Logarytmy w inżynierii

Termistory - wstęp

W elektronice dość szeroko wykorzystuje się rezystancyjne czujniki temperatury zwane termistorami. W praktyce rozróżnia się dwie podstawowe grupy termistorów: NTC i PTC, które mają odmienne własności fizyczne i zastosowania.

Termistory NTC (Negative Temperature Coefficient)

Definicja
Rezystancja maleje wraz ze wzrostem temperatury.

Charakterystyka R(T)

Silnie nieliniowa (wykładnicza).
Najczęściej opisywana równaniem:

\[ R(T) = R_0 \cdot \exp\!\left[B\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right] \]

gdzie:

\(R_0\) – rezystancja w temperaturze odniesienia \(T_0\) (zwykle 25 °C),
\(B\) – stała materiałowa (typowo 3000–4500 K),
\(T\) – temperatura bezwzględna w kelwinach.

Typowe zakresy

Rezystancja: od kilkudziesięciu Ω do kilku MΩ (przy 25 °C).
Temperatura pracy: zwykle −40 °C do +125 °C (specjalne nawet do +300 °C).

Cechy praktyczne

Bardzo duża czułość temperaturowa.
Wysoka rozdzielczość w wąskim zakresie temperatur.
Wymaga liniaryzacji (sprzętowej lub programowej).

Zastosowania

Czujniki temperatury (HVAC, AGD, automotive).
Kompensacja temperaturowa.
Ograniczniki prądu rozruchowego (inrush current limiter).

Termistory PTC (Positive Temperature Coefficient)

Definicja
Rezystancja rośnie wraz ze wzrostem temperatury.

Charakterystyka R(T)

W wersji „klasycznej”: łagodny, dodatni współczynnik temperaturowy.
W wersji ceramicznej (BaTiO₃):
- gwałtowny skok rezystancji powyżej temperatury Curie (kilka rzędów wielkości).

Cechy praktyczne

Zachowanie quasi-przełącznikowe.
Silna samostabilizacja temperaturowa.

Zastosowania

Zabezpieczenia nadprądowe (bezpieczniki polimerowe – resetowalne).
Zabezpieczenia termiczne silników i transformatorów.
Elementy grzejne o samoregulacji temperatury.

Termistory NTC - praktyka inzynierska

Punkt wyjścia: fizyczna charakterystyka NTC

Dla termistora NTC w szerokim zakresie temperatur obowiązuje zależność:

\[ R(T) = R_0 \cdot \exp\!\left[B\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right] \]

gdzie:

\(T\) – temperatura bezwzględna [K],
\(R(T)\) – rezystancja,
\(B\) – stała materiałowa termistora,
\(R_0\) – rezystancja w temperaturze odniesienia \(T_0\) (zwykle 25 °C = 298.15 K).

Ta postać nie jest liniowa i wprost nie nadaje się do klasycznej regresji liniowej.

Logarytmowanie

Logarytm naturalny po obu stronach równania:

\[ \ln R = \ln R_0 + B\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right) \]

Po przekształceniu:

\[ \ln R = B \cdot \frac{1}{T} + \left(\ln R_0 - \frac{B}{T_0}\right) \]

I oto sedno:

\[ \boxed{ \ln R = a \cdot \frac{1}{T} + b } \]

czyli równanie prostej.

Przebieg eksperymentu

Elektronik:

Mierzy temperaturę \(T_i\) (np. w °C),
Przelicza ją na kelwiny:

\[ T_i[K] = T_i[°C] + 273.15 \]

Mierzy odpowiadającą rezystancję \(R_i\),
Buduje dane:

\[ x_i = \frac{1}{T_i} \]

\[ y_i = \ln R_i \]

Model regresji liniowej

Wykorzystując model regresji liniowej wyznacza jego parametry gdzie:

Z regresji:

\[ y=\beta_1 x + \beta_0 \]

otrzymujemy:

\(B = \beta_1\),
\(\ln R_0 = \beta_0 + \frac{B}{T_0}\)
\(R_0 = \exp\left(\beta_0 + \frac{B}{T_0}\right)\)

Czyli z kilku pomiarów rezystancji:

identyfikujemy parametry materiałowe termistora,
odtwarzamy jego pełną charakterystykę \(R(T)\).

Przykładowy przebieg ekperymentu

Elektronik odnajduje w swoich zasobach trzy termistory. Niestety nie zna ich parametrów. Postanawia więc eksperymentalnie określić parametry tych elementów. Przygotowuje więc pojemnik z lodem, dokładny termometr oraz typowy multimetr do pomiaru rezystancji. Czujnik termometru wraz z termistorami zanurza w pojemniku z lodem (i oczywiście nieco wody). Następnie powoli podnosi temperaturę pojemnika co jakiś czas rejestrując temperaturę oraz wskazania multimetru przełączając go pomiędzy trzy badane termistory.

