graph TD
Data[Dữ liệu thô - Raw Data]
Process[QUY TRÌNH THỐNG KÊ]
subgraph "THỐNG KÊ MÔ TẢ (Hiểu hiện tại)"
Desc1[Tóm tắt bằng con số]
Desc2[Trình bày bằng hình ảnh]
D1_1[Xu hướng trung tâm: Mean, Median, Mode]
D1_2[Độ phân tán: Variance, Std Dev]
D2_1[Biểu đồ: Histogram, Boxplot, Scatter]
D2_2[Bảng tần số, Bảng chéo]
end
subgraph "THỐNG KÊ SUY DIỄN (Dự báo & Kết luận)"
Inf1[Ước lượng tham số]
Inf2[Kiểm định giả thuyết]
Inf3[Mối liên hệ & Dự báo]
I1_1[Khoảng tin cậy]
I2_1[So sánh nhóm: t-test, ANOVA]
I3_1[Hồi quy & Tương quan]
end
Prob((XÁC SUẤT))
Decision{RA QUYẾT ĐỊNH}
Res1[Kết luận về Quần thể]
Res2[Dự báo tương lai]
Data --> Process
Process --> Desc1
Process --> Desc2
Desc1 --> D1_1
Desc1 --> D1_2
Desc2 --> D2_1
Desc2 --> D2_2
D1_1 --> Prob
D1_2 --> Prob
D2_1 --> Prob
D2_2 --> Prob
Prob --> Inf1
Prob --> Inf2
Prob --> Inf3
Inf1 --> I1_1
Inf2 --> I2_1
Inf3 --> I3_1
I1_1 --> Decision
I2_1 --> Decision
I3_1 --> Decision
Decision --> Res1
Decision --> Res2
style Data fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Process fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Desc1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Desc2 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style D1_1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style D1_2 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style D2_1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style D2_2 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Inf1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Inf2 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Inf3 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style I1_1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style I2_1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style I3_1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Res1 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Res2 fill:#d5e8d4,stroke:#82b366
style Prob fill:#fff2cc,stroke:#d6b656
style Decision fill:#f8cecc,stroke:#b85450
THỐNG KÊ TRONG KINH DOANH và KINH TẾ
T.M.Tường
2026-03-16
Chương 1
Giới thiệu môn học
Nội dung
- Thống kê là gì?
- Các khái niệm căn bản.
- Quy trình nghiên cứu thống kê.
Thống kê là gì?
Thống kê là một ngành khoa học nghiên cứu về việc thu thập, tổ chức, xắp xếp, tóm tắt, phân tích và trích xuất thông tin có giá trị từ dữ liệu.
- Thống kê là ĐẾM.
- Thống kê là một hệ thống các phương pháp được dùng để: Thu thập dữ liệu, tóm tắt, trình bày lại dữ liệu, tính toán các đặc trưng đo lường, vẽ đồ thị, phân tích, xây dựng mô hình, dự báo.
Lưu ý
Thống kê sẽ giúp chúng ta đưa ra những quyết định trong điều kiện không chắc chắn.
Hai nhánh chính của thống kê
- Thống kê mô tả (Descriptive statistics):
- Tóm tắt dữ liệu thông qua các con số (Trung bình, độ lệch chuẩn,…).
- Trình bày qua biểu đồ (Histogram, Pie chart,…).
- Thống kê suy diễn (Inferential statistics):
- Sử dụng dữ liệu từ mẫu để đưa ra dự đoán hoặc quyết định cho tổng thể.
Mộ số khái niệm
- Tổng thể (population): Tập hợp tất cả các đối tượng hoặc sự kiện mà ta quan tâm trong một nghiên cứu thống kê.
- Mẫu (sample): Là một phần của tổng thể được chọn để thu thập dữ liệu và phân tích.
- Biến (variable): Là một đặc điểm hoặc thuộc tính của các đối tượng trong tổng thể
- Biến định tính (Qualitative): Biến là biến mà giá trị của nó không thể hiện dưới dạng con số. (ví dụ: Giới tính, màu sắc).
- Biến định lượng (Quantitative): Là biến mà giá trị của nó được thể hiện dưới dạng con số (ví dụ: Chiều cao, cân nặng).
- Quan sát (observation): Là một phần tử của mẫu.
- Dữ liệu (data): Là thông tin được ghi nhận lại trong quá trình nghiên cứu.
- Thang đo (scale of measurement): Là cách thức và tiêu chuẩn để nhận diện dữ liệu.
- Định danh (Nominal): Được sử dụng để phân loại dữ liệu thành các nhóm không có thứ tự cụ thể.
- Thứ bậc (Ordinal): Được sử dụng để phân thứ bậc cho dữ liệu. Nhưng khoảng cách giữa các thứ bậc là không so sánh được và không tính toán được.
- Khoảng (Interval): Được sử dụng để phân thứ bậc cho dữ liệu. Nhưng khoảng cách giữa các thứ bậc là so sánh được và tính toán được.
- Tỷ lệ (Ratio): Được sử dụng để phân thứ bậc cho dữ liệu, với khoảng cách giữa các thứ bậc có thể so sánh và tính toán được và có điểm gốc tuyệt đối (zero point).
Sơ đồ chức năng
Quy trình nghiên cứu thống kê
graph TD
A[BƯỚC 1: XÁC ĐỊNH VẤN ĐỀ]
B[BƯỚC 2: LẬP KẾ HOẠCH]
C[BƯỚC 3: THU THẬP DỮ LIỆU]
D[BƯỚC 4: PHÂN TÍCH]
E[BƯỚC 5: KẾT LUẬN]
A --> B
B --> C
C --> D
D --> E
E -.->|Câu hỏi mới| A
style A fill:#d5e8d4,stroke:#82b366,stroke-width:2px
style B fill:#d5e8d4,stroke:#82b366,stroke-width:2px
style C fill:#d5e8d4,stroke:#82b366,stroke-width:2px
style D fill:#d5e8d4,stroke:#82b366,stroke-width:2px
style E fill:#d5e8d4,stroke:#82b366,stroke-width:2px
Thu thập, phân loại và tóm tắt dữ liệu
Nội dung
- Phân loại và thu thập dữ liệu.
- Trình bày dữ liệu: bảng và các loại biểu đồ
- Phương pháp Nhánh-Lá (Stem-and-Leaf)
Thu thập dữ liệu
- Điều tra toàn bộ
- Điều tra chọn mẫu
- Ngẫu nhiên
- Phân tầng
- Cụm
- Chọn mẫu phi ngẫu nhiên
- Thuận tiện
- Phán đoán
- Thu thập qua thí nghiệm
- Thu thập qua quan sát
- Dữ liệu thứ cấp: Dữ liệu từ các tổ chức, cơ quan, dữ liệu từ các nghiên cứu trước.
Phân loại dữ liệu
Dựa vào tính chất, dữ liệu được phân thành hai loại chính:
- Dữ liệu định tính (Qualitative data)
- Định danh (Nominal): Giới tính, màu sắc, quốc tịch.
- Thứ tự (Ordinal): Xếp hạng, mức độ hài lòng.
- Dữ liệu định lượng (Quantitative data)
- Rời rạc (Discrete): Số con, số học sinh.
- Liên tục (Continuous): Chiều cao, cân nặng, thời gian.
Dựa vào nguồn gốc, dữ liệu được chia làm 2 loại chính:
- Dữ liệu sơ cấp (Primary Data): Thu thập trực tiếp từ nguồn gốc.
- Dữ liệu thứ cấp (Secondary Data): Thu thập từ các nguồn đã có sẵn.
Tóm tắt và trình bày dữ liệu bằng bảng và biểu đồ
Phân tổ dữ liệu
Là việc phân chia dữ liệu thành nhiều nhóm/tổ dựa trên một hoặc một số tiêu chí. Việc phân tổ này làm cho dữ liệu ngắn gọn hơn giúp dữ liệu cung cấp nhiều thông tin hơn.
Dữ liệu
Bộ dữ liệu này sẽ được sử dụng để làm ví dụ.
STT MSSV Ho_va_ten_lot Ten Nganh Gioi_tinh Diem_TB Xep_loai
1 1 SV2025001 Trần Vy Du lịch Nữ 8.4 Giỏi
2 2 SV2025002 Hoàng Hữu Hưng Luật Nam 6.1 Trung bình
3 3 SV2025003 Phan Vy Luật Nam 8.3 Giỏi
4 4 SV2025004 Mai Tuấn QTKD Nam 6.0 Trung bình
5 5 SV2025005 Nguyễn Thanh Phúc QTKD Nữ 7.2 Khá
6 6 SV2025006 Lê Hoàng Huy Luật Nữ 7.8 Khá
7 7 SV2025007 Trần Linh QTKD Nữ 9.0 Giỏi
8 8 SV2025008 Dương Tuấn Du lịch Nam 7.2 Khá
9 9 SV2025009 Hoàng Hữu Tuấn Du lịch Nữ 6.8 Khá
10 10 SV2025010 Phan Dũng Du lịch Nam 6.8 Khá
11 11 SV2025011 Nguyễn Thanh Hùng QTKD Nữ 9.3 Xuất sắc
12 12 SV2025012 Vũ Anh Oanh Logistic Nữ 6.2 Trung bình
13 13 SV2025013 Nguyễn Thanh Hồng QTKD Nam 5.2 Trung bình
14 14 SV2025014 Phạm Thanh Huy Logistic Nữ 5.3 Trung bình
15 15 SV2025015 Nguyễn Anh Kế toán Nữ 9.3 Xuất sắc
16 16 SV2025016 Lê Khánh QTKD Nam 5.8 Trung bình
17 17 SV2025017 Mai Phúc QTKD Nữ 8.4 Giỏi
18 18 SV2025018 Dương Phương Khang Du lịch Nữ 7.3 Khá
19 19 SV2025019 Mai Thị Yến Du lịch Nữ 5.9 Trung bình
20 20 SV2025020 Nguyễn Mai Kế toán Nữ 5.0 Trung bình
21 21 SV2025021 Hoàng Hữu Khánh Du lịch Nam 8.6 Giỏi
22 22 SV2025022 Nguyễn Trần Thuận Du lịch Nam 7.0 Khá
23 23 SV2025023 Dương Nguyễn Thảo QTKD Nam 7.2 Khá
24 24 SV2025024 Ngô Hạnh Du lịch Nam 8.7 Giỏi
25 25 SV2025025 Mai Thị Khanh Logistic Nữ 8.0 Khá
26 26 SV2025026 Lê Thuận QTKD Nữ 8.4 Giỏi
27 27 SV2025027 Vũ Văn Linh QTKD Nữ 7.1 Khá
28 28 SV2025028 Ngô Thảo QTKD Nam 7.0 Khá
29 29 SV2025029 Dương Nguyễn Yến Logistic Nam 6.5 Trung bình
30 30 SV2025030 Dương Linh QTKD Nữ 5.2 Trung bình
31 31 SV2025031 Mai Thị Khanh Du lịch Nữ 8.1 Giỏi
32 32 SV2025032 Lý Phúc Kế toán Nam 7.5 Khá
33 33 SV2025033 Dương Nguyễn Hùng Du lịch Nữ 6.5 Trung bình
34 34 SV2025034 Dương Nguyễn Ánh Du lịch Nam 9.4 Xuất sắc
35 35 SV2025035 Phạm Thanh Hải Kế toán Nam 8.0 Khá
36 36 SV2025036 Phạm Thanh Anh Kế toán Nam 9.4 Xuất sắc
37 37 SV2025037 Dương Trí Du lịch Nữ 7.9 Khá
38 38 SV2025038 Nguyễn Anh Logistic Nữ 6.4 Trung bình
39 39 SV2025039 Phan Linh Luật Nam 7.3 Khá
40 40 SV2025040 Vũ Văn Yến Du lịch Nam 6.6 Khá
41 41 SV2025041 Trần Hưng Logistic Nam 8.3 Giỏi
42 42 SV2025042 Phạm Thanh Hải Logistic Nam 5.4 Trung bình
43 43 SV2025043 Nguyễn Thanh Phúc Luật Nữ 5.2 Trung bình
44 44 SV2025044 Nguyễn Trần Mai QTKD Nữ 8.0 Khá
45 45 SV2025045 Trần Thị Linh QTKD Nữ 6.1 Trung bình
46 46 SV2025046 Ngô Oanh Logistic Nam 5.4 Trung bình
47 47 SV2025047 Dương Phương Hạnh Luật Nam 5.9 Trung bình
48 48 SV2025048 Ngô Hưng Luật Nam 5.9 Trung bình
49 49 SV2025049 Dương Nguyễn Thảo Luật Nữ 7.2 Khá
50 50 SV2025050 Dương Ánh Logistic Nam 8.9 Giỏi
51 51 SV2025051 Dương Hạnh Du lịch Nam 5.6 Trung bình
52 52 SV2025052 Nguyễn Văn Phúc Kế toán Nữ 8.7 Giỏi
53 53 SV2025053 Lê Văn Trí QTKD Nữ 6.4 Trung bình
54 54 SV2025054 Dương Nguyễn Ánh Logistic Nam 8.8 Giỏi
55 55 SV2025055 Ngô Hồng Luật Nữ 6.3 Trung bình
56 56 SV2025056 Phan Lan Du lịch Nam 9.1 Xuất sắc
57 57 SV2025057 Dương Yến Kế toán Nữ 6.8 Khá
58 58 SV2025058 Lê Ánh QTKD Nữ 6.7 Khá
59 59 SV2025059 Mai Văn Hạnh Kế toán Nữ 8.3 Giỏi
60 60 SV2025060 Lý Yến Kế toán Nam 5.7 Trung bình
61 61 SV2025061 Lê Phúc Luật Nữ 5.6 Trung bình
62 62 SV2025062 Ngô Khánh Du lịch Nam 7.9 Khá
63 63 SV2025063 Dương Phương Khanh Luật Nữ 7.0 Khá
64 64 SV2025064 Phạm Thanh Khánh QTKD Nam 7.5 Khá
65 65 SV2025065 Trần Thị Dũng Du lịch Nữ 9.3 Xuất sắc
66 66 SV2025066 Dương Phương Trí Luật Nữ 5.1 Trung bình
67 67 SV2025067 Nguyễn Thanh Hải Du lịch Nam 9.1 Xuất sắc
68 68 SV2025068 Nguyễn Văn Dũng Luật Nam 7.4 Khá
69 69 SV2025069 Lý Oanh Kế toán Nam 5.7 Trung bình
70 70 SV2025070 Vũ Văn Lan Kế toán Nữ 7.2 Khá
71 71 SV2025071 Hoàng Hữu Hải Logistic Nam 7.3 Khá
72 72 SV2025072 Lê Văn Hưng Kế toán Nữ 9.5 Xuất sắc
73 73 SV2025073 Vũ Anh Phúc Luật Nữ 6.7 Khá
74 74 SV2025074 Mai Thị Lan Du lịch Nam 7.7 Khá
75 75 SV2025075 Hoàng Hữu Vy Luật Nữ 6.1 Trung bình
76 76 SV2025076 Nguyễn Văn Khánh QTKD Nữ 7.4 Khá
77 77 SV2025077 Nguyễn Văn Hồng Luật Nữ 8.9 Giỏi
78 78 SV2025078 Nguyễn Thanh Trí Kế toán Nam 7.3 Khá
79 79 SV2025079 Nguyễn Văn Dũng QTKD Nam 9.0 Giỏi
80 80 SV2025080 Mai Văn Khang QTKD Nữ 8.4 Giỏi
81 81 SV2025081 Mai Văn Yến Logistic Nam 6.2 Trung bình
82 82 SV2025082 Trần Thảo Logistic Nam 5.0 Trung bình
83 83 SV2025083 Lê Hoàng Oanh Kế toán Nam 8.2 Giỏi
84 84 SV2025084 Ngô Ánh Kế toán Nữ 7.3 Khá
85 85 SV2025085 Trần Thị Dũng Kế toán Nữ 7.9 Khá
86 86 SV2025086 Lê Thị Vy Luật Nữ 9.1 Xuất sắc
87 87 SV2025087 Dương Vy QTKD Nam 8.7 Giỏi
88 88 SV2025088 Lý Thảo Luật Nam 8.3 Giỏi
89 89 SV2025089 Trần Hải Luật Nữ 7.1 Khá
90 90 SV2025090 Phan Khánh QTKD Nữ 6.7 Khá
91 91 SV2025091 Nguyễn Linh Logistic Nữ 6.0 Trung bình
92 92 SV2025092 Nguyễn Hải Logistic Nam 7.0 Khá
93 93 SV2025093 Hoàng Hữu Hưng QTKD Nam 8.3 Giỏi
94 94 SV2025094 Vũ Văn Hồng Du lịch Nữ 9.1 Xuất sắc
95 95 SV2025095 Nguyễn Thanh Thảo Luật Nữ 5.3 Trung bình
96 96 SV2025096 Trần Thị Vy Kế toán Nam 7.4 Khá
97 97 SV2025097 Lê Thị Vy Du lịch Nữ 8.2 Giỏi
98 98 SV2025098 Lê Thị Lan Kế toán Nữ 7.6 Khá
99 99 SV2025099 Vũ Văn Ánh QTKD Nữ 6.6 Khá
100 100 SV2025100 Lê Linh Kế toán Nữ 7.4 Khá
