Study Cases

Confidence Interval ~ Week 13 ~

library(ggplot2)
library(plotly)

Khafizatun Nisa

Data Science undergraduate student

R Programming Data Science Statistics

1 Studi Kasus 1

Interval Kepercayaan untuk Rata-rata (\(\sigma\) Diketahui)

Diketahui (Given):

σ = 3,2 → population standard deviation (simpangan baku populasi)
n = 100 → sample size (ukuran sampel)
x̄ = 12,6 → sample mean (rata-rata sampel)

1.1 Identifikasi uji statistik

Metode statistik yang digunakan adalah Z Confidence Interval for the Mean (interval kepercayaan rata-rata menggunakan distribusi Z).Disebut Z-interval karena menggunakan distribusi Z (normal standar)

Digunakan ketika:
- Simpangan baku populasi (σ) diketahui
- Ukuran sampel besar (n ≥ 30)
- Tujuan analisis adalah mengestimasi rata-rata populasi

Semua kondisi tersebut terpenuhi pada kasus ini, sehingga Z Confidence Interval adalah metode yang tepat.

1.2 Hitung Interval Kepercayaan

Langkah 1: Menentukan rumus (Nama: Confidence Interval Formula)
\[ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] Langkah 2: Menghitung Standard Error
\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3,2}{\sqrt{100}} = \frac{3,2}{10} = 0,32\] Standard error menunjukkan tingkat ketidakpastian rata-rata sampel terhadap rata-rata populasi.

1. Confidence Interval 90%
• Nilai Z = 1,645 (Nama: Critical Z-value)
\[12,6 \pm 1,645(0,32)\] • Margin of Error:
Margin of error adalah batas kesalahan estimasi.
\[1,645 \times 0,32 = 0,526\] • Lower & Upper Bound:
Lower Bound (Batas Bawah)=12,6 − 0,526 = 12,07
Upper Bound (Batas Atas) =12,6 + 0,526 = 13,13

Hasil Interval:
\[(12,07 , 13,13)\]

2. Confidence Interval 95%
• Nilai \(Z = 1,96\)
\[12,6 \pm 1,96(0,32)\] • Margin of Error:
\[1,96×0,32=0,627\] • Lower & Upper Bound:
Lower Bound (Batas Bawah)=12,6 − 0,627 = 11,97
Upper Bound (Batas Atas)=12,6 + 0,627 = 13,23

Hasil Interval:
\[(11,97 , 13,23)\]

c. Confidence Interval 99%

• Nilai Z = 2,576 \[12,6±2,576(0,32)\]

• Margin of Error: \[2,576×0,32=0,824\]

• Lower & Upper Bound:
Lower Bound (Batas Bawah)=12,6 − 0,824 = 11,78
Upper Bound (Batas Atas)=12,6 + 0,824 = 13,42

Hasil Interval:
\[(11,78 , 13,42)\]

1.3 visualisasi perbandingan

# Data confidence interval
ci_data <- data.frame(
  Confidence_Level = c("90%", "95%", "99%"),
  Lower = c(12.07, 11.97, 11.78),
  Upper = c(13.13, 13.23, 13.42),
  Mean = c(12.6, 12.6, 12.6)
)

library(ggplot2)
library(plotly)

p <- ggplot(
  ci_data,
  aes(
    x = Confidence_Level,
    y = Mean,
    text = paste(
      "Confidence Level:", Confidence_Level,
      "<br>Mean:", Mean,
      "<br>Lower:", Lower,
      "<br>Upper:", Upper
    )
  )
) +
  geom_point(size = 3, color = "#6F63FF") +
  geom_errorbar(
    aes(ymin = Lower, ymax = Upper),
    width = 0.2,
    color = "#B2ABFF"
  ) +
  labs(
    title = "Comparison of Confidence Intervals",
    x = "Confidence Level",
    y = "Average Daily Transactions"
  ) +
  theme_minimal()

# Ubah jadi grafik interaktif
ggplotly(p, tooltip = "text")

Sumbu X: Confidence Level
Sumbu Y: Nilai Mean
Garis horizontal: interval kepercayaan
Titik tengah: sample mean (12,6)
Visualisasi yang digunakan adalah confidence interval plot (error bar plot). Garis vertikal menunjukkan rentang interval kepercayaan, sedangkan titik menunjukkan rata-rata sampel (12,6). Terlihat bahwa interval kepercayaan semakin lebar seiring meningkatnya tingkat kepercayaan dari 90% ke 99%.

