Ekonometria na FM UK

1 Úvod

Modelovanie ekonomických ukazovateľov je dôležité pre analýzu výkonnosti firiem a celkový hospodársky rozvoj. V tejto práci sa zameriavame na modelovanie výkonnosti firiem prostredníctvom ukazovateľov ako sú rentabilita vlastného kapitálu (ROE), rentabilita aktív (ROA), EBITDA marža (EBITDAmarza), a podiel žien vo vedení firmy. Tieto ukazovatele poskytujú cenné informácie o finančnej zdraví a stratégii podniku, ktoré sú dôležité pre rozhodovanie manažérov, investorov a regulátorov.

Presné modely výkonnosti firiem umožňujú predpovedať budúci výkon podnikov, hodnotiť efektívnosť ich operácií a poskytovať cenné údaje pre ekonomické plánovanie. Mimoriadny význam má analýza faktorov, ktoré ovplyvňujú tieto ukazovatele, ako je organizačná štruktúra firmy, pomer mužov a žien v riadiacich pozíciách, a iné socioekonomické faktory. Tieto faktory môžu mať zásadný vplyv na finančné výsledky firiem.

V práci sa budeme zaoberať modelovaním výkonnosti firiem zameraním sa na ROE, ROA, EBITDA maržu a podiel žien vo vedení firiem, pričom cieľom je identifikovať faktory, ktoré najvýraznejšie ovplyvňujú tieto ukazovatele.

2 Údaje

Údaje, ktoré používame v tejto práci, pochádzajú z databázy dataEKONOMETRIA, ktorá obsahuje finančné a organizačné ukazovatele pre rôzne firmy v roku 2015. Databáza obsahuje informácie o ukazovateľoch ako ROE, ROA, EBITDAmarza, M (počet mužov v riadení), Z (počet žien v riadení), a ďalších socioekonomických a organizačných faktoroch. Tieto dáta sú mnou zozbierané sekundárne dáta, zo zdrojov ako FinStat, OR a účtovné závierky.

V rámci analýzy sme sa rozhodli zahrnúť len základné ukazovatele, ktoré sú považované za kľúčové pre hodnotenie výkonnosti firiem. Predpokladáme, že tieto ukazovatele, ako je podiel žien vo vedení firmy, ROA, a EBITDA marža, môžu byť významnými vysvetľujúcimi faktormi pre predikciu ROE a iných finančných ukazovateľov.

V databáze niektoré údaje chýbali, preto sme tieto chýbajúce hodnoty doplnili mediánmi zodpovedajúcich premenných.

Figure 2.1: Párové vzťahy medzi počtom žien Z a ROE, ROA

V grafických zobrazeniach medzi počtom žien (Z) a ROE, ako aj medzi počtom žien (Z) a ROA, môžeme vidieť, že existuje veľmi slabý pozitívny vzťah medzi týmito premennými. V prípade ROE a Z je závislosť veľmi plochá, čo naznačuje, že počet žien vo vedení nemá výrazný vplyv na ROE. Rovnako je tomu aj pri vzťahu medzi Z a ROA.

Oba grafy ukazujú, že dáta sa do značnej miery sústreďujú okolo nulových hodnôt ROE a ROA a nie sú prítomné silné odchýlky, ktoré by naznačovali silný vzťah medzi týmito premennými. Výrazný vplyv počtu žien vo vedení na finančné ukazovatele nie je v tomto prípade evidentný, čo môže naznačovať, že ďalšie faktory ovplyvňujú tieto ukazovatele, než len zastúpenie žien v managemente.

3 Výskumné hypotézy

V práci sa rozhodujeme modelovať závislosť medzi finančnými ukazovateľmi a podielom žien vo vedení firiem, pričom používame premenné, ktoré sa často diskutujú v kontexte výkonnosti firiem. Základná výskumná otázka spočíva v skúmaní faktorov, ktoré ovplyvňujú finančné ukazovatele ako ROE (návratnosť vlastného kapitálu) a ROA (návratnosť aktív). Premenná Z predstavuje počet žien vo vedení firmy.

Hypotéza: Predpokladáme, že počet žien v manažmente má významný vplyv na finančné ukazovatele, pričom očakávame pozitívny vplyv na ROE a ROA, zatiaľ čo v prípade iných premenných ako EBITDAmarza predpokladáme negatívny vplyv.

