Aufgabe 4.2: Untersuchung der Monotonie

Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass die Funktion \(f(x) = -x^2\) im Intervall \(I = ]0; \infty[\) streng monoton fallend ist.

1. Mathematischer Beweis

Es gibt zwei gängige Wege, dies zu zeigen.

Weg A: Über die Definition

Wir wählen zwei beliebige Stellen \(x_1, x_2 \in ]0; \infty[\) mit \(x_1 < x_2\).

  1. Da beide Werte positiv sind (\(x > 0\)), gilt beim Quadrieren: \[x_1^2 < x_2^2\]
  2. Multiplizieren wir nun mit \(-1\), dreht sich das Relationszeichen um: \[-x_1^2 > -x_2^2\]
  3. Daraus folgt: \[f(x_1) > f(x_2)\]

Weg B: Über das Monotoniekriterium (Ableitung)

Eine differenzierbare Funktion ist streng monoton fallend, wenn ihre erste Ableitung im Intervall kleiner als Null ist (\(f'(x) < 0\)).

  1. Ableitung bilden: \[f(x) = -x^2 \implies f'(x) = -2x\]
  2. Vorzeichenprüfung im Intervall \(I = ]0; \infty[\): Da \(x\) immer positiv ist (\(x > 0\)), ist das Produkt \(-2 \cdot x\) immer negativ: \[f'(x) < 0 \quad \text{für alle } x \in ]0; \infty[\]

Ergebnis: Die Funktion ist im angegebenen Intervall streng monoton fallend.

2. Visualisierung in R

Wir betrachten den Graphen speziell für den Bereich \(x > 0\).

# Definition der Funktion
f <- function(x) { -x^2 }

# Daten für das Intervall ]0, 5]
x_vals <- seq(0.1, 5, length.out = 100)
y_vals <- f(x_vals)

# Plot erstellen
plot(x_vals, y_vals, type = "l", col = "darkred", lwd = 2,
     main = "Graph von f(x) = -x^2 für x > 0",
     xlab = "x", ylab = "f(x)",
     panel.first = grid())

# Ergänzung einer Tangente an einem Punkt (z.B. x=2), um das Gefälle zu zeigen
abline(a = 4, b = -4, col = "gray", lty = 2) # Tangente bei x=2