101 101 SV2025101 Phan Lan Luật Nam 5.1 Trung bình
102 102 SV2025102 Vũ Văn Hưng QTKD Nam 9.0 Giỏi
103 103 SV2025103 Nguyễn Hạnh Kế toán Nữ 9.5 Xuất sắc
104 104 SV2025104 Dương Nguyễn Thảo Logistic Nam 8.1 Giỏi
105 105 SV2025105 Nguyễn Văn Ánh QTKD Nữ 5.1 Trung bình
106 106 SV2025106 Vũ Anh Huy Logistic Nữ 5.7 Trung bình
107 107 SV2025107 Trần Thị Mai QTKD Nam 9.5 Xuất sắc
108 108 SV2025108 Nguyễn Thanh Anh Du lịch Nữ 8.5 Giỏi
109 109 SV2025109 Vũ Văn Vy Du lịch Nữ 7.0 Khá
110 110 SV2025110 Vũ Anh Hạnh QTKD Nữ 5.5 Trung bình
111 111 SV2025111 Phan Khanh QTKD Nam 5.1 Trung bình
112 112 SV2025112 Dương Phương Hùng QTKD Nữ 9.1 Xuất sắc
113 113 SV2025113 Lê Hoàng Thuận QTKD Nữ 6.4 Trung bình
114 114 SV2025114 Vũ Văn Hải Luật Nữ 8.7 Giỏi
115 115 SV2025115 Phan Vy Kế toán Nữ 7.3 Khá
116 116 SV2025116 Nguyễn Trần Lan Luật Nữ 8.2 Giỏi
117 117 SV2025117 Vũ Anh Trí Du lịch Nữ 8.1 Giỏi
118 118 SV2025118 Lê Hoàng Oanh QTKD Nữ 8.0 Khá
119 119 SV2025119 Dương Phương Lan Kế toán Nam 8.7 Giỏi
120 120 SV2025120 Nguyễn Trần Anh Logistic Nữ 8.7 Giỏi
121 121 SV2025121 Dương Nguyễn Hùng Logistic Nữ 6.9 Khá
122 122 SV2025122 Nguyễn Thanh Mai Logistic Nam 8.4 Giỏi
123 123 SV2025123 Vũ Văn Trí QTKD Nữ 6.2 Trung bình
124 124 SV2025124 Nguyễn Anh Du lịch Nữ 7.3 Khá
125 125 SV2025125 Vũ Anh Khanh Du lịch Nữ 5.8 Trung bình
126 126 SV2025126 Mai Ánh QTKD Nam 8.4 Giỏi
127 127 SV2025127 Mai Văn Lan Luật Nữ 7.8 Khá
128 128 SV2025128 Nguyễn Dũng Luật Nữ 7.0 Khá
129 129 SV2025129 Dương Nguyễn Hưng Luật Nữ 5.1 Trung bình
130 130 SV2025130 Lê Hoàng Hạnh Luật Nữ 6.7 Khá
131 131 SV2025131 Dương Vy QTKD Nữ 7.1 Khá
132 132 SV2025132 Lý Dũng QTKD Nữ 5.9 Trung bình
133 133 SV2025133 Lê Thị Khanh QTKD Nữ 7.9 Khá
134 134 SV2025134 Dương Nguyễn Vy Kế toán Nữ 7.9 Khá
135 135 SV2025135 Mai Huy Kế toán Nam 7.3 Khá
136 136 SV2025136 Lê Thị Anh QTKD Nam 7.1 Khá
137 137 SV2025137 Vũ Văn Hồng Luật Nam 5.5 Trung bình
138 138 SV2025138 Dương Trí Kế toán Nữ 8.6 Giỏi
139 139 SV2025139 Nguyễn Yến Logistic Nữ 8.2 Giỏi
140 140 SV2025140 Phạm Thanh Tuấn Luật Nữ 7.2 Khá
141 141 SV2025141 Ngô Hồng QTKD Nam 8.9 Giỏi
142 142 SV2025142 Lê Văn Khanh Logistic Nữ 9.1 Xuất sắc
143 143 SV2025143 Phạm Thanh Yến Kế toán Nữ 5.3 Trung bình
144 144 SV2025144 Lê Thị Khanh QTKD Nam 6.6 Khá
145 145 SV2025145 Vũ Văn Anh Luật Nữ 8.6 Giỏi
146 146 SV2025146 Dương Hải Du lịch Nữ 5.2 Trung bình
147 147 SV2025147 Lê Văn Phúc Du lịch Nữ 5.1 Trung bình
148 148 SV2025148 Dương Trí Logistic Nữ 6.6 Khá
149 149 SV2025149 Lê Thị Oanh QTKD Nữ 6.3 Trung bình
150 150 SV2025150 Trần Hồng Logistic Nữ 9.4 Xuất sắc
151 151 SV2025151 Nguyễn Thanh Phúc QTKD Nam 8.0 Khá
152 152 SV2025152 Phạm Thanh Hùng QTKD Nữ 8.8 Giỏi
153 153 SV2025153 Trần Khanh QTKD Nữ 9.1 Xuất sắc
154 154 SV2025154 Phan Hải Kế toán Nam 5.9 Trung bình
155 155 SV2025155 Trần Trí QTKD Nữ 7.2 Khá
156 156 SV2025156 Vũ Văn Thảo QTKD Nữ 5.5 Trung bình
157 157 SV2025157 Dương Phương Dũng Logistic Nam 6.3 Trung bình
158 158 SV2025158 Hoàng Hữu Trí Luật Nam 5.1 Trung bình
159 159 SV2025159 Vũ Anh Khang Logistic Nữ 7.0 Khá
160 160 SV2025160 Dương Nguyễn Tuấn Du lịch Nam 5.1 Trung bình
161 161 SV2025161 Phan Tuấn Du lịch Nam 5.6 Trung bình
162 162 SV2025162 Hoàng Hữu Vy Luật Nữ 5.0 Trung bình
163 163 SV2025163 Dương Phương Dũng QTKD Nữ 8.4 Giỏi
164 164 SV2025164 Lê Phúc Kế toán Nữ 8.8 Giỏi
165 165 SV2025165 Trần Linh Logistic Nam 8.6 Giỏi
166 166 SV2025166 Trần Thị Yến Kế toán Nữ 8.7 Giỏi
167 167 SV2025167 Mai Thị Phúc QTKD Nam 5.1 Trung bình
168 168 SV2025168 Mai Thị Yến QTKD Nữ 5.5 Trung bình
169 169 SV2025169 Nguyễn Văn Khanh Luật Nam 6.1 Trung bình
170 170 SV2025170 Lê Hoàng Yến Luật Nam 7.2 Khá
171 171 SV2025171 Hoàng Hữu Linh Kế toán Nữ 7.4 Khá
172 172 SV2025172 Hoàng Hữu Khang QTKD Nam 7.1 Khá
173 173 SV2025173 Nguyễn Khanh Kế toán Nữ 9.1 Xuất sắc
174 174 SV2025174 Phạm Thanh Hạnh Kế toán Nam 9.2 Xuất sắc
175 175 SV2025175 Phạm Thanh Trí Du lịch Nữ 5.7 Trung bình
176 176 SV2025176 Lê Hoàng Phúc Luật Nam 5.3 Trung bình
177 177 SV2025177 Dương Phúc QTKD Nữ 5.5 Trung bình
178 178 SV2025178 Trần Thị Trí Du lịch Nam 5.8 Trung bình
179 179 SV2025179 Nguyễn Văn Thảo Logistic Nữ 7.7 Khá
180 180 SV2025180 Phan Anh Kế toán Nam 8.0 Khá
181 181 SV2025181 Dương Phương Hải QTKD Nữ 6.4 Trung bình
182 182 SV2025182 Hoàng Hữu Trí Luật Nam 7.6 Khá
183 183 SV2025183 Mai Văn Thuận Luật Nam 8.1 Giỏi
184 184 SV2025184 Nguyễn Văn Phúc Luật Nam 5.2 Trung bình
185 185 SV2025185 Nguyễn Trí QTKD Nam 6.9 Khá
186 186 SV2025186 Lý Yến QTKD Nữ 9.3 Xuất sắc
187 187 SV2025187 Vũ Văn Hùng Luật Nữ 6.4 Trung bình
188 188 SV2025188 Nguyễn Văn Hùng QTKD Nam 5.7 Trung bình
189 189 SV2025189 Mai Thị Ánh Logistic Nam 9.4 Xuất sắc
190 190 SV2025190 Ngô Lan QTKD Nữ 9.1 Xuất sắc
191 191 SV2025191 Lê Thị Hùng Kế toán Nữ 8.1 Giỏi
192 192 SV2025192 Nguyễn Trần Thảo Logistic Nữ 5.7 Trung bình
193 193 SV2025193 Lê Thị Anh Du lịch Nam 6.4 Trung bình
194 194 SV2025194 Nguyễn Văn Tuấn Kế toán Nữ 5.1 Trung bình
195 195 SV2025195 Lê Văn Tuấn Logistic Nam 6.2 Trung bình
196 196 SV2025196 Mai Thị Oanh Kế toán Nam 5.7 Trung bình
197 197 SV2025197 Dương Hùng Luật Nam 6.8 Khá
198 198 SV2025198 Dương Vy Luật Nữ 7.6 Khá
199 199 SV2025199 Nguyễn Trần Thuận Luật Nữ 8.1 Giỏi
200 200 SV2025200 Trần Thị Vy Du lịch Nam 7.7 Khá
201 201 SV2025201 Nguyễn Hồng Logistic Nữ 8.7 Giỏi
202 202 SV2025202 Nguyễn Trần Hưng QTKD Nam 6.6 Khá
203 203 SV2025203 Nguyễn Thanh Khang QTKD Nữ 5.6 Trung bình
204 204 SV2025204 Lê Hoàng Trí QTKD Nam 8.2 Giỏi
205 205 SV2025205 Vũ Anh Mai Logistic Nữ 9.5 Xuất sắc
206 206 SV2025206 Dương Phương Hùng Logistic Nam 7.9 Khá
207 207 SV2025207 Hoàng Hữu Hồng Du lịch Nữ 6.1 Trung bình
208 208 SV2025208 Phan Lan Kế toán Nam 6.4 Trung bình
209 209 SV2025209 Nguyễn Thanh Anh Kế toán Nữ 7.1 Khá
210 210 SV2025210 Trần Thị Khang Logistic Nữ 8.3 Giỏi
211 211 SV2025211 Phạm Thanh Khang Logistic Nam 8.9 Giỏi
212 212 SV2025212 Phạm Thanh Ánh QTKD Nam 7.6 Khá
213 213 SV2025213 Nguyễn Văn Vy QTKD Nam 7.7 Khá
214 214 SV2025214 Lê Thị Hùng Kế toán Nam 5.0 Trung bình
215 215 SV2025215 Mai Văn Tuấn Du lịch Nam 6.4 Trung bình
216 216 SV2025216 Phan Hạnh QTKD Nữ 8.7 Giỏi
217 217 SV2025217 Lê Thị Huy Luật Nữ 6.7 Khá
218 218 SV2025218 Mai Thị Hùng Logistic Nam 9.4 Xuất sắc
219 219 SV2025219 Ngô Oanh Logistic Nam 8.3 Giỏi
220 220 SV2025220 Trần Hưng QTKD Nam 9.1 Xuất sắc
221 221 SV2025221 Trần Tuấn QTKD Nữ 6.6 Khá
222 222 SV2025222 Phan Lan Luật Nữ 7.1 Khá
223 223 SV2025223 Vũ Anh Thuận Luật Nam 6.1 Trung bình
224 224 SV2025224 Dương Nguyễn Huy Luật Nữ 6.7 Khá
225 225 SV2025225 Mai Hùng Kế toán Nam 6.6 Khá
226 226 SV2025226 Phạm Thanh Trí Luật Nữ 7.9 Khá
227 227 SV2025227 Dương Tuấn Luật Nam 5.1 Trung bình
228 228 SV2025228 Vũ Anh Ánh Luật Nam 5.9 Trung bình
229 229 SV2025229 Ngô Khanh Kế toán Nữ 6.7 Khá
230 230 SV2025230 Vũ Anh Khang QTKD Nam 5.8 Trung bình
231 231 SV2025231 Lê Văn Hùng Du lịch Nam 7.2 Khá
232 232 SV2025232 Trần Hưng Du lịch Nữ 9.4 Xuất sắc
233 233 SV2025233 Phan Hùng Luật Nữ 7.4 Khá
234 234 SV2025234 Vũ Văn Vy Kế toán Nam 8.2 Giỏi
235 235 SV2025235 Trần Thảo Kế toán Nữ 7.3 Khá
236 236 SV2025236 Lê Thị Khang Logistic Nữ 8.3 Giỏi
237 237 SV2025237 Phạm Thanh Dũng Luật Nữ 9.4 Xuất sắc
238 238 SV2025238 Mai Văn Trí QTKD Nam 7.9 Khá
239 239 SV2025239 Trần Thị Ánh Logistic Nam 8.9 Giỏi
240 240 SV2025240 Lê Hoàng Thảo QTKD Nam 5.4 Trung bình
241 241 SV2025241 Trần Yến QTKD Nam 8.7 Giỏi
242 242 SV2025242 Dương Phương Dũng Logistic Nữ 5.5 Trung bình
243 243 SV2025243 Mai Văn Huy Luật Nam 6.6 Khá
244 244 SV2025244 Lý Tuấn Kế toán Nam 9.2 Xuất sắc
245 245 SV2025245 Nguyễn Trần Khánh Logistic Nam 8.6 Giỏi
246 246 SV2025246 Nguyễn Văn Hạnh Du lịch Nam 5.5 Trung bình
247 247 SV2025247 Lê Văn Khanh Luật Nữ 7.6 Khá
248 248 SV2025248 Phan Ánh QTKD Nữ 6.0 Trung bình
249 249 SV2025249 Lý Trí Luật Nữ 7.5 Khá
250 250 SV2025250 Mai Văn Vy QTKD Nam 7.3 Khá
251 251 SV2025251 Vũ Văn Tuấn Du lịch Nữ 6.0 Trung bình
252 252 SV2025252 Lê Ánh Du lịch Nam 7.8 Khá
253 253 SV2025253 Lê Hoàng Yến Luật Nữ 6.2 Trung bình
254 254 SV2025254 Vũ Văn Phúc QTKD Nữ 8.9 Giỏi
255 255 SV2025255 Vũ Văn Thuận QTKD Nữ 7.4 Khá
256 256 SV2025256 Dương Nguyễn Thuận Du lịch Nữ 7.9 Khá
257 257 SV2025257 Nguyễn Mai Du lịch Nam 9.4 Xuất sắc
258 258 SV2025258 Nguyễn Hạnh QTKD Nữ 6.0 Trung bình
259 259 SV2025259 Dương Nguyễn Vy Luật Nữ 9.2 Xuất sắc
260 260 SV2025260 Mai Văn Khanh QTKD Nữ 7.2 Khá
261 261 SV2025261 Nguyễn Trần Hạnh QTKD Nữ 5.6 Trung bình
262 262 SV2025262 Trần Thị Khanh QTKD Nam 6.2 Trung bình
263 263 SV2025263 Nguyễn Hạnh Logistic Nữ 7.3 Khá
264 264 SV2025264 Lê Thị Hùng Kế toán Nữ 5.4 Trung bình
265 265 SV2025265 Nguyễn Văn Hồng Du lịch Nữ 8.5 Giỏi
266 266 SV2025266 Lê Thị Dũng Logistic Nữ 5.9 Trung bình
267 267 SV2025267 Phạm Thanh Phúc QTKD Nam 7.3 Khá
268 268 SV2025268 Nguyễn Văn Dũng Luật Nam 7.1 Khá
269 269 SV2025269 Lê Văn Thuận Du lịch Nữ 5.7 Trung bình
270 270 SV2025270 Hoàng Hữu Khanh Logistic Nam 5.7 Trung bình
271 271 SV2025271 Mai Tuấn Luật Nam 8.7 Giỏi
272 272 SV2025272 Lê Hoàng Thảo QTKD Nam 5.8 Trung bình
273 273 SV2025273 Dương Tuấn Kế toán Nam 8.7 Giỏi
274 274 SV2025274 Dương Phương Ánh Luật Nam 6.5 Trung bình
275 275 SV2025275 Nguyễn Thanh Ánh QTKD Nữ 6.5 Trung bình
276 276 SV2025276 Hoàng Hữu Anh Luật Nam 7.9 Khá
277 277 SV2025277 Trần Thị Thảo QTKD Nam 9.2 Xuất sắc
278 278 SV2025278 Mai Thị Phúc Luật Nam 7.3 Khá
279 279 SV2025279 Nguyễn Trần Thảo Kế toán Nữ 7.4 Khá
280 280 SV2025280 Dương Hưng Du lịch Nam 8.6 Giỏi
281 281 SV2025281 Trần Phúc QTKD Nữ 6.0 Trung bình
282 282 SV2025282 Trần Thị Mai Du lịch Nam 7.9 Khá
283 283 SV2025283 Trần Thị Anh Du lịch Nữ 9.0 Giỏi
284 284 SV2025284 Lê Hoàng Hồng Logistic Nữ 7.0 Khá
285 285 SV2025285 Dương Oanh Luật Nữ 6.9 Khá
286 286 SV2025286 Mai Anh Kế toán Nữ 9.4 Xuất sắc
287 287 SV2025287 Ngô Oanh Luật Nam 7.1 Khá
288 288 SV2025288 Lê Văn Dũng Luật Nam 7.5 Khá
289 289 SV2025289 Hoàng Hữu Oanh QTKD Nữ 5.3 Trung bình
290 290 SV2025290 Dương Phương Lan Logistic Nam 5.3 Trung bình
291 291 SV2025291 Dương Nguyễn Huy Logistic Nam 8.4 Giỏi
292 292 SV2025292 Hoàng Hữu Hùng Logistic Nữ 8.9 Giỏi
293 293 SV2025293 Mai Thị Thảo Logistic Nam 6.1 Trung bình
294 294 SV2025294 Trần Thị Trí QTKD Nữ 7.2 Khá
295 295 SV2025295 Trần Thị Khánh Luật Nam 7.1 Khá
296 296 SV2025296 Nguyễn Trần Trí Luật Nam 5.4 Trung bình
297 297 SV2025297 Lê Oanh Kế toán Nữ 5.8 Trung bình
298 298 SV2025298 Mai Văn Linh Kế toán Nam 5.9 Trung bình
299 299 SV2025299 Mai Thị Yến Luật Nam 5.1 Trung bình
300 300 SV2025300 Phạm Thanh Yến Logistic Nam 6.0 Trung bình
301 301 SV2025301 Nguyễn Oanh QTKD Nữ 7.6 Khá
302 302 SV2025302 Lý Mai QTKD Nam 7.3 Khá
303 303 SV2025303 Vũ Anh Thảo Du lịch Nữ 8.9 Giỏi
304 304 SV2025304 Lê Hoàng Phúc Du lịch Nữ 8.5 Giỏi
305 305 SV2025305 Nguyễn Ánh Du lịch Nữ 7.7 Khá
306 306 SV2025306 Vũ Anh Trí Luật Nam 9.5 Xuất sắc
307 307 SV2025307 Trần Vy QTKD Nữ 5.4 Trung bình
308 308 SV2025308 Dương Phương Yến Logistic Nam 9.0 Giỏi
309 309 SV2025309 Mai Thị Hải QTKD Nam 8.1 Giỏi
310 310 SV2025310 Trần Thị Phúc Kế toán Nam 7.0 Khá
311 311 SV2025311 Mai Thị Hạnh QTKD Nữ 6.4 Trung bình
