1. Identify the appropriate statistical test and justify your choice.

Karena standar deviasi populasi (σ) diketahui dan ukuran sampel besar (n=100), maka metode yang tepat adalah Confidence Interval dengan distribusi Normal (Z-Interval).

2. Compute the Confidence Intervals for: 90%; 95%; 99%

3. Create a comparison visualization of the three confidence intervals.

* 90%

# Load library
library(ggplot2)

# Parameter data
mu <- 12.6
se <- 3.2 / sqrt(100) # Standard Error = 0.32
z_90 <- 1.645
lower_90 <- mu - (z_90 * se)
upper_90 <- mu + (z_90 * se)

# Membuat urutan data untuk kurva normal
x <- seq(mu - 4*se, mu + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = se)
df <- data.frame(x, y)

# Plot Kurva
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1) +
  # Mengarsir area 90% Confidence Interval
  geom_area(data = subset(df, x >= lower_90 & x <= upper_90), 
            aes(y = y), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  # Menambahkan garis batas
  geom_vline(xintercept = c(lower_90, upper_90), linetype = "dashed", color = "blue") +
  geom_vline(xintercept = mu, color = "red") +
  # Labeling
  annotate("text", x = mu, y = 0.2, label = "Mean = 12.6", color = "red") +
  annotate("text", x = lower_90, y = -0.05, label = "12.07") +
  annotate("text", x = upper_90, y = -0.05, label = "13.13") +
  labs(title = "Visualisasi Kurva Normal: 90% Confidence Interval",
       subtitle = "",
       x = "Rata-rata Transaksi", y = "Density") +
  theme_minimal()

- penjelasan:
* Garis Tengah (Merah): Mewakili \(\bar{x} = 12.6\). Ini adalah titik estimasi terbaik kita saat ini.
* Area Biru (90%): Ini adalah zona di mana kita meyakini rata-rata populasi yang sebenarnya berada. Luas area ini adalah 0.90 dari total luas di bawah kurva.
* Titik Potong (12.07 dan 13.13): Ini adalah batas bawah dan batas atas yang Anda hitung menggunakan rumus \(12.6 \pm (1.645 \times 0.32)\).
* Ekor Putih (Di luar 12.07 & 13.13): Ini mewakili risiko kesalahan sebesar 10% (\(\alpha = 0.10\)), yang terbagi menjadi 5% di sisi kiri dan 5% di sisi kanan.

* 95%

# Load library
library(ggplot2)

# 1. Parameter Data
mu <- 12.6
se <- 0.32        # Standard Error (3.2 / sqrt(100))
z_95 <- 1.96      # Nilai Z untuk 95%
lower_95 <- 11.97
upper_95 <- 13.23

# 2. Membuat Data Kurva
x <- seq(mu - 4*se, mu + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = se)
df <- data.frame(x, y)

# 3. Plotting
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  # Mengarsir area 95% (Confidence Level)
  geom_area(data = subset(df, x >= lower_95 & x <= upper_95), 
            aes(y = y), fill = "#27ae60", alpha = 0.4) + # Warna Hijau untuk 95%
  # Garis batas Interval
  geom_vline(xintercept = c(lower_95, upper_95), linetype = "dashed", color = "#27ae60", size = 1) +
  geom_vline(xintercept = mu, color = "red", size = 0.8) +
  # Label angka
  annotate("text", x = mu, y = 0.1, label = "Mean = 12.6", color = "red", fontface = "bold") +
  annotate("label", x = lower_95, y = 0, label = "11.97") +
  annotate("label", x = upper_95, y = 0, label = "13.23") +
  labs(title = "Distribusi Normal: 95% Confidence Interval",
       subtitle = "",
       x = "Rata-rata Transaksi Harian", y = "Density") +
  theme_minimal()

- penjelasan:
* Area Hijau (95%): Area ini mencakup hampir seluruh bagian bawah kurva. Dalam statistik industri, ini adalah standar emas untuk mengambil keputusan.
* Margin of Error: Jarak dari tengah (12.6) ke batas (13.23) adalah \(1.96 \times 0.32 \approx 0.63\). Ini berarti tingkat ketidakpastian kita hanya sekitar 0.63 transaksi.
* Alpha (\(\alpha = 0.05\)): Area putih di ujung kiri dan kanan hanya tersisa 2.5% di masing-masing sisi. Ini adalah risiko bahwa rata-rata transaksi sebenarnya berada di luar prediksi kita