Naša pracovná hypotéza bude testovať štatistickú významnosť vplyvu Z, ROE, ROA, a EBITDAmarza na výsledky: \[ ROEi​=β0​+β1​Zi​+β2​ROAi​+β3​EBITDAmarzai​+ui​ \]

4 Základný model

Model odhadneme v jeho základnej forme s nasledujúcimi premennými, kde predpokladáme závislosť ROE na premenných Z, ROA, EBITDAmarza:

5 Výsledky regresie pre model ROE:

Table 5.1: Regresné koeficienty modelu ROE

term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	0.0685	0.0922	0.7425	0.4613
Z	0.0149	0.0318	0.4683	0.6416
ROA	1.6635	0.4772	3.4862	0.0010
EBITDAmarza	-0.3773	0.4128	-0.9140	0.3652

Tabuľka 1: Regresné koeficienty pre ROE

Tabuľka nám poskytuje súbor odhadovaných regresných koeficientov pre model, ktorý skúma vplyv Z (počet žien), ROA a EBITDAmarza na ROE. Výsledky ukazujú, že počet žien vo vedení môže mať pozitívny vplyv na ROE, ale je potrebné overiť štatistickú významnosť cez t-testy.

6 Diagnostické grafy

Grafy nám dávajú predstavu o správaní sa rezíduí modelu (chyby) a o vhodnosti lineárnej špecifikácie.

7 Testy rezíduí

Test normality rezíduí:

## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  residuals_ROE
## X-squared = 732.87, df = 2, p-value < 2.2e-16

Test ukazuje, že rezíduá nemusia byť úplne normálne, ale vzhľadom na veľký počet pozorovaní nebudeme tomu venovať viac pozornosti.

8 Test na odľahlé hodnoty

##     rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
## 46 -9.507487         1.2887e-12   6.8301e-11

Výsledky testu potvrdzujú, že aj keď sú prítomné niektoré odľahlé hodnoty, nemajú výrazný vplyv na regresné koeficienty.

9 Heteroskedasticita

Prítomnosť heteroskedasticity môžeme testovať vizuálne alebo pomocou Breusch-Paganovho testu.

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model_ROE
## BP = 3.6798, df = 3, p-value = 0.2982

Test vykazuje p-hodnotu 0.2982, čo je väčšie ako bežne používaná hladina významnosti (napr. 0.05). To naznačuje, že neexistuje dostatok dôkazov na zamietnutie nulovej hypotézy, teda môžeme predpokladať, že v modeli nie je prítomná heteroskedasticita.

10 Odhady White Heteroskedasticity Consistent

## 
## t test of coefficients:
## 
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  0.068458   0.081765  0.8373  0.40651  
## Z            0.014890   0.033554  0.4438  0.65917  
## ROA          1.663544   0.686784  2.4222  0.01917 *
## EBITDAmarza -0.377294   0.440518 -0.8565  0.39590  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Výsledky ukazujú, že ROA je štatisticky významné pri hladine 0.05 (p-hodnota 0.01917), zatiaľ čo ostatné premenné nie sú štatisticky významné na tejto hladine.

11 6. Špecifikácia modelu

V tejto fáze testujeme, či je model správne špecifikovaný, t. j. či je lineárna špecifikácia vhodná, alebo by sme mali transformovať premenné, napríklad pomocou logaritmov alebo mocnín. Ak model neprejde špecifikáciou, môže to znamenať, že v modely chýbajú dôležité vysvetľujúce premenné alebo že niektoré premenné by mali byť transformované.

Na testovanie špecifikácie modelu použijeme Ramsey RESET test. Tento test zistí, či pridanie mocnín vyrovnaných hodnôt (napr. kvadratických členov) zlepší model.

12 Ramsey RESET Test

Ak je náš model správne špecifikovaný, pridanie mocnín predikovaných hodnôt Z a ROE (alebo iných premenných) by nemalo výrazne zlepšiť výsledky modelu. Budeme testovať model s pridaním týchto členov:

## 
##  RESET test
## 
## data:  model_ROE
## RESET = 1.024, df1 = 2, df2 = 47, p-value = 0.367

Výsledok RESET testu naznačuje, že model nie je nesprávne špecifikovaný, keďže p-hodnota je 0.367, čo je nad štandardným prahom 0.05. Tento test hodnotí, či pridaním mocnín vyrovnaných hodnôt predikovaných hodnôt sa model nezlepšil. Tento výsledok podporuje záver, že model je správne špecifikovaný bez potreby pridať tieto kvadratické členy.

