Study Cases Confidence Interval

Angelique Kiyoshi Lakeisha B.U

NIM: 52250001

Student Major Data Science at Institut Teknologi Sains Bandung

R Programming Statistics Confidence Interval Assignment Week 13 – Mr. Bakti Siregar, M.Sc., CDS

1 Studi Kasus 1

Interval Keyakinan untuk Rata-rata, \(\sigma\) Diketahui: Platform e-commerce ingin memperkirakan jumlah rata-rata transaksi harian per pengguna setelah meluncurkan fitur baru. Berdasarkan data historis skala besar, populasi standar deviasi diketahui.

\[ \begin{eqnarray*} \sigma &=& 3.2 \quad \text{(Standar deviasi populasi)} \\ n &=& 100 \quad \text{(Ukuran sampel)} \\ \bar{x} &=& 12.6 \quad \text{(Rata-rata sampel)} \end{eqnarray*} \]

Tugas

  1. Identifikasi uji statistik yang sesuai dan justifikasi pilihan Anda.
  2. Hitung Interval Keyakinan untuk:
    • \(90\%\)
    • \(95\%\)
    • \(99\%\)
  3. Buat visualisasi perbandingan dari tiga interval Keyakinan.
  4. Menafsirkan hasil dalam konteks analitik bisnis.
Jawaban Studi Kasus 1
  1. Identifikasi Metode dan Uji Statistik yang Tepat

Metode statistik yang digunakan adalah interval keyakinan untuk rata-rata populasi menggunakan distribusi Z. Hal ini disebabkan karena simpangan baku populasi diketahui dan ukuran sampel cukup besar (n = 100 > 30).

Penggunaan sampel sebanyak 100 pengguna dilakukan karena ukuran populasi pengguna e-commerce sangat besar dan tidak semua pengguna telah menggunakan fitur baru yang diluncurkan. Oleh karena itu, penggunaan seluruh populasi menjadi tidak praktis dan tidak efisien. Dengan mengambil sampel dari pengguna yang telah mencoba fitur baru, perusahaan dapat mengestimasi rata-rata transaksi harian secara lebih efisien tanpa harus mengamati seluruh populasi.

Rumus Distribusi Z: \(CI = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

  1. Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Rumus

A. 90%
Hitung \(z_{\alpha/2}\) untuk level keyakinan 90% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.90 = 0.10 \\ \alpha/2 &= 0.05 \\ z_{\alpha/2} &= 1.645 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 1.645\left(\frac{3.2}{\sqrt{100}}\right) \\ &= 1.645 \times 0.32 \\ &= 0.5264 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 90% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{90\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 12.6 + 0.5264 = 13.1264 \\ LCI &= 12.6 - 0.5264 = 12.0736 \\ CI_{90\%} &= (12.0736,\; 13.1264) \end{aligned} \]

B. 95%
Hitung \(z_{\alpha/2}\) untuk level keyakinan 95% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.95 = 0.05 \\ \alpha/2 &= 0.025 \\ z_{\alpha/2} &= 1.96 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 1.96\left(\frac{3.2}{\sqrt{100}}\right) \\ &= 1.96 \times 0.32 \\ &= 0.6272 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 95% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{95\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 12.6 + 0.6272 = 13.2272 \\ LCI &= 12.6 - 0.6272 = 11.9728 \\ CI_{95\%} &= (11.9728,\; 13.2272) \end{aligned} \]

C. 99%
Hitung \(z_{\alpha/2}\) untuk level keyakinan 99% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.99 = 0.01 \\ \alpha/2 &= 0.005 \\ z_{\alpha/2} &= 2.58 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 2.58\left(\frac{3.2}{\sqrt{100}}\right) \\ &= 2.58 \times 0.32 \\ &= 0.8256 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 99% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{99\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 12.6 + 0.8256 = 13.4256 \\ LCI &= 12.6 - 0.8256 = 11.7744 \\ CI_{99\%} &= (11.7744,\; 13.4256) \end{aligned} \]

Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Kode R
CL Alpha Z SE MoE LCI UCI
90% 0.10 1.6449 0.32 0.5264 12.0736 13.1264
95% 0.05 1.9600 0.32 0.6272 11.9728 13.2272
99% 0.01 2.5758 0.32 0.8243 11.7757 13.4243
  1. Visualisasi Perbandingan dari 3 Interval Keyakinan

  1. Interpretasi Hasil Perbandingan 3 Interval Keyakinan

Berdasarkan perbandingan interval keyakinan 90%, 95%, dan 99%, terlihat bahwa semakin tinggi tingkat keyakinan, rentang interval yang dihasilkan menjadi semakin lebar, sehingga mengurangi ketelitian estimasi.

Dalam konteks analitik bisnis, interval keyakinan 95% dipilih karena memberikan keseimbangan antara tingkat keyakinan dan ketelitian. Interval ini cukup andal untuk mendukung pengambilan keputusan tanpa menghasilkan rentang estimasi yang terlalu luas.
Berdasarkan interval keyakinan 95%, rata-rata jumlah transaksi harian per pengguna setelah peluncuran fitur baru diperkirakan berada di antara 11,97 hingga 13,23 transaksi per hari. Hasil ini menunjukkan bahwa fitur baru memiliki performa yang relatif stabil dan dapat dijadikan dasar pertimbangan bagi manajemen dalam mengevaluasi keberlanjutan dan pengembangan fitur tersebut.

2 Studi Kasus 2

Interval keyakinan untuk rata-rata, \(\sigma\) tidak diketahui: A Tim UX Research menganalisis waktu penyelesaian tugas (dalam menit) untuk aplikasi seluler baru. Data dikumpulkan dari 12 pengguna:

\[ 8.4,\; 7.9,\; 9.1,\; 8.7,\; 8.2,\; 9.0,\; 7.8,\; 8.5,\; 8.9,\; 8.1,\; 8.6,\; 8.3 \]

Tugas:

  1. Identifikasi uji statistik yang sesuai dan jelaskan alasannya.
  2. Hitung interval keyakinan untuk:
    • \(90\%\)
    • \(95\%\)
    • \(99\%\)
  3. Visualisasikan tiga interval pada satu plot.
  4. Jelaskan bagaimana ukuran sampel dan tingkat keyakinan memengaruhi lebar interval.
Jawaban Studi Kasus 2
  1. Identifikasi Metode dan Uji Statistik yang Tepat

Untuk studi kasus ini, tujuan analisis adalah mengestimasi rata-rata waktu penyelesaian tugas pengguna aplikasi mobile baru berdasarkan data dari 12 pengguna. Oleh karena itu, metode statistik yang digunakan adalah interval kepercayaan untuk mean menggunakan distribusi t. Metode ini dipilih karena ukuran sampel kecil (n = 12 < 30) dan simpangan baku populasi tidak diketahui, sehingga simpangan baku diestimasi menggunakan simpangan baku sampel.

Rumus Distribusi t: \(CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\)

  1. Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Rumus
  • Sampel: \(8.4,\; 7.9,\; 9.1,\; 8.7,\; 8.2,\; 9.0,\; 7.8,\; 8.5,\; 8.9,\; 8.1,\; 8.6,\; 8.3\)
  • Rata-rata sampel (\(\bar{x}\)):
    \[ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \\ &= \frac{8.4 + 7.9 + 9.1 + 8.7 + 8.2 + 9.0 + 7.8 + 8.5 + 8.9 + 8.1 + 8.6 + 8.3}{12} \\ &= \frac{101.5}{12} \\ &= 8.4583 \end{aligned} \]
  • Simpangan Baku Sampel: \[ \begin{aligned} s &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \\ &= \sqrt{ \frac{(8.4 - 8.4583)^2 + (7.9 - 8.4583)^2 + \cdots + (8.3 - 8.4583)^2}{11} } \\ &\approx 0.421 \end{aligned} \]
  • Derajat Kebebasan: \(df = n - 1 = 12 - 1 = 11\)

