Intervalos de Confianza y Teorema del limite central

Intervalos de Confianza

Introducción:

Un intervalo de confianza (IC) es un rango de valores dentro del cual podemos decir, - con cierto nivel de confianza (e.g., 95%), que se encuentra el valor verdadero - de un parámetro poblacional (como la media). Es importante recordar que un IC - NO mide la variabilidad de los datos, sino la precisión de la estimación de un parametro, por ejemplo de la media.

Ejercicio:

Explicación paso a paso

1. Creación de datos simulados:

   • Generamos un conjunto de datos ficticio representando los niveles de glucosa en 50 personas.

2. Cálculo de la media y el error estándar:

   • La media es la estimación puntual de los datos.

   • El error estándar mide la precisión de la media en base al tamaño de la muestra.

3. Cálculo del intervalo de confianza:

   • Usamos la distribución t de Student debido al tamaño de muestra (n<30).

   • Calculamos el margen de error multiplicando el error estándar por el valor crítico de t.

4. Resultados:

   • El intervalo de confianza nos da el rango dentro del cual, con un 95% de confianza, creemos que se encuentra la verdadera media poblacional.

5. Visualización:

   • Un gráfico muestra la distribución de los datos y los límites del IC para interpretar fácilmente los resultados.

Paso 1: Crear un conjunto de datos

Simularemos un conjunto de datos que represente los niveles de glucosa (mg/dL) de 50 personas.

set.seed(123) #Aseguramos reproducibilidad
niveles_glucosa <- rnorm(50, mean = 100, sd = 15) # Media = 100, Desviación estándar = 15

niveles_glucosa

 [1]  91.59287  96.54734 123.38062 101.05763 101.93932 125.72597 106.91374  81.02408  89.69721  93.31507 118.36123 105.39721 106.01157
[14] 101.66024  91.66238 126.80370 107.46776  70.50074 110.52034  92.90813  83.98264  96.73038  84.60993  89.06663  90.62441  74.69960
[27] 112.56681 102.30060  82.92795 118.80722 106.39696  95.57393 113.42688 113.17200 112.32372 110.32960 108.30876  99.07132  95.41056
[40]  94.29293  89.57940  96.88124  81.01905 132.53434 118.11943  83.15337  93.95673  93.00017 111.69948  98.74946

str(niveles_glucosa)

 num [1:50] 91.6 96.5 123.4 101.1 101.9 ...

media <- mean(niveles_glucosa) #Media de los datos
sd <- sd(niveles_glucosa) #Desviación estándar
n <- length(niveles_glucosa) #Tamaño de la muestra
se <- sd / sqrt(n) #Error estándar de la media

media

[1] 100.5161

sd

[1] 13.88805

n

[1] 50

se

[1] 1.964067

Paso 3: Calcular el intervalo de confianza del 95%

Determinamos los límites del intervalo de confianza

El cálculo de un Intervalo de Confianza (IC) del 95% implica varios pasos clave. Vamos a desglosar y entender cada uno de ellos detalladamente.

Para calcular un IC de la media poblacional (𝜇) basado en una muestra, usamos la siguiente formula:

Paso 1: Nivel de significancia (𝛼)

El nivel de confianza (1 −𝛼) indica qué tan seguro estamos de que el intervalo contiene el valor verdadero de la media poblacional:

• Para un IC del 95%, el nivel de confianza es 0.95 (𝛼= 0.05).

α=1−Nivel de Confianza

Paso 2: Valor crítico (𝑡𝛼/2)

El valor crítico (𝑡𝛼/2) determina cuántos errores estándar necesitamos sumar y restar para abarcar el 95% de los datos. Se calcula utilizando la distribución 𝑡 t de Student y depende de:

Nivel de confianza (1−α): Para un IC del 95%, usamos 𝛼/2= 0.025 para calcular el límite superior e inferior.

df <- n - 1
alpha <- 0.05 #Nivel de significancia (1-95%)
t_critico <- qt(1-alpha / 2, df = n - 1) #Valor crítico t para el 95%
margen_error <- t_critico * se #Margen de error

margen_error

[1] 3.94694

La función qt en R calcula el valor crítico basado en:

• 1−α/2: Área acumulada de la cola inferior.

• Grados de libertad (df).

Paso 3: Margen de error

El margen de error define qué tan lejos de la media muestral (x̄) se extiende el intervalo de confianza. Se calcula multiplicando el valor crítico (𝑡𝛼/2) por el error estándar (𝑆𝐸):

• S=desviación estándar de la muestra).

