Assignment Week 13 ~ Study Cases

ITSB

Syafif Azmi Lontoh (52250060)

Student Major in Data Science

1 Case study 1

Confidence Interval untuk Mean, σ Diketahui

Sebuah platform e-commerce ingin memperkirakan rata-rata jumlah transaksi harian per pengguna setelah meluncurkan fitur baru. Berdasarkan data historis skala besar, simpangan baku populasi diketahui.

σ = 3.2 (simpangan baku populasi)
n = 100 (ukuran sampel)
x̄ = 12.6 (rata-rata sampel)

Tugas

Identifikasi uji statistik yang tepat dan berikan alasan pemilihannya.

Hitung Confidence Interval untuk:

90%

95%

99%

Buat visualisasi perbandingan dari ketiga confidence interval tersebut.

Interpretasikan hasilnya dalam konteks business analytics.

1.1 Pembahasan

1.1.1 uji statistik

Interval Z untuk rata rata populasi

Alasan:

Simpangan baku populasi (σ) sudah diketahui = 3.2
Ukuran sampel besar (n = 100)
Memperkirakan rata rata transaksi (Populasi)

1.1.2 Perhitungan Interval Kepercayaan

Rumus untuk interval kepercayaan ketika σ diketahui:

$CI = \bar{x} \pm z \times (\frac{σ}{\sqrt{n}})$

Diketahui:

$\bar{x}$ = 12.6
$\sigma$ = 3.2
$n$ = 100

Standard Error (SE)

$SE = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{3.2}{\sqrt{100}} = 0.32$

1.1.3 Nilai Kritis dan Perhitungan:

Interval Kepercayaan 90%:

Langkah 1: Tentukan tingkat signifikansi

$α = 1 - 0.90 = 0.10$

$\frac{α}{2} = \frac{0.10}{2} = 0.05$

Langkah 2: Temukan nilai kritis Z

$Z (0.05) = - 1.645$

Langkah 3: Hitung margin kesalahan (E)

$E = 1.645 \times \frac{3.2}{\sqrt{100}}$

$E = 1.645 \times 0.32 = 0.5264$

Langkah 4: Menentukan batas interval kepercayaan

Batas Bawah:

$\bar{x} - E = 12.6 - 0.5264 = 12.07$

Batas Atas:

$\bar{x} + E = 12.6 + 0.5264 = 13.13$

b. Interval Kepercayaan 95%

Langkah 1: Tentukan tingkat signifikansi

$α = 1 - 0.95 = 0.05$ $\frac{α}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025$

Langkah 2: Temukan nilai kritis Z

$Z(0.025)=−1.96$

Langkah 3: Hitung margin kesalahan (E)

$E = 1.96 \times \frac{3.2}{\sqrt{100}}$ $E = 1.96 \times 0.32 = 0.6272$

Langkah 4: Menentukan batas interval kepercayaan

Batas Bawah:

$x - E = 12.6 - 0.6272 = 11.97$

Batas Atas:

$x + E = 12.6 + 0.6272 = 13.23$

c. Interval Kepercayaan 99%

Langkah 1: Tentukan tingkat signifikansi

$α = 1 - 0.99 = 0.01 \frac{α}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005$

Langkah 2: Temukan nilai kritis Z

$Z (0.005) = - 2.576$

Langkah 3: Hitung margin kesalahan (E)

$E = 2.576 \times \frac{3.2}{\sqrt{100}} E = 2.576 \times 0.32 = 0.8243$

Langkah 4: Menentukan batas interval kepercayaan

Batas Bawah:

$\bar{x} - E = 12.6 - 0.8243 = 11.78$

Batas Atas:

$\bar{x} + E = 12.6 + 0.8243 = 13.42$

1.1.4 Visualisasi

1.1.5 Insight

Visualisasi menunjukkan hubungan antara lebar interval kepercayaan dan tingkat kepercayaan (90%, 95%, 99%) pada distribusi normal standar. Semakin tinggi tingkat kepercayaan, semakin lebar interval yang digambar di sekitar mean 0.

Makna tiga interval Garis 90% adalah interval paling pendek, artinya prosedur ini memberikan estimasi yang lebih sempit tetapi dengan keyakinan “hanya” 90% bahwa parameter sebenarnya (μ) berada di dalam interval tersebut.

