1. Case Study 1

Confidence Interval for Mean, \(\sigma\) Known: An e-commerce platform wants to estimate the average number of daily transactions per user after launching a new feature. Based on large-scale historical data, the population standard deviation is known.

\[ \begin{eqnarray*} \sigma &=& 3.2 \quad \text{(population standard deviation)} \\ n &=& 100 \quad \text{(sample size)} \\ \bar{x} &=& 12.6 \quad \text{(sample mean)} \end{eqnarray*} \]

Tasks

Identify the appropriate statistical test and justify your choice.
Compute the Confidence Intervals for:
- \(90\%\)
- \(95\%\)
- \(99\%\)
Create a comparison visualization of the three confidence intervals.
Interpret the results in a business analytics context.

Jawaban:

1.1 Uji statistik

Uji statistik yang digunakan dalam analisis ini adalah Uji Z (Z-Confidence Interval untuk Mean), dengan alasan sebagai berikut:

Simpangan baku populasi (σ) diketahui, sehingga memenuhi syarat utama penggunaan distribusi Z.
Ukuran sampel besar (n = 100 > 30), sehingga distribusi rata-rata sampel dapat diasumsikan mendekati distribusi normal berdasarkan Teorema Limit Pusat.
Tujuan analisis adalah mengestimasi rata-rata populasi, bukan untuk membandingkan dua kelompok atau melakukan pengujian hipotesis.

Oleh karena itu, interval kepercayaan berbasis distribusi normal standar (Z) merupakan metode yang paling tepat digunakan dalam kasus ini.

1.2. Menghitung Interval Kepercayaan

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi dengan simpangan baku (σ) diketahui dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

\[ CI = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]

dengan keterangan:

\(\bar{x}\) : rata-rata sampel
\(\sigma\) : simpangan baku populasi
\(n\) : ukuran sampel
\(Z_{\alpha/2}\) : nilai kritis distribusi normal standar

Data yang digunakan dalam perhitungan interval kepercayaan ini adalah sebagai berikut:

\[ \begin{aligned} \sigma &= 3.2 \quad \text{(population standard deviation)} \\ n &= 100 \quad \text{(sample size)} \\ \bar{x} &= 12.6 \quad \text{(sample mean)} \end{aligned} \]

A. Interval Kepercayaan 90%

Nilai Kritis Z
Tingkat signifikansi untuk CI 90%:

\[ \alpha = 0.10 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.05 \]

Berdasarkan tabel distribusi normal standar:

\[ Z_{0.05} = 1.645 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3.2}{\sqrt{100}} = 0.32 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = Z_{\alpha/2} \times SE \]

\[ ME = 1.645 \times 0.32 = 0.5264 \]
Interval Kepercayaan 90%

\[ CI_{90\%} = \bar{x} \pm ME \]

\[ CI_{90\%} = 12.6 \pm 0.5264 \]

\[ CI_{90\%} = (12.0736, 13.1264) \approx (12.07, 13.13) \]

B. Interval Kepercayaan 95%

Nilai Kritis Z
Tingkat signifikansi untuk CI 95%:

\[ \alpha = 0.05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.025 \]

Berdasarkan tabel distribusi normal standar:

\[ Z_{0.025} = 1.96 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3.2}{\sqrt{100}} = 0.32 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = Z_{\alpha/2} \times SE \]

\[ ME = 1.96 \times 0.32 = 0.6272 \]
Interval Kepercayaan 95%

\[ CI_{95\%} = \bar{x} \pm ME \]

\[ CI_{95\%} = 12.6 \pm 0.6272 \]

\[ CI_{95\%} = (11.9728, 13.2272) \approx (11.97, 13.23) \]

C. Interval Kepercayaan 99%

Nilai Kritis Z
Tingkat signifikansi untuk CI 99%:

\[ \alpha = 0.01 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.005 \]

Berdasarkan tabel distribusi normal standar:

\[ Z_{0.005} = 2.576 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3.2}{\sqrt{100}} = 0.32 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = Z_{\alpha/2} \times SE \]

\[ ME = 2.576 \times 0.32 = 0.8243 \]
Interval Kepercayaan 99%

\[ CI_{99\%} = \bar{x} \pm ME \]

\[ CI_{99\%} = 12.6 \pm 0.824 \]

\[ CI_{99\%} = (11.776, 13.424) \approx (11.78, 13.42) \]

Tingkat Kepercayaan	Z α/2	SE	Margin of Error (ME)	Interval Kepercayaan (CI)
90%	1.645	0.32	0.5264	(12.07, 13.13)
95%	1.96	0.32	0.6272	(11.97, 13.23)
99%	2.575	0.32	0.824	(11.78, 13.42)

1.3. Visualisasi

library(plotly)

# =========================
# Parameter dasar
# =========================
mean_x <- 12.6
sigma <- 3.2
n <- 100
se <- sigma / sqrt(n)

# CI levels dengan warna
ci_levels <- data.frame(
  CI = c("99%", "95%", "90%"),
  t = c(3.106, 2.201, 1.796),
  color = c("rgba(186,85,211,0.30)",  # 99%
            "rgba(100,149,237,0.35)", # 95%
            "rgba(144,238,144,0.45)") # 90%
)

# Hitung Lower & Upper
ci_levels$Lower <- mean_x - ci_levels$t * se
ci_levels$Upper <- mean_x + ci_levels$t * se

# =========================
# Density curve
# =========================
x <- seq(mean_x - 4*se, mean_x + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mean_x, sd = se)

