Profile Author

Studi Kasus 1

Rumus Interval Kepercayaan (Z-Interval)

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi dengan simpangan baku populasi diketahui menggunakan distribusi Z, dengan rumus sebagai berikut:

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Perhitungan Standard Error (SE)

Standard Error (SE) dihitung menggunakan rumus:

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Sehingga, nilai Standard Error (SE) adalah sebesar 0,32.

1.1 Identifikasi Uji Statistik yang Tepat

Uji statistik yang digunakan adalah Interval Kepercayaan Rata-rata dengan Distribusi Z (Z-Interval). Alasan:

Simpangan baku populasi diketahui (σ diketahui).
Ukuran sampel besar (n ≥ 30).
Data diasumsikan berdistribusi normal atau mendekati normal.

Maka digunakan Z-Score, bukan t-Score.

A. Rumus Interval Kepercayaan (Z-Interval)

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

B.Hitung Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{3,2}{\sqrt{100}} = \frac{3,2}{10} = 0,32 \]

1.2 Perhitungan Interval Kepercayaan

A. Interval Kepercayaan 90%

Nilai Z = 1,645

[12,6 (1,645 ,32)]

[12,6 ,526]

CI 90% = (12,07 ; 13,13)

B. Interval Kepercayaan 95%

Nilai Z = 1,96

[12,6 (1,96 ,32)]

[12,6 ,627]

CI 95% = (11,97 ; 13,23)

C. Interval Kepercayaan 99%

Nilai Z = 2,576

[12,6 (2,576 ,32)]

[12,6 ,824]

CI 99% = (11,78 ; 13,42)

1.3 Visualisasi Perbandingan Interval Kepercayaan (Penjelasan Konseptual)

Secara visual (misalnya dengan garis horizontal):

CI 90% → Paling sempit
CI 95% → Lebih lebar
CI 99% → Paling lebar

Semakin tinggi tingkat kepercayaan, semakin lebar intervalnya**, karena ingin semakin yakin nilai rata-rata populasi berada di dalam interval tersebut.

Tabel Perbandingan Interval Kepercayaan

Tingkat Kepercayaan	Batas Bawah (menit)	Rata-rata (menit)	Batas Atas (menit)
90%	8.25	8.46	8.66
95%	8.20	8.46	8.71
99%	8.09	8.46	8.82

1.4 Interpretasi dalam Konteks Analitik Bisnis

Dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata jumlah transaksi harian per pengguna setelah peluncuran fitur baru berada di antara 11,97 hingga 13,23 transaksi.
Interval yang lebih sempit (90%) memberikan estimasi yang lebih presisi, namun dengan keyakinan yang lebih rendah.
Interval yang lebih lebar (99%) memberikan keyakinan yang lebih tinggi, namun estimasi menjadi kurang presisi.

Implikasi Bisnis: Jika manajemen ingin keputusan cepat dan presisi**, CI 90% bisa digunakan.

Jika keputusan berdampak besar (misalnya investasi besar),CI 95% atau 99% lebih aman.

Hasil ini menunjukkan bahwa fitur baru berpotensi meningkatkan transaksi harian pengguna secara konsisten.

Studi Kasus 2

2.1 Identifikasi uji statistik yang tepat

Uji yang tepat adalah interval kepercayaan rata-rata menggunakan distribusi t (t-interval).

Alasan:

Ukuran sampel kecil (n = 12).
Simpangan baku populasi tidak diketahui.
Data berupa numerik kontinu (waktu dalam menit).
Asumsi data berasal dari populasi yang berdistribusi mendekati normal (umum untuk data waktu UX).

Rumus umum: \[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \] dengan: - \(\bar{x}\) : rata-rata sampel
- \(t_{\alpha/2,\;n-1}\) : nilai kritis distribusi t dengan derajat bebas \(n-1\)
- \(s\) : simpangan baku sampel
- \(n\) : ukuran sampel
- \(\alpha\) : tingkat signifikansi (\(\alpha = 1 - \text{tingkat kepercayaan}\))

2.2 Perhitungan interval kepercayaan

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ketika simpangan baku populasi tidak diketahui dan ukuran sampel kecil diberikan oleh:

\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \] —

Statistik sampel:

Rata-rata \(\bar{x}\) = 8,46 menit
Simpangan baku sampel (s) ≈ 0,41
n = 12, derajat bebas = 11

Interval Kepercayaan:

90% CI: (8,25 , 8,66)
95% CI: (8,20 , 8,71)
99% CI: (8,09 , 8,82)

Interpretasi contoh (95%):

Kita 95% yakin bahwa rata-rata waktu penyelesaian tugas pengguna berada antara 8,20 hingga 8,71 menit.

