Die Funktion und ihre Ableitung

Gegeben ist die Funktion: \[f(x) = 2e^{0,5x + 1} - 1\]

Um die Stellen mit einer bestimmten Steigung zu finden, benötigen wir die erste Ableitung \(f'(x)\). Unter Anwendung der Kettenregel ergibt sich:

\[f'(x) = 2 \cdot e^{0,5x + 1} \cdot 0,5\] \[f'(x) = e^{0,5x + 1}\]

Bestimmung der Punkte

Um den Punkt \(P(x | f(x))\) zu finden, setzen wir die Ableitung gleich der gesuchten Steigung \(m\) und lösen nach \(x\) auf. Anschließend berechnen wir den zugehörigen \(y\)-Wert.

a) Steigung \(m = 1\)

\[e^{0,5x + 1} = 1\] Da \(e^0 = 1\) gilt: \[0,5x + 1 = 0 \implies 0,5x = -1 \implies x = -2\] Berechnung von \(f(-2)\): \[f(-2) = 2e^{0,5(-2) + 1} - 1 = 2e^0 - 1 = 2(1) - 1 = 1\] Punkt: \(P_1(-2 \mid 1)\)

b) Steigung \(m = e\)

\[e^{0,5x + 1} = e^1\] Exponentenvergleich: \[0,5x + 1 = 1 \implies 0,5x = 0 \implies x = 0\] Berechnung von \(f(0)\): \[f(0) = 2e^{0,5(0) + 1} - 1 = 2e^1 - 1 = 2e - 1\] Punkt: \(P_2(0 \mid 2e - 1)\)

c) Steigung \(m = 2\)

\[e^{0,5x + 1} = 2\] Logarithmieren: \[0,5x + 1 = \ln(2) \implies 0,5x = \ln(2) - 1 \implies x = 2 \cdot (\ln(2) - 1)\] Berechnung von \(f(x)\): \[f(x) = 2e^{0,5(2(\ln(2)-1)) + 1} - 1 = 2e^{\ln(2)-1+1} - 1 = 2e^{\ln(2)} - 1 = 2(2) - 1 = 3\] Punkt: \(P_3(2\ln(2) - 2 \mid 3)\)

Visualisierung mit R

Hier berechnen wir die Werte numerisch und plotten die Funktion.

# Definition der Funktion
f <- function(x) 2 * exp(0.5 * x + 1) - 1

# Definition der Ableitung
f_prime <- function(x) exp(0.5 * x + 1)

# X-Werte berechnen
x_a <- -2
x_b <- 0
x_c <- 2 * (log(2) - 1)

# Plot erstellen
curve(f(x), from = -6, to = 2, col = "blue", lwd = 2, 
      main = "Graph von f(x) mit markierten Steigungspunkten")
grid()

# Punkte einzeichnen
points(c(x_a, x_b, x_c), c(f(x_a), f(x_b), f(x_c)), col = "red", pch = 19)
text(c(x_a, x_b, x_c), c(f(x_a), f(x_b), f(x_c)), 
     labels = c("P1 (m=1)", "P2 (m=e)", "P3 (m=2)"), pos = 2)