* 99%

# Load library
library(ggplot2)

# 1. Parameter Data
mu <- 12.6
se <- 0.32
z_99 <- 2.576     # Nilai Z untuk 99%
lower_99 <- 11.78
upper_99 <- 13.42

# 2. Membuat Data Kurva
x <- seq(mu - 4*se, mu + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = se)
df <- data.frame(x, y)

# 3. Plotting
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  # Mengarsir area 99% (Hampir seluruh kurva)
  geom_area(data = subset(df, x >= lower_99 & x <= upper_99), 
            aes(y = y), fill = "#8e44ad", alpha = 0.4) + # Warna Ungu untuk 99%
  # Garis batas Interval
  geom_vline(xintercept = c(lower_99, upper_99), linetype = "dashed", color = "#8e44ad", size = 1) +
  geom_vline(xintercept = mu, color = "red", size = 0.8) +
  # Label angka
  annotate("text", x = mu, y = 0.1, label = "Mean = 12.6", color = "red", fontface = "bold") +
  annotate("label", x = lower_99, y = 0, label = "11.78") +
  annotate("label", x = upper_99, y = 0, label = "13.42") +
  labs(title = "Distribusi Normal: 99% Confidence Interval",
       subtitle = "",
       x = "Rata-rata Transaksi Harian", y = "Density") +
  theme_minimal()

- penjelasan:
* Pusat Kurva (12.6): Nilai rata-rata sampel yang menjadi titik acuan tengah.
* Rentang Bawah & Atas (11.78 – 13.42): Batas wilayah keyakinan kita. Angka ini didapat dari hasil kali nilai Z (2.576) dengan Standard Error (0.32).
* Area Arsir (99%): Melambangkan Tingkat Kepercayaan. Semakin tinggi persentasenya, semakin luas area yang diarsir, yang berarti semakin kecil risiko kesalahan kita.
* Area Putih/Ekor (1%): Melambangkan Tingkat Signifikansi (\(\alpha\)). Ini adalah sisa risiko 1% bahwa rata-rata yang sebenarnya berada di luar tebakan kita (terbagi 0.5% di kiri dan 0.5% di kanan).
* Bentuk Kurva: Melebar ke samping. Dibandingkan 90% atau 95%, kurva 99% memberikan “ruang aman” paling luas namun dengan rentang angka yang paling lebar (kurang presisi).

# 1. Load Library
library(knitr)
library(dplyr)

# 2. Persiapan Data
mean_sample <- 12.6
se <- 0.32

# 3. Membuat Tabel Berdasarkan Hasil Perhitungan
tabel_ci <- data.frame(
  "Confidence Level" = c("90%", "95%", "99%"),
  "Nilai Z" = c(1.645, 1.960, 2.576),
  "Rentang (Interval)" = c("12.07 – 13.13", "11.97 – 13.23", "11.78 – 13.42"),
  "Lebar Interval" = c("Sempit", "Sedang", "Lebar"),
  "Keterangan" = c(
    "Paling presisi, tapi risiko salah 10%",
    "Standar industri / paling ideal",
    "Sangat pasti, tapi kurang presisi"
  )
)

# 4. Menampilkan Tabel dengan kable
kable(tabel_ci, 
      caption = "Tabel Ringkasan Perbandingan Confidence Interval",
      align = "cllll")

4. Interpret the results in a business analytics context.

Makna Hasilnya:

• 90% CI → estimasi paling sempit, tapi tingkat keyakinan lebih rendah
• 95% CI → paling umum dipakai di bisnis & data analytics
• 99% CI → sangat yakin, tapi interval terlalu lebar (kurang presisi)

Perhatikan bahwa saat kita menaikkan tingkat kepercayaan dari 90% ke 99%, rentang intervalnya menjadi lebih lebar. Artinya, untuk menjadi lebih “yakin”, kita harus memberikan estimasi rentang yang lebih luas (kurang presisi).

Dengan tingkat keyakinan 95%, rata-rata jumlah transaksi harian per user setelah fitur baru diluncurkan berada antara 11.97 hingga 13.23 transaksi. sehingga Fitur baru berpotensi meningkatkan aktivitas user, Rentang nilai masih stabil → performa cukup konsisten, Bisa dijadikan baseline KPI untuk evaluasi fitur berikutnya. Dan Jika perusahaan memiliki target rata-rata 12 transaksi per hari, hasil ini menunjukkan kabar baik karena batas bawah pada tingkat kepercayaan 95% berada sangat dekat dengan 12, dan rata-rata sampel berada di atasnya (12.6).