2.3 Visualisasi

Grafik di atas menampilkan ketiga interval kepercayaan dalam satu plot:

Titik tengah = rata-rata sampel
Garis horizontal = lebar interval
Terlihat jelas bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan, interval semakin lebar

2.4 Pengaruh ukuran sampel & tingkat kepercayaan terhadap lebar interval

a. Ukuran sampel (n)

n ↑ → interval makin sempit
Karena standar error () mengecil
Artinya estimasi rata-rata menjadi lebih presisi

b. Tingkat kepercayaan

Tingkat kepercayaan ↑ → interval makin lebar
99% > 95% > 90%
Lebar interval meningkat karena nilai kritis t semakin besar
Rata-rata waktu penyelesaian tugas berada di kisaran 8–9 menit
Untuk keputusan desain yang lebih presisi, tambahkan jumlah pengguna uji
Pilih tingkat kepercayaan sesuai kebutuhan: eksploratif (90%), standar riset (95%), atau kritikal (99%)

Faktor	Perubahan	Dampak terhadap Interval	Penjelasan
Ukuran Sampel (n)	n meningkat	Interval semakin sempit	Standar error mengecil sehingga estimasi rata-rata lebih presisi
Ukuran Sampel (n)	n kecil	Interval lebih lebar	Ketidakpastian estimasi lebih besar
Tingkat Kepercayaan	90% → 95% → 99%	Interval semakin lebar	Nilai kritis distribusi t semakin besar
Tingkat Kepercayaan	Rendah	Interval lebih sempit	Risiko kesalahan inferensi lebih tinggi

Studi Kasus 3

Interval Kepercayaan untuk Proporsi (Pengujian A/B CTA)

Diketahui:

Jumlah total pengguna: 𝑛 = 400 Jumlah pengguna yang mengklik CTA: 𝑥 = 156

3.1 Hitung Proporsi Sampel 𝑝

Rumus Proporsi Sampel: \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]

Dengan:

𝑥= 156

𝑛= 400

Hasil \[ \hat{p} = \frac{156}{400} = 0.39 \] Artinya, 39% pengguna mengklik CTA.

3.2 Interval Kepercayaan untuk Proporsi (90%, 95%, 99%)

Rumus Interval Kepercayaan untuk Proporsi

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

90% → 𝑧=1.645

95% → 𝑧=1.96

99% → 𝑧= 2.576

Nilai Kritis untuk Tingkat Kepercayaan \[ z_{90\%} = 1.645, \quad z_{95\%} = 1.96, \quad z_{99\%} = 2.576 \]

\[ 0.39 \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} \]

Interval Kepercayaan untuk Proporsi (A/B Testing CTA)

Tingkat Kepercayaan	Batas Bawah	Proporsi Sampel	Batas Atas
90%	0.3397	0.3900	0.4403
95%	0.3326	0.3900	0.4474
99%	0.3208	0.3900	0.4592

3.3 Visualisasi & Perbandingan Interval Kepercayaan

3.4 Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Pengambilan Keputusan Produk

Tingkat kepercayaan memengaruhi lebar interval kepercayaan dan tingkat keyakinan dalam keputusan produk. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang dipilih, semakin besar nilai kritis distribusi normal (z), sehingga interval kepercayaan menjadi semakin lebar.

Interval kepercayaan 90% menghasilkan rentang yang paling sempit, diikuti oleh interval 95% dan 99% yang semakin melebar. Hal ini menunjukkan adanya trade-off antara presisi dan keyakinan: interval sempit lebih presisi tetapi kurang meyakinkan, sedangkan interval lebar lebih meyakinkan namun kurang presisi.

Dalam konteks eksperimen produk:

90% cocok untuk eksperimen eksploratif atau pengambilan keputusan cepat.

95% merupakan standar umum dalam riset produk karena seimbang antara presisi dan keandalan.

99% digunakan untuk keputusan kritikal yang berdampak besar pada bisnis.

Berdasarkan hasil analisis, proporsi klik CTA berada secara konsisten di sekitar 39% pada semua tingkat kepercayaan. Hal ini menunjukkan bahwa desain CTA baru memiliki performa yang stabil. Untuk meningkatkan ketepatan estimasi dan mempersempit interval kepercayaan, disarankan menambah jumlah pengguna dalam eksperimen selanjutnya.