A. 90%
Hitung \(t_{\alpha/2,\,df}\) untuk tingkat keyakinan 90% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.90 = 0.10 \\ \alpha/2 &= 0.05 \\ df &= 11 \\ t_{0.05,11} &= 1.796 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= t_{\alpha/2,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 1.796\left(\frac{0.421}{\sqrt{12}}\right) \\ &= 1.796 \times 0.1215 \\ &= 0.2182 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 90% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{90\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 8.4583 + 0.2182 = 8.6765 \\ LCI &= 8.4583 - 0.2182 = 8.2401 \\ CI_{90\%} &= (8.2401,\; 8.6765) \end{aligned} \]

B. 95%
Hitung \(t_{\alpha/2,\,df}\) untuk tingkat keyakinan 95% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.95 = 0.05 \\ \alpha/2 &= 0.025 \\ df &= 11 \\ t_{0.025,11} &= 2.201 \end{aligned} \]

Hitung Kesalahan Margin \[ \begin{aligned} ME &= t_{\alpha/2,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 2.201\left(\frac{0.421}{\sqrt{12}}\right) \\ &= 2.201 \times 0.1215 \\ &= 0.2674 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 95% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{95\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 8.4583 + 0.2674 = 8.7257 \\ LCI &= 8.4583 - 0.2674 = 8.1909 \\ CI_{95\%} &= (8.1909,\; 8.7257) \end{aligned} \]

C. 99%
Hitung \(t_{\alpha/2,\,df}\) untuk tingkat keyakinan 99% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.99 = 0.01 \\ \alpha/2 &= 0.005 \\ df &= 11 \\ t_{0.005,11} &= 3.106 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= t_{\alpha/2,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 3.106\left(\frac{0.421}{\sqrt{12}}\right) \\ &= 3.106 \times 0.1215 \\ &= 0.3774 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 99% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{99\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 8.4583 + 0.3774 = 8.8357 \\ LCI &= 8.4583 - 0.3774 = 8.0809 \\ CI_{99\%} &= (8.0809,\; 8.8357) \end{aligned} \]

Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Kode R
CL Alpha t SE MoE LCI UCI
90% 0.10 1.796 0.1215 0.2182 8.2401 8.6766
95% 0.05 2.201 0.1215 0.2675 8.1909 8.7258
99% 0.01 3.106 0.1215 0.3774 8.0809 8.8357
  1. Visualisasi Perbandingan dari 3 Interval Keyakinan

  1. Interpretasi Hasil Perbandingan 3 Interval Keyakinan Berdasarkan Perhitungan dan Visualisasi

Berdasarkan hasil perhitungan dan visualisasi interval keyakinan, terlihat bahwa semakin tinggi tingkat keyakinan yang digunakan, maka interval keyakinan yang dihasilkan menjadi semakin lebar. Hal ini terjadi karena peningkatan tingkat keyakinan diikuti oleh nilai kritis distribusi t yang lebih besar, sehingga margin kesalahannya meningkat.

Selain itu, ukuran sampel yang relatif kecil (n = 12) menyebabkan interval keyakinan menjadi lebih lebar dibandingkan jika menggunakan sampel yang lebih besar. Dengan jumlah sampel yang kecil, ketidakpastian estimasi rata-rata menjadi lebih tinggi sehingga rentang interval harus diperlebar untuk mempertahankan tingkat keyakinan tertentu.

Dalam konteks UX research, hasil ini menunjukkan bahwa estimasi rata-rata waktu penyelesaian tugas masih memiliki ketidakpastian yang cukup besar. Untuk memperoleh estimasi yang lebih presisi, disarankan untuk meningkatkan jumlah pengguna yang diuji pada penelitian selanjutnya.