Garis 95% lebih panjang dari 90%, menunjukkan bahwa untuk meningkatkan keyakinan menjadi 95%, interval harus diperlebar sehingga mencakup lebih banyak kemungkinan nilai μ.

Garis 99% paling panjang; ini menggambarkan bahwa untuk sangat yakin (99%), interval harus sangat lebar sehingga mencakup hampir semua nilai yang mungkin dari distribusi normal tersebut.

Hubungan lebar interval dan informasi Lebar interval mencerminkan ketidakpastian: interval sempit berarti estimasi lebih presisi, tetapi dengan tingkat kepercayaan lebih rendah; interval lebar berarti lebih aman (lebih yakin) tetapi informasinya kurang spesifik.

Visualisasi ini membantu menjelaskan trade‑off klasik: naikkan confidence level → critical value z z membesar → margin of error dan lebar interval ikut membesar.

2 Study Cases 2

Confidence Interval for Mean, σ Unknown: A UX Research team analyzes task completion time (in minutes) for a new mobile application. The data are collected from 12 users:

8.4,7.9,9.1,8.7,8.2,9.0,7.8,8.5,8.9,8.1,8.6,8.3

Tasks:

Identify the appropriate statistical test and explain why. Compute the Confidence Intervals for:

90% 95% 99% Visualize the three intervals on a single plot. Explain how sample size and confidence level influence the interval width.

2.1 Pembahasan

2.1.1 Uji statistik

Kondisi:

Tujuan: mengestimasi mean waktu task completion.
σ populasi tidak diketahui.
n = 12 (< 30) dan asumsi data kira‑kira dari populasi normal

Maka digunakan confidence interval untuk satu mean dengan σ unknown berbasis distribusi t (one‑sample t interval).

Rumus umum: $\bar{x} \pm t_{α / 2, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

2.1.2 Perhitungan Interval Kepercayaan

Dari data diperoleh:

Sample mean $\bar{x} = \frac{8.4 + 7.9 + 9.1 + 8.7 + 8.2 + 9.0 + 7.8 + 8.5 + 8.9 + 8.1 + 8.6 + 8.3}{12} = \frac{101.5}{12} = 8.458333$ $\bar{x}$ = 8.458333 menit
Sample size $n = 12$
Standar Deviasi Sampel (s)

Rumus:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}$

Jumlah Kuadrat Selisih

$\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1.9492$

Varian Sample

$s^{2} = \frac{1.9492}{n - 1}$

$n = 12$

$s^{2} = \frac{1.9492}{12 - 1} = \frac{1.9492}{11} = 0.1772$

Standar Deviasi Sampel

$s = \sqrt{0.1772} = 0.421 menit$

Standar Error

Rumus Standard Error:

$S E = \frac{s}{\sqrt{n}}$

masukkan nilai:

$S E = \frac{0.421}{\sqrt{12}} = \frac{0.421}{3.464} = 0.122 menit$

Derajat Kebebasan (df)

Rumus:

$d f = n - 1 = 12 - 1 = 11$

2.1.3 Nilai Kritis dan Perhitungan

Diketahui: $n=12¯x=8.458 menit$ $s=0,421 menit $ $S E = \frac{s}{\sqrt{n}} = 0.122$

$df=n-1=11$

Interval Kepercayaan 90%:

Langkah 1: Tentukan tingkat signifikansi

$α = 1 - 0.90 = 0.10, \frac{α}{2} = \frac{0.10}{2} = 0.05$

Langkah 2: Tentukan nilai t-kritis

Dari tabel distribusi-t dengan:

df = 11

area ekor kanan = 0.05

$t_{0.05, 11} = 1.796$

Langkah 3: Hitung Margin of Error (ME)

$M E = t \times S E = 1.796 \times 0.122 = 0.218 menit$

Langkah 4: Hitung Interval Kepercayaan

Batas Bawah:

$8.458 - 0.218 = 8.240$

Batas Atas:

$8.458 + 0.218 = 8.676$

Interpretasi

Nilai mean sampel 8.458 menit berada tepat di tengah CI, sehingga estimasi rata‑rata cukup stabil untuk sampel kecil (n = 12) dengan SE 0.122 dan t 0.05 , 11 = 1.796 t 0.05,11 =1.796.

