One-Sample Z-Test (Statistical Hypotheses)

A digital learning platform claims that the average daily study time of its users is 120 minutes. Based on historical records, the population standard deviation is known to be 15 minutes.

A random sample of 64 users shows an average study time of 116 minutes.

\[ \begin{eqnarray*} \mu_0 &=& 120 \\ \sigma &=& 15 \\ n &=& 64 \\ \bar{x} &=& 116 \end{eqnarray*} \]

Tasks

1. Formulate the Null Hypothesis (H₀) and Alternative Hypothesis (H₁).
2. Identify the appropriate statistical test and justify your choice.
3. Compute the test statistic and p-value using \(\alpha = 0.05\).
4. State the statistical decision.
5. Interpret the result in a business analytics context.

Jawaban

1. Perumusan Hipotesis Nol (\(H_0\)) dan Hipotesis Alternatif (\(H_1\))

Dalam kasus ini, platform pembelajaran digital mengklaim bahwa rata-rata waktu belajar harian penggunanya adalah 120 menit. Analisis ini dilakukan untuk mengevaluasi kebenaran klaim tersebut berdasarkan data sampel yang tersedia.

Karena tujuan analisis adalah untuk mengetahui apakah rata-rata waktu belajar harian pengguna sama atau berbeda dari nilai yang diklaim, maka digunakan uji dua arah (two-tailed test).

Hipotesis Nol (\(H_0\)):

\[H_0 : \mu = 120\]

Artinya, rata-rata waktu belajar harian pengguna platform pembelajaran digital sama dengan 120 menit.

Hipotesis Alternatif (\(H_1\)):

\[H_1 : \mu \neq 120\]

Artinya, rata-rata waktu belajar harian pengguna platform pembelajaran digital berbeda dari 120 menit.

2. Identifikasi Uji Statistik yang Tepat dan Alasannya

Uji statistik yang digunakan dalam kasus ini adalah One-Sample Z-Test.

Alasan pemilihan uji:

• Analisis dilakukan untuk menguji rata-rata satu sampel terhadap nilai rata-rata populasi yang diklaim, yaitu 120 menit.
• Standar deviasi populasi diketahui, yaitu sebesar 15 menit.
• Ukuran sampel cukup besar (\(n=64\)), sehingga asumsi distribusi normal dapat dipenuhi berdasarkan Teorema Limit Pusat.

Berdasarkan kondisi tersebut, One-Sample Z-Test merupakan uji statistik yang paling sesuai untuk digunakan dalam kasus ini.

3. Menghitung Statistik Uji dan p-value (\(\alpha = 0.05\))

Diketahui:

• Rata-rata sampel: \(\bar{x} = 116\)
• Rata-rata populasi (klaim): \(\mu_0 = 120\)
• Standar deviasi populasi: \(\sigma = 15\)
• Ukuran sampel: \(n = 64\)
• Taraf signifikansi: \(\alpha = 0.05\)

a. Statistik Uji (Z)

Subsitusi nilai:

\[ \begin{aligned} Z&=\frac{116 - 120}{\frac{15}{\sqrt {64}}} \\ &=\frac{-4}{\frac{15}{8}} \\ &=\frac{-4}{1.875} \\ &\approx -2.13 \end{aligned} \]

b. p-value

Karena hipotesis alternatif bersifat dua arah (two-tailed), maka:

\[p-value = 2 \times P(Z \leq -2.13)\]

Dari tabel distribusi normal standar:

\[P(Z \leq -2.13) \approx 0.0166\]

Sehingga:

\[ \begin{aligned} p-value &= 2 \times 0.0166 \\ &= 0.0332 \end{aligned} \]

Nilai statistik uji	p-value	\(\alpha\)
\(Z\approx -2.13\)	\(0.0332\)	\(0.05\)

One-Sample T-Test (σ Unknown, Small Sample)

A UX Research Team investigates whether the average task completion time of a new application differs from 10 minutes.

The following data are collected from 10 users:

\[ 9.2,\; 10.5,\; 9.8,\; 10.1,\; 9.6,\; 10.3,\; 9.9,\; 9.7,\; 10.0,\; 9.5 \]

Tasks

1. Define H₀ and H₁ (two-tailed).
2. Determine the appropriate hypothesis test.
3. Calculate the t-statistic and p-value at \(\alpha = 0.05\).
4. Make a statistical decision.
5. Explain how sample size affects inferential reliability.

Jawaban

1. Definisi Hipotesis Nol (\(H_0\)) dan Hipotesis Alternatif (\(H_1\))

Dalam kasus ini, tim UX ingin mengetahui apakah rata-rata waktu penyelesaian tugas pada aplikasi baru berbeda dari 10 menit.