1.4 Interpretasi Bisnis

Rata-rata transaksi harian per pengguna diperkirakan sekitar 12,6 transaksi.
Interval kepercayaan menunjukkan bahwa nilai rata-rata populasi berada dalam rentang ± tertentu di sekitar 12,6.
Semakin tinggi tingkat kepercayaan (90% → 99%), rentang interval semakin lebar.
Interval yang lebih lebar berarti keyakinan meningkat, tetapi presisi estimasi menurun.
Secara bisnis, fitur baru menunjukkan performa yang stabil, namun tingkat kepercayaan yang digunakan sebaiknya disesuaikan dengan risiko keputusan bisnis.

2 Studi Kasus 2

Diketahui (Given):
Data waktu penyelesaian tugas (menit) dari 12 pengguna:
8.4, 7.9, 9.1, 8.7, 8.2, 9.0, 7.8, 8.5, 8.9, 8.1, 8.6, 8.3

n = 12 (ukuran sampel kecil)
σ tidak diketahui
x̄ = 8,46 menit (rata-rata sampel)
s = 0,44 menit (simpangan baku sampel)

2.1 Identifikasi Uji Statistik

Metode yang digunakan adalah T Confidence Interval for the Mean.

Alasannya:
- Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui
- Ukuran sampel kecil (n < 30)
- Tujuan analisis adalah mengestimasi rata-rata populasi
Karena kondisi ini terpenuhi, maka digunakan distribusi t (Student’s t-distribution).

2.2 Perhitungan Interval Kepercayaan

Rumus Interval Kepercayaan:
\[\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\] Standard Error:
\[SE = \frac{0,44}{\sqrt{12}} = 0,13\] Derajat kebebasan:
\[df=n−1=11\]

1.Confidence Interval 90%
Nilai t (df = 11) = 1,796

Margin of Error:
\[1,796×0,13=0,22\] Lower Bound = 8,46 − 0,22 = 8,24
Upper Bound = 8,46 + 0,22 = 8,68

CI 90%:
(8,24 , 8,68)

2.Confidence Interval 95%
Nilai t (df = 11) = 2,201

Margin of Error:
\[2,201×0,13=0,27\]

Lower Bound = 8,19
Upper Bound = 8,73

CI 95%:
(8,19 , 8,73)

3.Confidence Interval 99%
Nilai t (df = 11) = 3,106

Margin of Error:
\[3,106×0,13=0,38\]

Lower Bound = 8,08
Upper Bound = 8,84

CI 99%:
(8,08 , 8,84)

2.3 Visualisasi

library(plotly)

confidence <- c("90%", "95%", "99%")
lower <- c(8.24, 8.19, 8.08)
upper <- c(8.68, 8.73, 8.84)
mean <- c(8.46, 8.46, 8.46)

plot_ly(
  x = confidence,
  y = mean,
  type = "scatter",
  mode = "markers",
  marker = list(size = 10, color = "#6F63FF"),
  error_y = list(
    type = "data",
    symmetric = FALSE,
    array = upper - mean,
    arrayminus = mean - lower,
    color = "#B2ABFF"
  ),
  text = paste(
    "Confidence Level:", confidence,
    "<br>Mean:", mean,
    "<br>Lower Bound:", lower,
    "<br>Upper Bound:", upper,
    "<br><b>Interpretation:</b><br>Rentang waktu penyelesaian tugas<br>dengan tingkat kepercayaan terkait."
  ),
  hoverinfo = "text"
) %>%
  layout(
    title = "Comparison of Confidence Intervals",
    xaxis = list(title = "Confidence Level"),
    yaxis = list(
      title = "Task Completion Time (minutes)",
      range = c(8.0, 8.9)
    )
  )

Visualisasi ini menunjukkan perbandingan interval kepercayaan 90%, 95%, dan 99%, di mana garis vertikal merepresentasikan rentang interval kepercayaan dan titik menunjukkan rata-rata sampel. Terlihat bahwa interval kepercayaan semakin lebar seiring meningkatnya tingkat kepercayaan.

