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✓ A respostas devem estar devidamente identificadas e organizadas. Comentam todos os códigos e resultados que julgarem necessários e pertinentes. Pois, será uma mais-valia para o trabalho.

✓ A versão final do trabalho deverá ser enviada, impreterivelmente, até às 15h00 do dia 22/01/2026, contendo UM ficheiro em formato PDF e outro em Word, acompanhado dos ficheiros/Bases de Dados e Outputs (um em PDF e outro em formato do SPSS) e/ou UM e ÚNICO ficheiro em formato Scripts do Rmarkdown (.rmd);

✓ A entrega do trabalho DEVERÁ ser realizada na plataforma Google Classroom, criada para este fim, onde o trabalho deverá ser depositado. Todo e qualquer trabalho enviado depois desta data e hora, será anulada por qualquer que seja o motivo.

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Exercício 1

Os dados da Tabela 1 referem-se aos tempos de sobrevivência (em dias) de pacientes com câncer submetidos à radioterapia (o símbolo + indica censura).

Tabela 1: Tempos de pacientes submetidos à radioterapia.

\[ \small \begin{array}{p{5cm}} \hline 7 & 34 & 42 & 63 & 64 & 74+ & 83 & 84 & 91 & 108 & 112 & 129 & 133 \\ 133 & 139 & 140 & 140 & 146 & 149 & 154 & 157 & 160 & 160 & 165 & 173 & 176 \\ 185+ & 218 & 225 & 241 & 248 & 273 & 277 & 279+ & 297 & 319+ & 405 & 417 & 420 \\ 440 & 523 & 523+ & 583 & 594 & 1101 & 1116+ & 1146 & 1226+ & 1349+ & 1412 & 1417 \\ \hline \end{array} \]

Para esses dados, obtenha as seguintes estimativas:

  1. a função de sobrevivência estimada por meio dos estimadores de Kaplan-Meier e de Nelson-Aalen. Apresente-a em Tabela e Gráfico;

  2. os tempos mediano e médio (pontual e intervalar);

  3. as probabilidades de um paciente com câncer sobreviver a:

    1. 42 dias, ii. 100 dias, iii. 300 dias, e iv. 1000 dias;

  4. o tempo médio de vida restante dos pacientes que sobreviverem 1000 dias:

  5. interprete as estimativas obtidas nos três itens anteriores.

  6. para quais tempos tem-se:

    1. \(\widehat S(t) = 0,80\), ii. \(\widehat S(t) = 0,30\), e iii. \(\widehat S(t) = 0,10\)

    2. Interprete os resultados anteriores.

Exercício 2 (Anulado)

Os dados apresentados na Tabela 2 representam o tempo (em dias) até a morte de pacientes com câncer de ovário tratados na Mayo Clinic (Fleming et al., 1980). O símbolo + indica censura.

Tabela 2: Tempos de pacientes no estudo de câncer de ovário.

\[ \small \begin{array}{p{5cm} |p{5cm} p{5cm}} \hline \text{Amostras} & \text{Tempo de Sobrevivência em dias} \\ \hline \text{Tumor Grande} & 28; \, 89; \, 175; \, 195; \, 309; \, 377+; \, 393+; \, 421+; \, 447+; \, 462; \, 709+; \, 744+; \, 770+ \\ &\, 1106+; \, 1206+ \\ \hline \text{Tumor Pequeno } & 34; \, 88; \, 137; \, 199; \, 280; \, 291; \, 299+; \, 300+; \, 309; \, 351;\, 358; \, 369; \, 369;\, 370;\, 375 \\ &\, 382; \, 392; \, 429+; \, 451; \, 1119+ \\ \hline \end{array} \]

  1. Obtenha as estimativas de Kaplan-Meier para as funções de sobrevivência de ambos os grupos e apresente-as no mesmo gráfico.

  2. Repita a alínea anterior utilizando o estimador de Nelson-Aalen.

  3. Determine os intervalos de confiança a 95% para as seguintes curvas (inclua tabela de Risco) de sobrevivências - forma clássica:

    1. Para cada grupo.
    2. Para a Base de dados completo.

  4. Teste a hipótese de igualdade das funções de sobrevivência dos dois grupos usando dois testes diferentes.

    1. Os resultados dos testes são consistentes? Em caso negativo, explique a razão da diferença dos resultados.

Exercício 3

Um produtor de requeijão deseja comparar dois tipos de embalagens (A e B) para o seu produto. Ele deseja saber se existe diferença na durabilidade de seu produto com relação às embalagens. O produto dele é vendido a temperatura ambiente e sem conservantes. O evento de interesse é o aparecimento de algum tipo de fungo no produto. Os dados estão apresentados na Tabela 3, em que o tempo foi medido em horas. O símbolo + indica censura.