312 312 SV2025312 Lê Thị Vy Kế toán Nam 8.4 Giỏi
313 313 SV2025313 Dương Linh QTKD Nam 8.8 Giỏi
314 314 SV2025314 Ngô Trí QTKD Nam 5.1 Trung bình
315 315 SV2025315 Dương Hạnh QTKD Nữ 8.9 Giỏi
316 316 SV2025316 Phạm Thanh Hồng QTKD Nam 5.2 Trung bình
317 317 SV2025317 Ngô Anh QTKD Nam 6.2 Trung bình
318 318 SV2025318 Mai Tuấn Logistic Nam 5.0 Trung bình
319 319 SV2025319 Hoàng Hữu Huy Luật Nữ 8.9 Giỏi
320 320 SV2025320 Ngô Vy Luật Nữ 8.7 Giỏi
321 321 SV2025321 Lý Huy Logistic Nữ 8.1 Giỏi
322 322 SV2025322 Lê Tuấn Du lịch Nữ 8.7 Giỏi
323 323 SV2025323 Lê Văn Vy Du lịch Nữ 7.5 Khá
324 324 SV2025324 Dương Nguyễn Hạnh Du lịch Nam 6.8 Khá
325 325 SV2025325 Dương Khanh QTKD Nam 7.8 Khá
326 326 SV2025326 Phạm Thanh Dũng Luật Nam 7.6 Khá
327 327 SV2025327 Nguyễn Ánh Logistic Nam 5.0 Trung bình
328 328 SV2025328 Nguyễn Văn Hùng Logistic Nam 7.8 Khá
329 329 SV2025329 Nguyễn Trần Ánh Du lịch Nam 7.5 Khá
330 330 SV2025330 Mai Thị Trí Logistic Nam 8.1 Giỏi
331 331 SV2025331 Phạm Thanh Hạnh QTKD Nam 6.7 Khá
332 332 SV2025332 Mai Văn Oanh Luật Nam 8.1 Giỏi
333 333 SV2025333 Lê Thị Huy QTKD Nữ 8.2 Giỏi
334 334 SV2025334 Phan Yến Du lịch Nữ 6.0 Trung bình
335 335 SV2025335 Vũ Anh Ánh Logistic Nữ 6.9 Khá
336 336 SV2025336 Trần Hưng Luật Nữ 7.6 Khá
337 337 SV2025337 Phạm Thanh Khanh Kế toán Nữ 7.5 Khá
338 338 SV2025338 Vũ Văn Lan Du lịch Nam 5.5 Trung bình
339 339 SV2025339 Nguyễn Trần Vy Du lịch Nam 9.3 Xuất sắc
340 340 SV2025340 Nguyễn Oanh QTKD Nam 7.0 Khá
341 341 SV2025341 Trần Thị Anh Luật Nữ 5.6 Trung bình
342 342 SV2025342 Lý Huy QTKD Nữ 7.1 Khá
343 343 SV2025343 Nguyễn Thanh Yến Luật Nữ 7.6 Khá
344 344 SV2025344 Ngô Hạnh Logistic Nam 6.4 Trung bình
345 345 SV2025345 Phan Thuận Luật Nữ 8.6 Giỏi
346 346 SV2025346 Lê Vy Logistic Nam 8.2 Giỏi
347 347 SV2025347 Mai Hùng Du lịch Nam 8.2 Giỏi
348 348 SV2025348 Ngô Khang Luật Nữ 7.1 Khá
349 349 SV2025349 Hoàng Hữu Hồng QTKD Nam 7.0 Khá
350 350 SV2025350 Nguyễn Văn Yến Logistic Nam 5.5 Trung bình
351 351 SV2025351 Mai Văn Hạnh Kế toán Nam 5.6 Trung bình
352 352 SV2025352 Lê Tuấn QTKD Nữ 7.6 Khá
353 353 SV2025353 Nguyễn Văn Khánh QTKD Nữ 5.6 Trung bình
354 354 SV2025354 Vũ Văn Phúc QTKD Nam 8.0 Khá
355 355 SV2025355 Dương Phương Thuận Kế toán Nam 6.6 Khá
356 356 SV2025356 Nguyễn Thanh Trí Luật Nam 6.9 Khá
357 357 SV2025357 Phạm Thanh Phúc Kế toán Nam 9.1 Xuất sắc
358 358 SV2025358 Vũ Văn Khang QTKD Nam 7.1 Khá
359 359 SV2025359 Lê Thị Khánh QTKD Nam 7.6 Khá
360 360 SV2025360 Lý Oanh Luật Nam 7.8 Khá
361 361 SV2025361 Phạm Thanh Thảo Kế toán Nữ 8.6 Giỏi
362 362 SV2025362 Phan Dũng Du lịch Nữ 6.7 Khá
363 363 SV2025363 Hoàng Hữu Thảo Luật Nữ 7.2 Khá
364 364 SV2025364 Nguyễn Văn Hùng Logistic Nam 9.3 Xuất sắc
365 365 SV2025365 Trần Thị Huy Logistic Nam 7.1 Khá
366 366 SV2025366 Mai Thị Khánh Luật Nam 5.3 Trung bình
367 367 SV2025367 Phan Khanh QTKD Nữ 5.2 Trung bình
368 368 SV2025368 Lê Văn Thảo Logistic Nữ 7.3 Khá
369 369 SV2025369 Vũ Anh Trí Luật Nữ 5.1 Trung bình
370 370 SV2025370 Vũ Anh Yến QTKD Nữ 7.3 Khá
371 371 SV2025371 Nguyễn Văn Oanh Luật Nam 5.4 Trung bình
372 372 SV2025372 Hoàng Hữu Hồng Luật Nữ 7.3 Khá
373 373 SV2025373 Mai Thị Mai QTKD Nữ 9.3 Xuất sắc
374 374 SV2025374 Nguyễn Trần Thuận Du lịch Nữ 8.6 Giỏi
375 375 SV2025375 Dương Phương Hồng QTKD Nữ 6.6 Khá
376 376 SV2025376 Dương Tuấn QTKD Nam 6.9 Khá
377 377 SV2025377 Ngô Thảo Luật Nam 5.4 Trung bình
378 378 SV2025378 Nguyễn Thanh Vy Logistic Nữ 8.5 Giỏi
379 379 SV2025379 Nguyễn Trần Mai QTKD Nữ 7.7 Khá
380 380 SV2025380 Trần Thị Trí Luật Nữ 7.4 Khá
381 381 SV2025381 Nguyễn Văn Anh Luật Nữ 5.9 Trung bình
382 382 SV2025382 Mai Thị Thảo Kế toán Nam 7.0 Khá
383 383 SV2025383 Mai Văn Oanh Logistic Nam 7.2 Khá
384 384 SV2025384 Mai Văn Hưng Du lịch Nam 7.3 Khá
385 385 SV2025385 Nguyễn Thanh Dũng Du lịch Nam 6.4 Trung bình
386 386 SV2025386 Mai Văn Hùng QTKD Nữ 9.4 Xuất sắc
387 387 SV2025387 Dương Phương Vy QTKD Nam 8.2 Giỏi
388 388 SV2025388 Mai Linh Luật Nam 8.0 Khá
389 389 SV2025389 Mai Thị Khang QTKD Nữ 6.4 Trung bình
390 390 SV2025390 Ngô Khanh QTKD Nam 7.6 Khá
391 391 SV2025391 Lê Huy QTKD Nữ 7.0 Khá
392 392 SV2025392 Trần Thị Hùng Luật Nam 7.9 Khá
393 393 SV2025393 Nguyễn Trần Linh Du lịch Nam 5.2 Trung bình
394 394 SV2025394 Lê Thị Anh QTKD Nữ 7.2 Khá
395 395 SV2025395 Lê Văn Ánh QTKD Nữ 5.8 Trung bình
396 396 SV2025396 Dương Yến QTKD Nữ 8.9 Giỏi
397 397 SV2025397 Vũ Anh Hùng Kế toán Nam 9.5 Xuất sắc
398 398 SV2025398 Vũ Văn Khánh QTKD Nam 7.0 Khá
399 399 SV2025399 Vũ Anh Yến Kế toán Nữ 5.5 Trung bình
400 400 SV2025400 Nguyễn Thanh Khanh Logistic Nữ 8.9 Giỏi
401 401 SV2025401 Vũ Văn Huy QTKD Nữ 5.6 Trung bình
402 402 SV2025402 Lê Văn Tuấn Luật Nữ 5.1 Trung bình
403 403 SV2025403 Vũ Văn Thảo QTKD Nam 7.0 Khá
404 404 SV2025404 Nguyễn Văn Lan Luật Nam 7.7 Khá
405 405 SV2025405 Mai Khánh Kế toán Nữ 8.0 Khá
406 406 SV2025406 Lý Ánh QTKD Nữ 5.5 Trung bình
407 407 SV2025407 Phạm Thanh Hưng Kế toán Nam 5.6 Trung bình
408 408 SV2025408 Dương Phương Khánh QTKD Nữ 6.7 Khá
409 409 SV2025409 Mai Văn Phúc Kế toán Nữ 6.2 Trung bình
410 410 SV2025410 Nguyễn Trần Hồng Luật Nam 9.4 Xuất sắc
411 411 SV2025411 Ngô Thuận Kế toán Nam 6.0 Trung bình
412 412 SV2025412 Dương Huy QTKD Nữ 8.9 Giỏi
413 413 SV2025413 Phan Khánh Logistic Nữ 8.9 Giỏi
414 414 SV2025414 Ngô Khanh Logistic Nữ 8.5 Giỏi
415 415 SV2025415 Hoàng Hữu Oanh Du lịch Nữ 6.3 Trung bình
416 416 SV2025416 Lê Yến QTKD Nữ 8.7 Giỏi
417 417 SV2025417 Nguyễn Hải QTKD Nữ 9.0 Giỏi
418 418 SV2025418 Lê Mai Kế toán Nam 6.3 Trung bình
Khu_vuc_sinh_song Loi_ho_so
1 Nội thành Thiếu hình
2 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
3 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
4 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
5 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
6 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
7 Nội thành Thiếu hình
8 Ngoại thành Sai thông tin
9 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
10 Ngoại thành Thiếu hình
11 Ngoại thành Thiếu hình
12 Nội thành Thiếu hình
13 Nội thành Thiếu hình
14 Nội thành Thiếu hình
15 Nội thành Thiếu hình
16 Nội thành Thiếu hình
17 Ngoại thành Thiếu hình
18 Ngoại thành Thiếu hình
19 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
20 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
21 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
22 Ngoại thành Sai thông tin
23 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
24 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
25 Ngoại thành Sai thông tin
26 Nội thành Thiếu hình
27 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
28 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
29 Ngoại thành Thiếu hình
30 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
31 Ngoại thành Thiếu hình
32 Nội thành Thiếu hình
33 Ngoại thành Thiếu hình
34 Nội thành Thiếu hình
35 Nội thành Học phí
36 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
37 Nội thành Thiếu hình
38 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
39 Nội thành Thiếu hình
40 Ngoại thành Thiếu hình
41 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
42 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
43 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
44 Nội thành Thiếu hình
45 Ngoại thành Thiếu hình
46 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
47 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
48 Ngoại thành Thiếu hình
49 Ngoại thành Thiếu hình
50 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
51 Nội thành Thiếu hình
52 Nội thành Thiếu hình
53 Ngoại thành Thiếu hình
54 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
55 Ngoại thành Sai thông tin
56 Ngoại thành Thiếu hình
57 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
58 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
59 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
60 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
61 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
62 Ngoại thành Thiếu hình
63 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
64 Nội thành Thiếu hình
65 Ngoại thành Thiếu hình
66 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
67 Nội thành Học phí
68 Nội thành Sai thông tin
69 Ngoại thành Thiếu hình
70 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
71 Ngoại thành Học phí
72 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
73 Ngoại thành Thiếu hình
74 Ngoại thành Sai thông tin
75 Nội thành Thiếu hình
76 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
77 Nội thành Thiếu hình
78 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
79 Nội thành Thiếu hình
80 Ngoại thành Thiếu hình
81 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
82 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
83 Nội thành Thiếu hình
84 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
85 Ngoại thành Thiếu hình
86 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
87 Nội thành Thiếu hình
88 Nội thành Sai thông tin
89 Nội thành Thiếu hình
90 Nội thành Thiếu hình
91 Ngoại thành Thiếu hình
92 Ngoại thành Thiếu hình
93 Ngoại thành Thiếu hình
94 Nội thành Học phí
95 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
96 Ngoại thành Thiếu hình
97 Nội thành Học phí
98 Ngoại thành Học phí
99 Nội thành Sai thông tin
100 Ngoại thành Thiếu hình
101 Ngoại thành Thiếu hình
102 Ngoại thành Thiếu hình
103 Ngoại thành Thiếu hình
104 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
105 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
106 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
107 Nội thành Thiếu hình
108 Ngoại thành Thiếu hình
109 Ngoại thành Thiếu hình
110 Ngoại thành Thiếu hình
111 Ngoại thành Thiếu hình
112 Ngoại thành Học phí
113 Ngoại thành Thiếu hình
114 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
115 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
116 Ngoại thành Thiếu hình
117 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
118 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
119 Ngoại thành Thiếu hình
120 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
121 Ngoại thành Thiếu hình
122 Nội thành Thiếu hình
123 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
124 Ngoại thành Thiếu hình
125 Ngoại thành Thiếu hình
126 Ngoại thành Thiếu hình
127 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
128 Nội thành Thiếu hình
129 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
130 Nội thành Thiếu hình
131 Ngoại thành Thiếu hình
132 Nội thành Sai thông tin
133 Nội thành Thiếu hình
134 Ngoại thành Thiếu hình
135 Nội thành Thiếu hình
136 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
137 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
138 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
139 Nội thành Thiếu hình
140 Ngoại thành Thiếu hình
141 Ngoại thành Thiếu hình
142 Ngoại thành Thiếu hình
143 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
144 Nội thành Thiếu hình
145 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
146 Nội thành Sai thông tin
147 Ngoại thành Học phí