• n= tamaño de la muestra.

margen_error

[1] 3.94694

Finalmente, el Intervalo de Confianza se construye sumando y restando el margen de error a la media muestral:

ic_inf <- media - margen_error
ic_inf

[1] 96.56911

ic_sup <- media + margen_error
ic_sup

[1] 104.463

# Resultado
cat("Media:", round(media, 2), "\n")

Media: 100.52 

cat("Intervalo de Confianza del 95%: [", round(ic_inf, 2), ",", round(ic_sup, 2), "]\n")

Intervalo de Confianza del 95%: [ 96.57 , 104.46 ]

Podemos interpretar que con un 95% de confianza, la verdadera media de glucosa en la población se encuentra entre 96.5 mg/dL y 104.53 mg/dL

Este análisis es esencial para reportar resultados en investigaciones científicas, ya que muestra no solo la estimación puntual sino también la precisión de la misma.

Ejemplo práctico

Supongamos:

• Media muestral (x̄) = 100

• Desviación estándar (S) = 15

• Tamaño de muestra (n) = 30

# Establecemos Parámetros
alpha <- 0.05
n <- 15
S <- 30
media <- 100

# Error estándar
se <- S / sqrt(n)

# Valor crítico t
t_critico <- qt(1 - alpha / 2, df = n - 1)

# Margen de error
margen_error <- t_critico * se

# Intervalo de confianza
ic_inf <- media - margen_error
ic_sup <- media + margen_error

cat("Intervalo de Confianza del 95%:", round(ic_inf, 2), "-", round(ic_sup, 2), "\n")

Intervalo de Confianza del 95%: 83.39 - 116.61 

Resumen gráfico

Puedes visualizar el cálculo del IC en un gráfico para mayor claridad:

library(ggplot2)

# Crear un data frame
df <- data.frame(
  media = media,
  ic_inf = ic_inf,
  ic_sup = ic_sup
)

# Graficar el IC
ggplot(df, aes(x = 1, y = media)) +
  geom_point(size = 3, color = "red") + 
  ylim(0,200) +
  geom_errorbar(aes(ymin = ic_inf, ymax = ic_sup), width = 0.2, color = "blue") +
  labs(title = "Intervalo de Confianza del 95% para la Media",
       x = "Muestra",
       y = "Media") +
  theme_minimal()

Fórmulas clave

El intervalo de confianza para la media poblacional u, basado en una muestra, se calcula con la fórmula:

IC= XIta/2• SE

Donde:

• X: Media muestral.

• ta/2: Valor crítico de la distribución t de Student, que depende del nivel de confianza y los grados de libertad (n- 1).

• SE: Error estándar de la media:

  

• S: Desviación estándar muestral.

• n: Tamaño de la muestra.

Cálculo paso a paso

Paso 1: Establecer el nivel de significancia a

El nivel de significancia está relacionado con el nivel de confianza deseado (1 - a). Para un IC del 95%:

a = 1 - 0.95 = 0.05

Esto significa que existe un 5% de probabilidad de que el verdadero valor poblacional u quede fuera del intervalo calculado.

Paso 2: Obtener el valor crítico ta/2

El valor crítico ta/2 se obtiene de la distribución t de Student. Este valor depende de:

• a/ 2: Mitad del nivel de significancia, ya que el IC tiene dos colas (a/ 2 en cada lado).

• Grados de libertad (df): Para una muestra, df = n - 1.

En R, calculamos esto usando la función qt :

t_critico <- qt(1-alpha / 2, df = n - 1)

Paso 3: Calcular el error estándar (SE)

El error estándar de la media estima cuánto varía la media muestral con respecto a la media poblacional.

Paso 4: Calcular el margen de error

El margen de error mide cuánto podemos desviar la estimación puntual (media muestral) para construir el intervalo.

Paso 5: Construir el intervalo de confianza

Finalmente, construimos el IC sumando y restando el margen de error de la media muestral ($).

Calculo en R

# datos simulados
set.seed(123)
datos <- rnorm(30, mean = 100, sd = 15)

# calcular estadísticas
media <- mean(datos) 
sd <- sd(datos) # desviación estándar muestral
n <- length(datos) #tamaño de la muestra
se <- sd / sqrt(n) # error estandar

# nivel de significancia 
alpha <- 0.05

# valor crítico t
t_critico <- qt(1 - alpha / 2, df = n - 1)

#margen de eror 
margen_error <- t_critico * se

# intervalo de confianza
ic_inf <- media - margen_error
ic_sup <- media + margen_error

cat("Media:", round(media, 2), "\n")

Media: 99.29 

cat("Intervalo de Confianza del 95%: [", round(ic_inf, 2), ",", round(ic_sup, 2), "]\n")

Intervalo de Confianza del 95%: [ 93.8 , 104.79 ]

Diferencias entre Intervalos de Confianza y el Valor p

1. Intervalos de Confianza (IC):

   • Los IC nos dan un rango plausible para el valor verdadero de un parámetro (como la media o una diferencia entre medias).