W wyniku przeprowadzonego eksperymentu uzyskał następujące dane

df

## # A tibble: 16 × 4
##      T_C NTC_A  NTC_B  NTC_C
##    <dbl> <dbl>  <dbl>  <dbl>
##  1  0.05 34260 364000 13960 
##  2  5.24 26220 275900 10920 
##  3 10.4  19850 213900  8561 
##  4 14.4  16350 172500  7450 
##  5 19.5  13020 134700  5912 
##  6 24.8  10070  99700  4690 
##  7 29.6   8294  81470  3911 
##  8 34.7   6661  64880  3250 
##  9 40.0   5317  50950  2725 
## 10 44.8   4418  41970  2312 
## 11 49.9   3665  34660  1911 
## 12 55.3   3004  27090  1605 
## 13 59.3   2591  23450  1435 
## 14 65.6   2022  18580  1174 
## 15 69.9   1759  15620  1045 
## 16 75.3   1511  12730   894.

Obliczenia

Po zebraniu danych eksperymentator przekształca odpowiednio swoje dane a następnie używając modelu regresji liniowej wyznacza odpowiednie parametry termistorów.

df_calc = df %>% 
  pivot_longer(NTC_A:NTC_C, names_to = "id", values_to = "R") %>% 
  mutate(
    invT = 1 / (T_C + 273.15),
    lnR  = log(R),

    # Niepewność pomiaru (przykład): ±(0.5% wskazania + 2 cyfry LSD przy 4 cyfrach znaczących)
    R_err = 0.005 * R + 2 * lsd_4sig(R),

    # Niepewność pomiaru temperatury (przykład): ±0.25°C (termometr) + ±0.005°C (gradient/czas przełączenia)
    T_err = 0.25 + 0.005,

    # Zakresy dla słupków błędów (propagacja przez transformacje)
    invT_min = 1 / (T_C - T_err + 273.15),
    invT_max = 1 / (T_C + T_err + 273.15),

    R_min = pmax(R - R_err, .Machine$double.eps),
    R_max = R + R_err,
    lnR_min = log(R_min),
    lnR_max = log(R_max)
  ) %>%
  group_by(id) 

df_calc %>% ggplot(aes(T_C, R, colour = id))+
  geom_line()+
  geom_point(size=0.5)+
  geom_crossbar(aes(ymin = R - R_err, ymax = R + R_err), width = 0) +
  geom_segment(aes(x = T_C - T_err, xend = T_C + T_err, y = R, yend = R)) +
  facet_wrap(vars(id),  ncol  = 3, scales = "free_y") +
  labs(x = "T [°C]", y = "R [Ω]")

Te wykresy o wiele lepiej przedstawić po zastosowanych przekształceniach.

df_calc %>% 
  ggplot(aes(invT, lnR, colour = id)) +
  geom_smooth(method = "lm", formula = y ~ x, linewidth = 0.2) +
  geom_point(size = 0.6) +
  geom_crossbar(aes(ymin = lnR_min, ymax = lnR_max), width = 0) +
  geom_segment(aes(x = invT_min, xend = invT_max, y = lnR, yend = lnR)) +
  stat_poly_eq(
    formula = y ~ x,
    aes(label = paste(after_stat(eq.label), after_stat(rr.label), sep = "~~~")),
    parse = TRUE,
    size = 3
  ) +
  labs(x = "1/T [K^-1]", y = "ln(R)")

Jak widać uzyskane dane są idealnie liniowe.

Na koniec używając funkcji lm wyznaczamy parametry termistorów.

fitt = df_calc %>%
  do({
    m <- lm(lnR ~ invT, data = .)
    tibble::tibble(
      model = list(m),
      B_1 = coef(m)[["invT"]],
      B_0 = coef(m)[["(Intercept)"]],
      sigma = summary(m)$sigma,
      r2 = summary(m)$r.squared
    )
  }) %>%
  ungroup() %>%
  mutate(
    T0_K = 298.15,
    B_hat = B_1,
    lnR25_hat = B_0 + B_hat * (1 / T0_K),
    R25_hat = exp(lnR25_hat)
  )

fitt %>% select(-model)

## # A tibble: 3 × 9
##   id      B_1   B_0  sigma    r2  T0_K B_hat lnR25_hat R25_hat
##   <chr> <dbl> <dbl>  <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>     <dbl>   <dbl>
## 1 NTC_A 3958. -4.06 0.0108 1.000  298. 3958.      9.22  10110.
## 2 NTC_B 4241. -2.70 0.0146 1.000  298. 4241.     11.5  101204.
## 3 NTC_C 3475. -3.19 0.0120 1.000  298. 3475.      8.47   4747.

Z osiągniętych wyników można się domyślić, że poszczególne termistory to handlowe wersje:

NTC_A: NTC 10k, B=3950K (bardzo popularny w elektronice, np. „10K 3950”)
NTC_B: NTC 100k, B=4250K (częsty w czujnikach temp. o większej rezystancji)
NTC_C: NTC 4.7k, B=3470K (spotykany, inna charakterystyka)

Jednak dzięki precyzyjnemu określeniu parametrów można ich użyć zamiast parametrów producenta.