1. Identify the appropriate statistical test and explain why.

Uji statistik yang digunakan adalah One-Sample T-Interval (Distribusi-t). Karena \(\sigma\) Tidak Diketahui Kita hanya memiliki data sampel, sehingga harus menggunakan standar deviasi sampel (\(s\)). Dan Ukuran sampel hanya 12 pengguna (\(n = 12\)), yang mana kurang dari 30. Dalam kondisi ini, distribusi-t lebih akurat daripada distribusi-Z.

2. Compute the Confidence Intervals for: 90%; 95%; 99%

Rumus Confidence Interval untuk rata-rata dengan distribusi t (t-interval).

\[ CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\; n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Keterangan:

• \(\bar{x}\) = rata-rata sampel
  
• \(t_{\alpha/2,\; n-1}\) = nilai t dari distribusi t-Student
  
• \(s\) = simpangan baku sampel
  
• \(n\) = ukuran sampel

3. Visualize the three intervals on a single plot.

90%

library(ggplot2)

# Data
mean_x <- 8.458
se <- 0.123 # Standard Error hasil perhitungan
df <- 11
lower_90 <- 8.24
upper_90 <- 8.68

# Membuat data kurva
x <- seq(mean_x - 4*se, mean_x + 4*se, length.out = 1000)
y <- dt((x - mean_x)/se, df) / se
df_plot <- data.frame(x, y)

# Plot
ggplot(df_plot, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= lower_90 & x <= upper_90), 
            fill = "steelblue", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = c(lower_90, upper_90), linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = mean_x, color = "red") +
  annotate("label", x = c(lower_90, upper_90), y = 0, label = c("8.24", "8.68")) +
  labs(title = "90% Confidence Interval (t-Distribution)",
       subtitle = "",
       x = "Menit", y = "Density") +
  theme_minimal()

- Penjelasan:
* Titik Tengah (\(\bar{x} = 8.46\)): Rata-rata waktu penyelesaian tugas dari 12 user. Ini adalah titik pusat kurva.
* Area Arsir Biru (90%): Wilayah keyakinan kita. Kita yakin 90% bahwa rata-rata waktu penyelesaian tugas di seluruh populasi pengguna berada di area ini.
* Batas Bawah (8.24) & Batas Atas (8.68): “Pagar” hasil perhitungan. Jika rata-rata asli populasi ada di rentang ini, maka riset kita akurat.
* Area Putih/Ekor (10%): Total risiko kesalahan (\(\alpha\)). Terbagi menjadi 5% di ujung kiri dan 5% di ujung kanan.
* Karakteristik Kurva-t: Bentuknya mirip lonceng, tetapi sedikit lebih landai karena kita memiliki tingkat ketidakpastian yang lebih tinggi akibat jumlah sampel yang hanya 12 orang.

95%

library(ggplot2)

# Parameter Data Case Study 2
mean_x <- 8.458
se <- 0.123 
df <- 11
lower_95 <- 8.20
upper_95 <- 8.72

# Membuat data kurva distribusi-t
x <- seq(mean_x - 4*se, mean_x + 4*se, length.out = 1000)
y <- dt((x - mean_x)/se, df) / se
df_plot <- data.frame(x, y)

# Plotting
ggplot(df_plot, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  # Mengarsir area 95%
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= lower_95 & x <= upper_95), 
            fill = "#e67e22", alpha = 0.5) +
  # Garis Batas
  geom_vline(xintercept = c(lower_95, upper_95), linetype = "dashed", color = "#d35400") +
  geom_vline(xintercept = mean_x, color = "red") +
  # Label angka di sumbu X
  annotate("label", x = c(lower_95, upper_95), y = 0, label = c("8.20", "8.72")) +
  labs(title = "95% Confidence Interval (t-Distribution)",
       subtitle = "",
       x = "Menit", y = "Density") +
  theme_minimal()

- Penjelasan:
* Pusat Kurva (8.46): Titik tengah atau rata-rata waktu yang paling mungkin berdasarkan sampel kita.
* Area Arsir Oranye (95%): Wilayah keyakinan standar. Kita yakin 95% bahwa rata-rata waktu penyelesaian tugas yang sebenarnya ada di rentang ini.
* Batas Bawah (8.20) & Batas Atas (8.72): Rentang interval kita. Perhatikan bahwa rentang ini lebih lebar daripada yang 90% karena kita menaikkan tingkat kepastian.
* Area Putih/Ekor (5%): Risiko kesalahan (\(\alpha\)). Sekarang risikonya lebih kecil, hanya 2.5% di sisi kiri dan 2.5% di sisi kanan.

