Aufgabe 4.3: Untersuchung der Monotonie

Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) im Intervall \(I = ]0; \infty[\) streng monoton fallend ist.

1. Mathematischer Beweis

Wir nutzen zwei verschiedene Ansätze, um die streng fallende Monotonie zu belegen.

Ansatz A: Über die Definition der Monotonie

Wir wählen zwei beliebige Werte \(x_1, x_2\) aus dem Intervall \(]0; \infty[\) mit der Voraussetzung: \[x_1 < x_2\]

Da beide Werte größer als Null sind, können wir die Ungleichung schrittweise umformen: 1. Kehrwertbildung: Da \(x_1\) und \(x_2\) das gleiche Vorzeichen haben (positiv), dreht sich bei der Bildung des Kehrwerts das Relationszeichen um: \[\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}\] 2. Dies entspricht genau der Definition: \[f(x_1) > f(x_2)\]

Ansatz B: Über die erste Ableitung

Eine Funktion ist im Intervall streng monoton fallend, wenn für alle \(x \in I\) gilt: \(f'(x) < 0\).

  1. Ableitung bilden: \[f(x) = x^{-1} \implies f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\]
  2. Vorzeichenprüfung: Ein Quadrat \(x^2\) ist für alle \(x \in ]0; \infty[\) stets positiv. Ein Bruch mit positivem Nenner und negativem Zähler (\(-1\)) ist immer negativ: \[f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \quad \text{für alle } x \in ]0; \infty[\]

Ergebnis: Beide Wege zeigen schlüssig, dass \(f\) im angegebenen Bereich streng monoton fallend ist.

2. Visualisierung in R

Wir plotten die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\), um das Verhalten grafisch darzustellen.

# Definition der Funktion
f <- function(x) { 1 / x }

# Wertebereich definieren (nahe Null beginnend)
x_vals <- seq(0.2, 5, length.out = 200)
y_vals <- f(x_vals)

# Plot erstellen
plot(x_vals, y_vals, type = "l", col = "darkgreen", lwd = 2,
     main = "Graph von f(x) = 1/x für x > 0",
     xlab = "x", ylab = "f(x)",
     panel.first = grid())

# Beispielpunkte einzeichnen, um den Abfall zu verdeutlichen
x1 <- 1; x2 <- 4
points(c(x1, x2), c(f(x1), f(x2)), col = "orange", pch = 19)
arrows(x1, f(x1), x2, f(x2), col = "orange", length = 0.1)

legend("topright", legend = c("f(x) = 1/x", "Abfallende Tendenz"), 
       col = c("darkgreen", "orange"), lty = c(1, 1), pch = c(NA, 19))