148 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
149 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
150 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
151 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
152 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
153 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
154 Nội thành Thiếu hình
155 Nội thành Thiếu hình
156 Nội thành Thiếu hình
157 Nội thành Thiếu hình
158 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
159 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
160 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
161 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
162 Ngoại thành Thiếu hình
163 Nội thành Thiếu hình
164 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
165 Ngoại thành Thiếu hình
166 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
167 Nội thành Thiếu hình
168 Ngoại thành Thiếu hình
169 Nội thành Thiếu hình
170 Nội thành Thiếu hình
171 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
172 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
173 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
174 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
175 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
176 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
177 Nội thành Thiếu hình
178 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
179 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
180 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
181 Ngoại thành Thiếu hình
182 Nội thành Sai thông tin
183 Nội thành Thiếu hình
184 Nội thành Thiếu hình
185 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
186 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
187 Nội thành Sai thông tin
188 Ngoại thành Thiếu hình
189 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
190 Nội thành Thiếu hình
191 Nội thành Thiếu hình
192 Ngoại thành Thiếu hình
193 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
194 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
195 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
196 Ngoại thành Thiếu hình
197 Nội thành Thiếu hình
198 Nội thành Thiếu hình
199 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
200 Ngoại thành Thiếu hình
201 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
202 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
203 Nội thành Sai thông tin
204 Nội thành Sai thông tin
205 Ngoại thành Sai thông tin
206 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
207 Nội thành Thiếu hình
208 Ngoại thành Thiếu hình
209 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
210 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
211 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
212 Nội thành Thiếu hình
213 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
214 Ngoại thành Thiếu hình
215 Nội thành Thiếu hình
216 Ngoại thành Thiếu hình
217 Nội thành Thiếu hình
218 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
219 Ngoại thành Thiếu hình
220 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
221 Nội thành Thiếu hình
222 Ngoại thành Thiếu hình
223 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
224 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
225 Nội thành Thiếu hình
226 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
227 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
228 Ngoại thành Thiếu hình
229 Nội thành Thiếu hình
230 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
231 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
232 Nội thành Sai thông tin
233 Nội thành Thiếu hình
234 Nội thành Thiếu hình
235 Ngoại thành Thiếu hình
236 Nội thành Thiếu hình
237 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
238 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
239 Nội thành Sai thông tin
240 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
241 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
242 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
243 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
244 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
245 Ngoại thành Sai thông tin
246 Nội thành Thiếu hình
247 Ngoại thành Thiếu hình
248 Ngoại thành Thiếu hình
249 Ngoại thành Học phí
250 Ngoại thành Sai thông tin
251 Nội thành Thiếu hình
252 Ngoại thành Thiếu hình
253 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
254 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
255 Ngoại thành Thiếu hình
256 Nội thành Thiếu hình
257 Ngoại thành Thiếu hình
258 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
259 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
260 Nội thành Thiếu hình
261 Nội thành Sai thông tin
262 Ngoại thành Thiếu hình
263 Nội thành Thiếu hình
264 Ngoại thành Thiếu hình
265 Ngoại thành Thiếu hình
266 Nội thành Thiếu hình
267 Ngoại thành Thiếu hình
268 Ngoại thành Thiếu hình
269 Ngoại thành Thiếu hình
270 Ngoại thành Học phí
271 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
272 Ngoại thành Sai thông tin
273 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
274 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
275 Ngoại thành Sai thông tin
276 Ngoại thành Thiếu hình
277 Ngoại thành Thiếu hình
278 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
279 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
280 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
281 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
282 Ngoại thành Thiếu hình
283 Ngoại thành Thiếu hình
284 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
285 Ngoại thành Thiếu hình
286 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
287 Ngoại thành Thiếu hình
288 Ngoại thành Thiếu hình
289 Nội thành Sai thông tin
290 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
291 Nội thành Thiếu hình
292 Ngoại thành Thiếu hình
293 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
294 Ngoại thành Thiếu hình
295 Ngoại thành Thiếu hình
296 Nội thành Thiếu hình
297 Ngoại thành Thiếu hình
298 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
299 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
300 Ngoại thành Thiếu hình
301 Nội thành Thiếu hình
302 Nội thành Học phí
303 Ngoại thành Thiếu hình
304 Nội thành Thiếu hình
305 Nội thành Sai thông tin
306 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
307 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
308 Nội thành Thiếu hình
309 Ngoại thành Thiếu hình
310 Ngoại thành Thiếu hình
311 Nội thành Thiếu hình
312 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
313 Ngoại thành Thiếu hình
314 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
315 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
316 Nội thành Thiếu hình
317 Nội thành Thiếu hình
318 Ngoại thành Thiếu hình
319 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
320 Ngoại thành Thiếu hình
321 Ngoại thành Thiếu hình
322 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
323 Ngoại thành Học phí
324 Ngoại thành Thiếu hình
325 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
326 Ngoại thành Thiếu hình
327 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
328 Nội thành Thiếu hình
329 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
330 Ngoại thành Thiếu hình
331 Nội thành Thiếu hình
332 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
333 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
334 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
335 Nội thành Thiếu hình
336 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
337 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
338 Nội thành Thiếu hình
339 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
340 Ngoại thành Thiếu hình
341 Ngoại thành Thiếu hình
342 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
343 Nội thành Thiếu hình
344 Ngoại thành Sai thông tin
345 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
346 Nội thành Thiếu hình
347 Nội thành Thiếu hình
348 Ngoại thành Thiếu hình
349 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
350 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
351 Nội thành Thiếu hình
352 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
353 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
354 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
355 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
356 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
357 Ngoại thành Thiếu hình
358 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
359 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
360 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
361 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
362 Nội thành Thiếu hình
363 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
364 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
365 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
366 Ngoại thành Thiếu hình
367 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
368 Ngoại thành Thiếu hình
369 Ngoại thành Thiếu hình
370 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
371 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
372 Nội thành Sai thông tin
373 Ngoại thành Thiếu hình
374 Ngoại thành Sai thông tin
375 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
376 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
377 Nội thành Sai thông tin
378 Nội thành Thiếu hình
379 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
380 Nội thành Thiếu hình
381 Nội thành Sai thông tin
382 Ngoại thành Thiếu hình
383 Ngoại thành Thiếu hình
384 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
385 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
386 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
387 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
388 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
389 Ngoại thành Thiếu hình
390 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
391 Ngoại thành Thiếu hình
392 Nội thành Học phí
393 Ngoại thành Thiếu hình
394 Nội thành Thiếu hình
395 Nội thành Thiếu hình
396 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
397 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
398 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
399 Nội thành Thiếu giấy khai sinh
400 Ngoại thành Sai thông tin
401 Ngoại thành Thiếu hình
402 Ngoại thành Thiếu hình
403 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
404 Nội thành Thiếu hình
405 Ngoại thành Thiếu hình
406 Nội thành Sai thông tin
407 Nội thành Thiếu hình
408 Ngoại thành Thiếu bằng tốt nghiệp
409 Ngoại thành Thiếu hình
410 Nội thành Thiếu bằng tốt nghiệp
411 Ngoại thành Học phí
412 Nội thành Thiếu hình
413 Nội thành Thiếu hình
414 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
415 Nội thành Học phí
416 Ngoại thành Thiếu hình
417 Ngoại thành Thiếu giấy khai sinh
418 Nội thành Thiếu giấy khai sinhBảng tần số - bảng tần suất
- Định nghĩa: Liệt kê số lần xuất hiện (tần số) hoặc tần suất (tỷ lệ %) xuất hiện của từng giá trị hoặc nhóm giá trị của một biến.