Studi Kasus 4

Dua tim mengukur latensi API (ms) dengan data yang sangat mirip, tetapi informasi simpangan baku berbeda.

Data

Tim A

𝑛 = 36

\(\bar{x}\) = 210

𝜎 = 24 → simpangan baku populasi diketahui

Tim B

𝑛 = 36

\(\bar{x}\) = 210

𝑠 = 24→ simpangan baku sampel

4.1 Identifikasi Uji Statistik

Tim	Informasi SD	Uji yang digunakan	Distribusi
Tim A	σ diketahui	Uji Z	Normal (Z)
Tim B	σ tidak diketahui (pakai s)	Uji t	Student t (df = 35)

Alasan:

Jika σ diketahui → Z-test

Jika σ tidak diketahui → t-test, meskipun n besar

4.2 ️Interval Kepercayaan (Confidence Interval)

Z-test \[ CI = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
T-test \[ CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Hitung Standart Eror (SE) \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{(jika simpangan baku populasi diketahui)} \]

Tim A (Uji Z)

CI	Z	Interval
90%	1.645	(210 )
95%	1.96	(210 )
99%	2.576	(210 )

Tim B (Uji t, df = 35)

CI	t	Interval
90%	1.690	(210 )
95%	2.030	(210 )
99%	2.724	(210 )

4.3 Visualisasi Perbandingan (Deskriptif)

4.4 Mengapa Lebar Interval Berbeda

Meskipun kedua tim memiliki ukuran sampel, rata-rata, dan nilai simpangan baku yang sama, lebar interval kepercayaan tetap berbeda karena perbedaan metode statistik yang digunakan.

A. Perbedaan Distribusi Statistik

Tim A menggunakan uji Z, yang mengasumsikan simpangan baku populasi (σ) diketahui. Tim B menggunakan uji t, karena simpangan baku populasi tidak diketahui dan digantikan oleh simpangan baku sampel (s).

Distribusi t-Student memiliki ekor yang lebih tebal dibandingkan distribusi normal (Z), sehingga lebih konservatif.

B. Nilai Kritis t Lebih Besar dari Z Untuk tingkat kepercayaan yang sama, nilai kritis distribusi t-Student selalu lebih besar dibandingkan nilai kritis distribusi normal (Z), yaitu:

\[ t_{\alpha/2,\,df} > Z_{\alpha/2} \]

Perbedaan ini terjadi karena distribusi t memiliki ekor yang lebih tebal untuk mengakomodasi ketidakpastian dalam estimasi simpangan baku populasi.

Akibatnya, margin of error pada interval kepercayaan berbasis distribusi t menjadi lebih besar dibandingkan distribusi Z, dengan rumus:

\[ \text{Margin of Error} = (\text{nilai kritis}) \times SE \]

Semakin kecil derajat kebebasan (\(df\)), semakin besar nilai kritis t, sehingga interval kepercayaan menjadi lebih lebar.

C. Ketidakpastian Estimasi Simpangan Baku

Pada uji t, simpangan baku diestimasi dari sampel, sehingga ada ketidakpastian tambahan yang harus diperhitungkan. Hal ini membuat interval kepercayaan menjadi lebih lebar.

D. Pengaruh Tingkat Kepercayaan

Semakin tinggi tingkat kepercayaan (90% → 99%):

Nilai kritis semakin besar
Lebar interval semakin melebar
Perbedaan antara uji Z dan uji t semakin jelas

Studi Kasus 5

Diketahui

Jumlah sampel:

𝑛 = 250

Jumlah pengguna premium aktif:

𝑥 = 185

Proporsi sampel: \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]
Manajemen hanya tertarik pada batas bawah estimasi.
Target perusahaan: ≥ 70% (0,70)

5.1 Jenis Interval Kepercayaan & Uji yang Sesuai

Parameter yang ingin diestimasi adalah proporsi populasi 𝑝, yaitu proporsi pengguna aktif mingguan yang menggunakan fitur premium. Karena data bersifat dikotomi (premium dan non-premium) dan diringkas dalam bentuk jumlah keberhasilan 𝑥dari total sampel 𝑛, maka metode inferensi yang sesuai adalah inferensi proporsi.

