Aufgabe 4.1: Untersuchung der Monotonie

Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass die Funktion \(f(x) = -2x\) im Intervall \(I = \mathbb{R}\) streng monoton fallend ist.

1. Theoretischer Beweis

Eine Funktion \(f\) heißt streng monoton fallend auf einem Intervall \(I\), wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt: \[x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\]

Beweisführung:

  1. Wir wählen zwei beliebige Stellen \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) mit der Bedingung: \[x_1 < x_2\]

  2. Nun multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit \(-2\). Wichtig: Da \(-2\) eine negative Zahl ist, kehrt sich das Relationszeichen um: \[-2 \cdot x_1 > -2 \cdot x_2\]

  3. Da \(f(x) = -2x\) ist, entspricht dies: \[f(x_1) > f(x_2)\]

Ergebnis: Da aus \(x_1 < x_2\) stets \(f(x_1) > f(x_2)\) folgt, ist die Funktion \(f(x) = -2x\) auf dem gesamten Definitionsbereich \(I = \mathbb{R}\) streng monoton fallend.

2. Visualisierung mit R

Um den mathematischen Beweis zu veranschaulichen, plotten wir die Funktion im Intervall \([-5, 5]\).

# Definition der Funktion
f <- function(x) { -2 * x }

# Erstellen von Datenpunkten
x_values <- seq(-5, 5, length.out = 100)
y_values <- f(x_values)

# Plotten der Funktion
plot(x_values, y_values, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     main = "Graph von f(x) = -2x",
     xlab = "x", ylab = "f(x)",
     panel.first = grid())

# Markierung zweier Punkte zur Veranschaulichung der Monotonie
x1 <- -2
x2 <- 2
points(c(x1, x2), c(f(x1), f(x2)), col = "red", pch = 19)
text(x1, f(x1), labels = "P1(x1 < x2)", pos = 4, col = "red")
text(x2, f(x2), labels = "P2(f(x1) > f(x2))", pos = 4, col = "red")