# =========================
# Plot interaktif
# =========================
p <- plot_ly()

# Kurva density
p <- p %>% add_lines(x = x, y = y, line = list(color="black"), name="Density",
                     hovertemplate = "X: %{x}<br>Density: %{y}<extra></extra>")

for(i in 1:nrow(ci_levels)){
  idx <- x >= ci_levels$Lower[i] & x <= ci_levels$Upper[i]
  p <- p %>% add_polygons(
    x = c(x[idx], rev(x[idx])),
    y = c(y[idx], rep(0, sum(idx))),
    fillcolor = ci_levels$color[i],
    line = list(color = "rgba(0,0,0,0)"),
    name = paste("CI", ci_levels$CI[i]),
    hovertemplate = paste0(
      "<b>CI ", ci_levels$CI[i], "</b><br>",
      "LCL = ", round(ci_levels$Lower[i],2), "<br>",
      "UCL = ", round(ci_levels$Upper[i],2),
      "<extra></extra>"
    )
  )
}

# Garis mean
p <- p %>% add_lines(
  x = c(mean_x, mean_x), y = c(0, max(y)),
  line = list(dash="dash", color="black"),
  name = "Mean",
  hovertemplate = paste0("<b>Mean</b><br>Value = ", mean_x, "<extra></extra>")
)

# Tambahkan label mean di atas garis
p <- p %>% add_annotations(
  x = mean_x, 
  y = max(y) * 1.05,  # sedikit di atas puncak density
  text = paste0("Mean = ", mean_x),
  showarrow = TRUE,
  arrowhead = 2,
  arrowsize = 1,
  arrowcolor = "black",
  font = list(color="black", size=12),
  ax = 0,
  ay = -30
)

# Layout
x_start <- floor(mean_x - 4*se)
x_end <- ceiling(mean_x + 4*se)

# =========================
# Layout
# =========================
p <- p %>% layout(
  title = list(
    text = "<b>Interval Kepercayaan</b>",
    x = 0.5
  ),
  margin = list(t = 100, b = 60), 
  xaxis = list(title = "Rata-rata Sampel"),
  yaxis = list(title = "Density"),
  hovermode = "x",          
  hoverlabel = list(
    bgcolor = "white",
    font = list(color = "black"),
    align = "left"
  ),
  legend = list(
    orientation = "h",
    x = 0.5,
    xanchor = "center",
    y = -0.2
  )
)

p

1.4. Interpretasi Hasil Interval Kepercayaan

Rata-rata transaksi harian per pengguna diperkirakan sekitar 12.6 transaksi. Interval kepercayaan menunjukkan rentang nilai rata-rata yang mungkin:

90% CI: 12.07 – 13.13
95% CI: 11.97 – 13.23
99% CI: 11.78 – 13.42

Semakin tinggi tingkat kepercayaan, interval semakin lebar. Artinya, kita lebih yakin rata-rata sebenarnya berada di dalam rentang tersebut, tetapi estimasi menjadi kurang presisi.

Dalam konteks bisnis:

Interval kepercayaan membantu merencanakan kapasitas, stok, dan promosi dengan lebih tepat.
Batas bawah CI bisa digunakan untuk perkiraan konservatif, sedangkan batas atas untuk perkiraan optimis.
Data ini memungkinkan pengambilan keputusan berbasis angka, misalnya menilai apakah target peningkatan transaksi realistis atau tidak.

Intinya: Interval kepercayaan memberikan gambaran realistis tentang rata-rata transaksi harian, bukan sekadar angka tunggal, sehingga strategi bisnis bisa lebih aman dan terukur.

2. Case Study 2

Confidence Interval for Mean, \(\sigma\) Unknown: A UX Research team analyzes task completion time (in minutes) for a new mobile application. The data are collected from 12 users:

\[ 8.4,\; 7.9,\; 9.1,\; 8.7,\; 8.2,\; 9.0,\; 7.8,\; 8.5,\; 8.9,\; 8.1,\; 8.6,\; 8.3 \]

Tasks:

Identify the appropriate statistical test and explain why.
Compute the Confidence Intervals for:
- \(90\%\)
- \(95\%\)
- \(99\%\)
Visualize the three intervals on a single plot.
Explain how sample size and confidence level influence the interval width.

Jawaban:

2.1. Uji Statistik yang Tepat

Uji statistik yang digunakan dalam analisis ini adalah Uji t (t-Confidence Interval untuk Mean).

Pemilihan uji ini didasarkan pada beberapa pertimbangan berikut:

Simpangan baku populasi (σ) tidak diketahui, sehingga harus diestimasi dari data sampel.
Ukuran sampel kecil (n = 12 < 30), sehingga penggunaan distribusi t lebih tepat dibandingkan distribusi normal.
Data diasumsikan berasal dari populasi yang berdistribusi normal, yang merupakan asumsi umum dalam analisis UX time-on-task.

Oleh karena itu, interval kepercayaan berbasis distribusi t-Student merupakan metode yang paling tepat digunakan dalam kasus ini.

2.2. Menghitung Interval Kepercayaan

Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi dengan simpangan baku populasi (\(\sigma\)) tidak diketahui dihitung menggunakan rumus sebagai berikut:

\[ CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\, n-1} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]

dengan keterangan:

\(\bar{x}\) : rata-rata sampel
\(s\) : simpangan baku sampel
\(n\) : ukuran sampel
\(t_{\alpha/2,\, n-1}\) : nilai kritis distribusi t

Data yang digunakan dalam perhitungan interval kepercayaan ini adalah sebagai berikut:

\[ 8.4,\; 7.9,\; 9.1,\; 8.7,\; 8.2,\; 9.0,\; 7.8,\; 8.5,\; 8.9,\; 8.1,\; 8.6,\; 8.3 \]

Jumlah sampel adalah:

\[ n = 12 \]

Rata-rata sampel dihitung menggunakan rumus:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

\[ \bar{x} = \frac{101.5}{12} = 8.4583 \]

Simpangan baku sampel dihitung menggunakan rumus:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \]

Dengan rata-rata sampel:

\[ \bar{x} = 8.4583 \]

Perhitungan selisih setiap data terhadap rata-rata ditunjukkan pada tabel berikut:

\(x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)
8.4	-0.0583	0.0034
7.9	-0.5583	0.3117
9.1	0.6417	0.4118
8.7	0.2417	0.0584
8.2	-0.2583	0.0667
9.0	0.5417	0.2934
7.8	-0.6583	0.4334
8.5	0.0417	0.0017
8.9	0.4417	0.1951
8.1	-0.3583	0.1284
8.6	0.1417	0.0201
8.3	-0.1583	0.0251

Jumlah kuadrat selisih diperoleh sebagai berikut:

\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 1.949 \]

Sehingga simpangan baku sampel adalah:

\[ s = \sqrt{\frac{1.949}{11}} = \sqrt{0.1772} = 0.421 \approx 0.42 \]

A. Interval Kepercayaan 90%

Nilai Kritis t
Tingkat signifikansi untuk CI 90%:

\[ \alpha = 0.10 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.05 \]

Derajat bebas:

\[ df = n - 1 = 11 \]

Berdasarkan tabel distribusi t:

\[ t_{0.05,11} = 1.796 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.42}{\sqrt{12}} = 0.1212 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = t_{\alpha/2} \times SE \]

\[ ME = 1.796 \times 0.1212 = 0.2176 \]
Interval Kepercayaan 90%

\[ CI_{90\%} = \bar{x} \pm ME \]

\[ CI_{90\%} = 8.4583 \pm 0.2176 \]

\[ CI_{90\%} =(8.2407,8.6759)≈(8.24,\; 8.68) \]

B. Interval Kepercayaan 95%

Nilai Kritis t

\[ \alpha = 0.05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.025 \]

\[ t_{0.025,11} = 2.201 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.42}{\sqrt{12}} = 0.1212 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = 2.201 \times 0.1212 = 0.2667 \]
Interval Kepercayaan 95%

\[ CI_{95\%} = 8.4583 \pm 0.2667 \]

\[ CI_{95\%} = =(8.1916,8.725)≈(8.19,\; 8.73) \]

C. Interval Kepercayaan 99%

Nilai Kritis t

\[ \alpha = 0.01 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.005 \]

\[ t_{0.005,11} = 3.106 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.42}{\sqrt{12}} = 0.1212 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = 3.106 \times 0.1212 = 0.3764 \]
Interval Kepercayaan 99%

\[ CI_{99\%} = 8.4583 \pm 0.3764 \]

\[ CI_{99\%} = =(8.0819,8.8347)≈(8.08,\; 8.83) \]

2.3. Visualisasi

library(plotly)

# =========================
# Parameter dasar
# =========================
mean_x <- 8.4583
se <- 0.1212

# CI levels (t-test, df = 11)
ci_levels <- data.frame(
  CI = c("99%", "95%", "90%"),
  t = c(3.106, 2.201, 1.796),
  color = c("rgba(186,85,211,0.30)",  # 99%
            "rgba(100,149,237,0.35)", # 95%
            "rgba(144,238,144,0.45)") # 90%
)

# Hitung batas CI
ci_levels$Lower <- mean_x - ci_levels$t * se
ci_levels$Upper <- mean_x + ci_levels$t * se

# =========================
# Density curve
# =========================
x <- seq(mean_x - 4*se, mean_x + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mean_x, sd = se)

# =========================
# Plot interaktif
# =========================
p <- plot_ly()

# Kurva density
p <- p %>% add_lines(
  x = x, y = y,
  line = list(color = "black"),
  name = "Density",
  hovertemplate = "X: %{x}<br>Density: %{y}<extra></extra>"
)

# Area CI
for(i in 1:nrow(ci_levels)){
  idx <- x >= ci_levels$Lower[i] & x <= ci_levels$Upper[i]
  p <- p %>% add_polygons(
    x = c(x[idx], rev(x[idx])),
    y = c(y[idx], rep(0, sum(idx))),
    fillcolor = ci_levels$color[i],
    line = list(color = "rgba(0,0,0,0)"),
    name = paste("CI", ci_levels$CI[i]),
    hovertemplate = paste0(
      "<b>CI ", ci_levels$CI[i], "</b><br>",
      "LCL = ", round(ci_levels$Lower[i],4), "<br>",
      "UCL = ", round(ci_levels$Upper[i],4),
      "<extra></extra>"
    )
  )
}

# Garis mean
p <- p %>% add_lines(
  x = c(mean_x, mean_x),
  y = c(0, max(y)),
  line = list(dash = "dash", color = "black"),
  name = "Mean",
  hovertemplate = paste0(
    "<b>Mean</b><br>Value = ", round(mean_x,4),
    "<extra></extra>"
  )
)

# Label mean
p <- p %>% add_annotations(
  x = mean_x,
  y = max(y) * 1.05,
  text = paste0("Mean = ", round(mean_x,4)),
  showarrow = TRUE,
  arrowhead = 2,
  ax = 0,
  ay = -30
)

# =========================
# Layout
# =========================
p <- p %>% layout(
  title = list(
    text = "<b>Interval Kepercayaan t-Test (df = 11)</b>",
    x = 0.5
  ),
  margin = list(t = 120, b = 60),
  xaxis = list(title = "Rata-rata Sampel"),
  yaxis = list(title = "Density"),
  hovermode = "x",
  legend = list(
    orientation = "h",
    x = 0.5,
    xanchor = "center",
    y = -0.2
  )
)

p

Interpretasi

Rata-rata penyelesaian tugas per pengguna diperkirakan sekitar 8.4583 menit. Interval kepercayaan menunjukkan rentang nilai rata-rata yang mungkin:

90% CI: 8.24 – 8.68
95% CI: 8.19 – 8.73
99% CI: 8.08 – 8.83

Semakin tinggi tingkat kepercayaan, interval semakin lebar. Artinya, kita lebih yakin rata-rata sebenarnya berada di dalam rentang tersebut, tetapi estimasi menjadi kurang presisi.

Dalam konteks bisnis:

Interval kepercayaan membantu menilai kinerja aplikasi dan merencanakan perbaikan UX dengan lebih tepat.
Batas bawah CI bisa digunakan untuk perkiraan konservatif, sedangkan batas atas untuk perkiraan optimis.
Data ini memungkinkan pengambilan keputusan berbasis angka, misalnya menilai apakah rata-rata penyelesaian tugas memenuhi target waktu atau perlu perbaikan.