99%

library(ggplot2)

# Parameter Data Case Study 2
mean_x <- 8.458
se <- 0.1215 
df <- 11
lower_99 <- 8.09
upper_99 <- 8.83

# Membuat data kurva distribusi-t
x <- seq(mean_x - 4*se, mean_x + 4*se, length.out = 1000)
y <- dt((x - mean_x)/se, df) / se
df_plot <- data.frame(x, y)

# Plotting
ggplot(df_plot, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  # Mengarsir area 99%
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= lower_99 & x <= upper_99), 
            fill = "#8e44ad", alpha = 0.5) +
  # Garis Batas
  geom_vline(xintercept = c(lower_99, upper_99), linetype = "dashed", color = "#7d3c98") +
  geom_vline(xintercept = mean_x, color = "red") +
  # Label angka
  annotate("label", x = c(lower_99, upper_99), y = 0, label = c("8.09", "8.83")) +
  labs(title = "99% Confidence Interval (t-Distribution)",
       subtitle = "",
       x = "Menit", y = "Density") +
  theme_minimal()

- penjelasan:
* Pusat Kurva (8.46): Titik estimasi rata-rata dari sampel 12 pengguna.
* Area Arsir Ungu (99%): Wilayah keyakinan maksimal. Kita yakin 99% bahwa rata-rata populasi pengguna sebenarnya berada di rentang ini.
* Batas Bawah (8.09) & Batas Atas (8.83): Rentang ini adalah yang paling lebar dibandingkan 90% dan 95%. Hal ini terjadi karena untuk mencapai keyakinan 99%, kita harus memperluas “jaring” estimasi kita.
* Area Putih/Ekor (1%): Risiko kesalahan (\(\alpha\)) yang sangat kecil, hanya 0.5% di masing-masing ujung kurva.

# 1. Load Library
library(knitr)
library(dplyr)

# 2. Persiapan Data (Berdasarkan hasil Case Study 2)
# Mean = 8.46, n = 12, df = 11
mean_ux <- 8.46

# 3. Membuat Tabel Berdasarkan Hasil Perhitungan t-Distribution
tabel_ci_case2 <- data.frame(
  "Confidence Level" = c("90%", "95%", "99%"),
  "Nilai t (df=11)" = c(1.796, 2.201, 3.106),
  "Rentang (Interval)" = c("8.24 – 8.68", "8.20 – 8.72", "8.09 – 8.83"),
  "Lebar Interval" = c("Sempit", "Sedang", "Lebar"),
  "Keterangan" = c(
    "Estimasi paling ketat (presisi tinggi)",
    "Standar penelitian UX / Akurasi optimal",
    "Estimasi paling aman (risiko error 1%)"
  )
)

# 4. Menampilkan Tabel dengan kable
kable(tabel_ci_case2, 
      caption = "Tabel Ringkasan Confidence Interval - Case Study 2 (UX Research)",
      align = "cllll")

4. Explain how sample size and confidence level influence the interval width.

• 1. Pengaruh Tingkat Kepercayaan (Confidence Level)

Tingkat kepercayaan memiliki hubungan searah (proposional) dengan lebar interval.
* Semakin Tinggi % Kepercayaan \(\rightarrow\) Interval Semakin Lebar.
* Logika: Bayangkan Anda sedang mencoba menangkap ikan dengan jaring. Jika Anda ingin 99% yakin ikan tersebut tertangkap, Anda akan menggunakan jaring yang sangat besar. Sebaliknya, jika Anda hanya butuh 90% yakin, jaring yang lebih kecil sudah cukup.
* Secara Matematis: Semakin tinggi tingkat kepercayaan, nilai kritis (\(z^*\) atau \(t^*\)) akan semakin besar. Karena nilai ini adalah pengali dalam rumus, maka Margin of Error akan otomatis membesar.