Karena tidak ditentukan arah perbedaannya (lebih cepat atau lebih lama), maka digunakan uji dua arah (two-tailed test).

Hipotesis Nol (\(H_0\)):

\[H_0 : \mu = 10\]

Artinya, rata-rata waktu penyelesaian tugas pengguna sama dengan 10 menit.

Hipotesis Alternatif (\(H_1\)):

\[H_1 : \mu \neq 10\]

Artinya, rata-rata waktu penyelesaian tugas pengguna berbeda dari 10 menit.

2. Menentukan Uji Hipotesis yang Tepat

Uji hipotesis yang tepat untuk kasus ini adalah One-Sample T-Test.

Alasan pemilihan uji statistik:

• Analisis dilakukan untuk menguji rata-rata satu sampel terhadap nilai tertentu, yaitu 10 menit.
• Standar deviasi populasi tidak diketahui (\(\sigma\) unknown).
• Ukuran sampel kecil, yaitu hanya 10 pengguna (\(n < 30\)).
• Data diasumsikan berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

Berdasarkan kondisi tersebut, One-Sample T-Test merupakan uji yang paling sesuai untuk digunakan dalam kasus ini.

3. Menghitung t-statistic dan p-value (\(\alpha = 0.05\))

Data sampel (\(n=10\)):

\[ 9.2,\; 10.5,\; 9.8,\; 10.1,\; 9.6,\; 10.3,\; 9.9,\; 9.7,\; 10.0,\; 9.5 \]

Nilai hipotesis:

\[\mu_0 = 10\]

a. Rata-rata sampel

\[ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac {98.6}{10} \\ &= 9.86 \end{aligned} \]

b. Standar deviasi sampel

Diperoleh:

\[s \approx 0.387\]

c. Statistik uji (t)

Subsitusi nilai:

\[ \begin{aligned} t &= \frac{9.86 - 10}{\frac{0.387}{\sqrt {10}}} \\ &= \frac{-0.14}{0.122} \\ &\approx -1.15 \end{aligned} \]

Derajar kebebasan:

\[ \begin{aligned} df &= n - 1 \\ &= 10 - 1 \\ &= 9 \end{aligned} \]

d. p-value

Karena pengujian bersifat dua arah (two-tailed):

\[p-value = 2 \times P(t \leq -1.15)\]

Berdasarkan tabel distribusi t (df = 9), diperoleh:

\[p-value \approx 0.28\]

Rata-rata sampel	Statistik uji	Derajat kebebasan	p-value
\(\bar{x} = 9.86\)	\(t \approx -1.15\)	\(df = 9\)	\(\approx 0.28\)

Two-Sample T-Test (A/B Testing)

A product analytics team conducts an A/B test to compare the average session duration (minutes) between two versions of a landing page.

Version	Sample Size (n)	Mean	Standard Deviation
A	25	4.8	1.2
B	25	5.4	1.4

Tasks

1. Formulate the null and alternative hypotheses.
2. Identify the type of t-test required.
3. Compute the test statistic and p-value.
4. Draw a statistical conclusion at \(\alpha = 0.05\).
5. Interpret the result for product decision-making.

Jawaban

1. Perumusan Hipotesis Nol (\(H_0\)) dan Hipotesis Alternatif (\(H_1\))

Dalam kasus ini, tim product analytics ingin membandingkan rata-rata durasi sesi pengguna antara Landing Page versi A dan versi B untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan performa di antara keduanya.

Karena tujuan analisis adalah untuk melihat apakah rata-rata durasi sesi kedua versi berbeda, tanpa menentukan arah perbedaan secara spesifik, maka digunakan uji dua arah (two-tailed test).

Hipotesis Nol (\(H_0\)):

\[H_0 : \mu_A = \mu_B\]

Artinya, rata-rata durasi sesi pengguna pada landing page versi A sama dengan versi B.

Hipotesis Alternatif (\(H_1\)):

\[H_1 : \mu_A \neq \mu_B\]

Artinya, rata-rata durasi sesi pengguna pada landing page versi A berbeda dengan versi B.

2. Jenis Uji t yang Digunakan

Jenis uji statistik yang digunakan dalam kasus ini adalah Two-Sample Independent T-Test.

Alasan pemilihan uji statistik:

• Analisis dilakukan untuk membandingkan rata-rata dari dua kelompok yang berbeda, yaitu pengguna landing page versi A dan versi B.
• Data berasal dari dua sampel yang independen (pengguna versi A dan Versi B adalah kelompok yang berbeda).
• Standar deviasi populasi tidak diketahui dan diestimasi dari data sampel.
• Ukuran sampel kedua kelompok sama dan relatif kecil menengah (masing-masing n = 25).