3 Studi Kasus 3

Interval Keyakinan untuk Proporsi, Pengujian A/B: Tim ilmu data menjalankan pengujian A/B pada desain tombol Call-To-Action (CTA) baru. Percobaan ini menghasilkan:

\[ \begin{eqnarray*} n &=& 400 \quad \text{(total pengguna)} \\ x &=& 156 \quad \text{(pengguna yang meng-klik CTA)} \end{eqnarray*} \]

Tugas:

  1. Hitung proporsi sampel \(\hat{p}\).
  2. Hitung Interval Keyakinan untuk proporsi pada:
    • \(90\%\)
    • \(95\%\)
    • \(99\%\)
  3. Visualisasikan dan bandingkan ketiga interval.
  4. Jelaskan bagaimana tingkat keyakinan memengaruhi pengambilan keputusan dalam eksperimen produk.
Jawaban Studi Kasus 3
  1. Menghitung Proporsi Sampel \(\hat{p}\)

\[ \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{156}{400} = 0.39 \]

Jadi, sekitar 39% pengguna dalam sampel mengklik tombol CTA

  1. Menghitung Interval Keyakinan Untuk Proporsi dengan 3 Level Keyakinan

Standar Kesalahan (SE): \[ \begin{aligned} SE &= \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.39(1-0.39)}{400}} \\ &= \sqrt{\frac{0.39 \times 0.61}{400}} \\ &\approx 0.0244 \end{aligned} \]

A. 90%
Nilai Kritis Untuk tingkat keyakinan 90%: \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.90 = 0.10 \\ \alpha/2 &= 0.05 \\ z_{\alpha/2} &= 1.645 \end{aligned} \]

Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2} \times SE \\ &= 1.645 \times 0.0244 \\ &\approx 0.04 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan \[ \begin{aligned} CI_{90\%} &= \hat{p} \pm ME \\ &= 0.39 \pm 0.04 \\ UCL &= 0.39 + 0.04 = 0.43 \\ LCL &= 0.39 - 0.04 = 0.35 \\ CI_{90\%} &= (0.35,\; 0.43) \end{aligned} \]

B. 95%
Nilai Kritis Untuk tingkat keyakinan 95%: \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.95 = 0.05 \\ \alpha/2 &= 0.025 \\ z_{\alpha/2} &= 1.96 \end{aligned} \]

Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2} \times SE \\ &= 1.96 \times 0.0244 \\ &\approx 0.0478 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan \[ \begin{aligned} CI_{95\%} &= \hat{p} \pm ME \\ &= 0.39 \pm 0.0478 \\ UCL &= 0.39 + 0.0478 = 0.4378 \\ LCL &= 0.39 - 0.0478 = 0.3422 \\ CI_{95\%} &= (0.3422,\; 0.4378) \end{aligned} \]

C. 99%
Nilai Kritis Untuk tingkat keyakinan 99%: \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.99 = 0.01 \\ \alpha/2 &= 0.005 \\ z_{\alpha/2} &= 2.58 \end{aligned} \]

Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2} \times SE \\ &= 2.58 \times 0.0244 \\ &\approx 0.06295 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan \[ \begin{aligned} CI_{99\%} &= \hat{p} \pm ME \\ &= 0.39 \pm 0.06295 \\ UCL &= 0.39 + 0.06295 = 0.45295 \\ LCL &= 0.39 - 0.06295 = 0.32705 \\ CI_{99\%} &= (0.32705,\; 0.45295) \end{aligned} \]

Hitung Interval Keyakinan untuk Proporsi Menggunakan Kode R
CL Proporsi_Sampel SE Nilai_Z MoE LCI UCI
90% 0.39 0.0244 1.645 0.0401 0.350 0.430
95% 0.39 0.0244 1.960 0.0478 0.342 0.438
99% 0.39 0.0244 2.576 0.0628 0.327 0.453
  1. Visualisasi 3 Interval dan Interpretasikan Perbandingannya

Interpretasi Hasil Perbandingan:
Berdasarkan visualisasi interval keyakinan, terlihat bahwa semakin tinggi tingkat keyakinan, semakin lebar rentang interval estimasi proporsi pengguna yang mengklik tombol CTA.