• 2. Pengaruh Ukuran Sampel (\(n\))

Ukuran sampel memiliki hubungan terbalik (invers) dengan lebar interval.
* Semakin Besar Sampel (\(n\)) \(\rightarrow\) Interval Semakin Sempit (Presisi).
* Logika: Semakin banyak orang yang Anda tanya (misal 1000 orang vs 10 orang), semakin banyak informasi yang Anda miliki. Informasi yang lebih banyak mengurangi ketidakpastian, sehingga estimasi Anda menjadi lebih tajam dan sempit.
* Secara Matematis: Dalam rumus Standard Error (1\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)), variabel 2\(n\) berada di posisi penyebut (bawah). \[\text{Margin of Error} = z^* \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] Artinya, jika pembagi (\(n\)) semakin besar, maka hasil pembagiannya (Error) akan semakin kecil.

1. Compute the sample proportion \(\hat{p}\)

Uji yang digunakan adalah Z-test for Proportions. Karena kita mengukur proporsi (persentase orang yang klik), bukan nilai rata-rata (seperti waktu atau jumlah transaksi).Dan ukuran sampel kita besar (\(n=400\)), sehingga kita bisa menggunakan pendekatan Distribusi Normal (Z).

Menghitung Sample Proportion (\(\hat{p}\))

• Rumus Sample Proportion \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \] \[ \hat{p} = \frac{156}{400} \] \[ \hat{p} = 0.39 \] Sekitar 39% pengguna mengklik CTA pada desain yang diuji.

2. Compute Confidence Intervals for the proportion at: 90%; 95%; 99%

Rumus Confidence Interval Proporsi \[ CI = \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

library(knitr)

z_table <- data.frame(
  `Confidence Level` = c("90%", "95%", "99%"),
  `α` = c(0.10, 0.05, 0.01),
  `Z_{α/2}` = c(1.645, 1.96, 2.576)
)

kable(
  z_table,
  align = "c",
  caption = "Nilai Z_(α/2) dari Distribusi Normal Standar"
)

3. Visualize and compare the three intervals.

Confidence Interval 90%

library(ggplot2)

# Parameter Data
p_hat <- 0.39
se <- 0.0244  # Standard Error hasil perhitungan sebelumnya
lower_90 <- 0.35
upper_90 <- 0.43

# Membuat data kurva normal (Proporsi dianggap berdistribusi normal untuk n besar)
x <- seq(p_hat - 4*se, p_hat + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_hat, sd = se)
df_plot <- data.frame(x, y)

# Plotting
ggplot(df_plot, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= lower_90 & x <= upper_90), 
            fill = "steelblue", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = c(lower_90, upper_90), linetype = "dashed", color = "darkblue") +
  geom_vline(xintercept = p_hat, color = "red") +
  annotate("label", x = c(lower_90, upper_90), y = 0, label = c("0.35 (35%)", "0.43 (43%)")) +
  annotate("text", x = p_hat, y = max(y)+0.5, label = "p_hat = 39%", color = "red") +
  labs(title = "90% Confidence Interval (Proporsi CTA)",
       subtitle = "",
       x = "Proporsi Klik (p)", y = "Density") +
  theme_minimal()

Confidence Interval 95%

library(ggplot2)

# Parameter Data
p_hat <- 0.39
se <- 0.0244 
lower_95 <- 0.34
upper_95 <- 0.44

# Membuat data kurva
x <- seq(p_hat - 4*se, p_hat + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_hat, sd = se)
df_plot <- data.frame(x, y)

# Plotting
ggplot(df_plot, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  # Mengarsir area 95%
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= lower_95 & x <= upper_95), 
            fill = "#27ae60", alpha = 0.5) + # Warna hijau untuk 95%
  # Garis Batas
  geom_vline(xintercept = c(lower_95, upper_95), linetype = "dashed", color = "#1e8449") +
  geom_vline(xintercept = p_hat, color = "red") +
  # Label angka
  annotate("label", x = c(lower_95, upper_95), y = 0, label = c("0.34 (34%)", "0.44 (44%)")) +
  annotate("text", x = p_hat, y = max(y)+0.5, label = "p_hat = 39%", color = "red") +
  labs(title = "95% Confidence Interval (A/B Test CTA)",
       subtitle = "",
       x = "Proporsi Klik (p)", y = "Density") +
  theme_minimal()

Confidence Interval 99%

library(ggplot2)

# Parameter Data
p_hat <- 0.39
se <- 0.0244 
lower_99 <- 0.33
upper_99 <- 0.45

# Membuat data kurva
x <- seq(p_hat - 4*se, p_hat + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_hat, sd = se)
df_plot <- data.frame(x, y)

