1. Selang Kepercayaan untuk rata-rata, simpangan baku populasi diketahui

• Data:

\(\sigma = 3.2\) (Simpangan baku populasi)

\(n = 100\) (Ukuran sampel)

\(\bar{x} = 12.6\) (Rata-rata sampel)

Standard Error (SE): \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3.2}{\sqrt{100}} = 0.32\)

• Jawaban:

1. Identifikasi uji statistik yang tepat: Gunakan Distribusi Z (Z-distribution).

Alasan:

Simpangan baku populasi (\(\sigma\)) diketahui dan ukuran sampel besar (\(n \geq 30\)).

2. Hitung Selang Kepercayaan (Confidence Intervals - CI):

Rumus: \(\bar{x} \pm Z \times (\text{Standard Error})\)

90% CI (Z = 1.645): \(12.6 \pm (1.645 \times 0.32) \rightarrow 12.6 \pm 0.53 \rightarrow [12.07, 13.13]\)

95% CI (Z = 1.96): \(12.6 \pm (1.96 \times 0.32) \rightarrow 12.6 \pm 0.63 \rightarrow [11.97, 13.23]\)

99% CI (Z = 2.576): \(12.6 \pm (2.576 \times 0.32) \rightarrow 12.6 \pm 0.82 \rightarrow [11.78, 13.42]\)

3. Perbandingan:

Semakin tinggi tingkat kepercayaan (90% -> 99%), rentang intervalnya menjadi semakin lebar.

4. Interpretasi Bisnis:

Kita 95% yakin bahwa rata-rata tranksaksi harian pengguna yang sebenarnya berada di antara 11.97 hingga 13.23. Ini membantu manajemen memperkirakan pendapatan dengan margin error yang terukur.

Selang Kepercayaan untuk rata-rata, simpangan baku tidak diketahui

• Data:

Sampel \((n=12): 8.4, 7.9, 9.1, 8.7, 8.2, 9.0, 7.8, 8.5, 8.9, 8.1, 8.6, 8.3\)

Rata-rata Sampel \((\bar{x}): 8.46\)

Simpangan Baku Sampel \((s): 0.423\)

Standard Error (SE): \(\frac{0.423}{\sqrt{12}} \approx 0.122\)

Derajat Kebebasan (df): \(n-1 = 11\)

• Jawaban:

1. Identifikasi uji statistik yang tepat: Gunakan Distribusi T (t-distribution).

Alasan: Simpangan baku populasi tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (\(n < 30\)).

2. Hitung Selang Kepercayaan (CI): Rumus: \(\bar{x} \pm t_{(df)} \times (\text{Standard Error})\)

90% CI \((t \approx 1.796)\): \(8.46 \pm (1.796 \times 0.122) \rightarrow 8.46 \pm 0.22 \rightarrow [8.24, 8.68]\)

95% CI \((t \approx 2.201)\): \(8.46 \pm (2.201 \times 0.122) \rightarrow 8.46 \pm 0.27 \rightarrow [8.19, 8.73]\)

99% CI \((t \approx 3.106)\): \(8.46 \pm (3.106 \times 0.122) \rightarrow 8.46 \pm 0.38 \rightarrow [8.08, 8.84]\)

3. Pengaruh Ukuran Sampel:

Ukuran sampel yang kecil \((n=12)\) membuat interval menjadi lebih lebar (kurang presisi). Jika sampel diperbesar, Standard Error akan mengecil, sehingga estimasi interval menjadi lebih sempit dan akurat.