Interval keyakinan 90% merupakan yang paling sempit, menunjukkan estimasi yang lebih presisi namun dengan tingkat keyakinan yang lebih rendah. Interval 95% memiliki rentang yang lebih lebar dan sering digunakan sebagai kompromi antara presisi dan keyakinan. Sementara itu, interval 99% memiliki rentang paling lebar, mencerminkan tingkat keyakinan yang sangat tinggi tetapi dengan ketelitian estimasi yang lebih rendah. Perbandingan ini menunjukkan adanya keseimbangan antara tingkat keyakinan dan lebar interval estimasi.

  1. Bagaimana Tingkat Keyakinan Mempengaruhi Pengambilan Keputusan dalam Eksperimen Produk

Dalam eksperimen produk, pemilihan tingkat keyakinan memengaruhi keseimbangan antara risiko dan kepastian pengambilan keputusan. Tingkat keyakinan yang lebih rendah, seperti 90%, menghasilkan interval yang lebih sempit sehingga cocok untuk keputusan cepat dengan risiko rendah. Sebaliknya, tingkat keyakinan yang lebih tinggi, seperti 95% atau 99%, memberikan tingkat keyakinan yang lebih besar bahwa estimasi mencakup nilai populasi sebenarnya, namun dengan konsekuensi interval yang lebih lebar. Hal ini lebih sesuai untuk keputusan produk yang berdampak besar, di mana kesalahan implementasi dapat menimbulkan risiko bisnis yang signifikan.

Oleh karena itu, tingkat keyakinan harus dipilih sesuai dengan konteks eksperimen dan tingkat risiko keputusan produk yang diambil.

4 Studi Kasus 4

Perbandingan Presisi (Uji-distribusi Z vs Uji-distribusi t): Dua tim data mengukur latensi API (dalam milidetik) dalam kondisi yang berbeda.

\[\begin{eqnarray*} \text{Team A:} \\ n &=& 36 \quad \text{(ukuran sampel)} \\ \bar{x} &=& 210 \quad \text{(rata-rata sampel)} \\ \sigma &=& 24 \quad \text{(standar deviasi populasi diketahui)} \\[6pt] \text{Team B:} \\ n &=& 36 \quad \text{(ukuran sampel)} \\ \bar{x} &=& 210 \quad \text{(rata-rata sampel)} \\ s &=& 24 \quad \text{(standar deviasi sampel)} \end{eqnarray*}\]

Tugas

  1. Identifikasi uji statistik yang digunakan oleh masing-masing tim.
  2. Hitung interval keyakinan untuk 90%, 95%, dan 99%.
  3. Buat visualisasi yang membandingkan semua interval.
  4. Jelaskan mengapa lebar interval berbeda, bahkan dengan data yang serupa.
Jawaban Studi Kasus 4
  1. Identifikasi Uji Statistik Masing-masing Tim

Berdasarkan informasi yang diberikan pada studi kasus, masing-masing tim menggunakan metode inferensi yang berbeda sesuai dengan ketersediaan informasi statistik yang dimiliki.

Tim A menggunakan distribusi Z karena simpangan baku populasi diketahui, sehingga estimasi rata-rata populasi dapat dilakukan tanpa tambahan ketidakpastian variabilitas.

Tim B menggunakan distribusi t karena simpangan baku populasi tidak diketahui dan harus diestimasi menggunakan simpangan baku sampel, yang menambah ketidakpastian dalam estimasi rata-rata populasi.