# Plotting
ggplot(df_plot, aes(x, y)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  # Mengarsir area 99%
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= lower_99 & x <= upper_99), 
            fill = "#8e44ad", alpha = 0.5) + # Warna ungu untuk 99%
  # Garis Batas
  geom_vline(xintercept = c(lower_99, upper_99), linetype = "dashed", color = "#713d84") +
  geom_vline(xintercept = p_hat, color = "red") +
  # Label angka
  annotate("label", x = c(lower_99, upper_99), y = 0, label = c("0.33 (33%)", "0.45 (45%)")) +
  annotate("text", x = p_hat, y = max(y)+0.5, label = "p_hat = 39%", color = "red") +
  labs(title = "99% Confidence Interval (A/B Test CTA)",
       subtitle = "",
       x = "Proporsi Klik (p)", y = "Density") +
  theme_minimal()

library(ggplot2)

# Data CI Case Study 3
ci_proporsi <- data.frame(
  Confidence_Level = factor(c("90%", "95%", "99%"),
                            levels = c("90%", "95%", "99%")),
  Lower = c(0.35, 0.34, 0.33),
  Upper = c(0.43, 0.44, 0.45),
  p_hat = 0.39
)

# Plot
ggplot(ci_proporsi, aes(x = Confidence_Level, y = p_hat,
                         ymin = Lower, ymax = Upper)) +
  geom_errorbar(width = 0.25, linewidth = 1.2, color = "steelblue") +
  geom_point(size = 3, color = "darkred") +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  labs(
    title = "Perbandingan Confidence Interval Proporsi (Case Study 3)",
    subtitle = "Confidence Level 90%, 95%, dan 99%",
    x = "Confidence Level",
    y = "Proporsi Klik CTA"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13)

library(knitr)

summary_table <- data.frame(
  `Confidence Level` = c("90%", "95%", "99%"),
  `Nilai Z` = c(1.645, 1.960, 2.576),
  `Rentang (Persentase)` = c("35% – 43%", "34% – 44%", "33% – 45%"),
  Keterangan = c(
    "Paling spesifik / presisi",
    "Standar industri paling umum",
    "Paling aman dari risiko salah"
  )
)

kable(
  summary_table,
  align = "c",
  caption = "Tabel Ringkasan"
)

4. Explain how confidence level affects decision-making in product experiments.

1. Kecepatan vs. Kepastian:
   Menggunakan 90% membuat tim produk bisa mengambil keputusan lebih cepat karena rentang angka yang dibutuhkan lebih sempit (kurang butuh banyak data). Tapi risikonya lebih besar (10% kemungkinan salah).

2. Manajemen Risiko:
   Jika perubahan desain tombol CTA ini sangat krusial (misal: tombol “Bayar Sekarang”), tim biasanya memakai 99%. Mereka tidak mau ambil risiko salah tebak, walaupun rentang prediksinya jadi sangat lebar.

3. Presisi Keputusan:
   Semakin tinggi Confidence Level, semakin lebar rentangnya. Jika rentangnya terlalu lebar (misal 32% - 45%), manajer produk mungkin akan bingung: “Ini sebenarnya performanya bagus atau biasa saja?”. Itulah sebabnya 95% sering dipilih sebagai titik tengah yang paling ideal antara kecepatan dan kepastian.

Berdasarkan A/B Test pada 400 pengguna, desain CTA baru memiliki tingkat konversi 39%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, kita bisa menjamin bahwa di masa depan, tombol ini akan memberikan konversi antara 34.2% hingga 43.8%

1. Identify the statistical test used by each team.

• Team A menggunakan Z-Test (Z-Interval):
  Alasannya: Karena Standar Deviasi Populasi (\(\sigma\)) diketahui secara pasti. Meskipun jumlah sampelnya 36, informasi \(\sigma\) membuat kita bisa langsung menggunakan distribusi normal standar (Z).

• Team B menggunakan t-Test (t-Interval):
  Alasannya: Karena Standar Deviasi Populasi tidak diketahui. Tim B hanya memiliki Standar Deviasi Sampel (\(s\)). Dalam statistik, jika kita hanya mengandalkan data sampel untuk menebak standar deviasi, kita wajib menggunakan distribusi-t sebagai bentuk “kehati-hatian”.