Oleh karena itu, Two-Sample Independent T-Test merupakan uji yang paling tepat untuk digunakan dalam kasus A/B testing ini.

3. Menghitung Test Statistik dan p-value

Diketahui:

• Versi A: \[n_A = 25, \bar{x}_A = 4.8, s_A = 1.2\]
• Versi B: \[n_B = 25, \bar{x}_B = 5.4, s_B = 1.4\]

a. Selisih rata-rata

\[ \begin{aligned} &\bar{x}_B - \bar{x}_A \\ &= 5.4 - 4.8 \\ &= 0.6 \end{aligned} \]

b. Simpangan baku gabungan (pooled standard deviation)

Karena ukuran sampel kedua kelompok sama dan varians relatif sebanding, digunakan pooled variance:

\[ \begin{aligned} s_p^2 &= \frac {(n_A - 1) s_A^2 + (n_B - 1) s_B^2}{n_A + n_B - 2} \\ &= \frac {24(1.2^2) + 24(1.4^2)}{48} \\ &= \frac {34.56 + 47.04}{48} \\ &= 1.7 \\ s_p &= \sqrt {1.7} \\ &\approx 1.304 \end{aligned} \]

c. Standar error

\[ \begin{aligned} SE &= s_p\sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}} \\ &= 1.304\sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{25}} \\ &= 1.304\sqrt{0.08} \\ &\approx 0.369 \end{aligned} \]

d. Statistik uji (t)

\[ \begin{aligned} t &= \frac{\bar{x}_B - \bar{x}_A}{SE} \\ &= \frac{0.6}{0.369} \\ &\approx 1.63 \end{aligned} \]

Derajat kebebasan:

\[ \begin{aligned} df &= n_A + n_B - 2 \\ &= 25 + 25 - 2 \\ &= 48 \end{aligned} \]

e. p-value

Karena pengujian dua arah (two-tailed) dan \(df = 48\):

\[p-value \approx 0.11\]

Statistik uji	Derajat kebebasan	p-value
\(t \approx 1.63\)	\(df = 48\)	\(\approx 0.11\)

Chi-Square Test of Independence

An e-commerce company examines whether device type is associated with payment method preference.

Device / Payment	E-Wallet	Credit Card	Cash on Delivery
Mobile	120	80	50
Desktop	60	90	40

Tasks

1. State the Null Hypothesis (H₀) and Alternative Hypothesis (H₁).
2. Identify the appropriate statistical test.
3. Compute the Chi-Square statistic (χ²).
4. Determine the p-value at \(\alpha = 0.05\).
5. Interpret the results in terms of digital payment strategy.

Jawaban

1. Pernyataan Hipotesis Nol (\(H_0\)) dan Hipotesis Alternatif (\(H_1\))

Dalam kasus ini, perusahaan e-commerce ingin mengetahui apakah jenis perangkat yang digunakan pengguna (mobile atau desktop) memiliki hubungan dengan preferensi metode pembayaran.

Karena yang diuji adalah hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik, maka hipotesisnya dirumuskan sebagai berikut:

Hipotesis Nol (\(H_0\)):

Tidak terdapat hubungan antara jenis perangkat dan preferensi metode pembayaran pengguna.

Hipotesis Alternatif (\(H_1\)):

Terdapat hubungan antara jenis perangkat dan preferensi metode pembayaran pengguna.

2. Identifikasi Uji Statistik yang Digunakan

Uji statistik yang digunakan dalam kasus ini adalah Chi-Square Test of Independence.

Alasan pemilihan uji statistik:

• Analisis dilakukan untuk mengetahui hubungan (asosiasi) antara dua variabel.
• Kedua variabel yang dianalisis bersifat kategorik, yaitu:
  • Jenis perangkat (Mobile,Desktop)
  • Metode pembayaran (E-Wallet, Credit Card, Cash on Delivery)
• Data yang digunakan berupa frekuensi atau jumlah pengamatan, bukan data numerik kontinu.
• Setiap observasi bersifat independen.

Berdasarkan kondisi tersebut, Chi-Square Test of Independence merupakan uji yang paling tepat untuk digunakan dalam kasus ini.