Intinya: Interval kepercayaan memberikan gambaran realistis tentang rata-rata penyelesaian tugas, bukan sekadar angka tunggal, sehingga strategi bisnis bisa lebih aman dan terukur.

2.4. Bagaimana Sampel & Confidence Level Mempengaruhi Lebar CI

1. Ukuran Sampel (n)

Semakin besar ukuran sampel, lebar interval kepercayaan semakin sempit.
Hal ini terjadi karena standard error (SE) berkurang saat n bertambah:

\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Contoh:

Sampel kecil → SE besar → CI lebih lebar → estimasi rata-rata kurang presisi.
Sampel besar → SE kecil → CI lebih sempit → estimasi rata-rata lebih presisi.

Intinya: Lebih banyak data → perkiraan rata-rata populasi lebih akurat.

2. Tingkat Kepercayaan (Confidence Level)

Semakin tinggi tingkat kepercayaan, lebar CI semakin lebar.

Contoh:

90% CI → lebih sempit
95% CI → lebih lebar
99% CI → paling lebar

Alasan: Tingkat kepercayaan yang tinggi berarti kita ingin lebih yakin bahwa rata-rata populasi berada di dalam interval, sehingga rentang harus diperluas.

3. Ringkasan

Faktor	Pengaruh pada Lebar CI	Penjelasan
Ukuran sampel (n)	Semakin besar → semakin sempit	Lebih banyak data → estimasi rata-rata lebih akurat
Tingkat kepercayaan	Semakin tinggi → semakin lebar	Lebih yakin → rentang perkiraan lebih luas

4. Kesimpulan

Ukuran sampel dan tingkat kepercayaan adalah dua faktor utama yang memengaruhi lebar CI.
Dengan memahami keduanya, kita bisa membuat perkiraan rata-rata populasi yang lebih presisi dan mengambil keputusan berbasis data dengan lebih tepat.

3. Case Study 3

Confidence Interval for a Proportion, A/B Testing: A data science team runs an A/B test on a new Call-To-Action (CTA) button design. The experiment yields:

\[ \begin{eqnarray*} n &=& 400 \quad \text{(total users)} \\ x &=& 156 \quad \text{(users who clicked the CTA)} \end{eqnarray*} \]

Tasks:

Compute the sample proportion \(\hat{p}\).
Compute Confidence Intervals for the proportion at:
- \(90\%\)
- \(95\%\)
- \(99\%\)
Visualize and compare the three intervals.
Explain how confidence level affects decision-making in product experiments.

Jawaban:

3.1. Menghitung Proporsi Sampel (\(\hat{p}\))

Proporsi sampel dihitung dengan rumus:

\[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]

Dengan data:

\[ x = 156 \quad \text{(jumlah pengguna yang mengklik CTA)} \]

\[ n = 400 \quad \text{(total pengguna)} \]

\[ \hat{p} = \frac{156}{400} = 0.39 \]

Kesimpulan:
Sekitar 39% pengguna mengklik tombol CTA.

3.2. Menghitung Interval Kepercayaan

Interval kepercayaan untuk Proporsi (A/B Testing) sebagai berikut:

Rumus interval kepercayaan untuk proporsi:

\[ CI = \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

dengan keterangan:

\(\hat{p}\) : proporsi sampel
\(n\) : ukuran sampel
\(Z_{\alpha/2}\) : nilai kritis distribusi normal standar

Data yang digunakan:

\[ n = 400, \quad x = 156, \quad \hat{p} = 0.39 \]

A. Interval Kepercayaan 90%

Nilai Kritis Z

\[ \alpha = 0.10 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.05 \]

\[ Z_{0.05} = 1.645 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} \approx 0.0244 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = Z_{\alpha/2} \times SE = 1.645 \times 0.0244 \approx 0.0401 \]
Interval Kepercayaan 90%

\[ CI_{90\%} = 0.39 \pm 0.0401 \]

\[ CI_{90\%} =(0.3499,0.4301)≈(0.35,0.43) \]

B. Interval Kepercayaan 95%

Nilai Kritis Z

\[ \alpha = 0.05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.025 \]

\[ Z_{0.025} = 1.96 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} \approx 0.0244 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = 1.96 \times 0.0244 \approx 0.0478 \]
Interval Kepercayaan 95%

\[ CI_{95\%} = 0.39 \pm 0.0478 \]

\[ CI_{95\%} =(0.3422,0.4378)≈(0.34,0.44) \]

C. Interval Kepercayaan 99%

Nilai Kritis Z

\[ \alpha = 0.01 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.005 \]

\[ Z_{0.005} = 2.575 \]
Standard Error (SE)

\[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} \approx 0.0244 \]
Margin of Error (ME)

\[ ME = 2.575 \times 0.0244 \approx 0.0629 \]
Interval Kepercayaan 99%

\[ CI_{99\%} = 0.39 \pm 0.0629 \]

\[ CI_{99\%} =(0.3271,0.4529)≈(0.33,0.45) \]

3.3. Visualisasi

library(plotly)

# =========================
# Parameter dasar
# =========================

p_hat <- 0.39
n <- 400
se <- sqrt(p_hat*(1-p_hat)/n)

# CI levels dengan warna

ci_levels <- data.frame(
CI = c("99%", "95%", "90%"),
Z = c(2.575, 1.96, 1.645),
color = c("rgba(186,85,211,0.30)",  # 99%
"rgba(100,149,237,0.35)", # 95%
"rgba(144,238,144,0.45)") # 90%
)

# Hitung Lower & Upper

ci_levels$Lower <- p_hat - ci_levels$Z * se
ci_levels$Upper <- p_hat + ci_levels$Z * se