Estimasi titik proporsi populasi diperoleh dari proporsi sampel:

\[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]

Manajemen hanya tertarik pada apakah proporsi minimal pengguna premium mencapai 70%, sehingga interval yang digunakan adalah interval kepercayaan satu sisi (batas bawah). \[ n\hat{p} > 5 \quad \text{dan} \quad n(1-\hat{p}) > 5 \]

Dengan demikian, standar error dari estimasi proporsi dapat dihitung sebagai: \[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Batas bawah interval kepercayaan satu sisi dengan tingkat kepercayaan (1−α) dirumuskan sebagai: \[ LB = \hat{p} - z_{\alpha} \cdot SE \]

di mana zα adalah kuantil distribusi normal baku yang memenuhi: \[ P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha \]

dengan 𝑍∼𝑁(0,1).

Interval kepercayaan satu sisi ini ekuivalen dengan uji hipotesis satu sisi berikut:

\[ \begin{aligned} H_0 &: p \le 0.70 \\ H_1 &: p > 0.70 \end{aligned} \]

Jika batas bawah interval kepercayaan lebih besar dari 0,70, maka hipotesis nol ditolak dan dapat disimpulkan bahwa target perusahaan tercapai secara statistik.

5.2 Perhitungan Interval Kepercayaan Bawah (Satu Sisi)

A. Data dan Notasi

Misalkan:

𝑛 = jumlah sampel

𝑥 = jumlah keberhasilan (pengguna premium)

p^ = proporsi sampel

\[ n = 250, \quad x = 185 \]

B. Estimasi Proporsi Sampel

Estimasi titik untuk proporsi populasi diperoleh dari: \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]

Substitusi Nilai: \[ \hat{p} = \frac{185}{250} = 0.74 \]

C. Standar Error Estimasi Proporsi

Karena menggunakan pendekatan distribusi normal, maka standar error dari estimasi proporsi dihitung sebagai: \[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Substitusi Nilai \[ SE = \sqrt{\frac{0.74(1-0.74)}{250}} = \sqrt{\frac{0.1924}{250}} = \sqrt{0.0007696} \approx 0.0277 \]

D. Menentukan Nilai Kritis Z

Untuk interval kepercayaan satu sisi (batas bawah) dengan tingkat kepercayaan (1−α), nilai kritis diperoleh dari distribusi normal baku:

\[ P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha \]

Nilai yang umum digunakan: \[ \begin{array}{c|c} \text{Tingkat Kepercayaan} & z_{\alpha} \\ \hline 90\% & 1.28 \\ 95\% & 1.645 \\ 99\% & 2.33 \end{array} \]

E. Rumus Interval Kepercayaan Bawah \[ LB = \hat{p} - z_{\alpha} \cdot SE \]

F. Perhitungan Batas Bawah - Tingkat Kepercayaan 90% \[ LB_{90} = 0.74 - (1.28)(0.0277) \]

\[ LB_{90} = 0.74 - 0.0355 = 0.7045 \]

Tingkat Kepercayaan 95% \[ LB_{95} = 0.74 - (1.645)(0.0277) \]

\[ LB_{95} = 0.74 - 0.0456 = 0.6944 \]

Tingkat Kepercayaan 99% \[ LB_{99} = 0.74 - (2.33)(0.0277) \]

\[ LB_{99} = 0.74 - 0.0646 = 0.6754 \]

G. Interpretasi Statistik \[ \begin{array}{c|c} \text{Tingkat Kepercayaan} & \text{Batas Bawah} \\ \hline 90\% & 0.7045 \\ 95\% & 0.6944 \\ 99\% & 0.6754 \end{array} \]

Pada tingkat kepercayaan 90%, batas bawah interval kepercayaan lebih besar dari 0.70, sehingga target perusahaan terpenuhi.
Pada tingkat kepercayaan 95% dan 99%, batas bawah lebih kecil dari 0.70, sehingga klaim belum cukup kuat secara statistik.