| Nganh | Tan_so | Tan_suat |
|---|---|---|
| Du lịch | 66 | 15.8 |
| Kế toán | 65 | 15.6 |
| Logistic | 69 | 16.5 |
| Luật | 92 | 22.0 |
| QTKD | 126 | 30.1 |
Bảng chéo/bảng kết hợp
Định nghĩa: Trình bày mối liên hệ giữa hai biến định tính đồng thời.
| Nganh | Giỏi | Khá | Trung bình | Xuất sắc |
|---|---|---|---|---|
| Du lịch | 15 | 22 | 21 | 8 |
| Kế toán | 12 | 25 | 18 | 10 |
| Logistic | 25 | 15 | 23 | 6 |
| Luật | 13 | 42 | 32 | 5 |
| QTKD | 25 | 50 | 41 | 10 |
| Ngành/Giới tính | Nam | Nữ |
|---|---|---|
| Du lịch | 32 | 34 |
| Kế toán | 31 | 34 |
| Logistic | 38 | 31 |
| Luật | 43 | 49 |
| QTKD | 53 | 73 |
Bảng chéo theo tỷ lệ phần trăm
Ý nghĩa: So sánh cơ cấu giới tính trong nội bộ từng ngành.
| Ngành | Nam | Nữ |
|---|---|---|
| Du lịch | 48.5 | 51.5 |
| Kế toán | 47.7 | 52.3 |
| Logistic | 55.1 | 44.9 |
| Luật | 46.7 | 53.3 |
| QTKD | 42.1 | 57.9 |
Một số loại biểu đồ cơ bản
Biểu đồ cột (Bar chart)
- Sử dụng: So sánh tần số
- Ví dụ: Số lượng sinh viên phân bổ theo Ngành.
Biểu đồ cột ngang
Sử dụng: Phù hợp khi tên các danh mục quá dài hoặc có quá nhiều danh mục.
Biểu đồ tròn (pie chart)
- Sử dụng: Thể hiện cơ cấu hoặc tỷ trọng của các thành phần trong một tổng thể.
- Ví dụ: Tỷ lệ Giới tính sinh viên.
Biểu đồ cột chồng (stacked bar chart)
- Sử dụng: So sánh tổng số lượng và cơ cấu thành phần bên trong giữa các nhóm.
- Ví dụ: Xếp loại học tập trong từng Ngành.
Hoặc:
Tính theo tỷ lệ phần trăm:
Hoặc:
Biểu đồ hộp
Các đặc trưng đo lường
Đo lường mức độ đại diện
Hay còn gọi là các đặc trưng đo lường có khuynh hướng tập trung. Dữ liệu được đại diện bằng một giá trị duy nhất. Có đặc trưng phổ biến: Trung bình, Trung vị, Mode.
- Trung bình (Mean) \[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\]
- Trung vị là giá trị nằm ở vị trí chính giữa (theo vị trí) khi dãy số đã được sắp xếp.
- Nếu \(n\) lẻ: \(\text{Median} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\)
- Nếu \(n\) chẵn: \(\text{Median} = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}}{2}\)
- Tứ phân vị.
- Q1 (25%): Giá trị mà 25% dữ liệu nằm dưới nó.
- Q2 (50%): Trung vị.
- Q3 (75%): Giá trị mà 75% dữ liệu nằm dưới nó.
- Mode là giá trị xuất hiện với tần suất cao nhất trong tập dữ liệu.
Đo lường mức độ phân tán
Mục tiêu: Đo lường mức độ biến động của dữ liệu xung quanh giá trị trung tâm. Các loại: Khoảng biến thiên, Độ lệch chuẩn, Phương sai, Độ trãi giữa.
- Khoảng biến thiên (Range): Hiệu số giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. \[\text{Range} = x_{max} - x_{min}\]
- Độ lệch chuẩn (standard deviation): Đo lường mức độ phân tán của dữ liệu so với giá trị trung bình. \[s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\]
- Phương sai (variance): Bình phương của độ lệch chuẩn. \[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}\]
- Độ trãi giữa: Hiệu số giữa \(Q_3\) và \(Q_1\). \[\text{IQR} = Q_3 - Q_1\]
Phân phối và hình dáng của phân phối
- Phân phối đối xứng: \(\text{Mean} = \text{Median} = \text{Mode}\).
- Phân phối lệch phải: \(\text{Mean} > \text{Median} > \text{Mode}\).
- Phân phối lệch trái: \(\text{Mean} < \text{Median} < \text{Mode}\).
Phương pháp Nhánh-Lá (Stem-and-Leaf)
Định nghĩa: Là một phương pháp trình bày dữ liệu định lượng dưới dạng bảng, trong đó mỗi giá trị được chia thành hai phần: phần “nhánh” (stem) và phần “lá” (leaf).
Mục đích: Giúp hiển thị phân phối dữ liệu một cách trực quan, đồng thời giữ lại tất cả các giá trị gốc của dữ liệu.
Cách thực hiện:
- Chọn một phần của số làm “nhánh” (thường là các chữ số bên trái).
- Phần còn lại của số sẽ là “lá” (thường là chữ số bên phải).
- Sắp xếp các lá theo thứ tự tăng dần cho mỗi nhánh.
Ví dụ: Cho dãy số: 23, 25, 31, 34, 37, 41, 45, 47, 52, 55.
- Nhánh: 2, 3, 4, 5
- Lá:
- 2 | 3 5
- 3 | 1 4 7
- 4 | 1 5 7
- 5 | 2 5
Chương 4
Xác suất
Nội dung
- Một số khái niệm cơ bản về xác suất.
- Định nghĩa về xác suất.
- Một số công thức tính xác suất cơ bản.
Một số khái niệm cơ bản.
Phép thử ngẫu nhiên: Là một quá trình hoặc một hành động mà kết quả không thể dự đoán trước được.
Kết cục (outcome): Là kết quả của một lần thử. Kết cục còn được gọi là biến cố sơ cấp.
Không gian mẫu (sample space): Tập hợp tất cả các kết cục có thể xảy ra của một phép thử, thường được ký hiệu là \(\Omega\).
Biến cố (event): Là một tập hợp con của không gian mẫu, bao gồm một hoặc nhiều kết cục.
Xác suất (probability): Là một con số đo lường khả năng xảy ra của một biến cố, thường nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
Ví dụ 1: Tung một đồng xu.
Ví dụ 2: Tung 2 đồng xu.
Ví dụ 3: Tung 10.000 đồng xu.
Ví dụ 4: Tung 1 xúc xắc.
Ví dụ 5: Tung 1 triệu xúc xắc.
Ví dụ 6: Chọn 3 lá bài từ bộ bài tây 52 lá.
Định nghĩa về xác suất
- Xác suất cổ điển (Classical probability): Dựa trên giả định rằng tất cả các kết cục của một phép thử là như nhau và có khả năng xảy ra như nhau. \[P(E) = \frac{\text{Số kết cục thuận lợi cho biến cố E}}{\text{Tổng số kết cục trong không gian mẫu}}=\frac{|E|}{|\Omega|}\]
- Xác suất thống kê (Empirical probability): Dựa trên việc quan sát và thu thập dữ liệu từ các phép thử thực tế. \[P(E) = \frac{\text{Số lần biến cố E xảy ra}}{\text{Tổng số lần thực hiện phép thử}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{k}{n}\]
- Xác suất theo quan điểm hình học (Geometric probability): Dựa trên tỷ lệ giữa độ dài, diện tích hoặc thể tích của các vùng liên quan đến biến cố và không gian mẫu. \[P(E) = \frac{\text{Độ dài/Diện tích/Thể tích của vùng thuận lợi cho biến cố E}}{\text{Độ dài/Diện tích/Thể tích của không gian mẫu}}\]
- Xác suất chủ quan (Subjective probability): Dựa trên quan điểm cá nhân, kinh nghiệm hoặc niềm tin của một người về khả năng xảy ra của một biến cố. \[P(E) = \text{Đánh giá cá nhân về khả năng xảy ra của biến cố E}\]
Ví dụ về việc tính xác suất
Ví dụ 1: Tung 3 đồng xu cân đối.
- Hãy viết không gian mẫu của phép thử.
- Gọi \(A\) là biến cố: “Có đúng 2 mặt ngửa xuất hiện”. Tính \(P(A)\).
- Gọi \(B\) là biến cố: “Có ít nhất 1 mặt ngửa xuất hiện”. Tính \(P(B)\).
- Gọi \(C\) là biến cố: “Cả 3 đồng xu đều sấp”. Tính \(P(C)\).
Giải:
Không gian mẫu của phép thử là: \[\Omega = \{NNN, NNS, NSN, SNN, NSS, SNS, SSN, SSS\}\] \[|\Omega| = 8\]
Xác suất biến cố \(A\)
Biến cố \(A\): “Có đúng 2 mặt ngửa”. \[A = \{NNS, NSN, SNN\}\] \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{8}\] 3. Xác suất biến cố \(B\)
Biến cố \(B\): “Có ít nhất 1 mặt ngửa”.\[B = \{NNN, NNS, NSN, SNN, NSS, SNS, SSN\}\] Do đó: \[P(B) = \frac{7}{8}\] 4. Xác suất biến cố \(C\)
Biến cố \(C\): “Cả 3 đồng xu đều sấp”. \[C = \{SSS\}\] \[P(C) = \frac{1}{8}\]
Ví dụ 2: Một đồng xu được tung 200 lần. Kết quả thu được như sau:
| Kết quả | Số lần xuất hiện |
|---|---|
| Ngửa (N) | 118 |
| Sấp (S) | 82 |
Dựa trên quan điểm thống kê (thực nghiệm), Hãy xác định xác suất thực nghiệm của biến cố “xuất hiện mặt ngửa”.
Giải:
Gọi \(A\) là biến cố: “Xuất hiện mặt ngửa”.
Theo quan điểm thống kê, xác suất của biến cố \(A\) được ước lượng bằng:\[P(A) \approx \frac{\text{số lần A xảy ra}}{\text{tổng số lần thử}}\]
Do đó: \[P(A) \approx \frac{118}{200} = 0.59\]
Một số khái niệm liên quan đến biến cố
- Biến cố xung khắc: Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời trong một lần thử, tức là: \(A \cap B = \emptyset\).
- Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, tức là: \(P(A|B) = P(A)\) hoặc \(P(B|A) = P(B)\).
- Biến cố đối lập: Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là đối lập nếu một trong hai biến cố này luôn xảy ra trong một lần thử, tức là: \[P(A) + P(\bar{A}) = 1\]. Hoặc: \[A \cup \bar{A} = \Omega\]
Một số công thức tính xác suất cơ bản
- \(P(A) + P(\bar{A})=1\)
- Công thức cộng: Xác suất để biến cố \(A\) hoặc biến cố \(B\) xảy ra được tính bằng công thức: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)- P(A \cap B)\]
Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc thì \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
- Công thức nhân: Xác suất để biến cố \(A\) và biến cố \(B\) xảy ra được tính bằng công thức: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\]
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) là độc lập thì: \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\] - Công thức xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra. \[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\] - Định lý Bayes: Dùng để tính xác suất có điều kiện ngược lại (hay còn được gọi là xác suất hậu nghiệm). \[P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\] - Công thức xác suất toàn phần: Nếu các biến cố \(\{B_1, B_2, ..., B_n\}\) tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, thì xác suất của biến cố \(A\) (có thể xảy ra đồng thời với một trong những biến cố \(B_i\)) được tính bằng công thức: \[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \times P(B_i)\]
Ví dụ về các công thức tính xác suất
ví dụ 1: Có ba người lần lượt là A, B và C, mỗi người bắn 1 mũi tên vào bia. Giả sử xác suất bắn trúng bia của từng người tương ứng là: 80%, 70% và 60%. Hãy tính các xác suất sau:
- Xác suất A bắn trượt.
- Xác suất cả 3 người cùng bắn trúng.
- Xác suất A trúng, B trượt, C trượt.
- Xác suất A bắn trúng.
- Xác suất ít nhất một người bắn trúng.
- Xác suất chỉ có A bắn trúng.
- Xác suất đúng một người bắn trúng.