2.4 pengaruh ukuran sampel dan tingkat kepercayaan kepada lebar interval

Ukuran sampel kecil (n = 12) → interval kepercayaan menjadi lebih lebar
Confidence level semakin tinggi (90% → 99%) → interval semakin lebar
Interval yang lebih lebar berarti keyakinan meningkat, tetapi presisi menurun

3 Studi Kasus 3

Diketahui (Given):

n = 400 → total users
x = 156 → users yang klik CTA

3.1 Hitung Sample Proportion (p̂)

Rumus (Nama: Sample Proportion):

\[\hat{p} = \frac{x}{n}\] Perhitungan:
\[\hat{p} = \frac{156}{400} = 0,39\] Artinya, 39% pengguna mengklik CTA.

3.2 Interval Kepercayaan untuk Proporsi

Rumus Confidence Interval for Proportion:

\[\hat{p} \pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\] Standard Error:
\[SE = \sqrt{\frac{0,39(1-0,39)}{400}} = \sqrt{\frac{0,2379}{400}} = 0,024\]

a. Confidence Interval 90%
Nilai Z = 1,645

Margin of Error:
1,645×0,024=0,039

Lower Bound = 0,39 − 0,039 = 0,351
Upper Bound = 0,39 + 0,039 = 0,429

CI 90%:
(0,351 , 0,429)

b. Confidence Interval 95%
Nilai Z = 1,96

Margin of Error:
1,96×0,024=0,047

Lower Bound = 0,343
Upper Bound = 0,437

CI 95%:
(0,343 , 0,437)

c. Confidence Interval 99%
Nilai Z = 2,576

Margin of Error:
2,576×0,024=0,062

Lower Bound = 0,328
Upper Bound = 0,452

CI 99%:
(0,328 , 0,452)

3.3 Visualisasi perbandingan interval

library(plotly)

confidence <- c("90%", "95%", "99%")
lower <- c(0.351, 0.343, 0.328)
upper <- c(0.429, 0.437, 0.452)
p_hat <- c(0.39, 0.39, 0.39)

plot_ly(
  x = confidence,
  y = p_hat,
  type = "scatter",
  mode = "markers",
  marker = list(size = 10, color = "#6F63FF"),
  error_y = list(
    type = "data",
    symmetric = FALSE,
    array = upper - p_hat,
    arrayminus = p_hat - lower,
    color = "#B2ABFF"
  ),
  text = paste(
    "Confidence Level:", confidence,
    "<br>Estimated Proportion (p̂):", round(p_hat, 3),
    "<br>Lower Bound:", lower,
    "<br>Upper Bound:", upper,
    "<br><b>Interpretation:</b><br>Rentang estimasi click-through rate<br>dengan tingkat kepercayaan terkait."
  ),
  hoverinfo = "text"
) %>%
  layout(
    title = "Confidence Intervals for CTA Click Rate",
    xaxis = list(title = "Confidence Level"),
    yaxis = list(
      title = "Click-Through Rate (Proportion)",
      range = c(0.32, 0.46)
    )
  )

3.4 Pengaruh Confidence Level terhadap Keputusan Produk

Confidence level lebih rendah (90%)
→ interval lebih sempit
→ cocok untuk keputusan cepat, tetapi risiko kesalahan lebih tinggi
Confidence level lebih tinggi (95%–99%)
→ interval lebih lebar
→ keputusan lebih aman dan konservatif, tetapi kurang presisi

4 Studi Kasus 4

Diketahui: Team A
n = 36
x̄ = 210 ms
σ = 24 ms (simpangan baku populasi diketahui)

Team B
n = 36
x̄ = 210 ms
s = 24 ms (simpangan baku sampel, σ tidak diketahui)

4.1 Identifikasi Uji Statistik

Team A
Menggunakan Z Confidence Interval for the Mean
Alasan:
Simpangan baku populasi (σ) diketahui
Ukuran sampel cukup besar (n ≥ 30)