  1. Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Rumus
Tim A - Distribusi Z

Rumus Distribusi Z: \(CI = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

A. 90%
Hitung \(z_{\alpha/2}\) untuk tingkat keyakinan 90% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.90 = 0.10 \\ \alpha/2 &= 0.05 \\ z_{\alpha/2} &= 1.645 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 1.645\left(\frac{24}{\sqrt{36}}\right) \\ &= 1.645 \times 4 \\ &= 6.58 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 90% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{90\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 210 + 6.58 = 216.58 \\ LCI &= 210 - 6.58 = 203.42 \\ CI_{90\%} &= (203.42,\; 216.58) \end{aligned} \]

B. 95%
Hitung \(z_{\alpha/2}\) untuk tingkat keyakinan 95% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.95 = 0.05 \\ \alpha/2 &= 0.025 \\ z_{\alpha/2} &= 1.96 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 1.96\left(\frac{24}{\sqrt{36}}\right) \\ &= 1.96 \times 4 \\ &= 7.84 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 95% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{95\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 210 + 7.84 = 217.84 \\ LCI &= 210 - 7.84 = 202.16 \\ CI_{95\%} &= (202.16,\; 217.84) \end{aligned} \]

C. 99%
Hitung \(z_{\alpha/2}\) untuk tingkat keyakinan 99% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.99 = 0.01 \\ \alpha/2 &= 0.005 \\ z_{\alpha/2} &= 2.58 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 2.58\left(\frac{24}{\sqrt{36}}\right) \\ &= 2.58 \times 4 \\ &= 10.32 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 99% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{99\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 210 + 10.32 = 220.32 \\ LCI &= 210 - 10.32 = 199.68 \\ CI_{99\%} &= (199.68,\; 220.32) \end{aligned} \]

Tim B - Distribusi t

Rumus Distribusi t: \(CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\)

A. 90% Hitung \(t_{\alpha/2,\,df}\) untuk tingkat keyakinan 90% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.90 = 0.10 \\ \alpha/2 &= 0.05 \\ df &= n - 1 = 36 - 1 = 35 \\ t_{0.05,35} &= 1.689 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= t_{\alpha/2,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 1.689\left(\frac{24}{\sqrt{36}}\right) \\ &= 1.689 \times 4 \\ &= 6.756 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 90% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{90\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 210 + 6.756 = 216.756 \\ LCI &= 210 - 6.756 = 203.244 \\ CI_{90\%} &= (203.244,\; 216.756) \end{aligned} \]

B. 95%
Hitung \(t_{\alpha/2,\,df}\) untuk tingkat keyakinan 95% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.95 = 0.05 \\ \alpha/2 &= 0.025 \\ df &= n - 1 = 36 - 1 = 35 \\ t_{0.025,35} &= 2.03 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= t_{\alpha/2,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 2.03\left(\frac{24}{\sqrt{36}}\right) \\ &= 2.03 \times 4 \\ &= 8.12 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 95% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{95\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 210 + 8.12 = 218.12 \\ LCI &= 210 - 8.12 = 201.88 \\ CI_{95\%} &= (201.88,\;218.12) \end{aligned} \]

C. 99%
Hitung \(t_{\alpha/2,\,df}\) untuk tingkat keyakinan 99% \[ \begin{aligned} \alpha &= 1 - 0.99 = 0.01 \\ \alpha/2 &= 0.005 \\ df &= n - 1 = 36 - 1 = 35 \\ t_{0.005,35} &= 2.724 \end{aligned} \]

Hitung Margin Kesalahan \[ \begin{aligned} ME &= t_{\alpha/2,df}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \\ &= 2.724\left(\frac{24}{\sqrt{36}}\right) \\ &= 2.724 \times 4 \\ &= 10.896 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan 99% adalah: \[ \begin{aligned} CI_{99\%} &= \bar{x} \pm ME \\ UCI &= 210 + 10.896 = 220.896 \\ LCI &= 210 - 10.896 = 199.104 \\ CI_{99\%} &= (199.104,\; 220.896) \end{aligned} \]

Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Kode R
Tim Distribusi CL Nilai_Kritis SE MoE LCI UCI
Tim A Z 90% 1.640 4 6.560 203.440 216.560
95% 1.960 4 7.840 202.160 217.840
99% 2.580 4 10.320 199.680 220.320
Tim B t 90% 1.690 4 6.760 203.240 216.760
95% 2.030 4 8.120 201.880 218.120
99% 2.724 4 10.896 199.104 220.896
  1. Visualisasi Perbandingan Semua Interval

  1. Penjelasan Perbedaan Interval, meskipun datanya serupa

Meskipun kedua tim memiliki nilai rata-rata sampel yang sama, ukuran sampel yang sama, serta nilai simpangan baku yang sama, interval keyakinan Tim B cenderung lebih lebar dibandingkan Tim A. Perbedaan ini disebabkan oleh distribusi statistik yang digunakan.