Selang Kepercayaan Untuk Proporsi

• Data:

\(n = 400\)

\(x = 156\) (yang mengklik CTA)

Proporsi Sampel \((\hat{p})\): 156 / 400 = 0.39 (39%)

• Jawaban:

1. Hitung proporsi sampel:

\(\hat{p} = 0.39\)

2. Hitung selang kepercayaan (CI)

Standard Error (SE):

\(\sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} = \sqrt{\frac{0.2379}{400}} \approx 0.0244\)

90% CI (Z=1.645): 0.39 \(\pm 0.040 \rightarrow [0.350, 0.430]\)

95% CI (Z=1.96): 0.39 \(\pm 0.048 \rightarrow [0.342, 0.438]\)

99% CI (Z=2.576): 0.39 \(\pm 0.063 \rightarrow [0.327, 0.453]\)

3. Pengaruh Level Kepercayaan dalam Keputusan Produk:

Menggunakan confidence level yang lebih tinggi (misal 99%) memberikan kepastian lebih besar, namun rentangnya sangat lebar. Untuk keputusan bisnis yang cepat (seperti A/B testing desain tombol), level 90% atau 95% biasanya sudah cukup agar rentang estimasi tidak terlalu “kabur”.

Perbandingan Presisi

• Data:

Tim A: \(n=36\), \(\bar{x}=210\), \(\sigma=24\) (Diketahui \(\sigma) \rightarrow\) Pakai Z-Test.

Tim B: \(n=36\), \(\bar{x}=210\), \(s=24\) (Diketahui \(s\)) \(\rightarrow\) Pakai T-Test.

• Jawaban:

1. Identifikasi Uji:

Tim A menggunakan Z-statistic (karena \(\sigma\) populasi diketahui).

Tim B menggunakan t-statistic (karena hanya \(s\) sampel yang diketahui).

2. Hitung CI (Contoh 95%):

Standard Error (sama):$ 24 / = 4$.

Tim A (Z): Gunakan$ Z=1.96. Margin = 1.96 = 7.84.$

Interval: [202.16, 217.84] Tim B (T): Gunakan \(t_{(df=35)} \approx 2.03\). Margin = 2.03 \(\times 4 = 8.12\).

Interval: \([201.88, 218.12]\)

Mengapa Lebar Interval Berbeda?

Interval Tim B (T-test) lebih lebar daripada Tim A.

Alasan:

Distribusi T memperhitungkan ketidakpastian tambahan karena kita mengestimasi standar deviasi populasi menggunakan data sampel (\(s\)), bukan nilai aslinya (\(\sigma\)). Oleh karena itu, kurva T memiliki “ekor” yang lebih tebal (lebih konservatif).

Selang Kepercayaan Saatu Sisi

• Data:

Target minimal 70%(0.070)

\(n=250\)

\(x=185\) (pengguna premium)

$ $= 185 / 250 = 0.74 (74%)

Standard Error:

\(\sqrt{\frac{0.74(0.26)}{250}} \approx 0.0277\)

• Jawaban:

1. Tipe Interval:

One-Sided Lower Confidence Interval (Selang Kepercayaan Batas Bawah Satu Sisi). Kita ingin memastikan nilai terendah yang mungkin tidak kurang dari 70%.

2. Hitung batas bawah:

rumus: \(\hat{p} - (Z_{\text{one-sided}} \times SE)\)

90% (Z \(\approx\) 1.28): \(0.74 - (1.28 \times 0.0277) = 0.74 - 0.035 = 0.705 (70.5%)\)

95% (Z \(\approx\) 1.645): \(0.74 - (1.645 \times 0.0277) = 0.74 - 0.046 = 0.694 (69.4%)\)

99% (Z \(\approx\) 2.33): \(0.74 - (2.33 \times 0.0277) = 0.74 - 0.065 = 0.675 (67.5%)\)

Apakah Target 70% Tercapai?

Pada tingkat kepercayaan 90%: YA, karena batas bawahnya 70.5% (di atas target 70%).

Pada tingkat kepercayaan 95% dan 99%: TIDAK PASTI, karena batas bawahnya jatuh di angka 69.4% dan 67.5% (di bawah target 70%).

Kesimpulan:

Kita hanya bisa yakin dengan tingkat kepercayaan 90% bahwa target tercapai. Jika manajemen butuh kepastian 95%, target tersebut belum tentu tercapai secara statistik.