Team B
Menggunakan t Confidence Interval for the Mean
Alasan:
Simpangan baku populasi tidak diketahui
Menggunakan simpangan baku sampel (s)
Distribusi t dengan derajat kebebasan
\[df=n−1=35\]

4.2 Menghitung Interval Kepercayaan

Standard Error (keduanya sama) \[SE = \frac{24}{\sqrt{36}} = \frac{24}{6} = 4\]

A. Team A — Z Confidence Interval
• 90% Confidence Interval
- Z = 1,645
- Margin of Error \(= 1,645 × 4 = 6,58\)

CI 90%:
210±6,58=(203,42, 216,58)

• 95% Confidence Interval
- Z = 1,96
- Margin of Error = 7,84

CI 95%:
(202,16, 217,84)

• 99% Confidence Interval
- Z = 2,576 - Margin of Error = 10,30

CI 99%:
(199,70, 220,30)

B. Team B — t Confidence Interval (df = 35)
• 90% Confidence Interval
t = 1,690
Margin of Error = 6,76

CI 90%:
(203,24, 216,76)

• 95% Confidence Interval
- t = 2,030
- Margin of Error = 8,12

CI 95%:
(201,88, 218,12)

• 99% Confidence Interval
- t = 2,724
- Margin of Error = 10,90

CI 99%:
(199,10, 220,90)

4.3 Visualisasi

library(plotly)

team <- c("A 90%", "A 95%", "A 99%", "B 90%", "B 95%", "B 99%")
lower <- c(203.42, 202.16, 199.70, 203.24, 201.88, 199.10)
upper <- c(216.58, 217.84, 220.30, 216.76, 218.12, 220.90)
mean <- rep(210, 6)

plot_ly(
  x = team,
  y = mean,
  type = "scatter",
  mode = "markers",
  marker = list(size = 10, color = "#6F63FF"),
  error_y = list(
    type = "data",
    symmetric = FALSE,
    array = upper - mean,
    arrayminus = mean - lower,
    color = "#B2ABFF"
  ),
  text = paste(
    "Team & Confidence Level:", team,
    "<br>Mean Latency (ms):", mean,
    "<br>Lower Bound:", lower,
    "<br>Upper Bound:", upper,
    "<br><b>Interpretation:</b><br>",
    "Rentang interval kepercayaan<br>",
    "untuk estimasi latency API."
  ),
  hoverinfo = "text"
) %>%
  layout(
    title = "Comparison of Z-Test and t-Test Confidence Intervals",
    xaxis = list(title = "Test & Confidence Level"),
    yaxis = list(
      title = "API Latency (ms)",
      range = c(198, 222)
    )
  )

4.4 Mengapa Lebar Interval Berbeda

Z-test (Team A) menggunakan σ yang diketahui → lebih presisi
t-test (Team B) memperhitungkan ketidakpastian estimasi σ → interval lebih lebar
Distribusi t memiliki ekor lebih tebal dibanding distribusi Z
Walaupun data dan ukuran sampel sama, ketidakpastian tambahan pada t-test membuat intervalnya lebih luas

5 Studi Kasus 5

DIKETAHUI
Dari studi kasus:

Jumlah total pengguna mingguan \[n = 250\]
Jumlah pengguna yang menggunakan fitur premium
\[x = 185\]
Estimasi proporsi pengguna premium
\[\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{185}{250} = 0.74\]
Target manajemen
\[p \ge 0.70\]

5.1 Jenis Confidance Interval & Test

Jenis Confidence Interval:
One-Sided (Lower) Confidence Interval untuk proporsi
Test yang digunakan:
Z-Test untuk satu proporsi (One-sample proportion Z-test)

5.2 Data & Estimasi Awal

Jumlah pengguna:
\[n = 250\]
Pengguna premium aktif:
\[x = 185\]
Estimasi proporsi: \[\hat{p} = \frac{185}{250} = 0.74\]
Standard Error: \[SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.74(0.26)}{250}} \approx 0.0277\]