Interval Kepercayaan 95%:

Langkah 1: Tentukan tingkat signifikansi $α = 1 - 0.95 = 0.05$ $\frac{α}{2} = 0.025$

Langkah 2: Tentukan nilai t-kritis

$t_{0.025, 11} = 2.201$

Langkah 3: Hitung Margin of Error

$M E = 2.201 \times 0.122$ $M E = 0.267 menit$

Langkah 4: Hitung Interval Kepercayaan

Batas bawah: $8.458 - 0.267 = 8.191$

Batas Atas: $8.458 + 0.267 = 8.725$

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% (8,191, 8,725) berarti, berdasarkan data sampel, diasumsikan prosedur pengambilan sampel diulang berkali-kali, sekitar 95% interval yang terbentuk dengan cara yang sama akan memuat rata-rata waktu sebenarnya di populasi.

Interval Kepercayaan 99%:

Langkah 1: Tentukan tingkat signifikansi

$α = 1 - 0.99 = 0.01$ $\frac{α}{2} = 0.005$

Langkah 2: Tentukan nilai t-kritis

$t_{0.005, 11} = 3.106$

Langkah 3: Hitung Margin of Error $M E = 3.106 \times 0.122$ $M E = 0.377 menit$

Langkah 4: Hitung Interval Kepercayaan

Batas bawah: $8.458 - 0.377 = 8.081$

Batas Atas: $8.458 + 0.377 = 8.835$

Interpretasi Interval kepercayaan 99% (8,081, 8,835) menyatakan bahwa, jika pengambilan sampel dan perhitungan interval dilakukan berulang kali dengan cara yang sama, sekitar 99% dari interval yang terbentuk akan memuat rata-rata waktu sebenarnya di populasi.

2.1.4 Visualisasi

Interpretasi

semakin tinggi tingkat kepercayaan, interval makin lebar dan estimasi makin aman, tapi kurang presisi. CI 90% paling sempit (paling presisi, risiko meleset lebih besar), sedangkan CI 99% paling lebar (paling yakin memuat mean populasi, tapi kurang tajam untuk keputusan praktis).

3 Study Case 3

Interval Kepercayaan untuk Proporsi, Uji A/B: Tim data science menjalankan uji A/B pada desain tombol Call-To-Action (CTA) yang baru. Hasil eksperimen menunjukkan: n=400 (total pengguna) x=156 (pengguna yang mengklik CTA)

Tugas:

Hitung proporsi sampel $\hat{p}$

Hitung Interval Kepercayaan untuk proporsi pada tingkat:

90%

95%

99%

Visualisasikan dan bandingkan ketiga interval tersebut.

Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan memengaruhi pengambilan keputusan dalam eksperimen produk.

3.1 Pembahasan

Hitung proporsi sampel Diketahui:

n=400 (total user)

${x} =156 (user yang klik CTA)

Proporsi sampel: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{156}{400} = 0.39$

3.1.1 Rumus selang kepercayaan proporsi

Selang kepercayaan proporsi (aproksimasi normal, n besar):

$p^{\pm} \frac{z_{\frac{α}{2}}}{\sqrt{\frac{p ̂ \cdot (1 - p ̂)}{n}}}$

Standard error:

$SE = \sqrt{\frac{0,39 \times 0,61}{400}} \approx 0,0243$

Nilai z α/2 untuk level umum:

90% → z≈1,645

95% → z≈1,96

99% → z≈2,575

3.1.2 Perhitungan tiga selang kepercayaan

Margin of error (ME) tiap level:

90%: ME90=1,645×0,0243≈0,040

95%: ME95=1,96×0,0243≈0,048

99%: ME99 =2,575×0,0243≈0,063

Selang kepercayaan:

90% CI: $0,39 \pm 0,040 \Rightarrow (0,35, 0,43)$

95% CI: $0,39 \pm 0,048 \Rightarrow (0,34, 0,44)$

99% CI: $0,39 \pm 0,063 \Rightarrow (0,33, 0,45)$

Visualisasi

Interpretasi

Dalam konteks A/B testing, memakai CI yang lebih sempit (misal 90%) memungkinkan keputusan lebih cepat dan agresif, sedangkan CI yang lebih lebar (95%–99%) membuat tim lebih konservatif karena hanya akan “mengklaim menang” jika perbedaan CTR cukup besar sehingga seluruh interval tetap menguntungkan

4 Study case 4

Precision Comparison (Z-Test vs t-Test): Two data teams measure API latency (in milliseconds) under different conditions.