5.3 Visualisasi Batas Bawah (Ringkasan)

Tabel Perbandingan | Tingkat Kepercayaan | Batas Bawah | | ——————- | ———– | | 90% | 0,7045 | | 95% | 0,6944 | | 99% | 0,6754 |

(Garis target perusahaan: 0,70)

5.4 Apakah Target 70% Terpenuhi Secara Statistik

Tingkat Kepercayaan	Kesimpulan
90%	Terpenuhi (0,7045 > 0,70)
95%	Tidak terpenuhi
99%	Tidak terpenuhi

6 Kesimpulan

Berdasarkan seluruh analisis interval kepercayaan yang dilakukan pada beberapa studi kasus, dapat disimpulkan bahwa pemilihan jenis interval kepercayaan dan uji statistik sangat bergantung pada karakteristik data, tujuan analisis, serta tingkat kepastian yang diinginkan dalam pengambilan keputusan.

parameter yang diestimasi adalah proporsi populasi pengguna premium. Karena data bersifat dikotomi dan ukuran sampel cukup besar (n = 250), maka pendekatan distribusi normal baku (Z) layak digunakan. Fokus analisis manajemen hanya pada batas bawah proporsi, sehingga interval kepercayaan yang sesuai adalah interval kepercayaan satu sisi (lower bound confidence interval).

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa:

Pada tingkat kepercayaan 90%, batas bawah interval kepercayaan sebesar 0,7045, yang melewati target perusahaan (70%), sehingga target dapat dinyatakan tercapai secara statistik.
Namun, pada tingkat kepercayaan 95% dan 99%, batas bawah interval kepercayaan masing-masing berada di bawah 0,70, sehingga klaim pencapaian target belum cukup kuat secara statistik.

Secara umum, semakin tinggi tingkat kepercayaan, semakin lebar interval kepercayaan, yang mencerminkan trade-off antara presisi dan keyakinan. Interval yang lebih sempit memberikan estimasi yang lebih presisi, tetapi dengan risiko kesalahan inferensi yang lebih besar. Sebaliknya, interval yang lebih lebar memberikan tingkat keyakinan yang lebih tinggi, tetapi mengurangi ketepatan estimasi.

Implikasi bisnis dari analisis ini adalah bahwa:

CI 90% cocok digunakan untuk keputusan yang bersifat eksploratif atau cepat,
CI 95% merupakan standar yang seimbang untuk keputusan strategis,
CI 99% sebaiknya digunakan untuk keputusan yang berdampak besar dan berisiko tinggi.

Untuk meningkatkan ketepatan estimasi di masa mendatang, disarankan untuk meningkatkan ukuran sampel, karena ukuran sampel yang lebih besar akan memperkecil standar error dan mempersempit interval kepercayaan.

7 Referensi

Agresti, A. (2018). Statistical Methods for the Social Sciences (5th ed.). Pearson.
Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury.
Devore, J. L. (2016). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning.
Diez, D. M., Barr, C. D., & Çetinkaya-Rundel, M. (2019). OpenIntro Statistics (4th ed.). OpenIntro.
Freedman, D., Pisani, R., & Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton & Company.
Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2019). Introduction to Mathematical Statistics (8th ed.). Pearson.
Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers (6th ed.). Wiley.
Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2017). Introduction to the Practice of Statistics (9th ed.). W. H. Freeman.
Newbold, P., Carlson, W. L., & Thorne, B. M. (2013). Statistics for Business and Economics (8th ed.). Pearson.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2012). Probability and Statistics for Engineers and Scientists (9th ed.). Pearson.
Wasserman, L. (2004). All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer. Tentu! Berikut tambahan referensi ilmiah + daftar e-book / sumber materi yang relevan dengan topik interval kepercayaan, proporsi, dan inferensi statistik — semua cocok untuk tugas kuliah, skripsi, atau pembelajaran mandiri.
Agresti, A., & Coull, B. A. (1998). Approximate is better than “exact” for interval estimation of binomial proportions. The American Statistician, 52(2), 119–126.
Brown, L. D., Cai, T. T., & DasGupta, A. (2001). Interval Estimation for a Binomial Proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133.
Altman, D. G., Machin, D., Bryant, T. N., & Gardner, M. J. (2000). Statistics with Confidence: Confidence Intervals and Statistical Guidelines (2nd ed.). BMJ Books.
Casella, G., & Berger, R. L. (2001). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury Press.
Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis (3rd ed.). CRC Press.
Efron, B., & Tibshirani, R. J. (1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman & Hall.
Lehmann, E. L., & Romano, J. P. (2005). Testing Statistical Hypotheses (3rd ed.). Springer.
Agresti, A. (2002). Categorical Data Analysis (2nd ed.). Wiley.
Krishnamoorthy, K. (2010). Handbook of Statistical Distributions with Applications. Chapman & Hall/CRC.

https://www.openintro.org/stat/textbook.php?stat_book=os

Website: https://www.statlect.com

Tugas Week 13

Naila Syahrani Putri

2025-12-22