Confidence Interval

Exercises ~ Week 13

Haura Azizah Achmad

NIM: 52250027

19 December 2025

Case Study 1

1.1 Uji Statistik yang Tepat

Uji statistik yang digunakan adalah Z-Interval (Confidence Interval untuk mean dengan \(\sigma\) diketahui).

Alasan:

  • Simpangan baku populasi diketahui (\(\sigma = 3.2\)).
  • Ukuran sampel besar (\(n = 100 \ge 30\)).
  • Tujuan analisis adalah mengestimasi rata-rata populasi.

1.2 Perhitungan Confidence Interval

Diketahui: \(\bar{x} = 12.6, \quad \sigma = 3.2, \quad n = 100\)

\[ \begin{aligned} SE &= \frac{3.2}{\sqrt{100}} = 0.32 \\ \\ \text{90% CI} &= 12.6 \pm (1.645 \times 0.32) \rightarrow \mathbf{(12.07, 13.13)} \\ \text{95% CI} &= 12.6 \pm (1.960 \times 0.32) \rightarrow \mathbf{(11.97, 13.23)} \\ \text{99% CI} &= 12.6 \pm (2.576 \times 0.32) \rightarrow \mathbf{(11.78, 13.42)} \end{aligned} \]

1.3 Interpretasi Analitik

Dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata transaksi harian per pengguna diperkirakan berada pada interval (11.97, 13.23). Semakin tinggi tingkat kepercayaan, maka interval akan semakin lebar untuk memberikan ruang kepastian yang lebih besar.

Case Study 2

2.1 Uji Statistik yang Tepat

Uji statistik yang digunakan adalah T-Interval (Confidence Interval untuk mean dengan \(\sigma\) tidak diketahui).

Alasan:

  • Simpangan baku populasi tidak diketahui.
  • Ukuran sampel kecil (\(n = 12 < 30\)).

2.2 Perhitungan Confidence Interval

Diketahui: \(\bar{x} = 8.46, \quad s = 0.42, \quad n = 12, \quad df = 11\)

\[ \begin{aligned} SE &= \frac{0.42}{\sqrt{12}} = 0.12 \\ \\ \text{90% CI} &= 8.46 \pm (1.796 \times 0.12) \rightarrow \mathbf{(8.24, 8.68)} \\ \text{95% CI} &= 8.46 \pm (2.201 \times 0.12) \rightarrow \mathbf{(8.19, 8.73)} \\ \text{99% CI} &= 8.46 \pm (3.106 \times 0.12) \rightarrow \mathbf{(8.08, 8.84)} \end{aligned} \]

2.3 Pengaruh Ukuran Sampel

Ukuran sampel yang kecil menyebabkan standard error lebih besar, sehingga interval kepercayaan menjadi lebih lebar dan estimasi rata-rata menjadi kurang presisi dibandingkan sampel besar.

Case Study 3

3.1 Uji Proporsi (A/B Testing)

Digunakan Z-Interval untuk Proporsi karena memenuhi syarat kelayakan sampel besar (\(n\hat{p} \ge 5\) dan \(n(1-\hat{p}) \ge 5\)).

Data Eksperimen: \(n = 400, \quad x = 156 \rightarrow \hat{p} = 0.39\) (39% CTR).

3.2 Perhitungan Confidence Interval

\[ \begin{aligned} SE &= \sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} = 0.0244 \\ \\ \text{90% CI} &= 0.39 \pm (1.645 \times 0.0244) \rightarrow \mathbf{(0.35, 0.43)} \\ \text{95% CI} &= 0.39 \pm (1.960 \times 0.0244) \rightarrow \mathbf{(0.34, 0.44)} \\ \text{99% CI} &= 0.39 \pm (2.576 \times 0.0244) \rightarrow \mathbf{(0.33, 0.45)} \end{aligned} \]

3.3 Implikasi Eksperimen Produk

Dengan tingkat kepercayaan 95%, tingkat klik CTA yang sebenarnya diperkirakan berada pada rentang (34% hingga 44%). Interval ini membantu tim produk menentukan apakah perubahan desain memberikan dampak signifikan secara statistik.

Case Study 4

4.1 Identifikasi dan Perbandingan

Team A (Z-Test): Menggunakan distribusi Z karena standar deviasi populasi (\(\sigma\)) diketahui.
Team B (t-Test): Menggunakan distribusi t karena standar deviasi populasi tidak diketahui (menggunakan estimasi \(s\) dari sampel).

4.2 Perhitungan Matematis

Data Dasar: \(\bar{x} = 210, \quad n = 36, \quad \sigma/s = 24\)

Standard Error (SE):

\[SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{24}{\sqrt{36}} = 4\]

A. Estimasi Team A (Z-Interval)

\[ \begin{aligned} \text{90% CI} &= 210 \pm (1.645 \times 4) = \mathbf{(203.42, 216.58)} \\ \text{95% CI} &= 210 \pm (1.960 \times 4) = \mathbf{(202.16, 217.84)} \\ \text{99% CI} &= 210 \pm (2.576 \times 4) = \mathbf{(199.70, 220.30)} \end{aligned} \]

B. Estimasi Team B (t-Interval, \(df=35\))

\[ \begin{aligned} \text{90% CI} &= 210 \pm (1.690 \times 4) = \mathbf{(203.24, 216.76)} \\ \text{95% CI} &= 210 \pm (2.030 \times 4) = \mathbf{(201.88, 218.12)} \\ \text{99% CI} &= 210 \pm (2.724 \times 4) = \mathbf{(199.10, 220.90)} \end{aligned} \]

4.3 Visualisasi dan Ringkasan

Level Metode Bawah Atas
90% Team A (Z) 203.42 216.58
90% Team B (t) 203.24 216.76
95% Team A (Z) 202.16 217.84
95% Team B (t) 201.88 218.12
99% Team A (Z) 199.70 220.30
99% Team B (t) 199.10 220.90

Case Study 5

5.1 Jenis Confidence Interval & Uji

Parameter yang diestimasi adalah proporsi populasi \((p)\). Jenis interval yang digunakan adalah one-sided lower confidence interval dengan metode Z-interval for population proportion.

Alasan:

  • Ukuran sampel besar.
  • Memenuhi asumsi normal: \(n\hat{p}=185\) dan \(n(1-\hat{p})=65>5\).
  • Manajemen hanya tertarik pada batas bawah estimasi.

5.2 Perhitungan One-Sided Lower CI

Diketahui: \(n=250,\; x=185 \Rightarrow \hat{p}=0.74\)

Rumus:

\[ LB=\hat{p}-z_{\alpha} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

Standard Error:

\[ SE=\sqrt{\frac{0.74(1-0.74)}{250}} =\sqrt{0.0007696} \approx 0.0277 \]

Confidence Level

\[ \begin{aligned} LB_{90\%} &\approx \mathbf{0.7045} \\ LB_{95\%} &\approx \mathbf{0.6944} \\ LB_{99\%} &\approx \mathbf{0.6755} \end{aligned} \]

5.3 Evaluasi Target

Target perusahaan adalah \(p \ge 0.70\). Pada tingkat kepercayaan 90%, batas bawah berada di atas 70% sehingga target terpenuhi. Namun pada tingkat kepercayaan 95% dan 99%, target belum dapat dipastikan secara statistik.

References

Sumber Materi & Akademik

Penyusunan tugas ini didasarkan pada materi perkuliahan dan literatur statistik berikut:

Alat Bantu & AI Assistant

Proses pemecahan masalah dan bantuan visualisasi didukung oleh teknologi AI:

Tugas Statistika Minggu 13 • Haura Azizah Achmad (52250027)