Integrantes: Pabel Cevallos, Jaira Cuyo, Estefanía Lopez y Amy Veloz
Curso: CA1-001
Fecha: 11-01-2026
Tema: EJERCICIOS APLICADOS A LA EMPRESA LA FABRIL S.A. – SUCURSAL PICHINCHA
Grupo: 1
La Fabril S.A. es una empresa ecuatoriana líder en la producción de aceites, grasas, jabones y productos de limpieza y cuidado personal. En este ejercicio se analiza, mediante cálculo diferencial, el comportamiento de la producción semanal de aceite refinado durante un año (52 semanas), con el fin de interpretar su crecimiento, máximos, mínimos y cambios de concavidad.
Sea la función:
\(P(t) = -0.2t³ + 3t² + 10t + 500\)
Donde:
t = número de semanas (0 ≤ t ≤ 52)
P(t) = producción semanal en miles de litros.
Derivamos la función P(t): \(P'(t) = -0.6t² + 6t + 10\)
Los puntos críticos se obtienen cuando P’(t) = 0.
\(-0.6t² + 6t + 10 = 0\)
Multiplicamos por -10:
6t² - 60t - 100 = 0
Aplicando la fórmula cuadrática:
\(t=\frac{60+√6000}{12}\)
t ≈ 11.46 semanas (valor válido dentro del año).
# 1. Volvemos a definir la función (Paso indispensable)
P <- function(t) {
-0.2*t^3 + 3*t^2 + 10*t + 500
}
# 2. Ahora sí definimos el punto crítico y lo evaluamos
t_max <- 11.46
p_max <- P(t_max)
# 3. Verificamos el resultado en la consola
print(p_max)[1] 707.5828#Paso 1: Primera derivada (monotonía y puntos críticos)#
# Punto Máximo (Semana 11.46)
t_max <- 11.46
p_max <- P(t_max) # Esto nos dará aprox 554.6 [cite: 12]
# Punto de Inflexión (Semana 5)
t_inflexion <- 5
p_inflexion <- P(t_inflexion)# 1. Definir la función de producción según el ejercicio
P <- function(t) {
-0.2*t^3 + 3*t^2 + 10*t + 500
}
# 2. Crear el rango de semanas (de 0 a 52)
semanas <- seq(0, 52, length.out = 1000)
produccion <- P(semanas)
# 3. Crear el lienzo de la gráfica
plot(semanas, produccion, type = "l", col = "orange", lwd = 3,
main = "Producción Semanal de Aceite - La Fabril S.A.",
xlab = "Semana", ylab = "Producción (miles de litros)",
panel.first = grid()) # Agrega la cuadrícula al fondo
# 4. Resaltar el Punto de Inflexión (Semana 5)
# En t < 5 es cóncava hacia arriba y en t > 5 es hacia abajo [cite: 15]
points(5, P(5), col = "red", pch = 19, cex = 1.5)
text(5, P(5), " Inflexión (t=5)", pos = 4, col = "red")
# 5. Resaltar el Punto Máximo (Semana 11.46)
# Aquí la producción es de aprox 554.6 miles de litros [cite: 12]
points(11.46, P(11.46), col = "blue", pch = 19, cex = 1.5)
text(11.46, P(11.46), " Máximo (t=11.46)", pos = 3, col = "blue")
# 6. Añadir líneas punteadas para mejor visualización
abline(v = c(5, 11.46), lty = 2, col = "gray")
El análisis muestra que La Fabril S.A. alcanza su máxima producción alrededor de la semana 12, lo cual puede asociarse a una temporada alta de demanda. El punto de inflexión indica un cambio en el ritmo de crecimiento de la producción, información clave para la planificación industrial.
EJERCICIO N°2
Prueba de la segunda derivada para extremos relativos
Enunciado
Para el producto de la empresa (La Fabril) que produce aceite comestible, la función de demanda está dada por:
# Función de Demanda: p = 120 - 0.2q
p <- function(q) { 120 - 0.2*q }
# Función de Costo: C(q) = 800 + 40q
costo <- function(q) { 800 + 40*q }Donde:
q = cantidad producida (unidades)
p= precio por unidad (dólares)
Se pide:
¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?
¿A qué precio ocurre esto?
¿Cuál es la utilidad máxima?
Verificar usando la prueba de la segunda derivada.
El ingreso total es:
\(IT(q) = p×q\)
Sustituimos la función de demanda:
\(IT(q) = (120-0.2q)q\)
\(=120q-0.2q^2\)
La utilidad (\(U\)) se define como Ingreso Total menos Costo Total
# Utilidad = (Precio * Cantidad) - Costo
utilidad <- function(q) {
ingreso <- p(q) * q
return(ingreso - costo(q))
}El ejercicio determinó que el nivel óptimo es 200 unidades4. Vamos a verificarlo y aplicar la prueba de la segunda derivada (\(U''(200) = -0.4\), que al ser menor a 0, confirma un máximo)
q_optimo <- 200
utilidad_max <- utilidad(q_optimo) # Debería dar 7200
precio_optimo <- p(q_optimo) # Debería dar 80Para visualizar la “curva” y ver cómo se llega al máximo .
# 1. Definir funciones primero [cite: 25, 26, 28]
p_func <- function(q) { 120 - 0.2 * q }
costo_func <- function(q) { 800 + 40 * q }
utilidad_func <- function(q) { (p_func(q) * q) - costo_func(q) }
# 2. Preparar los datos [cite: 33, 35]
q_optimo <- 200
u_maxima <- 7200
unidades <- seq(0, 400, by = 1)
utilidad_valores <- utilidad_func(unidades)
# 3. CREAR EL LIENZO (Esto soluciona el error 'plot.new')
plot(unidades, utilidad_valores, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
main = "Maximizacion de Utilidad - La Fabril S.A.",
xlab = "Cantidad (q)", ylab = "Utilidad ($)")
# 4. AÑADIR ELEMENTOS EXTRAS (Solo funcionan si el paso 3 se ejecuto)
grid() # Cuadrícula
points(q_optimo, u_maxima, col = "red", pch = 19, cex = 1.5) # Punto óptimo [cite: 44, 46]
text(q_optimo, u_maxima, labels = " Maximo (200, 7200)", pos = 3, col = "red")
abline(v = 200, lty = 2, col = "darkgray") # Línea vertical de referencia
Interpretación económica
La empresa La Fabril maximiza su utilidad produciendo 200 unidades de aceite. El precio óptimo de venta es $80 por unidad. La utilidad máxima obtenida es de $7.200. La prueba de la segunda derivada confirma que se trata de un máximo, ya que la utilidad es cóncava hacia abajo.
Conclusión
Aplicando derivadas y la prueba de la segunda derivada, se determina el nivel óptimo de producción y precio que permiten a la empresa maximizar su utilidad. Este análisis es fundamental para la toma de decisiones en la empresa.