5.3 Interval Kepercayaan Bawah Satu Sisi

Rumus:
\[\text{Lower Bound} = \hat{p} - z_{\alpha} \times SE\]

library(knitr)
library(kableExtra)

ci_table <- data.frame(
  "Confidence Level" = c("90%", "95%", "99%"),
  "Z Value" = c(1.282, 1.645, 2.330),
  "Lower Confidence Bound" = c(0.704, 0.694, 0.675),
  check.names = FALSE
)


kable(
  ci_table,
  caption = "Confidence Interval Batas Bawah Satu Sisi untuk Penggunaan Fitur Premium",
  digits = 3,
  align = "c"
) %>%
  kable_styling(
    full_width = TRUE,     # tabel tidak menciut
    bootstrap_options = c("striped", "hover", "condensed")
  ) %>%
  row_spec(0, bold = TRUE, background = "#E6E0FF") %>%  # header ungu
  column_spec(1, background = "#F4F1FF")                # kolom CI level

Confidence Interval Batas Bawah Satu Sisi untuk Penggunaan Fitur Premium
Confidence Level	Z Value	Lower Confidence Bound
90%	1.282	0.704
95%	1.645	0.694
99%	2.330	0.675

5.4 Visualisasi Lower Bound (R)

library(plotly)

ci_plot <- data.frame(
  Confidence_Level = c("90%", "95%", "99%"),
  Lower_Bound = c(0.704, 0.694, 0.675),
  Explanation = c(
    "CI 90%: Dengan tingkat kepercayaan 90%, minimal 70,4% pengguna menggunakan fitur premium.",
    "CI 95%: Dengan tingkat kepercayaan yang lebih tinggi, batas bawah penggunaan turun menjadi 69,4%.",
    "CI 99%: Tingkat kepercayaan sangat tinggi menghasilkan batas bawah yang lebih konservatif yaitu 67,5%."
  )
)

plot_ly(
  data = ci_plot,
  x = ~Confidence_Level,
  y = ~Lower_Bound,
  type = "scatter",
  mode = "markers+lines",
  marker = list(
    size = 10,
    color = "#9B8CF7"
  ),
  line = list(
    width = 2,
    color = "#6F63D9"
  ),
  text = ~Explanation,
  hoverinfo = "text"
) %>%
  layout(
    title = "Interval Kepercayaan Batas Bawah Satu Sisi untuk Penggunaan Fitur Premium",
    xaxis = list(title = "Confidence Level"),
    yaxis = list(
      title = "Batas Bawah Confidence Interval",
      range = c(0.65, 0.75)
    ),
    plot_bgcolor = "#FAF9FF",
    paper_bgcolor = "#FAF9FF"
  )

5.5 Tabel Keputusan (TARGET 70%)

library(knitr)
library(kableExtra)

decision_table <- data.frame(
  "Confidence Level" = c("90%", "95%", "99%"),
  "Lower Bound" = c(0.704, 0.694, 0.675),
  "Target 70%" = c(0.70, 0.70, 0.70),
  "Terpenuhi Secara Statistik" = c("Iya", "Tidak", "Tidak"),
  check.names = FALSE
)


kable(
  decision_table,
  caption = "Keputusan terhadap Target 70% Berdasarkan Confidence Interval Satu Sisi",
  digits = 3,
  align = "c"
) %>%
  kable_styling(
    full_width = TRUE,
    bootstrap_options = c("striped", "hover", "condensed")
  ) %>%
  row_spec(0, bold = TRUE, background = "#E6E0FF") %>%   # header ungu
  column_spec(4, bold = TRUE)

Keputusan terhadap Target 70% Berdasarkan Confidence Interval Satu Sisi
Confidence Level	Lower Bound	Target 70%	Terpenuhi Secara Statistik
90%	0.704	0.7	Iya
95%	0.694	0.7	Tidak
99%	0.675	0.7	Tidak

5.6 Kesimpulan

Pada tingkat kepercayaan 90%, batas bawah interval kepercayaan satu sisi berada di atas target 70%, sehingga target manajemen dapat dikatakan tercapai. Namun, pada tingkat kepercayaan 95% dan 99%, batas bawah berada di bawah 70%, sehingga secara statistik target tidak dapat dijamin pada tingkat kepercayaan yang lebih tinggi.

6 Referensi

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2012).
Devore, J. L. (2016).
Agresti, A., & Franklin, C. (2014).
Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018).