# =========================
# Density curve (Normal approx)
# =========================

x <- seq(p_hat - 4*se, p_hat + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_hat, sd = se)

# =========================
# Plot interaktif
# =========================

p <- plot_ly()

# Kurva density

p <- p %>% add_lines(x = x, y = y, line = list(color="black"), name="Density",
hovertemplate = "Proportion: %{x}<br>Density: %{y}<extra></extra>")

# Polygon CI

for(i in 1:nrow(ci_levels)){
idx <- x >= ci_levels$Lower[i] & x <= ci_levels$Upper[i]
p <- p %>% add_polygons(
x = c(x[idx], rev(x[idx])),
y = c(y[idx], rep(0, sum(idx))),
fillcolor = ci_levels$color[i],
line = list(color = "rgba(0,0,0,0)"),
name = paste("CI", ci_levels$CI[i]),
hovertemplate = paste0(
"<b>CI ", ci_levels$CI[i], "</b><br>",
"LCL = ", round(ci_levels$Lower[i],3), "<br>",
"UCL = ", round(ci_levels$Upper[i],3),
"<extra></extra>"
)
)
}

# Garis mean (p_hat)

p <- p %>% add_lines(
x = c(p_hat, p_hat), y = c(0, max(y)),
line = list(dash="dash", color="black"),
name = "Sample Proportion",
hovertemplate = paste0("<b>Sample Proportion</b><br>Value = ", p_hat, "<extra></extra>")
)

# Label mean

p <- p %>% add_annotations(
x = p_hat,
y = max(y) * 1.05,
text = paste0("p̂ = ", p_hat),
showarrow = TRUE,
arrowhead = 2,
arrowsize = 1,
arrowcolor = "black",
font = list(color="black", size=12),
ax = 0,
ay = -30
)

# Layout

p <- p %>% layout(
title = list(
text = "<b>Interval Kepercayaan untuk Proporsi</b>",
x = 0.5
),
margin = list(t = 100, b = 60),
xaxis = list(title = "Proporsi Sampel"),
yaxis = list(title = "Density"),
hovermode = "x",
hoverlabel = list(
bgcolor = "white",
font = list(color = "black"),
align = "left"
),
legend = list(
orientation = "h",
x = 0.5,
xanchor = "center",
y = -0.2
)
)

p

Interpretasi

Tingkat CI	Rentang (LCL – UCL)	Artinya
90%	0.35 – 0.43	Lebih sempit → estimasi lebih tepat, tapi keyakinan sedikit lebih rendah
95%	0.34 – 0.44	Standar umum → keseimbangan antara ketepatan dan keyakinan
99%	0.33 – 0.45	Paling lebar → sangat yakin proporsi sebenarnya ada di sini, tapi rentangnya kurang presisi

Semakin tinggi tingkat kepercayaan → rentang CI lebih lebar → kita lebih yakin proporsi sebenarnya ada di dalamnya, tapi estimasinya kurang tepat.

3.4. Pengaruh Tingkat Kepercayaan

Tingkat kepercayaan dalam interval kepercayaan menunjukkan seberapa yakin kita bahwa nilai proporsi sebenarnya berada dalam rentang yang dihitung.

Tingkat Kepercayaan Tinggi (misalnya 99%) Kita sangat yakin bahwa hasilnya benar, tetapi interval kepercayaannya menjadi lebih lebar.
Akibatnya, tim produk biasanya akan lebih berhati-hati dan cenderung menunda keputusan sampai tersedia data tambahan.
Tingkat Kepercayaan Sedang (misalnya 95%) Memberikan keseimbangan antara tingkat keyakinan dan kecepatan pengambilan keputusan.
Tingkat ini paling sering digunakan dalam A/B testing karena cukup meyakinkan tanpa terlalu memperlambat proses pengambilan keputusan.
Tingkat Kepercayaan Lebih Rendah (misalnya 90%) Interval kepercayaan lebih sempit sehingga hasil terlihat lebih jelas, namun risiko pengambilan keputusan yang salah menjadi lebih besar.
Pendekatan ini cocok untuk eksperimen kecil atau perubahan dengan risiko yang relatif rendah.

Intinya Semakin tinggi tingkat kepercayaan, semakin yakin kita terhadap hasil, tetapi proses pengambilan keputusan menjadi lebih lambat dan hati-hati.
Sebaliknya, tingkat kepercayaan yang lebih rendah memungkinkan keputusan diambil lebih cepat, tetapi dengan risiko yang lebih besar.

4. Case Study 4

Precision Comparison (Z-Test vs t-Test): Two data teams measure API latency (in milliseconds) under different conditions.

\[\begin{eqnarray*} \text{Team A:} \\ n &=& 36 \quad \text{(sample size)} \\ \bar{x} &=& 210 \quad \text{(sample mean)} \\ \sigma &=& 24 \quad \text{(known population standard deviation)} \\[6pt] \text{Team B:} \\ n &=& 36 \quad \text{(sample size)} \\ \bar{x} &=& 210 \quad \text{(sample mean)} \\ s &=& 24 \quad \text{(sample standard deviation)} \end{eqnarray*}\]

Tasks

Identify the statistical test used by each team.
Compute Confidence Intervals for 90%, 95%, and 99%.
Create a visualization comparing all intervals.
Explain why the interval widths differ, even with similar data.