3. Menghitung Statistik Chi-Square (\(X^2\))

a. Tabel Observasi (O)

Device/Payment	E-Wallet	Credit Card	COD	Total
Mobile	120	80	50	250
Desktop	60	90	40	190
Total	180	170	90	440

b. Tabel Ekspektasi (E)

Rumus nilai harapan:

Contoh (Mobile - E-Wallet):

\[ \begin{aligned} E &= \frac{250 \times 180}{440} \\ &= 102.27 \end{aligned} \]

Sehingga tabel ekspektasi diperoleh:

Device/Payment	E-Wallet	Credit Card	COD
Mobile	102.27	96.59	51.14
Desktop	77.73	73.41	38.86

c. Perhitungan Statistik Chi-Square

\[ \begin{aligned} \chi^2 &= \frac{(120-102.27)^2}{102.27} + \frac{(80-96.59)^2}{96.59} + \frac{(50-51.14)^2}{51.14} \\ &\quad + \frac{(60-77.73)^2}{77.73} + \frac{(90-73.41)^2}{73.41} + \frac{(40-38.86)^2}{38.86} \\ &\approx 13.77 \end{aligned} \]

Type I and Type II Errors (Conceptual)

A fintech startup tests whether a new fraud detection algorithm reduces fraudulent transactions.

• H₀: The new algorithm does not reduce fraud.
• H₁: The new algorithm reduces fraud.

Tasks

1. Explain a Type I Error (α) in this context.
2. Explain a Type II Error (β) in this context.
3. Identify which error is more costly from a business perspective.
4. Discuss how sample size affects Type II Error.
5. Explain the relationship between α, β, and statistical power.

Jawaban

1. Type I Error (α)

Type I Error (α) adalah kesalahan yang terjadi ketika hipotesis nol (\(H_0\)) ditolak, padahal \(H_0\) sebenarnya benar.

Dalam konteks kasus ini, Type I Error berarti menyimpulkan bahwa algoritma deteksi fraud yang baru mampu mengurangi transaksi fraud, padahal sebenarnya algoritma tersebut tidak mengurangi fraud.

2. Type II Error (β)

Type II Error (β) adalah kesalahan yang terjadi ketika hipotesis nol (\(H_0\)) gagal ditolak, padahal hipotesis alternatif (\(H_1\)) sebenarnya benar.

Dalam konteks kasus ini, Type II Error berarti menyimpulkan bahwa algoritma deteksi fraud yang baru tidak mengurangi fraud, padahal sebenarnya algoritma tersebut mampu mengurangi transaksi fraud.

3. Error yang Lebih Merugikan dari Perspektif Bisnis

Dalam konteks startup fintech, Type II Error (β) umumnya lebih merugikan dari perspektif bisnis.

Hal ini karena perusahaan gagal mengadopsi algoritma yang sebenarnya efektif dalam mengurangi fraud, sehingga:

• Transaksi fraud tetap terjadi,
• Potensi kerugian finansial dan risiko keamanan tetap tinggi,
• Peluang meningkatkan sistem keamanan terlewatkan.

Oleh karena itu, menghindari Type II Error menjadi hal penting agar inovasi yang efektif tidak diabaikan.

P-Value and Statistical Decision Making

A churn prediction model evaluation yields the following results:

• Test statistic = 2.31
  
• p-value = 0.021
  
• Significance level: \(\alpha = 0.05\)

Tasks

1. Explain the meaning of the p-value.
2. Make a statistical decision.
3. Translate the decision into non-technical language for management.
4. Discuss the risk if the sample is not representative.
5. Explain why the p-value does not measure effect size.

Jawaban

1. Makna P-Value

P-value merupakan probabilitas untuk memperoleh nilai statistik uji yang sama ekstrem atau lebih ekstrem dibandingkan dengan nilai yang diamati, dengan asumsi bahwa hipotesis nol (\(H_0\)) benar.

Dalam kasus ini, p-value sebesar 0.021 menunjukkan bahwa terdapat peluang sebesar 2.1% untuk mendapatkan hasil seperti ini apabila model churn sebenarnya tidak memiliki perbedaan kinerja yang signifikan.

2. Keputusan Statistik

Karena nilai p-value (0.021) < \(\alpha\) (0.05), maka hipotesis nol (\(H_0\)) ditolak.

Dengan demikian, hasil pengujian menunjukkan bahwa terdapat bukti statistik yang signifikan pada tingkat signifikansi 5% untuk menyatakan bahwa model churn yang diuji memberikan hasil yang berbeda secara signifikan.

3. Penjelasan dalam Bahasa Non-Teknis

Hasil evaluasi menunjukkan bahwa model prediksi churn yang diuji memberikan performa yang bermakna, dan kemungkinan hasil ini terjadi secara kebetulan sangat kecil.

Dengan kata lain, model ini layak dipertimbangkan untuk digunakan, karena hasil pengujiannya menunjukkan adanya indikasi kuat bahwa model bekerja dengan baik.