Relatório: Modelos Paramétricos Multiestado

Introdução

Neste relatório é apresentado os resultados iniciais para uma análise multiestado da trajetória de pacientes internados por COVID-19 no Hospital das Clínicas da Unicamp, Campinas.

Os dados contém 220 covariáveis distintas, como sexo, idade, exames laboratoriais e clínicos. Também existem covariáveis descrevendo as datas e informações relativas da saúde do paciente nos estados.

Esta análise pode ser vista como uma continuação do relatório anterior. Aqui são apresentados diversos modelos paramétricos construídos seguindo duas classes:

• Modelos Markovianos
• Modelos Semi-Markovianos

O primeiro pressupõe que as probabilidades de transição de um estado para o outro não dependem de todo o histórico, mas somente do estado atual. O segundo tem a mesma hipótese, porém é também é considerado que o processo se renova, no sentido de que ao entrar em um novo estado, o processo volta ao tempo incial. Algumas referências costumam classificar como clock-foward e clock-reset.

Estrutura do Modelo

A estrutura do modelo ainda é a mesma:

Estados

Durante a análise os estados são numerados:

• 1- hosp. (paciente está em um quarto/enfermaria)
• 2- Uti. (paciente está na UTI)
• 3- pos.uti (paciente volta para a quarto/enfermaria ao sair da UTI)
• 4- alta (paciente recebe alta)
• 5- óbito (paciente vaia óbito)

Elementos matemáticos

Neste tipo de modelagem, tipicamente não se calculam as probabilidades diretamente, mas sim as intensidades. Entratanto, diferentemente da construção anterior em que se supõe uma forma para a matrix de transição Q e estimamos estas quantidades, agora pressupõe-se que os tempos entre as transições são variáveis aleatórias de alguma distribuição conhecida. Por exemplo, pode-se assumir que os tempos entre as transições são Weibul, Gamma, Log-Normal, etc. Sendo assim, é conhecido a forma funcional de suas intensidades e o processo de estimação se resume a estimar os parâmetros que a determinam.

Dois comentários se fazem importantes: supor que os tempos são variáveis aleatórias de uma distribuição exponencial é análogo ao modelo de intensidades constantes, apresentado no relatório anterior. Em geral tivemos mais estabilidade numérica na estimação em relação aos modelos anteriores, mesmo em alguns modelos em que a quantidade de parâmetros é maior.

Tratamento dos dados

O tratamento dos dados é realizado transformando os dados em long-format, conforme a metodologia empregada em referências e pacotes.

Uma contagem das transições efetuadas é apresentada a seguir:

Modelos Markovianos

Modelo Exponencial (intensidades constantes)

## Call:
## flexsurvreg(formula = a ~ trans, data = dt.f, dist = "exp")
## 
## Estimates: 
##         data mean  est      L95%     U95%     se       exp(est)  L95%   
## rate         NA     0.0854   0.0743   0.0983   0.0061       NA        NA
## trans2   0.1967     0.0449  -0.1509   0.2407   0.0999   1.0459    0.8599
## trans3   0.1967    -3.6687  -4.5563  -2.7810   0.4529   0.0255    0.0105
## trans4   0.0950    -0.7595  -0.9817  -0.5373   0.1134   0.4679    0.3747
## trans5   0.0950    -2.4413  -2.8651  -2.0174   0.2163   0.0870    0.0570
## trans6   0.0950    -1.8581  -2.1882  -1.5281   0.1684   0.1560    0.1121
## trans7   0.0625     0.5510   0.3272   0.7748   0.1142   1.7350    1.3871
## trans8   0.0625    -3.1867  -4.3269  -2.0465   0.5818   0.0413    0.0132
##         U95%   
## rate         NA
## trans2   1.2721
## trans3   0.0620
## trans4   0.5843
## trans5   0.1330
## trans6   0.2170
## trans7   2.1702
## trans8   0.1292
## 
## N = 2064,  Events: 731,  Censored: 1333
## Total time at risk: 18263
## Log-likelihood = -2714.972, df = 8
## AIC = 5445.945

Veja que os parâmetros estimados são muito próximos dos encontrados no modelo de intensidades constantes.

## $`1`
##            rate
## [1,] 0.08543838
## 
## $`2`
##            rate
## [1,] 0.08936157
## 
## $`3`
##            rate
## [1,] 0.00217955
## 
## $`4`
##            rate
## [1,] 0.03997584
## 
## $`5`
##             rate
## [1,] 0.007437366
## 
## $`6`
##            rate
## [1,] 0.01332528
## 
## $`7`
##           rate
## [1,] 0.1482353
## 
## $`8`
##             rate
## [1,] 0.003529412

Uma maneira informal de avaliar a qualidade do ajuste é olhar se a curva de sobrevivência estimada (Kaplan-Meier) para cada transição é similar a curva de sobrevivência com os parâmetros estimados.

Modelo Weibull

Modelo Gamma

Modelo Log-Normal

Modelo Gompertz

Modelo Log-Logístico

Seleção

A seleção do modelo pode ser feita pelo AIC. Quanto menor, mais preferível é o modelo.

##          df      AIC
## crexp     8 5445.945
## cfwei    16 4908.426
## cfgamma  16 4850.151
## cfgomp   16 5247.026
## cflnorm  16 4830.666
## cfllogis 16 4823.299

Ou seja, Considerando os modelos Markovianos paramétricos, o modelo Log-Logístico apresentou o melhor ajuste.

Modelos Semi-Markovianos

Modelo Weibull

Modelo Gamma

Modelo Log-Normal

Modelo Gompertz

Modelo Log-Logístico

Seleção

A seleção do modelo pode ser feita pelo AIC.O AIC (Akaike Information Criterion) mede a qualidade de ajuste de um modelo penalizando a complexidade (número de parâmetros). Quanto menor, mais preferível é o modelo.

##          df      AIC
## crwei    16 4908.426
## crgamma  16 4850.151
## crgomp   16 5247.026
## crlnorm  16 4819.046
## crllogis 16 4823.299

Ou seja, o modelo Semi-Markoviano parametrizado por tempos Log-Normais apresentam o melhor ajuste.

Plots por Modelo

Plots em ordem (obtidos diretamente)