Team A:

n = 36(sample size) x¯ = 210(sample mean) σ = 24(known population standard deviation) Team B:

n = 36(sample size) x¯ = 210(sample mean) s = 24(sample standard deviation) Tasks:

Identify the statistical test used by each team. Compute Confidence Intervals for 90%, 95%, and 99%. Create a visualization comparing all intervals. Explain why the interval widths differ, even with similar data.

4.1 Pembahasan

Tim A: Interval Kepercayaan Z (σ diketahui) Tim B: Interval Kepercayaan t (σ tidak diketahui)

Alasan: Tim A dapat menggunakan distribusi Z karena simpangan baku populasi (σ) diketahui. Tim B harus menggunakan distribusi t karena simpangan baku hanya diestimasi dari sampel (s).

Data yang diberikan

Tim A (σ diketahui) Ukuran sampel: n=36 Rata-rata sampel: $\bar{x}$ =210 Simpangan baku populasi: σ=24

Tim B (σ tidak diketahui) Ukuran sampel: n=36 Rata-rata sampel: $\bar{x}$ = 210 Simpangan baku sampel: s = 24

Rumus - Tim A:

$CI = \bar{x} \pm z_{\frac{α}{2}} \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}$

-Tim B: $CI = \bar{x} \pm t_{\frac{α}{2}, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, df = n - 1$

Standard error

$SE = \frac{σ or s}{\sqrt{n}} = \frac{24}{\sqrt{36}} = \frac{24}{6} = 4 90 % CI : 210 \pm 1.645 \cdot 4 = 210 \pm 6.58 = [203.42, 216.58]$

Tim B (t-Test)

$90 % CI : 210 \pm 1.690 \cdot 4 = 210 \pm 6.76 = [203.24, 216.76]$

Interpretasi

kedua tim punya mean yang sama (210 ms), tetapi lebar intervalnya berbeda.

Untuk setiap level (90%, 95%, 99%), CI Tim B (t) selalu sedikit lebih lebar daripada Tim A (Z).

Artinya, metode t lebih konservatif: memberikan keyakinan yang sama, tetapi dengan rentang estimasi yang sedikit lebih luas karena mengakomodasi ketidakpastian tambahan dari penggunaan s (bukanσ)

5 study case 5

One-Sided Confidence Interval: A Software as a Service (SaaS) company wants to ensure that at least 70% of weekly active users utilize a premium feature.

From the experiment:

nx==250(total users)185(active premium users)

Management is only interested in the lower bound of the estimate.

Tasks:

Identify the type of Confidence Interval and the appropriate test. Compute the one-sided lower Confidence Interval at: 90% 95% 99% Visualize the lower bounds for all confidence levels. Determine whether the 70% target is statistically satisfied.

5.1 Pembahasan

CI type: One-sided (lower bound only) Test: Z-test for proportion (population proportion unknown but n large)

data Total users: n=250

pengguna premium aktif: x=185

Sample proportion:

$p_{^} = \frac{x}{n} = \frac{185}{250} = 0.74$

minimum target: 70%

Rumus

$L_{= p_{^} - z_{α} \sqrt \frac{p_{^} (1 - p_{^})}{n}}$

Standard error $S E = \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.74 (1 - 0.74)}{250}} = \sqrt{0.0007696} \approx 0.02774$

Hitung Lower Bound CI

$Lower CI = \hat{p} - z_{α} \cdot S E$

90% CI: 0.74−1.282⋅0.02774≈0.704
95% CI: 0.74−1.645⋅0.02774≈0.694
99% CI: 0.74−2.326⋅0.02774≈0.675

Visualisasi

Interpretasi