Giải: Gọi \(A_1,A_2,A_3\) lần lượt là biến cố người A, người B và người C bắn trúng mục tiêu.
\(P(A_1) = 0,8; P(A_2) = 0,7; P(A_3) = 0,8\)
- Xác suất A bắn trượt
Gọi \(E_1\) là biến cố “A bắn trượt”. Diễn giải \(E_1\) qua \(A\): \[E_1 = \bar{A_1}A_2A_3+\bar{A_1}\bar{A_2}A_3+\bar{A_1}A_2\bar{A_3}+\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}\]
\[P(E_1) = P(\bar{A_1}A_2A_3+\bar{A_1}\bar{A_2}A_3+\bar{A_1}A_2\bar{A_3}+\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3})\] \[P(E_1) = P(\bar{A_1}A_2A_3)+P(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3)+P(\bar{A_1}A_2\bar{A_3})+P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3})\] \[P(E_1) = P(\bar{A_1})P(A_2)P(A_3)+P(\bar{A_1})P(\bar{A_2})P(A_3)+P(\bar{A_1})P(A_2)P(\bar{A_3})+P(\bar{A_1})P(\bar{A_2})P(\bar{A_3})\]
- Xác suất cả 3 người cùng bắn trúng:
Biến cố cần tính:
Gọi \(E_2\) là biến cố “cả 3 người cùng bắn trúng”. Diễn giải: \[E_2 = A_1 A_2 A_3\] \[P(E_2) = P(A_1 A_2 A_3)\] \[P(E_2) = P(A_1)P(A_2)P(A_3)= 0.8 \times 0.7 \times 0.6 = 0.336\] 3. Xác suất A trúng, B trượt, C trượt
Gọi \(E_3\): “A trúng, B trượt, C trượt”. Diễn giải: \[E_3 = A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\] Áp dụng công thức nhân: \[P(E_3) = 0.8 \times 0.3 \times 0.4 = 0.096\]
- Xác suất A bắn trúng
Biến cố cần tính:
Gọi \(E_4\) là biến cố “A bắn trúng”. Diễn giải: \[E_4 = A_1A_2A_3+A_1\bar{A_2}A_3+A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\]
- Xác suất ít nhất một người bắn trúng
Gọi \(E_5\) là biến cố: “ít nhất một người bắn trúng”, nên
\(\bar{E_5}\) là biến cố: “không người nào bắn trúng”.
\[\bar{E_5} = \bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}\] Áp dụng công thức nhân cho các biến cố đối lập: \[P(\bar{E_5}) = P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3})=P(\bar{A_1})P(\bar{A_2})P(\bar{A_3})\]
- Xác suất chỉ có A bắn trúng
Gọi \(E_6\) là biến cố: “Chỉ có A bắn trúng”. Diễn giải: \[E_6 = A_1\bar{A_2}\bar{A_3}\]
- Xác suất đúng một người bắn trúng Gọi \(E_7\) là biến cố: “Đúng một người bắn trúng”. Diễn giải: \[E_7 = A_1\bar{A_2}\bar{A_3} + \bar{A_1}A_2\bar{A_3} + \bar{A_1}\bar{A_2}A_3\]
Ví dụ 2: Một nhà máy có 3 máy sản xuất linh kiện với các thông tin sau:
- Máy 1 chiếm 20% tổng sản lượng, tỉ lệ sản phẩm lỗi là 1%.
- Máy 2 chiếm 50% tổng sản lượng, tỉ lệ sản phẩm lỗi là 2%.
- Máy 3 chiếm 30% tổng sản lượng, tỉ lệ sản phẩm lỗi là 3%.
Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm:
- Tính xác suất chọn được sản phẩm lỗi.
- Nếu sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi thì sản phẩm này có khả năng do máy nào sản xuất là cao nhất?
Gọi \(B_1, B_2, B_3\) lần lượt là các biến cố sản phẩm được chọn do máy 1, máy 2 và máy 3 sản xuất.
Gọi \(A\) là biến cố chọn được sản phẩm lỗi.
Ta có: \[P(B_1) = 0.2, \quad P(B_2) = 0.5, \quad P(B_3) = 0.3\] \[P(A|B_1) = 0.01, \quad P(A|B_2) = 0.02, \quad P(A|B_3) = 0.03\] Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: \[P(A) = 0.01(0.2) + 0.02(0.5) + 0.03(0.3) = 0.021\] Áp dụng công thức Bayes: \[P(B_3|A) = \frac{P(A|B_3) \cdot P(B_3)}{P(A)} = \frac{0.03 \times 0.3}{0.021} \approx 0.4286\]
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên (Random Variable) là một ánh xạ gán mỗi kết quả (outcome) trong không gian mẫu bởi một số thực. Ký hiệu:
\[X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\] Trong đó:
- \(\Omega\): Không gian mẫu
- \(X(\omega)\): giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với kết quả \(\omega\)
Ví dụ cho trường hợp rời rạc
Tung một đồng xu hai lần. Gọi \(X\) là số lần xuất hiện mặt ngửa.
| Kết quả \((\Omega)\) | \(X\) |
|---|---|
| SS | X=0 |
| SN | X=1 |
| NS | X=1 |
| NN | X=2 |
\(X\) chỉ có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2.
Ví dụ cho trường hợp liên tục
Đo thời gian (tính bằng giây) để một máy chủ phản hồi .
- Giá trị có thể là bất kỳ số thực dương.
- Không thể liệt kê hết các giá trị.
Một số tình huống xuất hiện biến ngẫu nhiên rời rạc:
| TT | Tình huống thực tế | Biến ngẫu nhiên | Giá trị có thể nhận |
|---|---|---|---|
| 1️⃣ | Tung 3 đồng xu | Số lần xuất hiện mặt ngửa | 0, 1, 2, 3 |
| 2️⃣ | Gọi điện cho khách hàng | Số người nghe máy trong 10 cuộc gọi | 0–10 |
| 3️⃣ | Sản xuất 100 linh kiện | Số sản phẩm bị lỗi | 0–100 |
| 4️⃣ | Đăng bài trên mạng xã hội | Số lượt like nhận được sau 1 giờ | 0, 1, 2, … |
| 5️⃣ | Hàng chờ ở quầy thanh toán | Số khách đang xếp hàng tại một thời điểm | 0, 1, 2, … |
Một số tình huống xuất hiện biến ngẫu nhiên liên tục:
| # | Tình huống thực tế | Biến ngẫu nhiên | Miền giá trị |
|---|---|---|---|
| 6️⃣ | Đo chiều cao sinh viên | Chiều cao (cm) | [140, 200] |
| 9️⃣ | Nhiệt độ trong phòng | Nhiệt độ (°C) | \(\mathbb{R}\) |
| 🔟 | Cường độ tín hiệu Wi-Fi | Mức công suất sóng (dBm) | (\(-\infty\),0] |
Ví dụ về việc tính xác suất bằng biến ngẫu nhiên
Ví dụ 1: Tung 2 con xúc xắc cân đối. Gọi \(X\) là tổng số chấm xuất hiện.
- Liệt kê các giá trị có thể của \(X\).
- Tính xác suất \(P(X=7)\).
- Tính xác suất \(P(X \le 4)\).
- Tìm hàm phân phối xác suất \(P(X=x)\).
Ví dụ 2: Với trò chơi Bầu - Cua - Tôm - Cá. Một người đặt 1 đồng vào con gà. Gọi \(X\) là số tiền lời người đó nhận được sau 1 ván chơi. Tính xác suất người đó:
- Thua 1 đồng.
- Lời 1 đồng.
- Lời 2 đồng.
- Lời 3 đồng.
Ví dụ 3: Một đánh giá rủi ro tín dụng cho thấy tỷ lệ khách hàng vay tín chấp rơi vào trường hợp nợ xấu là 5%. Một chuyên viên tín dụng tiếp nhận ngẫu nhiên 10 hồ sơ vay. Gọi \(X\) là số lượng khách hàng nợ xấu trong số 10 hồ sơ này. Tính xác suất để: - Không có hồ sơ nào bị nợ xấu. - Có ít nhất 2 hồ sơ nợ xấu.
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Bảng phân phối xác suất:
| X | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | \(\dots\) | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|---|
| P | \(p_1\) | \(p_2\) | \(p_3\) | \(\dots\) | \(p_4\) |
- Kỳ vọng: Kỳ vọng của BNN \(X\) là giá trị trung bình (có trọng số là xác suất) của những giá trị mà BNN có thể nhận. Kỳ vọng được ký hiệu là \(E(X)\) \[E(X)=\sum_{i=1}^np_ix_i=\frac{\sum_{i=1}^n f_ix_i}{\sum_{i=1}^n f_i}\].
- Phương sai: Phương sai của BNN \(X\) sẽ đo lường mức độ chênh lệch giữa các giá trị mà BNN có thể nhận và được ký hiệu là \(Var(X)\) \[Var(X) = E[(X-E(X))^2]=\sum_{i=1}^np_i(x_i-E(X))^2=\frac{\sum_{i=1}^nf_i[(x_i-E(X)]^2}{\sum_{i=1}^n f_i}\]
- Độ lệch chuẩn: là căn bậc 2 của phương sai.
Ví dụ: Với trò chơi Bầu - Cua - Tôm - Cá. Bảng phân phối xác suất của số tiền lời là:
| \(X\) (tiền lời) | -1 | +1 | +2 | +3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x)\) | 0.5787 | 0.3472 | 0.0694 | 0.0046 |
\[E(X)= −0.0790; Var(X)=1.2384\]
Ví dụ 3: (Kinh tế) Đánh giá lợi nhuận của một dự án đầu tư trong 1 năm là biến ngẫu nhiên \(Y\) (đơn vị: tỷ VNĐ). \(Y\) nhận các giá trị: \(-5\) (lỗ), \(0\) (hòa vốn), \(2\), \(6\) với xác suất tương ứng là \(0.2\); \(0.3\); \(0.35\) và \(0.15\). Tính kỳ vọng \(E(Y)\) và mức độ rủi ro \(Var(Y)\) của dự án trên.
Một số quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Phân phối siêu bội: BNN \(X\) được gọi là có phân phối siêu bội nếu \(X\) được tạo ra từ tình huống: Một tập hợp có \(N\) phần tử, trong đó có \(M\) phần tử có tính chất A và \(N-M\) phần tử không có tính chất A. Chọn \(n\) phần tử từ tập hợp này. Gọi \(X\) là số phần tử loại A trong \(n\) phân tử được chọn. Khi đó: \[P(X=x) = \frac{C^x_MC_{N-M}^{n-x}}{C^n_N}\] Ví dụ: Một tổ có 9 người, 6 nam và 3 nữ, chọn ngẫu nhiên 3 người để lập tổ bảo vệ. Gọi \(X\) là số người nam trong 3 người được chọn. Lập bảng phân phối xác suất cho \(X\).
Phân phối nhị thức: BNN \(X\) được gọi là có phân phối nhị thức nếu \(X\) được tạo ra từ tình huống sau:
- Thực hiện \(n\) lần một phép.
- Mỗi phép thử chỉ có 2 khả năng: Xuất hiện biến cố A và không xuất hiện biến cố A.
- Xác suất suất hiện biến cố A là \(p\) trong từng lần thử.
Gọi \(X\) là số lần xuất hiện biến cố A trong \(n\) lần thử. Khi đó: \[P(X=x) = C_n^xp^x(1-p)^{n-x}\]
Ví dụ: Một xưởng sản xuất linh kiện với tỉ lệ sản phẩm bị lỗi là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 10 sản phẩm do xưởng này sản xuất. Gọi \(X\) là số sản phẩm bị lỗi.
- Viết công thức xác suất \(P(X=k)\).
- Tính xác suất có 2 sản phẩm lỗi.
- Tính xác suất có ít nhất 4 sản phẩm lỗi.
- Tính xác suất có nhiều hơn 8 sản phẩm lỗi.
Phân phối Hình học: Với điều kiện xuất hiện giống như BNN có phân phối nhị thức nhưng gọi \(X\) là số lần thử cho đến khi nào xuất hiện biến cố quan tâm thì dừng. Khi đó: \[P(X = x) = (1-p)^{x-1}p\] Ví dụ. Giả sử xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là 78%. Trong một lần tập bắn, tính xác suất:
- Để người đó bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ 2.
- Để người đó bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ 3.
Phân phối Poisson: BNN \(X\) được gọi là có phân phối Poisson nếu BNN này là số lần biến cố A xuất hiện trong một khoảng thời gian hoặc trong một không gian nhất định. Khi đó: \[P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\] Với \(\lambda\) là số lần xuất hiện biến cố A trung bình trong trong một khoảng thời gian hoặc không gian.
Ví dụ. Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài có phân phối Poisson. Theo số liệu thống kê thì trung bình có 1,3 cuộc điện thoại gọi đến tổng đài này mỗi phút. Gọi \(X\) là số cuộc gọi đến tổng đài này mỗi phút. Tính:
- Tính \(P(X=0), P(X=2), P(X>3)\).
- Tính xác suất có 7 cuộc gọi đến trong vòng 10 phút.
Ví dụ: Tại một ngã tư, trung bình có 3 vụ tai nạn giao thông mỗi tháng. Tính xác suất để có không quá 2 vụ tai nạm giao thông tại ngã tư này trong một tháng.
Một số quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Với biến ngẫu nhiên liên tục, chúng ta sẽ có khái niệm hàm mật độ phân phối xác suất.
\(f(x)\) được gọi là hàm mật độ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên (liên tục) nếu thoả 2 điều sau:
\[f(x) \ge 0; \forall x \\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\] Khi đó, xác suất của một biến ngẫu nhiên được tính như sau: \[P(a\le X \le b) = \int_a^bf(x)dx\] và:
- Kỳ vọng của \(X\): \[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\]
- Phương sai của \(X\): \[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx\]
Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
Ví dụ. Thời gian phản hồi (giây) của một máy chủ là biến ngẫu nhiên \(X\) với hàm mật độ phân phối xác suất: \[f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\0, & x < 0\end{cases}\] với \(\lambda = 0.5\).
- Tính \(P(X \le 2)\).
- Tính \(P( 2.5 \le X \le 4.8)\).
- Tính kỳ vọng \(E[X]\) và phương sai \(Var(X)\).