Jawaban:

4.1. Uji Statistik yang Digunakan

Tim A
- Simpangan baku populasi diketahui: \(\sigma = 24\)
- Ukuran sampel: \(n = 36\)
- Rumus yang digunakan: Z-Test / Z-Interval
\[ CI = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Tim B
- Simpangan baku populasi tidak diketahui, hanya simpangan baku sampel: \(s = 24\)
- Ukuran sampel: \(n = 36\)
- Rumus yang digunakan: t-Test / t-Interval
\[ CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Intinya
- Jika \(\sigma\) diketahui → gunakan Z-Test
- Jika \(\sigma\) tidak diketahui → gunakan t-Test

4.2. Menghitung interval kepercayaan

Data:

Jumlah sampel: \(n = 36\)
Rata-rata sampel: \(\bar{x} = 210\)
Simpangan baku: \(\sigma\) atau \(s = 24\)
Standard Error: \[ SE = \frac{\text{simpangan baku}}{\sqrt{n}} = \frac{24}{6} = 4 \]

Tim A (Z-Test, \(\sigma\) diketahui)

Rumus:

\[ CI = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot SE \]

Interval Kepercayaan 90%
- Nilai Kritis Z: \(Z_{0.05} = 1.645\)
- Margin of Error: \(ME = 1.645 \cdot 4 = 6.58\)
- CI 90%: \(210 \pm 6.58 = (203.42, 216.58)\)
Interval Kepercayaan 95%
- Nilai Kritis Z: \(Z_{0.025} = 1.96\)
- Margin of Error: \(ME = 1.96 \cdot 4 = 7.84\)
- CI 95%: \(210 \pm 7.84 = (202.16, 217.84)\)
Interval Kepercayaan 99%
- Nilai Kritis Z: \(Z_{0.005} = 2.576\)
- Margin of Error: \(ME = 2.575 \cdot 4 = 10.30\)
- CI 99%: \(210 \pm 10.30 = (199.70, 220.30)\)

Tim B (t-Test, \(\sigma\) tidak diketahui, \(s = 24\), df = 35)

Rumus:

\[ CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot SE \]

Nilai t dari interpolasi (df = 35):

Tingkat CI	df 30	df 40	Interpolasi t35
90%	1.697	1.684	1.691
95%	2.042	2.021	2.032
99%	2.750	2.704	2.727

Interval Kepercayaan 90%
- Margin of Error: \(ME = 1.691 \cdot 4 \approx 6.764\)
- CI 90%: \(210 \pm 6.764 = (203.236, 216.764)\)
Interval Kepercayaan 95%
- Margin of Error: \(ME = 2.032 \cdot 4 \approx 8.128\)
- CI 95%: \(210 \pm 8.128 = (201.872, 218.128)\)
Interval Kepercayaan 99%
- Margin of Error: \(ME = 2.727 \cdot 4 \approx 10.908\)
- CI 99%: \(210 \pm 10.908 = (199.092, 220.908)\)

4.3. Visualisasi

library(plotly)

# =========================
# Fungsi buat plot CI
# =========================

plot_CI <- function(mean_x, se, ci_levels, title_text, show_legend = TRUE){

x <- seq(mean_x - 4*se, mean_x + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mean_x, sd = se)

p <- plot_ly()
p <- p %>% add_lines(x = x, y = y, line = list(color="black"), name="Density",
hovertemplate = "X: %{x}<br>Density: %{y}<extra></extra>",
showlegend = show_legend)

for(i in 1:nrow(ci_levels)){
idx <- x >= ci_levels$Lower[i] & x <= ci_levels$Upper[i]
p <- p %>% add_polygons(
x = c(x[idx], rev(x[idx])),
y = c(y[idx], rep(0, sum(idx))),
fillcolor = ci_levels$color[i],
line = list(color = "rgba(0,0,0,0)"),
name = paste("CI", ci_levels$CI[i]),
hovertemplate = paste0(
"<b>CI ", ci_levels$CI[i], "</b><br>",
"LCL = ", round(ci_levels$Lower[i],2), "<br>",
"UCL = ", round(ci_levels$Upper[i],2),
"<extra></extra>"
),
showlegend = show_legend
)
}

p <- p %>% add_lines(
x = c(mean_x, mean_x), y = c(0, max(y)),
line = list(dash="dash", color="black"),
name = "Mean",
hovertemplate = paste0("<b>Mean</b><br>Value = ", mean_x, "<extra></extra>"),
showlegend = show_legend
)

p <- p %>% add_annotations(
x = mean_x,
y = max(y) * 1.05,
text = paste0("Mean = ", mean_x),
showarrow = TRUE,
arrowhead = 2,
arrowsize = 1,
arrowcolor = "black",
font = list(color="black", size=12),
ax = 0,
ay = -30
)

p <- p %>% layout(
title = list(text = title_text, x = 0.5),
xaxis = list(title = "Rata-rata Sampel"),
yaxis = list(title = "Density"),
hovermode = "x",
hoverlabel = list(bgcolor = "white", font = list(color="black"), align="left")
)

return(p)
}

# =========================
# Tim A (Z-Test)
# =========================

mean_A <- 210
se_A <- 4
ci_levels_A <- data.frame(
CI = c("99%", "95%", "90%"),
t = c(2.576, 1.96, 1.645),
color = c("rgba(186,85,211,0.30)",
"rgba(100,149,237,0.35)",
"rgba(144,238,144,0.45)")
)
ci_levels_A$Lower <- mean_A - ci_levels_A$t * se_A
ci_levels_A$Upper <- mean_A + ci_levels_A$t * se_A

pA <- plot_CI(mean_A, se_A, ci_levels_A, "Tim A (Z-Test, σ diketahui)", show_legend = TRUE)

# =========================
# Tim B (t-Test)
# =========================

mean_B <- 210
se_B <- 4
ci_levels_B <- data.frame(
CI = c("99%", "95%", "90%"),
t = c(2.727, 2.032, 1.691),
color = c("rgba(186,85,211,0.30)",
"rgba(100,149,237,0.35)",
"rgba(144,238,144,0.45)")
)
ci_levels_B$Lower <- mean_B - ci_levels_B$t * se_B
ci_levels_B$Upper <- mean_B + ci_levels_B$t * se_B

pB <- plot_CI(mean_B, se_B, ci_levels_B, "Tim B (t-Test, σ tidak diketahui)", show_legend = FALSE)

# =========================
# Gabung dua plot secara vertikal
# =========================

subplot(pA, pB, nrows = 2, shareX = TRUE, titleY = TRUE) %>%
layout(
title = list(
text = "<b>Perbandingan Interval Kepercayaan Tim A & Tim B</b>",
x = 0.5,
y = 0.99, # turunkan sedikit
xanchor = "center",
yanchor = "top"
)
)