Tim A menggunakan distribusi Z karena simpangan baku populasi diketahui. Dalam kondisi ini, ketidakpastian dalam mengestimasi rata-rata populasi relatif lebih kecil sehingga nilai kritis yang digunakan juga lebih kecil. Akibatnya, margin kesalahan yang dihasilkan menjadi lebih sempit dan interval keyakinan lebih pendek.
Sebaliknya, Tim B menggunakan distribusi t karena simpangan baku populasi tidak diketahui dan harus diestimasi dari sampel. Estimasi simpangan baku ini menambah unsur ketidakpastian dalam perhitungan, sehingga distribusi t memiliki nilai kritis yang lebih besar dibandingkan distribusi Z pada tingkat kepercayaan yang sama. Nilai kritis yang lebih besar tersebut menyebabkan margin kesalahan meningkat dan interval keyakinan menjadi lebih lebar.

Dengan demikian, meskipun data sampel yang digunakan oleh kedua tim terlihat serupa, penggunaan distribusi statistik yang berbeda serta tingkat keyakinan yang berbeda memberikan pengaruh langsung terhadap lebar interval keyakinan yang dihasilkan.

5 Studi Kasus 5

Interval Keyakinan Satu Sisi: Perusahaan Software as a Service (SaaS) ingin memastikan bahwa setidaknya 70% pengguna aktif mingguan menggunakan fitur premium.

Dari percobaan:

\[ \begin{eqnarray*} n &=& 250 \quad \text{(total pengguna)} \\ x &=& 185 \quad \text{(pengguna premium aktif)} \end{eqnarray*} \]

Manajemen hanya tertarik pada batas bawah dari perkiraan.

Tugas:

  1. Identifikasi jenis Interval keyakinan dan uji yang sesuai.
  2. Hitung Interval Keyakinan yang lebih rendah satu sisi di:
    • \(90\%\)
    • \(95\%\)
    • \(99\%\)
  3. Visualisasikan batas bawah untuk semua tingkat Keyakinan.
  4. Tentukan apakah target 70% terpenuhi secara statistik.
Jawaban Studi Kasus 5
  1. Identifikasi Jenis Interval Keyakinan dan Uji Statistik yang Sesuai

Untuk studi kasus ini, tujuan analisis adalah mengestimasi proporsi pengguna yang menggunakan fitur premium dan memastikan apakah proporsi tersebut setidaknya mencapai 70%. Oleh karena itu, digunakan interval keyakinan satu sisi (lower confidence interval) untuk proporsi karena analisis hanya difokuskan pada batas bawah estimasi.

Interval satu sisi dipilih karena lebih relevan untuk pengambilan keputusan bisnis dibandingkan interval dua sisi yang mempertimbangkan arah ketidakpastian yang tidak diperlukan. Metode statistik yang digunakan adalah interval keyakinan proporsi dengan distribusi Z, karena ukuran sampel cukup besar dan parameter yang diestimasi berupa proporsi.