   • Interpretación: Un IC del 95% indica que, si repitiéramos el estudio múltiples veces, el 95% de esos intervalos incluiría el valor verdadero del parámetro.

2. Valor p:

   • El valor p indica la probabilidad de observar un efecto tan extremo (o más) que el encontrado, bajo la hipótesis nula (H0​).

   • Es una herramienta para tomar decisiones sobre rechazar o no H0.

3. Diferencia práctica:

   • El IC proporciona información sobre la magnitud y precisión del efecto estimado.

   • El valor p solo indica si un efecto es estadísticamente significativo, sin proporcionar información directa sobre su magnitud.

Uso de R: Comparación entre IC y valor p

Paso 1: Datos del Ejemplo

Simulamos datos de niveles de glucosa:

Paso 2: Cálculo del IC 95%

Paso 3: Cálculo del Valor p

Supongamos que queremos probar si la media poblacional es igual a 95 ( H0​:μ=95):

# prueba t para media poblacional de 95
t_test <- t.test(niveles_glucosa, mu = 95) #hipótesis nula: media = 95

#resultado del valor p
cat("Valor p:", t_test$p.value, "\n")

Valor p: 2.2747e-06 

Resultados:

1. IC 95%: Muestra el rango en el que creemos que está la verdadera media de los niveles de glucosa.

   • Ejemplo: Si el IC es 

     93.8,103.2

     , sabemos que con un 95% de confianza, la verdadera media de la población está dentro de este rango.

2. Valor p: Mide si los datos respaldan o rechazan la H0​.

   • Ejemplo: Si el valor p es < 0.05, rechazamos H0​ (es decir, creemos que la media no es 95).

Visualización: IC vs Valor p

Podemos usar un gráfico para explicar cómo el IC y el valor p se relacionan visualmente.

Interpretación del Gráfico

1. Intervalo de Confianza:

   • La línea punteada muestra el rango plausible para la verdadera media de la población.

   • Si H0=95 cae fuera del intervalo (línea negra discontinua), podemos concluir que es improbable que μ=95

2. Valor p:

   • Si el valor p es menor que α=0.05, rechazamos H0​, que es consistente con el hecho de que el IC no incluye 95.

Ventaja de combinar IC y valor p

1. IC: Proporciona una visión más integrativa, mostrando la magnitud del efecto y su precisión.

2. Valor p: Permite tomar decisiones rápidas sobre la hipótesis nula, pero no indica la magnitud del efecto.

Conclusión

• En investigaciones epidemiológicas, clínicas o biologicas. Los IC son preferibles porque no solo indican si un efecto es significativo, sino también qué tan grande o preciso es el efecto estimado.

• El valor p complementa este análisis, ayudándonos a determinar si debemos rechazar una hipótesis nula específica.

Cuando comparamos dos grupos, los Intervalos de Confianza (IC) y el valor p son herramientas complementarias para interpretar las diferencias. A continuación, te presento un ejemplo detallado en R para comparar dos grupos con un enfoque en la estimación de IC y el valor p.

Comparación de Dos Grupos

Supongamos que queremos comparar los niveles de glucosa entre dos grupos: grupo control y grupo experimental.

(Datos Simulados)

Paso 1: Cálculo del Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias

Fórmula:

Código para IC

# Estadísticas descriptivas
media_control <- mean(grupo_control)
media_experimental <- mean(grupo_experimental)
sd_control <- sd(grupo_control)
sd_experimental <- sd(grupo_experimental)
n_control <- length(grupo_control)
n_experimental <- length(grupo_experimental)

# Diferencia de medias
diferencia <- media_experimental - media_control

# Error estándar combinado
se <- sqrt((sd_control^2 / n_control) + (sd_experimental^2 / n_experimental))

# Valor crítico t para IC del 95%
alpha <- 0.05
t_critico <- qt(1 - alpha / 2, df = n_control + n_experimental - 2)

# Margen de error
margen_error <- t_critico * se

# Límites del IC
ic_inf <- diferencia - margen_error
ic_sup <- diferencia + margen_error

cat("Diferencia de medias:", round(diferencia, 2), "\n")

Diferencia de medias: 13.38 

cat("Intervalo de Confianza del 95%: [", round(ic_inf, 2), ",", round(ic_sup, 2), "]\n")

Intervalo de Confianza del 95%: [ 6.32 , 20.44 ]

Paso 2: Prueba de Hipótesis y Valor p

Usamos una prueba t para dos muestras independientes para determinar si la diferencia es estadísticamente significativa.

