Gabarito para conferência

Exercício 1

calcule a probabilidade do projeto ser completado em menos de 10 dias.

As atividades críticas do projeto são A,D,G.

Deseja-se obter \(P(Duração \le 10)\)?

Continuação ex1

\(P(Duração \le 10)\)

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A}=3; \mu_{D}=4; \mu_{G}=4\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A}^2=0.1^2=0.01; \sigma_{D}^2=0.4^2=0.16; \sigma_{G}^2=1\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 3+4+4=11\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=0.01+0.16+1=1.17 \rightarrow \sigma_P=1.0817\)

\[P(\mu_P \le 10) = P(Z\le z)\] em que \(Z = \frac{10 - 11}{1.0817}=-0.93\)

Continuação ex1

Consultando a tabela normal com \(z=0.93\) obtemos 0.33147. Logo \[P(\mu_P \le 10) = P(Z\le -0.93)=0.5-0.33147=0.16853\] ou 16,85%.

Observe que a tabela normal fornece a área entre 0 e um valor positivo de z.

Exercício 2

Calcule a probabilidade do projeto ser completado em menos de 18 dias, agora observando as estimativas da variância.

As atividades críticas do projeto são A,C,D,G.

Deseja-se obter \(P(Duração \le 18)\)?

Exercício 2 - cont.

\(P(Duração \le 18)\)

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A}=3; \mu_{C}=3;\mu_{D}=7; \mu_{G}=6\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A}^2=1; \sigma_{C}^2=0.4;\sigma_{D}^2=0.1; \sigma_{G}^2=0\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 3+3+7+6=19\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=1+0.4+0.1+0=1.5 \rightarrow \sigma_P=1.2248\)

\[P(\mu_P \le 18) = P(Z\le z)\] em que \(z = \frac{18 - 19}{1.2248}=-0.82\)

continuação ex2

Consultando a tabela normal com \(z=0.82\) obtemos 0.29389. Logo \[P(\mu_P \le 18) = P(Z\le -0.82)=0.5-0.29389=0.20611\] ou 20,61%.

Observe que a tabela normal fornece a área entre 0 e um valor positivo de z.

Exercício de Revisão sobre incertezas na programação do projeto

Observe a tabela. Calcule a probabilidade do projeto ser completado entre 20 e 26 semanas.

Tempo para resolver

10 minutos

Resolução

1- Deve identificar quais são as estimativas da duração e variância de cada atividade, utilizando as fórmulas \(\mu_{ij} = \frac{O_{ij}+4M_{ij}+P_{ij}}{6}\) e \(\sigma_{ij}^2 = (\frac{P_{ij}-O_{ij}}{6})^2\)

Rede

Construir a rede para identificar as atividades críticas: A,C,D,F

flowchart LR
    1(("1
    (0,0)")) -->|A,5.5| 2(("2
    (5.5,5.5)"))
    linkStyle 0 stroke:red
    5 -.->|"0"| 3(("3
    (13.83,13.83)"))
    2 -->|"B ,2"| 3(("3
    (13.83,13.83)"))
    
    2 -->|"C ,3"| 4(("4
    (8.5,8.5)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    4 -->|"D ,5.33"| 5(("5
    (13.83,13.83)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    5 -->|"E ,5.83"| 6(("6
    (25,25)"))
    
    3 -->|"F ,11.17"| 6(("6
    (25,25)"))
    linkStyle 6 stroke:red
    

Resolução

2- Deseja-se obter \(P(20\le Duração \le 26)\)?

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A}=5.5; \mu_{C}=3;\mu_{D}=5.33; \mu_{F}=11.17\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A}^2=1.36; \sigma_{C}^2=0.11;\sigma_{D}^2=0.44; \sigma_{F}^2=4.69\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 5.5+3+5.33+11.17=25\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=1.36+0.11+0.44+4.69=6.6 \rightarrow \sigma_P=2.5691\)

\[P(20\le \mu_P \le 26) = P(z_1\le Z\le z_2)\] em que \(z_1 = \frac{20 - 25}{2.5691}=-1.95\) e \(z_2 = \frac{26 - 25}{2.5691}=0.39\)

Resolução continuação

Graficamente a probabilidade é representada pela área em destaque no gráfico:

Consultando a tabela normal com \(z=1.95\) obtemos 0.47441 e \(z=0.39\) obtemos 0.15173. Logo \(P(20\le\mu_P \le 26) = P(-1.95 \le Z\le 0.39)=0.47441+0.15173=0.62614\) ou 62,61%.