  1. Hitung Interval Keyakinan Menggunakan Rumus
  • Proporsi Sampel: \[\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{185}{250} = 0.74\]
  • Kesalahan Standar: \[ \begin{aligned} SE &= \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.74 \times 0.26}{250}} \\ &\approx 0.0277 \end{aligned} \]
  • Nilai Kritis Z dari Tingkat Keyakinan 90%, 95%, dan 99%:
Tingkat Keyakinan \(\alpha\) \(z_{1-\alpha}\)
90% 0.10 1.282
95% 0.05 1.645
99% 0.01 2.326

A. 90%
Margin Kesalahan \[ z_{1-\alpha} = 1.282,\quad SE = 0.0277 \]

\[ \begin{aligned} ME &= z_{1-\alpha} \cdot SE \\ &= 1.282 \cdot 0.0277 \\ &\approx 0.0355 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan Sisi Bawah \[ \begin{aligned} LCI_{90\%} &= \hat{p} - ME \\ LCI_{90\%} &= 0.74 - 0.0355 = 0.7045 \end{aligned} \]

B. 95%
Margin Kesalahan \[ z_{1-\alpha} = 1.645,\quad SE = 0.0277 \] \[ \begin{aligned} ME &= z_{1-\alpha} \cdot SE \\ &= 1.645 \cdot 0.0277 \\ &\approx 0.0456 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan Sisi Bawah \[ \begin{aligned} LCI_{95\%} &= \hat{p} - ME \\ LCI_{95\%} &= 0.74 - 0.0456 = 0.6944 \end{aligned} \]

C. 99%
Margin Kesalahan \[ z_{1-\alpha} = 2.326,\quad SE = 0.0277 \]

\[ \begin{aligned} ME &= z_{1-\alpha} \cdot SE \\ &= 2.3262 \cdot 0.0277 \\ &\approx 0.0644 \end{aligned} \]

Interval Keyakinan Sisi Bawah \[ \begin{aligned} LCI_{99\%} &= \hat{p} - ME \\ LCI_{99\%} &= 0.74 - 0.0644 = 0.6756 \end{aligned} \]

Hitung Interval Keyakinan satu Sisi Bawah Menggunakan Kode R
Tingkat Keyakinan \(\alpha\) \(z_{1-\alpha}\) \(SE\) \(ME\) LCI One-Sided
90% 0.10 1.282 0.0277 0.0356 0.7044
95% 0.05 1.645 0.0277 0.0456 0.6944
99% 0.01 2.326 0.0277 0.0645 0.6755
  1. Visualisasi Batas Bawah untuk semua Tingkat Keyakinan

  1. Tentukan apakah target 70% terpenuhi secara statistik

Berdasarkan interval keyakinan satu sisi, pada tingkat keyakinan 90%, batas bawah interval adalah 0.704, yang berada di atas target 70%. Hal ini menunjukkan bahwa pada tingkat keyakinan 90%, target minimal 70% pengguna aktif premium dapat dianggap terpenuhi secara statistik. Namun, pada tingkat keyakinan 95% dan 99%, batas bawah interval masing-masing adalah 0.6944 dan 0.6755, yang berada di bawah 70%. Oleh karena itu, pada tingkat keyakinan yang lebih tinggi, tidak terdapat bukti statistik yang cukup untuk menyatakan bahwa proporsi pengguna premium setidaknya mencapai 70%.

Perbedaan hasil ini terjadi karena semakin tinggi tingkat keyakinan, nilai kritis yang digunakan semakin besar, sehingga margin of error meningkat dan interval keyakinan menjadi lebih lebar dan konservatif. Akibatnya, kepastian bahwa target 70% benar-benar tercapai menjadi lebih sulit untuk dipenuhi pada tingkat keyakinan yang lebih tinggi.

Secara keseluruhan, pemenuhan target 70% bergantung pada tingkat keyakinan yang dipilih, di mana tingkat keyakinan yang lebih tinggi memberikan estimasi yang lebih hati-hati terhadap proporsi sebenarnya di populasi. Untuk memperoleh interval yang lebih sempit dan meningkatkan kepastian terhadap target 70%, perusahaan dapat meningkatkan ukuran sampel atau mengumpulkan data tambahan.

Referensi

[1] DSCienceLabs, 8 Confidence Interval, in Introductory Statistics with R, Bookdown. Available: https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/08-Confidence_Interval.html, 2025.