Código para Prueba t

# Prueba t para dos muestras independientes
t_test <- t.test(grupo_control, grupo_experimental, var.equal = TRUE)

# Resultados
cat("Valor p:", t_test$p.value, "\n")

Valor p: 0.0003576581 

cat("Diferencia estimada (t-test):", t_test$estimate, "\n")

Diferencia estimada (t-test): 99.29344 112.6751 

Paso 3: Visualización de los Resultados

Podemos graficar las distribuciones de ambos grupos y superponer los IC para la diferencia de medias.

Código para Visualización

library(ggplot2)

# Crear un data frame con los datos
df <- data.frame(
  grupo = rep(c("Control", "Experimental"), each = 30),
  niveles_glucosa = c(grupo_control, grupo_experimental)
)

# Graficar los datos
ggplot(df, aes(x = grupo, y = niveles_glucosa, fill = grupo)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.7, outlier.colour = "red") +
  geom_point(position = position_jitter(width = 0.1), alpha = 0.5) +
  labs(
    title = "Comparación de Niveles de Glucosa entre Grupos",
    x = "Grupo",
    y = "Niveles de Glucosa (mg/dL)"
  ) +
  theme_minimal() +
  scale_fill_manual(values = c("#00BFC4", "#F8766D"))

AGREGAR SIGNIFICANCIA AL GRÁFICO

# Instalar ggpubr si no lo tienes
# install.packages("ggpubr")

library(ggplot2)
library(ggpubr)

# Crear un data frame con los datos
df <- data.frame(
  grupo = rep(c("Control", "Experimental"), each = 30),
  niveles_glucosa = c(grupo_control, grupo_experimental)
)

# Graficar los datos con significancia
ggplot(df, aes(x = grupo, y = niveles_glucosa, fill = grupo)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.7, outlier.colour = "red") +
  geom_point(position = position_jitter(width = 0.1), alpha = 0.5) +
  labs(
    title = "Comparación de Niveles de Glucosa entre Grupos",
    x = "Grupo",
    y = "Niveles de Glucosa (mg/dL)"
  ) +
  theme_minimal() +
  scale_fill_manual(values = c("#00BFC4", "#F8766D")) +
  stat_compare_means(
    method = "t.test", # Realizar prueba t
    label = "p.format", # Mostrar el valor p en formato estándar o lo puedes cambiar por "p.signif" para asteriscos
    label.y = max(df$niveles_glucosa) + 5 # Ajustar la posición de la etiqueta
  ,label.x=1.5)

1. stat_compare_means():

   • Agrega la significancia estadística al gráfico.

   • El argumento method especifica el tipo de prueba estadística (en este caso, t.test para comparar dos medias).

2. label = "p.format":

   • Formatea el valor p que se mostrará en el gráfico.

3. label.y:

   • Ajusta la posición vertical de la etiqueta para que no interfiera con los datos.

Interpretación del Gráfico

• Ahora, el gráfico incluye un indicador visual del valor p, mostrando si la diferencia entre los grupos es estadísticamente significativa.

• Si el valor p es menor a 0.05, los resultados son considerados estadísticamente significativos.

  Entonces:

• Intervalo de Confianza (IC):

  • Proporciona un rango para la diferencia entre medias.

  • Ejemplo: Si el IC es 

    8.5,13.2

    , podemos decir con un 95% de confianza que la verdadera diferencia de medias está en este rango.

• Valor p:

  • Determina si la diferencia entre las medias es estadísticamente significativa.

  • Ejemplo: Si p<0.05, rechazamos la hipótesis nula de que las medias son iguales.

Interpretación: IC vs Valor p

1. El IC:

   • Nos dice no solo si la diferencia es significativa, sino también cuán grande es la diferencia y qué tan precisa es la estimación.

2. El Valor p:

   • Solo nos dice si la diferencia es significativa a un nivel específico (α=0.05).

En este ejemplo:

• El IC muestra la magnitud y precisión de la diferencia de medias.

• El valor p complementa este análisis al indicar si la diferencia es estadísticamente significativa.

Este enfoque integrado es esencial para reportar resultados significativos en nuestras investigaciones.