Tabela 3: Tempos dos requeijões no estudo das embalagens.

\[ \small \begin{array}{p{5cm} |p{5cm} p{5cm}} \hline \text{Embalagens} & \text{Tempos de sobrevivência em horas} \\ \hline \text{Emb. A} & 31; \, 40; \, 43; \, 44; \, 46; \, 46; \, 47; \, 48; \, 48; \, 49; \, 50; \, 50; \, 60; \, 60; \, 60; \, 60; \, 60+; \, 60+; \, 60+; \, 60+ \\ \hline \text{Emb. B} & 8;\, 48;\, 49;\, 49;\, 49;\, 49;\, 50;\, 50;\, 50;\, 50;\, 53;\, 53;\, 54;\, 54;\, 54;\, 55;\, 55+;\, 55+;\, 55+;\, 55+ \\ \hline \end{array} \]

  1. Obtenha as estimativas de Kaplan-Meier para as funções de sobrevivência de ambos os grupos e apresente-as no mesmo gráfico.

  2. Obtenha as estimativas de Kaplan-Meier para as funções de sobrevivência de cada grupo e apresente-as no mesmo gráfico.

  3. Repita a alínea anterior utilizando o estimador de Nelson-Aalen.

  4. Determine os intervalos de confiança a 95% para as seguintes curvas (inclua tabela de Risco) de sobrevivências - forma clássica:

    1. Para cada grupo.
    2. Para a Base de dados completo.

  5. Determine os intervalos de confiança a 95% para as seguintes curvas (inclua tabela de Risco) de sobrevivências, recorrendo a transformação logarítmica de Kalbfleish e Prentice:

    1. Para cada grupo.
    2. Para a Base de dados completo.

  6. Existe diferença entre as duas embalagens?

  7. Caracterize a durabilidade do produto (percentil 10 e tempo médio de vida) para cada embalagem, se houver diferença entre elas. Caso contrário, faça o mesmo, mas combinando todos os tempos de vida.

Exercício 4

Tabela 4: Estimativas para o intervalo de confiança a 95% da função de sobrevivência \(\widehat S\) (baseados na fórmula de Greenwood) para o grupo de Tratamento dos dados de pacientes de leucemia.

\[ \begin{array}{c c c} t_i & \text{Intervalos} & d_j & n_j & c_j & \widehat S(t^+_i) & \widehat{ \mathrm{Var} } \left( \widehat S(t_i) \right) & \widehat S(t_i) \pm z_{\alpha/2}\sqrt { \widehat{ \mathrm{Var} } \left( \widehat S(t_i) \right) } \\ \hline 0 & [0, \, 6[ & 0 & 21 & & & --- & ------ \\ 6 & [6, \, 7[ & 3 & 21 & & 85,7 & 0,006 & [0,707; \, 1,000[ \\ 7 & & 1 & 17 & & & 0,008 & [0,636; \, 0,977[\\ 10 & [10, \, 13[ & 1 & 15 & & 75,3 & 0,009 & \\ 13 & & 1 & 12 & & & 0,011 & \\ 16 & & 1 & 11 & & 62,7 & 0,013 & [0,404; \, 0,851[ \\ 22 & [22, \, 23[ & & 7 & 0 & & 0,016 & \\ 23 & [23, \, 35[ & & 6 & 0 & & 0,018 & [0,184; \, 0,712[ \\ \hline \end{array} \]

  1. Complete os espaços em branco (vazios)

Exercício 5

Consedere a base aml é um conjunto de dados de 23 pacientes com leucemia mieloide aguda. Esta base de dados está disponível no survival:: aml. O estudo (ensaio clínico experimental) tinha como objectivo comparar dois tipos de tratamento e observa o tempo (em semanas) até o evento (recaída ou óbito).

  1. Obtenha as estimativas de Kaplan-Meier para a função de sobrevivência, e apresente-as no mesmo gráfico:
    1. Para cada grupo.
    2. Para a Base de dados completo.
    3. Intrepreta os resultados obtidos.
  2. Determine os intervalos de confiança a 95% para as seguintes curvas (inclua tabela de Risco) de sobrevivências - forma clássica:
    1. Para cada grupo.
    2. Para a Base de dados completo.
  3. Repita as alíneas anteriores utilizando o estimador de Nelson-Aalen.
  4. Determine os intervalos de confiança a 95% para as seguintes curvas (inclua tabela de Risco) de sobrevivências, recorrendo a transformação logarítmica de Kalbfleish e Prentice:
    1. Para cada grupo.
    2. Para a Base de dados completo.
  5. Determine se existe efeito de grupo, isto é, se existe uma diferença estatisticamente significativa entre os resultados dos dois grupos.
    1. Teste usando o Log-Rank.
    2. Que conclusões chegaria com o teste de Wilcoxon-Gehan?
    3. E com o teste de Harrington-Fleming?
  6. Determine uma estimativa para a vida média residual vmr, por grupo, nos instantes \(t = 40, \, \, 50, \, \, 70\). Interprete os valores obtidos.
  7. Determine outra estimativa para a função de sobrevivência, usando o estimador Nelson-Aalen.