2. Compute Confidence Intervals for 90%, 95%, and 99%.

Rumus Umum Confidence Interval Mean

• Z-Test (Team A) \[ CI = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

• t-Test (Team B) \[ CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Keterangan Singkat:
- \(\bar{x}\) : rata-rata sampel
- \(Z_{\alpha/2}\) : nilai kritis distribusi normal standar
- \(t_{\alpha/2,,n-1}\) : nilai kritis distribusi t-Student
- \(\sigma\) : simpangan baku populasi
- \(s\) : simpangan baku sampel
- \(n\) : ukuran sampel

Hitung Standard Error (SE)

\[ \begin{aligned} SE &= \frac{24}{\sqrt{36}} \\ &= \frac{24}{6} \\ &= 4 \end{aligned} \]

Nilai Kritis

library(knitr)

tabel_kritis <- data.frame(
  `Confidence Level` = c("90%", "95%", "99%"),
  `Z_{α/2}` = c(1.645, 1.960, 2.576),
  `t_{α/2, 35}` = c(1.690, 2.030, 2.724)
)

kable(
  tabel_kritis,
  caption = "Nilai Kritis Distribusi Normal (Z) dan t-Student (df = 35)",
  align = "c"
)

Perhitungan Confidence Interval

🔵 Team A (Z-Test)

• 90% Confidence Interval \[ 210 \pm (1.645 \times 4) = (203.42,\;216.58) \]

• 95% Confidence Interval \[ 210 \pm (1.96 \times 4) = (202.16,\;217.84) \]

• 99% Confidence Interval \[ 210 \pm (2.576 \times 4) = (199.70,\;220.30) \]

🟠 Team B (t-Test)

• 90% Confidence Interval \[ 210 \pm (1.690 \times 4) = (203.24,\;216.76) \]

• 95% Confidence Interval \[ 210 \pm (1.96 \times 4) = (202.16,\;217.84) \]

• 99% Confidence Interval \[ 210 \pm (2.724 \times 4) = (199.10,\;220.90) \]

3. Create a visualization comparing all intervals.

library(ggplot2)

# Data
mean <- 210
se <- 4
levels <- c("90%", "95%", "99%")

z <- c(1.645, 1.96, 2.576)
t <- c(1.690, 2.030, 2.724)

# Confidence Intervals
ci_teamA <- data.frame(
  Team = "Team A (Z-Test)",
  Level = levels,
  Lower = mean - z * se,
  Upper = mean + z * se
)

ci_teamB <- data.frame(
  Team = "Team B (t-Test)",
  Level = levels,
  Lower = mean - t * se,
  Upper = mean + t * se
)

ci_all <- rbind(ci_teamA, ci_teamB)

ci_all

ggplot(ci_all, aes(x = Level, y = mean, ymin = Lower, ymax = Upper, color = Team)) +
  geom_errorbar(width = 0.2, linewidth = 1) +
  geom_point(size = 3) +
  labs(
    title = "Perbandingan Confidence Interval Latensi API",
    y = "Latency (ms)",
    x = "Confidence Level"
  ) +
  theme_minimal()

4. Explain why the interval widths differ, even with similar data.

1. Faktor Ketidakpastian Tambahan:Team A sudah tahu “aturan main” seluruh populasi (\(\sigma\) diketahui). Sedangkan Team B hanya menebak-nebak dari 36 sampel (\(s\) saja). Karena Team B punya informasi yang lebih sedikit, statistik “menghukum” mereka dengan memberikan rentang yang lebih lebar agar tetap aman.

2. Karakteristik Distribusi-t:Distribusi-t didesain dengan “Ekor yang Lebih Tebal” (Heavier Tails). Artinya, kemungkinan nilai-nilai ekstrim muncul dianggap lebih besar oleh distribusi-t.

3. Analogi Sederhana:
   

• Team A (Z-Test) itu seperti menebak tinggi badan orang menggunakan meteran yang sudah terkalibrasi pabrik (pasti).
  
• Team B (t-Test) itu seperti menebak tinggi badan menggunakan jengkal tangan (ada perkiraan/estimasi). Karena pakai jengkal, tebakan kita harus dikasih “ruang cadangan” yang lebih luas supaya tidak salah.

library(knitr)

tabel_komparasi <- data.frame(
  "Level" = c("90%", "95%", "99%"),
  "Team_A_Z_Interval" = c("203.42 - 216.58", "202.16 - 217.84", "199.70 - 220.30"),
  "Team_B_t_Interval" = c("203.24 - 216.76", "201.88 - 218.12", "199.10 - 220.90"),
  "Keterangan" = c("Z lebih sempit", "Z lebih sempit", "Z lebih sempit")
)

kable(tabel_komparasi, 
      caption = "Perbandingan Presisi: Z-Interval (Sigma Diketahui) vs t-Interval (Sigma Tidak Diketahui)",
      align = "clll")

1. Identify the type of Confidence Interval and the appropriate test.

Uji yang digunakan adalah One-Sided Z-Test for Proportions. Ukuran Sampel \(n=250\) cukup besar untuk menggunakan distribusi normal (Z). Dan Jenis Confidence Interval One-Sided Confidence Interval (Lower Bound). Yaitu fokus hanya pada batas bawah, karena manajemen ingin memastikan minimal 70% pengguna aktif premium.

