中級統計学：復習テスト24

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 21〜26 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（1月27日の予定）に提出すること．

1. (X,Y) を確率ベクトルとする．

1. Y の X 上への単回帰モデルを書きなさい．

2. 上のモデルで X から Y への限界効果を求めなさい．

3. \ln Y の \ln X 上への単回帰モデルを書きなさい．

4. 上のモデルで X に対する Y の弾力性を求めなさい．

解答例

1. Y の X 上への単回帰モデルは

\operatorname{E}(Y|X)=\alpha+\beta X

または

\begin{align*} Y & =\alpha+\beta X+U \\ \operatorname{E}(U|X) & =0 \end{align*}

2. X から Y への限界効果は

\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\beta

3. \ln Y の \ln X 上への単回帰モデルは

\operatorname{E}(\ln Y|\ln X)=\alpha+\beta\ln X

または

\begin{align*} \ln Y & =\alpha+\beta\ln X+U \\ \operatorname{E}(U|\ln X) & =0 \end{align*}

4. X に対する Y の弾力性は

\frac{\mathrm{d}Y/Y}{\mathrm{d}X/X}=\frac{\mathrm{d}\ln Y}{\mathrm{d}\ln X}=\beta

2. データを (y_1,\dots,y_n) とする． 次の単回帰モデルを考える．

\operatorname{E}(y_i)=\mu

1. OLS 問題を書きなさい．

2. 正規方程式を求めなさい．

3. \mu の OLS 推定量を求めなさい．

解答例

1. OLS 問題は

\begin{align*} \min_{\mu} & \quad \sum_{i=1}^n(y_i-\mu)^2 \\ \text{and} & \quad \mu \in \mathbb{R} \end{align*}

2. 1 階の条件は

\sum_{i=1}^n(-1)2(y_i-\mu^*)=0

すなわち

\sum_{i=1}^n(y_i-\mu^*)=0

正規方程式は

\sum_{i=1}^ny_i-n\mu^*=0

3. \mu の OLS 推定量は

\mu^*=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i