Tingkat CI	Tim A (Z-Test)	Tim B (t-Test, df=35)
90%	(203.42, 216.58)	(203.24, 216.76)
95%	(202.16, 217.84)	(201.87, 218.13)
99%	(199.70, 220.30)	(199.09, 220.91)

4.4. Perbedaan Lebar Interval Kepercayaan Tim A vs Tim B

Lebar interval berbeda meskipun datanya sama karena metode perhitungannya berbeda:

Tim A (Z-Test, \(\sigma\) diketahui)
- Menggunakan simpangan baku populasi yang sudah diketahui (\(\sigma\)).
- Karena \(\sigma\) pasti, ketidakpastian lebih kecil → margin of error lebih kecil → CI lebih sempit.
Tim B (t-Test, \(\sigma\) tidak diketahui)
- Menggunakan simpangan baku sampel (\(s\)) untuk mengestimasi \(\sigma\).
- Ada ketidakpastian tambahan karena \(s\) hanya perkiraan dari populasi → margin of error lebih besar → CI lebih lebar.
Intinya:
Semakin banyak ketidakpastian dalam perkiraan simpangan baku, semakin lebar interval kepercayaan.
Jadi, walaupun rata-rata dan ukuran sampel sama, metode Z vs t membuat lebar CI berbeda.

5. Case Study 5

One-Sided Confidence Interval: A Software as a Service (SaaS) company wants to ensure that at least 70% of weekly active users utilize a premium feature.

From the experiment:

\[ \begin{eqnarray*} n &=& 250 \quad \text{(total users)} \\ x &=& 185 \quad \text{(active premium users)} \end{eqnarray*} \]

Management is only interested in the lower bound of the estimate.

Tasks:

Identify the type of Confidence Interval and the appropriate test.
Compute the one-sided lower Confidence Interval at:
- \(90\%\)
- \(95\%\)
- \(99\%\)
Visualize the lower bounds for all confidence levels.
Determine whether the 70% target is statistically satisfied.

Jawaban:

5.1. Jenis Confidence Interval dan Uji Statistik

A. Jenis Confidence Interval

Interval yang digunakan adalah Confidence Interval satu arah (one-sided lower confidence interval).
Hal ini karena manajemen hanya tertarik pada batas bawah interval untuk memastikan bahwa proporsi pengguna premium tidak kurang dari 70%.

B. Uji Statistik yang Digunakan

Uji statistik yang tepat adalah Z-Interval untuk proporsi, dengan alasan sebagai berikut:

Data berbentuk proporsi (pengguna menggunakan atau tidak menggunakan fitur premium).
Ukuran sampel cukup besar (\(n = 250\)), sehingga pendekatan distribusi normal (Z) dapat digunakan dengan baik.

5.2. Menghitung interval kepercayaan

Data yang di gunakan yaitu:

Jumlah sampel total:

\[n = 250\]

Jumlah pengguna premium aktif:

\[x = 185\]

Proporsi sampel dihitung sebagai berikut:

\[\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{185}{250} = 0.74\]

Standard Error(SE)

Rumus kesalahan standar untuk proporsi adalah:

\[SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\]

\[SE = \sqrt{\frac{0.74 \cdot 0.26}{250}}\]

\[SE = \sqrt{0.0007696} \approx 0.0277\]

A. Interval Kepercayaan Satu Sisi 90%

Tingkat signifikansi:

\[ \alpha = 0.10 \]

Dari tabel Z (satu sisi):

\[ Z_{1-\alpha} = Z_{0.90} \approx 1.28 \]

Margin Kesalahan (Margin of Error, ME):

\[ ME = Z_{1-\alpha} \cdot SE \]

\[ ME = 1.28 \cdot 0.0277 \approx 0.0355 \]

Interval Kepercayaan Satu Sisi:

Interval Kepercayaan Satu Sisi Bawah: \[ CI_{\text{lower}} = \hat{p} - ME \]

\[ CI_{\text{lower}} = 0.74 - 0.0355 \approx 0.705 \]

B. Interval Kepercayaan Satu Sisi 95%

Tingkat signifikansi:

\[ \alpha = 0.05 \]

Dari tabel Z (satu sisi):

\[ Z_{1-\alpha} = Z_{0.95} \approx 1.645 \]

Margin Kesalahan:

\[ ME = 1.645 \cdot 0.0277 \approx 0.0456 \]

Interval Kepercayaan Satu Sisi:

Interval Kepercayaan Satu Sisi Bawah: \[ CI_{\text{lower}} = \hat{p} - ME \]

\[ CI_{\text{lower}} = 0.74 - 0.0456 \approx 0.694 \]

C. Interval Kepercayaan Satu Sisi 99%

Tingkat signifikansi:

\[ \alpha = 0.01 \]

Dari tabel Z (satu sisi):

\[ Z_{1-\alpha} = Z_{0.99} \approx 2.325 \]

Margin Kesalahan:

\[ ME = 2.325 \cdot 0.0277 \approx 0.0644 \]

Interval Kepercayaan Satu Sisi:

Interval Kepercayaan Satu Sisi Bawah: \[ CI_{\text{lower}} = \hat{p} - ME \]

\[ CI_{\text{lower}} = 0.74 - 0.0644 \approx 0.804 \]

5.3. Visualisasi

library(plotly)

# =========================
# Parameter dasar
# =========================

p_hat <- 0.74
se <- 0.0277

# CI satu sisi (Lower bound)

ci_levels <- data.frame(
CI = c("99%", "95%", "90%"),
Z = c(2.325, 1.645, 1.28),
color = c("rgba(186,85,211,0.30)",
"rgba(100,149,237,0.35)",
"rgba(144,238,144,0.45)")
)

ci_levels$Lower <- p_hat - ci_levels$Z * se
ci_levels$Upper <- p_hat

# =========================
# Density curve

x <- seq(p_hat - 4*se, p_hat + 4*se, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_hat, sd = se)