2. Compute the one-sided lower Confidence Interval at: 90%; 95%; 99%

3. Visualize the lower bounds for all confidence levels.

# 1. Load Library
library(ggplot2)

# 2. Persiapan Data (Case Study 5)
n <- 250
x <- 185
p_hat <- x / n         # 0.74 (74%)
se <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n) # Standard Error

# Menghitung Batas Bawah (Lower Bound) untuk masing-masing level
lb_90 <- p_hat - (1.282 * se) # 70.4%
lb_95 <- p_hat - (1.645 * se) # 69.4%
lb_99 <- p_hat - (2.326 * se) # 67.5%

# 3. Membuat Data Kurva Normal
x_seq <- seq(p_hat - 4*se, p_hat + 4*se, length.out = 1000)
y_seq <- dnorm(x_seq, mean = p_hat, sd = se)
df_density <- data.frame(x = x_seq, y = y_seq)

# 4. Membuat Visualisasi
ggplot(df_density, aes(x = x, y = y)) +
  # Kurva Utama
  geom_line(size = 1) +
  
  # Arsir wilayah dari Batas Bawah 95% ke arah kanan (sebagai contoh utama)
  geom_area(data = subset(df_density, x >= lb_95), fill = "green", alpha = 0.2) +
  
  # Garis Target Manajemen (70%)
  geom_vline(xintercept = 0.70, color = "red", linetype = "dashed", size = 1.2) +
  annotate("text", x = 0.68, y = 10, label = "Target 70%", color = "red", angle = 90) +
  
  # Garis-garis Batas Bawah (Lower Bounds)
  geom_vline(xintercept = lb_90, color = "blue", size = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = lb_95, color = "darkgreen", size = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = lb_99, color = "purple", size = 0.8) +
  
  # Label Angka Batas
  annotate("label", x = lb_90, y = 15, label = "90% LB (70.4%)", color = "blue", size = 3) +
  annotate("label", x = lb_95, y = 10, label = "95% LB (69.4%)", color = "darkgreen", size = 3) +
  annotate("label", x = lb_99, y = 5, label = "99% LB (67.5%)", color = "purple", size = 3) +
  
  # Titik p_hat (74%)
  geom_point(aes(x = p_hat, y = 0), color = "black", size = 3) +
  annotate("text", x = p_hat, y = -1, label = "Sample (74%)") +
  
  # Judul dan Label
  labs(
    title = "Density Plot: One-Sided Lower Bound (Case Study 5)",
    subtitle = "Menganalisis apakah batas bawah keyakinan sudah melewati Target 70%",
    x = "Proporsi Pengguna Premium",
    y = "Density"
  ) +
  theme_minimal()

4. Determine whether the 70% target is statistically satisfied.

• Pada 90% confidence, perusahaan cukup yakin bahwa minimal 70% pengguna aktif menggunakan fitur premium.
• Pada 95% dan 99% confidence, tidak cukup bukti statistik untuk menjamin target 70%.
• Semakin tinggi confidence level → standar bukti semakin ketat → lower bound semakin turun.

Target minimal 70% pengguna premium aktif terpenuhi secara statistik pada tingkat kepercayaan 90%, namun belum terpenuhi pada 95% dan 99% confidence level. Hal ini menunjukkan adanya trade-off antara tingkat keyakinan dan kepastian pencapaian target bisnis.

library(knitr)

# Tabel Final Case Study 5
summary_case5 <- data.frame(
  "Confidence_Level" = c("90%", "95%", "99%"),
  "Z_Score_One_Sided" = c(1.282, 1.645, 2.326),
  "Lower_Bound" = c("70.4%", "69.4%", "67.5%"),
  "Target_70_Persen" = c("Tercapai", "Tidak Tercapai", "Tidak Tercapai")
)

kable(summary_case5, align = "clcc", caption = "Ringkasan Batas Bawah Estimasi Pengguna Premium")

Referensi pendukung