Biến ngẫu nhiên có phân phối Chuẩn
Ví dụ. Nhiệt độ trong phòng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) (đơn vị \(^0\)C). Với hàm mật độ phân phối xác suất là: \[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\] Với \(\mu = 24\) và \(\sigma = 9\)
- Tính xác suất \(P(23 \le X \le 27)\).
- Tính \(P(X > 28)\).
- Tìm giá trị \(a\) sao cho \(P(X \le a) = 0.975\).
- Tính kỳ vọng \(E[X]\) và phương sai \(Var(X)\).
Biến ngẫu nhiên có phân phối Chi bình phương
Biến ngẫu nhiên \(X\) được gọi là có phân phối Chi bình phương nếu hàm mật độ phân phối xác suất của \(X\) là: \[f(x; k) = \begin{cases}\dfrac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} , x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}, & x > 0, \\ 0, & x \le 0. \end{cases}\] Với:
- \(k = 1,2,3\dots\) gọi là bậc tự do.
- \(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt\)
Biến ngẫu nhiên có phân phối Student
\(X\) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối Student nếu hàm mật độ phân phối xác suất là: \[f(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi}\Gamma(\frac{k}{2})} \left(1 + \frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}}\] Với \(k\) là bậc tự do.
Biến ngẫu nhiên có phân phối Fisher
Biến ngẫu nhiên \(X\) được gọi là có phân phối Fisher với \(d_1\) và \(d_2\) bậc tự do nếu hàm mật độ phân phối xác suất của \(X\) là:
\[f(x; d_1, d_2) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma\left(\frac{d_1 + d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d_1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{d_2}{2}\right)} \left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} \dfrac{x^{\frac{d_1}{2}-1}}{\left(1 + \frac{d_1}{d_2}x\right)^{\frac{d_1 + d_2}{2}}}, & x > 0, \\ 0, & x \le 0. \end{cases}\]
Lý thuyết mẫu và \ Bài toán ước lượng
Nội dung
- Hiểu khái niệm “tổng thể” (population) và “mẫu” (sample) trong thống kê.
- Nắm được các phương pháp chọn mẫu cơ bản.
- Hiểu ý nghĩa của phân phối mẫu (sampling distribution).
- Biết cách ước lượng trung bình và tỷ lệ của quần thể.
- Giải thích tại sao mẫu lớn hơn \(\to\) sai số nhỏ hơn (luật số lớn).
- Biết áp dụng vào bài toán thực tế: khảo sát thị trường, dự báo doanh thu, đánh giá chính sách.
Một số khái niệm
- Tổng thể: Là tập hợp tất cả các phần tử mà chúng ta cần nghiên cứu.
- Mẫu: Là một tập con của tổng thể.
- Mẫu tổng quát: Là một vector \(n\) chiều của các biến ngẫu nhiên \((X_1,X_2,\dots,X_n)\).
- Mẫu cụ thể: Là một vector \(n\) chiều của những giá trị mà mẫu tổng quát có thể nhận \((x_1,x_2,\dots,x_n)\).
- Quan sát: Là một phần tử của mẫu.
- Độ tin cậy: Xác suất để một biến cố xảy ra.
- Sai số: Là sự sai khác giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán.
- Tham số: Là đặc trưng mô tả phân phối của biến ngẫu nhiên.
Phân phối mẫu
Thống kê (lý thuyết): Là một hàm của mẫu tổng quát. \[T= T(X_1,X_2,\dots,X_n)\] Một số thống kê cơ bản:
- \(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\)
- \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2\)
- \(\hat{p}=\frac{\text{số phần tử có tính chất A}}{n}\)
| Thống kê | Ký hiệu | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|---|
| Trung bình mẫu | \(\bar{X}\) | \(\frac{1}{n}\sum X_i\) | Đại diện giá trị trung tâm |
| Phương sai mẫu | \(S^2\) | \(\frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2\) | Độ phân tán |
| Tỷ lệ mẫu | \(\hat{p}\) | \(\frac{\text{số phần tử có tính chất A}}{n}\) | Ước lượng xác suất thật \(p\) |
Định lý giới hạn trung tâm
Giả sử \(X_1, X_2, \dots, X_n\) là mẫu ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối từ một tổng thể bất kỳ, với:
\[E(X_i)=\mu, \quad Var(X_i)=\sigma^2 < \infty\] Khi đó, với kích thước mẫu \(n\) đủ lớn: \[\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\]
hay xấp xỉ: \[\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\] Trong thực hành, khi \(n \ge 30\), phân phối của \(\bar{X}\) thường được coi là gần chuẩn.
Phân phối mẫu và ý tưởng ước lượng khoảng
Giả sử tổng thể có phân phối phụ thuộc tham số \(\theta\) (ví dụ: \(\mu, \sigma^2, p\)). Khi đó, các thống kê mẫu \(T(X_1,\dots,X_n)\) sẽ có phân phối mẫu.
Ý tưởng của ước lượng khoảng là tìm một khoảng ngẫu nhiên \([L(X), U(X)]\) sao cho:
\[P\big(L(X) \le \theta \le U(X)\big) = 1-\alpha\] Khoảng này được gọi là khoảng tin cậy mức \(1-\alpha\) cho tham số \(\theta\).
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng \(\mu\)
Trường hợp phương sai \(\sigma^2\) đã biết
Giả sử: \[X_i \sim N(\mu, \sigma^2), \quad i=1,\dots,n\] Khi đó: \[Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\]
Với mức ý nghĩa \(\alpha\): \[P\left(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha\\ P\left(-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{\alpha/2}\right)=1-\alpha\\ P\left(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha\]
nên:
\[\bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu\le \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] Nếu không có \(\sigma\) thì thay bằng \(S\)
Trường hợp phương sai \(\sigma^2\) chưa biết
Nếu tổng thể có phân phối chuẩn và \(\sigma^2\) chưa biết: \[T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}\]
Khoảng tin cậy:
\[\bar{x} - t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\]
Ví dụ: Cân ngẫu nhiên 16 con gà con 15 ngày tuổi, người ta có được số liệu sau: trọng lượng trung bình là 100g và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 8g. Với độ tin cậy 93% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của lứa gà này.
Ước lượng khoảng cho phương sai \(\sigma^2\)
Nếu mẫu lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn: \[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]
Khoảng tin cậy mức \(1-\alpha\):
\[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\] Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 18 chi tiết máy được lấy từ một ca sản xuất. Sau khi kiểm tra, người ta thu được độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh của độ dài là 4.5 mm. Ước lượng phương sai của độ dài chi tiết máy với độ tin cậy 90%.
Ước lượng khoảng cho tỷ lệ \(p\)
Giả sử \(X \sim \text{Bernoulli}(p)\), với \(n\) đủ lớn:
\[\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\]
Khoảng tin cậy xấp xỉ:
\[\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
Ví dụ. Khảo sát 400 người về một chính sách mới do chính phủ ban hành, có 120 người đồng ý với chính sách này. Hãy ước lượng tỷ lệ người dân đồng ý với chính sách này với độ tin cậy 95%.
Ví dụ tổng hợp
Một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 trái xoài được thu thập tại một nông trại. Trọng lượng của các trái xoài (đơn vị: gram) được chia khoảng và tổng hợp dưới dạng bảng tần số như sau:
| Khoảng trọng lượng (g) | Tần số |
|---|---|
| [200, 250) | 12 |
| [250, 300) | 28 |
| [300, 350) | 34 |
| [350, 400) | 18 |
| [400, 450) | 8 |
| Tổng | 100 |
Giả sử mẫu được chọn ngẫu nhiên và độc lập từ một tổng thể lớn các trái xoài cùng loại, trọng lượng của các trái xoài có phân phối chuẩn.
Yêu cầu:
- Tính trọng lượng trung bình mẫu \(\bar{x}\).
- Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh \(S^2\).
- Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình \(\mu\), tính sai số của ước lượng.
- Nếu muốn sai số giảm 50% và giữ nguyên độ tin cậy như câu 3 thì cỡ mẫu phải là bao nhiêu?
- Ước lượng trọng lượng trung bình tối đa của loại xoài này với độ tin cậy 93%.
- Xác định tỷ lệ mẫu \(\hat{p}\) của xoài loại lớn (những trái có trọng lượng từ 350gram trở lên được gọi là lớn).
- Xây dựng khoảng tin cậy 90% cho tỷ lệ \(p\) xoài loại lớn trong tổng thể. Tính sai số của bài toán ước lượng.
- Nếu giảm cỡ mẫu còn 80 trái và sai số giữ nguyên như câu 7 thì độ tin cậy của bài toán ước lượng là bao nhiêu?
- Ước lượng tỷ lệ tối thiểu của xoài loại lớn trong tổng thể với độ tin cậy 91%.
- Xây dựng khoảng tin cậy 97% cho phương sai \(\sigma^2\) của trọng lượng xoài.
Kết luận
Ước lượng khoảng được xây dựng dựa trên phân phối mẫu của các thống kê. Bằng cách chuẩn hóa thống kê và đảo các bất đẳng thức xác suất, ta thu được khoảng tin cậy cho các tham số chưa biết của tổng thể. Đây là nền tảng của suy luận thống kê cổ điển và kinh tế lượng.
Kiểm định giả thuyết thống kê
Nội dung
- Khái niệm về kiểm định giả thuyết thống kê.
- Các loại sai lầm trong kiểm định.
- Quy trình kiểm định giả thuyết.
- Kiểm định giả thuyết cho kỳ vọng \(\mu\).
- Kiểm định giả thuyết cho phương sai \(\sigma^2\).
- Kiểm định giả thuyết cho tỷ lệ \(p\).
- Ứng dụng và ý nghĩa trong kinh doanh và kinh tế.
Một số khái niệm
- Giả thuyết thống kê (Statistical Hypothesis): Là một phát biểu về một hay nhiều tham số của tổng thể hoặc về quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
- Giả thuyết không (\(H_0\) - Null Hypothesis): Là giả thuyết tạm thời được coi là đúng cho đến khi có bằng chứng từ mẫu để bác bỏ. Đây thường là giả thuyết về sự không có sự khác biệt, không có tác động, hoặc tham số bằng một giá trị cụ thể.
- Giả thuyết đối (\(H_1\) hoặc \(H_a\) - Alternative Hypothesis): Là mệnh đề đối lập với \(H_0\). Đây thường là điều chúng ta muốn chứng minh.
- Tiêu chuẩn kiểm định (Test Statistic): Là một thống kê (hàm của mẫu) được sử dụng để quyết định xem có nên bác bỏ \(H_0\) hay không.
- Mức ý nghĩa (\(\alpha\) - Significance Level): Là xác mắc sai lầm loại 1.
- Giá trị p (p-value): Là mức ý nghĩa nhỏ nhất để bác bỏ \(H_0\). Nếu \(p-value < \alpha\), ta bác bỏ \(H_0\).
- Miền bác bỏ (Rejection Region / Critical Region) \(W_\alpha\): Tập hợp các giá trị của tiêu chuẩn kiểm định mà nếu giá trị tính toán rơi vào đó, ta sẽ bác bỏ \(H_0\).
Các loại sai lầm trong kiểm định
Khi ra quyết định thống kê, ta có thể mắc phải hai loại sai lầm:
- Sai lầm loại 1: Bác bỏ \(H_0\) trong khi \(H_0\) đúng. Ví dụ: Kết luận thuốc mới có tác dụng làm giảm huyết áp, trong khi thực tế thuốc đó không có tác dụng.
- Sai lầm loại 2: Chấp nhận \(H_0\) trong khi \(H_0\) sai. Ví dụ: Kết luận thuốc mới không mang lại hiệu quả, trong khi thực tế thuốc đó rất tốt.
| Quyết định Thực tế | \(H_0\) đúng | \(H_0\) sai |
|---|---|---|
| Bác bỏ \(H_0\) | Sai lầm loại I (Xác suất \(\alpha\)) | Quyết định đúng |
| Chấp nhận \(H_0\) | Quyết định đúng | Sai lầm loại II |
Quy trình kiểm định giả thuyết
- Thiết lập giả thuyết: Xác định cặp giả thuyết \(H_0\) và \(H_1\).
- Xác định miền bác bỏ \(W_\alpha\): Dựa vào phân phối của \(K\) và mức ý nghĩa \(\alpha\), tìm giá trị tới hạn để xác định miền bác bỏ.
- Tính giá trị kiểm định: Tuỳ bài toán kiểm định mà công thức tính giá trị kiểm định sẽ khác nhau.
- Ra quyết định:
- Nếu \(k_{obs} \in W_\alpha\), bác bỏ \(H_0\) và chấp nhận \(H_1\).
- Nếu \(k_{obs} \notin W_\alpha\), chưa đủ cơ sở để bác bỏ \(H_0\).
Kiểm định giả thuyết cho kỳ vọng \(\mu\) (Mẫu lớn hoặc đã biết \(\sigma^2\))
Giả sử cần kiểm định giá trị kỳ vọng \(\mu\) của tổng thể với mức \(\mu_0\). Điều kiện: Tổng thể có phân phối chuẩn đã biết \(\sigma^2\), hoặc cỡ mẫu \(n\) lớn (\(n \ge 30\)).
- Giả thuyết \(H_0: \mu = \mu_0\)
- Giá trị kiểm định: \[Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\] (Nếu không biết \(\sigma\) thì dùng độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh \(S\)).
Miền bác bỏ \(W_\alpha\) tùy thuộc vào \(H_1\):
- Kiểm định hai phía (\(H_1: \mu \neq \mu_0\)): \(W_\alpha = (- \infty, -z_{\alpha/2}) \cup (z_{\alpha/2}, +\infty)\)
- Kiểm định phía phải (\(H_1: \mu > \mu_0\)): \(W_\alpha = (z_{\alpha}, +\infty)\)
- Kiểm định phía trái (\(H_1: \mu < \mu_0\)): \(W_\alpha = (-\infty, -z_{\alpha})\)
Ví dụ kiểm định \(\mu\) (Mẫu lớn)
Ví dụ: Một công ty sữa công bố rằng một hộp sữa bột của họ có trọng lượng trung bình là 900g. Tổ chức bảo vệ người tiêu dùng nghi ngờ trọng lượng bị thiếu. Họ tiến hành cân ngẫu nhiên 36 hộp sữa, tính được trọng lượng trung bình mẫu là 895g, với độ lệch chuẩn của mẫu là 12g. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem nghi ngờ trên có đúng không?