# =========================
# Plot interaktif

p <- plot_ly()
p <- p %>% add_lines(x = x, y = y, line = list(color="black"), name="Density",
hovertemplate = "Proportion: %{x}<br>Density: %{y}<extra></extra>")

for(i in 1:nrow(ci_levels)){
idx <- x >= ci_levels$Lower[i] & x <= ci_levels$Upper[i]
p <- p %>% add_polygons(
x = c(x[idx], rev(x[idx])),
y = c(y[idx], rep(0, sum(idx))),
fillcolor = ci_levels$color[i],
line = list(color = "rgba(0,0,0,0)"),
name = paste("CI", ci_levels$CI[i], "(lower)"),
hovertemplate = paste0(
"<b>CI ", ci_levels$CI[i], " Lower</b><br>",
"LCL = ", round(ci_levels$Lower[i],3), "<br>",
"UCL = ", round(ci_levels$Upper[i],3),
"<extra></extra>"
)
)
}

# Garis mean

p <- p %>% add_lines(
x = c(p_hat, p_hat), y = c(0, max(y)),
line = list(dash="dash", color="black"),
name = "Sample Proportion",
hovertemplate = paste0("<b>Sample Proportion</b><br>Value = ", p_hat, "<extra></extra>")
)

# Label mean

p <- p %>% add_annotations(
x = p_hat,
y = max(y) * 1.05,
text = paste0("p̂ = ", p_hat),
showarrow = TRUE,
arrowhead = 2,
arrowsize = 1,
arrowcolor = "black",
font = list(color="black", size=12),
ax = 0,
ay = -30
)

# =========================
# Layout dengan margin atas lebih besar

p <- p %>% layout(
title = "<b>Interval Kepercayaan Satu Sisi (Lower) untuk Proporsi</b>",
margin = list(t = 100, b = 60),  # t = 120 untuk memberi jarak judul
xaxis = list(title = "Proporsi Sampel"),
yaxis = list(title = "Density"),
hovermode = "x",
hoverlabel = list(
bgcolor = "white",
font = list(color="black"),
align = "left"
),
legend = list(
orientation = "h",
x = 0.5,
xanchor = "center",
y = -0.2
)
)

p

Tingkat CI	α	Z_1−α	Margin Kesalahan (ME)	Batas Bawah CI
90%	0.10	1.28	0.0355	0.705
95%	0.05	1.645	0.0456	0.694
99%	0.01	2.325	0.0644	0.675

5.4. Interpretasi Hasil

90% CI Lower Bound = 0.705 (70,5%)
Dengan tingkat keyakinan 90%, kita yakin proporsi pengguna aktif premium minimal 70,5%.
Karena 70,5% > target 70%, target perusahaan terpenuhi.
95% CI Lower Bound = 0.694 (69,4%)
Dengan keyakinan 95%, batas bawah proporsi pengguna premium adalah 69,4%.
Ini sedikit di bawah target 70%, sehingga dengan tingkat keyakinan lebih tinggi, tidak dapat dipastikan target tercapai.
99% CI Lower Bound = 0.675 (67,5%)
Dengan keyakinan 99%, batas bawah proporsi hanya 67,5%, jauh di bawah target.
Artinya, untuk tingkat keyakinan sangat tinggi, tidak bisa dipastikan minimal 70% pengguna aktif premium.
Kesimpulan Bisnis
- Semakin tinggi tingkat kepercayaan, batas bawah interval semakin konservatif → lebih sulit untuk memastikan target tercapai.
- Perusahaan dapat mengklaim target 70% terpenuhi jika menggunakan tingkat keyakinan 90%, tetapi harus hati-hati jika ingin keyakinan 95% atau 99%.
- Keputusan bisnis sebaiknya mempertimbangkan trade-off antara tingkat keyakinan dan target minimal pengguna aktif.

Tugas Week 13 ~ Confidence Interval

1. Case Study 1

Jawaban:

1.1 Uji statistik

1.2. Menghitung Interval Kepercayaan

A. Interval Kepercayaan 90%

B. Interval Kepercayaan 95%

C. Interval Kepercayaan 99%

1.3. Visualisasi

1.4. Interpretasi Hasil Interval Kepercayaan

2. Case Study 2

Jawaban:

2.1. Uji Statistik yang Tepat

2.2. Menghitung Interval Kepercayaan

A. Interval Kepercayaan 90%

B. Interval Kepercayaan 95%

C. Interval Kepercayaan 99%

2.3. Visualisasi

2.4. Bagaimana Sampel & Confidence Level Mempengaruhi Lebar CI

3. Case Study 3

Jawaban:

3.1. Menghitung Proporsi Sampel (\(\hat{p}\))

3.2. Menghitung Interval Kepercayaan

A. Interval Kepercayaan 90%

B. Interval Kepercayaan 95%

C. Interval Kepercayaan 99%

3.3. Visualisasi

3.4. Pengaruh Tingkat Kepercayaan

4. Case Study 4

Jawaban:

4.1. Uji Statistik yang Digunakan

4.2. Menghitung interval kepercayaan

Tim A (Z-Test, \(\sigma\) diketahui)

Tim B (t-Test, \(\sigma\) tidak diketahui, \(s = 24\), df = 35)

4.3. Visualisasi

4.4. Perbedaan Lebar Interval Kepercayaan Tim A vs Tim B

5. Case Study 5

Jawaban:

5.1. Jenis Confidence Interval dan Uji Statistik

A. Jenis Confidence Interval

B. Uji Statistik yang Digunakan

5.2. Menghitung interval kepercayaan

A. Interval Kepercayaan Satu Sisi 90%

B. Interval Kepercayaan Satu Sisi 95%

C. Interval Kepercayaan Satu Sisi 99%

5.3. Visualisasi

5.4. Interpretasi Hasil