, a probabilidade de:

2.1. o hemograma não ter erro analítico e ter sido processado pela Máquina A. 2Pts

\[ \small P(\text{SemErro} \cap A) = P(A)\times P(\text{SemErro}\mid A) = P(A)\times \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=40,147 \]

2.2. o hemograma não ter erro analítico, sabendo que foi processado pela Máquina A. 2Pts

\[ P(\text{Sem erro}\mid A) = \frac{P(\text{SemErro} \cap A)}{P(A)}=97,5 \]

3. Suponha que a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 15 e 25 anos é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 120 mmHg e desvio padrão 8 mmHg.

\[ X \sim \mathcal {N}(\mu = 120, \, \, \, \sigma = 8) \]

3.1. Calcule a probabilidade de um indivíduo dessa faixa etária apresentar pressão entre 110 e 130 mmHg. 2Pts

\[ P(110 < X < 130) = P \left( \frac{110-120}{8} < z < \frac{130-120}{8} \right) \]

\[ = P(-1,25 < z < 1,25) = P(z < 1,25) - P(z <- 1,25) \]

\[ P(110 < X < 130) = 0{,}7887 \;(78{,}87\%) \]

3.2. E a probabilidade da pressão ser maior do que 130mmHg. 1,5Pts

\[ P(X > 130) = 1 - P(X < 130) = 1 - P \left( z < \frac{130-120}{8} \right) \]

\[ P(X > 130) = 1 - P(z < 1,25) = 0{,}1056 \;(10{,}56\%) \]

4. Suponha que, em uma linha de produção de frascos para reagentes químicos, a probabilidade de um frasco não apresentar defeito é 0,91. Toma-se uma amostra de 100 frascos para inspecção.

\[ X \sim \mathcal {Bin}(n = 120, \, \, \, p \, (\text{defeituoso}) = 0,09) \]

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

4.1. Qual é a probabilidade de haver pelo menos quatro frascos defeituosos na amostra? 1,5Pts

\[ \small P(X \ge 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - \left[ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \right] \]

\[ P(X \ge 4) = 1 - 0,0173 = 0,9827 \;(98,27\%) \]

5. Seja X a variável aleatória que representa a pressão sanguínea sistólica em indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 10 indivíduos, foi obtida a média 123mmHg, a partir dos seguintes dados:

x = c(106,  113,    116,    119,    122,    123,    126,    129,    133,    143)

5.1. Determine o intervalo de 90% de confiança para a média da população. 3Pts

\[ I. C._{\left[ \mu, \; \alpha \right]}: \left( \overline x \pm t_{(n-1, \; \alpha)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \; \;; \; \; \overline x + t_{(n-1, \; \alpha)} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = \left( \overline x \pm 1,833 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]

\[ s = \sqrt{\frac{\sum{\left(x_i - \overline x \right)^2}}{n-1}} = \sqrt{\frac{\sum{\left(x_i - 123 \right)^2}}{n-1}} = 10,5409 \]

\[ I. C._{\left[ \mu, \; 10\% \right]}: \left( 116,8896 \; \;; \; \; 129,1104 \right) \]

6. Em um laboratório de análises clínicas, sabe-se que, historicamente, 78% dos resultados de hemogramas automatizados (processados por analisadores de hematologia) são liberados sem necessidade de revisão manual pelo técnico (ou seja, resultados dentro de parâmetros de controle de qualidade aceitáveis, sem erros analíticos evidentes).

Após a implementação de um novo protocolo de calibração diária e treinamento da equipe, o laboratório quer verificar se essa proporção aumentou (melhorou a eficiência do processo automatizado). Com 2,5% de significância, foi recolhida uma amostra aleatória de 200 hemogramas processados no novo protocolo, e constatou-se que 170 deles foram liberados automaticamente sem revisão manual. 3Pts

\[ H_0: \rho \le 78\%=0,78 \; \; \; \; \; \; \; \; \; H_1: \rho > 78\%=0,78 \]

\[ T = \frac{\widehat p - \rho}{\sqrt{\frac{\rho \cdot (1 - \rho)}{n}}} = \frac{\frac{170}{200} - 0,78}{\sqrt{\frac{0,78 \cdot (1 - 0,78)}{200}}} = 2,3898 \]

## [1] "Rejeita-se H0, pois Zobs é maior do que 1.96"

Gráfico ilustrativo da decisão (simples)

Gráfico ilustrativo da decisão (GGplot)