Reduzindo a duração de um projeto

Considere um pedido de redução de 11 para 10 semanas, no cronograma de um projeto.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red

Custos para acelerar atividades

Qualquer que seja a estratégia para acelerar uma atividade, haverá custos envolvidos. Será necessário um levantamento dos custos envolvidos na aceleração das atividades, considerando não apenas os custos diretos, mas também os custos indiretos.

Considere os dados a seguir:

Custo Normal x Custo Acelerado

O custo normal \((C_n)\) de uma atividade refere-se ao custo associado à execução da atividade dentro do tempo normal \((t_n)\) planejado. É o custo previsto para realizar a atividade dentro do cronograma padrão do projeto, sem a necessidade de aceleração. Esse custo normal leva em consideração os recursos, materiais, mão de obra e outros fatores necessários para concluir a atividade no prazo original.

O custo acelerado \((C_a)\) de uma atividade representa o custo associado à execução da atividade em um tempo acelerado \((t_a)\), ou seja, quando há a necessidade de reduzir o cronograma original. Inclui os custos adicionais incorridos ao aplicar estratégias para acelerar a conclusão da atividade.

Exemplo: A atividade A possue um custo normal de R$200,00 para executá-la em 3 semanas e um custo acelerado de R$350,00 para executá-la em 2 semanas. Reduzir a execução em 1 semana significa aumentar o custo em R$150,00 (Custo Marginal)

Custo Marginal

Custo Marginal (CM): Expressa o incremento de custo a ser incorrido por unidade de tempo até a atividade atingir seu tempo tecnológico (\(t_a\)).

\[CM = \frac{C_a-C_n}{t_n-t_a}\]

Exemplo: Para a atividade A seu custo marginal é \(CM = \frac{350-200}{3-2}=150\), significa que para aceleramos essa atividade, há um custo adicional de R$150,00 por semana.

Obtendo o custo marginal

Algoritmo de Otimização Tempo Custo do projeto

Passo 0- Calcule os custos marginais de todas as atividades do projeto.

Passo 1- Determine o(s) caminho(s) crítico(s), identificando a atividade crítica com o menor custo marginal com possibilidade de aceleração.

Passo 2- Acelere em uma unidade de tempo a atividade crítica selecionada.

Passo 3- Recalcule a duração do projeto, verificando se a duração desejada foi atingida, em caso positivo PARE e VERIFIQUE a possibilidade de desacelerar alguma atividade que foi acelerada e que agora apresenta folga; caso contrário (duração desejada não atingida) volte ao passo 1.

Aplicando o algoritmo

O projeto tem duração de 11 semanas e deseja-se reduzí-lo para 10 semanas ao menor custo possível.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red

   

Passo 0

Passo 0: Calcular o custo marginal das atividades

Passo 1: identificando a atividade crítica com o menor custo marginal

Passo 2: Acelerar a atividade

Acelerar a Atividade G em 1 unidade de tempo pois é a atividade crítica com o menor custo marginal.

Passo 3: Recalcular o tempo do projeto

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,7)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)")) 
    linkStyle 5 stroke:red
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,3"| 5(("5
    (10,10)"))
    linkStyle 7 stroke:red

   

Houve redução do tempo do projeto para 10 dias com aumento no custo do projeto de R$35,00, acelerando a atividade G em 1 semana.

Observe que não é possível “desacelerar” a atividade G pois ela é crítica para atingir o tempo de 10 semanas.

Assim, o custo atual dessa configuração é o custo original de R$ 1380,00 + R$35,00 (devido a acelerar a atividade G em 1 semana) totalizando assim R$ 1415,00.

Análise

Inicialmente o projeto apresentava uma duração normal de 11 semanas com um custo total de R$ 1380,00 (resultado da soma dos custos normais de todas as atividades). Após a aplicação do algoritmo de otimização tempo custo, a atividade G foi acelerada em 1 semana, reduzindo a duração do projeto para 10 semanas, acrescentando ao custo o valor de R$35,00. Desse modo, o projeto para ser executado em 10 semanas terá um custo total de R$ 1415,00 (custo total original + acréscimo da aceleração).

Discussões

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Exercícios Propostos

1

Considere o projeto do exemplo desta aula, com duração normal de 11 semanas a um custo de R$ 1380,00. Suponha que se deseja reduzir o tempo para 9 semanas. Obtenha a solução, analisando seu custo para 11 semanas, 10 semanas e 9 semanas.

2

Até que prazo podemos reduzir o projeto de 11 semanas? Apresente sua análise.