Giải:
- Bước 1: \(H_0: \mu = 900\) (Trọng lượng đủ) và \(H_1: \mu < 900\) (Trọng lượng thiếu - kiểm định phía trái).
- Bước 2: Miền bác bỏ: \(W_\alpha = (-\infty, -z_{\alpha})\). Tra bảng \(N(0,1)\), \(z_{\alpha} = 1.645\). Do đó \(W_\alpha = (-\infty, -1.645)\).
- Bước 3: Giá trị kiểm định: \(Z_{obs} = \frac{895 - 900}{12 / \sqrt{36}} = \frac{-5}{2} = -2.5\)
- Bước 4: Vì \(Z_{obs} = -2.5 \in W_\alpha\), nên bác bỏ \(H_0\).
- Kết luận: Trọng lượng trung bình của một hộp sữa nhỏ hơn mức công bố với mức ý nghĩa 5%.
Kiểm định giả thuyết cho kỳ vọng \(\mu\) (Mẫu nhỏ, chưa biết \(\sigma^2\))
Điều kiện: Tổng thể phân phối chuẩn, chưa biết \(\sigma^2\), và mẫu nhỏ (\(n < 30\)).
- Giả thuyết \(H_0: \mu = \mu_0\)
- Giá trị kiểm định: \[T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\]
Miền bác bỏ \(W_\alpha\) tùy thuộc vào \(H_1\):
- Kiểm định hai phía (\(H_1: \mu \neq \mu_0\)): \(W_\alpha = (-\infty, -t_{\alpha/2, n-1}) \cup (t_{\alpha/2, n-1}, +\infty)\)
- Kiểm định phía phải (\(H_1: \mu > \mu_0\)): \(W_\alpha = (t_{\alpha, n-1}, +\infty)\)
- Kiểm định phía trái (\(H_1: \mu < \mu_0\)): \(W_\alpha = (-\infty, -t_{\alpha, n-1})\)
Ví dụ kiểm định \(\mu\) (Mẫu nhỏ)
Ví dụ: Trọng lượng trung bình của 1 con gà thịt xuất chuồng ở trang trại A trước đây là 2.5 kg. Gần đây, trang trại áp dụng chế độ ăn mới. Sau một thời gian, cân thử 16 con gà thì được trung bình mẫu là 2.6 kg và độ lệch chuẩn mẫu là 0.2 kg. Với mức ý nghĩa 0.05, chế độ ăn mới có làm tăng trọng lượng gà hay không? (Giả thiết trọng lượng gà phân phối chuẩn).
Giải:
- \(H_0: \mu = 2.5\) (Không tăng) và \(H_1: \mu > 2.5\) (Kiểm định phía phải)
- Giá trị kiểm định: \(T = \frac{\bar{X} - 2.5}{S/\sqrt{n}}\)
- Miền bác bỏ: \(W_{0.05} = (t_{0.05, 15}, +\infty)\). Tra bảng t-Student: \(t_{0.05, 15} = 1.753\).
- \(T_{obs} = \frac{2.6 - 2.5}{0.2/\sqrt{16}} = \frac{0.1}{0.05} = 2.0\)
- Vì \(2.0 \in (1.753, +\infty)\) nên bác bỏ \(H_0\).
- Kết luận: Có cơ sở để cho rằng chế độ ăn mới làm tăng trọng lượng gà với mức ý nghĩa 5%.
Kiểm định giả thuyết cho phương sai \(\sigma^2\)
Sử dụng khi cần kiểm định mức độ phân tán của dữ liệu (ví dụ: máy đóng gói có đồng đều không). Điều kiện: Tổng thể có phân phối chuẩn.
- Giả thuyết \(H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\)
- Giá trị kiểm định: \[\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\]
Miền bác bỏ \(W_\alpha\):
- \(H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2\): \(W_\alpha = (0, \chi^2_{1-\alpha/2, n-1}) \cup (\chi^2_{\alpha/2, n-1}, +\infty)\)
- \(H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2\): \(W_\alpha = (\chi^2_{\alpha, n-1}, +\infty)\)
- \(H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2\): \(W_\alpha = (0, \chi^2_{1-\alpha, n-1})\)
Ví dụ: Một máy tiện tự động sản xuất các chi tiết với phương sai độ dài theo thiết kế là \(0.05 (\text{mm})^2\). Theo dõi hoạt động của máy, người ta lấy ngẫu nhiên 20 chi tiết và tính được phương sai mẫu hiệu chỉnh là \(0.08 (\text{mm})^2\). Với mức ý nghĩa 5%, máy tiện có chạy ổn định theo đúng thiết kế không?
Giải:
- \(H_0: \sigma^2 = 0.05\) (Ổn định) và \(H_1: \sigma^2 \neq 0.05\) (Kiểm định 2 phía)
- Giá trị kiểm định: \(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0}= \frac{19 \times 0.08}{0.05} = 30.4\)
- Miền bác bỏ 2 phía ở \(\alpha=0.05\), \(df=19\): \(\chi^2_{0.975, 19} = 8.907\) và \(\chi^2_{0.025, 19} = 32.852\)
- Vì \(X^2_{obs} = 30.4\) thuộc đoạn \([8.907, 32.852]\), ta không bác bỏ \(H_0\).
- Kết luận: Chưa đủ cơ sở nói máy tiện hoạt động kém ổn định (phương sai đổi).
Kiểm định giả thuyết cho tỷ lệ \(p\)
Điều kiện: Cỡ mẫu \(n\) lớn sao cho \(n p_0 \ge 5\) và \(n(1-p_0) \ge 5\).
- Giả thuyết \(H_0: p = p_0\)
- Giá trị kiểm định: \[Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}\] (Với \(\hat{p} = \frac{f}{n}\) là tỷ lệ mẫu tính từ dữ liệu)
Miền bác bỏ \(W_\alpha\):
- Kiểm định hai phía (\(H_1: p \neq p_0\)): \(W_\alpha = (- \infty, -z_{\alpha/2}) \cup (z_{\alpha/2}, +\infty)\)
- Kiểm định phía phải (\(H_1: p > p_0\)): \(W_\alpha = (z_{\alpha}, +\infty)\)
- Kiểm định phía trái (\(H_1: p < p_0\)): \(W_\alpha = (-\infty, -z_{\alpha})\)
Ví dụ kiểm định \(p\)
Ví dụ: Theo hồ sơ lưu trữ thì tỷ lệ phế phẩm của một phân xưởng là 8%. Sau khi áp dụng công nghệ mới, kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm thì thấy có 30 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5%, công nghệ mới có thực sự làm giảm tỷ lệ phế phẩm hay không?
Giải:
- \(\hat{p} = 30/500 = 0.06\). Gọi \(p\) là tỷ lệ phế phẩm theo công nghệ mới.
- \(H_0: p = 0.08\) (Không giảm) và \(H_1: p < 0.08\) (Công nghệ mới làm giảm)
- Tiêu chuẩn kiểm định: \(Z = \frac{0.06 - 0.08}{\sqrt{\frac{0.08 \times 0.92}{500}}} \approx -1.644\)
- Miền bác bỏ phía trái: \(W_{0.05} = (-\infty, -z_{0.05})\). Ta có \(z_{0.05} = 1.645\).
- Do \(Z_{obs} = -1.644 \notin W_{0.05}\) (do \(-1.644 > -1.645\)), ta chưa đủ cơ sở bác bỏ \(H_0\).
- Kết luận: Tỷ lệ phế phẩm thực sự có giảm ở mẫu (6% < 8%) nhưng chưa đủ cơ sở thống kê ở mức 5% để kết luận công nghệ mới hiệu quả biểu hiện rõ rệt cho cả tổng thể.
Mối quan hệ giữa Ước lượng khoảng và Kiểm định giả thuyết
Kiểm định giả thuyết 2 phía ở mức ý nghĩa \(\alpha\) tương đương với bài toán xây dựng khoảng tin cậy ở độ tin cậy \(1-\alpha\):
Giả sử kiểm định \(H_0: \theta = \theta_0\) so với \(H_1: \theta \neq \theta_0\) với mức ý nghĩa \(\alpha\).
- Ta xây dựng khoảng tin cậy \((L, U)\) cho \(\theta\) ở độ tin cậy \(1-\alpha\).
- Nếu \(\theta_0 \notin (L, U)\), ta bác bỏ \(H_0\).
- Nếu \(\theta_0 \in (L, U)\), ta chấp nhận (chưa đủ cơ sở bác bỏ) \(H_0\).
Ý nghĩa: Khoảng tin cậy là phương pháp đưa ra một “phạm vi” giá trị hợp lý của tham số, còn kiểm định giả thuyết giúp xem xét một “giá trị cụ thể” (như \(\theta_0\)) có nằm trong phạm vi hợp lý đó hay không.
Kết luận chương Kiểm định
- Khác với bài toán Ước lượng (tìm dải giá trị), Kiểm định giả thuyết là bài toán quyết định (Yes/No) có rủi ro (đo bằng mức ý nghĩa \(\alpha\)).
- Cách tiếp cận cốt lõi: Giả sử \(H_0\) là đúng \(\Rightarrow\) Tính toán khả năng kết quả của mẫu xảy ra (P-value hoặc Tiêu chuẩn kiểm định). Nếu quá khó xảy ra (rơi vào miền bác bỏ) \(\Rightarrow\) Bác bỏ \(H_0\).
- Sự kết hợp giữa Ước lượng (biết tham số nằm ở đâu) và Kiểm định (có sự khác biệt hay không) chính là nền tảng của Thống kê Suy diễn, hỗ trợ ra quyết định xuất sắc trong Kinh tế và Kinh doanh.
Phân tích phương sai một yếu tố
Nội dung
Đây là một bài toán kiểm định giả thuyết thống kê dùng để đánh giá sự tác động của một yếu tố định tính lên một biến định lượng.
Quy trình được thực hiện như sau:
- Xác định giả thuyết:
- Giả thuyết không (\(H_0\)): Không có sự khác biệt về trung bình giữa các nhóm (\(\mu_1 = \mu_2=\dots=\mu_k\)).
- Giả thuyết đối (\(H_1\)): Có ít nhất một nhóm có trung bình khác biệt so với các nhóm còn lại.
- Giả thuyết không (\(H_0\)): Không có sự khác biệt về trung bình giữa các nhóm (\(\mu_1 = \mu_2=\dots=\mu_k\)).
- Tính toán thống kê F:
Tính tổng bình phương giữa các nhóm (SSB) và tổng bình phương trong nhóm (SSW). \[SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{x}_i - \bar{x})^2\] \[SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x}_i)^2\]
Tính trung bình bình phương giữa các nhóm (MSB) và trung bình bình phương trong nhóm (MSW). \[MSB = \frac{SSB}{k - 1}\] \[MSW = \frac{SSW}{N - k}\]
Tính thống kê F: \[F = \frac{MSB}{MSW}\]
- Tra bảng
Tra bảng phân phối Fisher để tìm giá trị tới hạn: \[F_{critical} = F_{\alpha, k-1, n-k}\] Với \(k-1\) là bậc tự do của tử số và \(n-k\) là bậc tự do của mẫu số.
- Quy tắc bác bỏ:
- Nếu \(F > F_{critical}\), bác bỏ giả thuyết không (H0).
- Nếu \(F \leq F_{critical}\), không bác bỏ giả thuyết không (H0).
- Nếu \(F > F_{critical}\), bác bỏ giả thuyết không (H0).
ví dụ: Dữ liệu nghiên cứu về ảnh hưởng của 3 loại phân bón (A, B, C) đến năng suất lúa (tạ/ha) trên 36 lô đất được ghi nhận lại như sau:
| Loại A (\(n_1=12\)) | Loại B (\(n_2=12\)) | Loại C (\(n_3=12\)) |
|---|---|---|
| 20, 22, 19, 21 | 25, 28, 26, 29 | 18, 17, 20, 19 |
| 20, 22, 19, 21 | 25, 28, 26, 29 | 18, 17, 20, 19 |
| 20, 22, 19, 21 | 25, 28, 26, 29 | 18, 17, 20, 19 |
Yêu cầu: Với mức ý nghĩa \(\alpha = 0.05\), hãy kiểm tra xem năng suất lúa trung bình khi sử dụng 3 loại phân bón này có khác nhau hay không?
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính các giá trị trung bình (Mean)
- Trung bình nhóm A: \(\bar{x}_1 = 246 / 12 = 20.5\)
- Trung bình nhóm B: \(\bar{x}_2 = 324 / 12 = 27.0\)
- Trung bình nhóm C: \(\bar{x}_3 = 222 / 12 = 18.5\)
- Trung bình chung (Tổng 36 số / 36): \(\bar{x} = 22.0\)
Bước 2: Tính các tổng bình phương (Sum of Squares)
- Tổng bình phương giữa các nhóm: \(SSB = 12(20.5-22)^2 + 12(27-22)^2 + 12(18.5-22)^2 = 474\)
- Tổng bình phương nội bộ nhóm: \(SSW = SSW_A + SSW_B + SSW_C = 15 + 30 + 15 = 60\)
- Tổng bình phương tổng cộng: \(SST = SSB + SSW = 534\)
Bước 3: Tính trung bình bình phương (Mean Squares) và giá trị F
- Bậc tự do: \(df_1 = 3 - 1 = 2\) ; \(df_2 = 36 - 3 = 33\)
- \(MSB = 474 / 2 = 237\)
- \(MSW = 60 / 33 \approx 1.8182\)
- Giá trị kiểm định: \(F = 237 / 1.8182 \approx 130.35\)
Bước 4: Tra bảng và kết luận
- Tra bảng Fisher: \(F_{0.05}(2, 33) \approx 3.28\)
- So sánh: \(F (130.35) > F_{crit} (3.28)\)
- Kết luận: Bác bỏ \(H_0\). Có sự khác biệt về năng suất trung bình giữa 3 loại phân bón.