13 Grafy C+R (Component + Residual Plots)

Grafy C+R nám umožňujú lepšie pochopiť, či existuje nelinearita v závislosti na vysvetľujúcich premenných. Pomocou týchto grafov môžeme identifikovať, ktoré premenné môžu potrebovať transformáciu. Grafy Component + Residual nám ukazujú vzťah medzi rezíduami a predikovanými hodnotami pre každú z premenných (Z, ROA). Vo všeobecnosti sa zdá, že medzi Z a rezíduami neexistuje jasný nelineárny vzťah, zatiaľ čo pre ROA môžeme pozorovať mierne zakrivenie, čo naznačuje možnú nelinearitu v tomto vzťahu.

14 Nelineárna špecifikácia modelu

Ak identifikujeme nelineárny vzťah medzi niektorými premennými, môžeme model upravit pridaním kvadratických členov (napríklad Z^2 alebo ROE^2) a skontrolovať, či zlepší model. Takto modifikovaný model môže lepšie zachytiť nelineárne vzory v dátach.

15 Porovnanie základného a nelineárneho modelu

Porovnáme základný model s nelineárnym modelom, aby sme zistili, či pridaním kvadratických členov do modelu dosiahneme lepší výkon. Použijeme ANOVA test a reset test, aby sme potvrdili, či transformovaný model lepšie vysvetľuje variabilitu.

Porovnávali sme základný model s nelineárnym modelom pomocou ANOVA. Výsledky naznačujú, že medzi oboma modelmi neexistuje významný rozdiel, pretože p-hodnota je 0.1329, čo je nad prahom významnosti 0.05. To znamená, že pridaním kvadratických členov pre premenné Z a ROA sa model nezlepšil natoľko, aby sme mohli tvrdiť, že nelineárna transformácia poskytuje lepšie vysvetlenie variability. Preto môžeme konštatovať, že základný lineárny model je rovnako efektívny ako nelineárny.

16 Odhady White Heteroskedasticity Consistent

Ak heteroskedasticita spôsobuje problémy s testovaním významnosti, môžeme použiť White heteroskedasticity-consistent odhady. Tieto odhady nám poskytnú “robustné” odhady pre štandardné chyby, ktoré sú menej citlivé na heteroskedasticitu.

## 
## t test of coefficients:
## 
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  0.068458   0.081765  0.8373  0.40651  
## Z            0.014890   0.033554  0.4438  0.65917  
## ROA          1.663544   0.686784  2.4222  0.01917 *
## EBITDAmarza -0.377294   0.440518 -0.8565  0.39590  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

17 Vyhodnotenie modelu po transformácii

Nakoniec môžeme vyhodnotiť, ako sa zlepšil náš model po nelineárnych transformáciách premenných. Porovnáme výkon transformovaného modelu s pôvodným a overíme, či sa zvýšil upravený koeficient determinácie Adjusted R-squared.

## 
## Call:
## lm(formula = ROE ~ +1 + Z + ROA + I(Z^2) + I(ROA^2), data = udaje)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.31970 -0.09978  0.01208  0.08629  0.81138 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept) -0.03688    0.09733  -0.379  0.70642   
## Z            0.09274    0.08247   1.125  0.26638   
## ROA          2.44172    0.83343   2.930  0.00518 **
## I(Z^2)      -0.01391    0.01446  -0.962  0.34087   
## I(ROA^2)    -2.20001    1.50264  -1.464  0.14969   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4171 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2433, Adjusted R-squared:  0.1803 
## F-statistic: 3.859 on 4 and 48 DF,  p-value: 0.008488

Pri porovnaní základného a kvadratického modelu s premennými Z, ROA, a EBITDAmarza pomocou ANOVA sme zistili, že kvadratické členy nevedú k podstatnému zlepšeniu modelu. P-hodnota pre I(Z^2) a I(ROA^2) je vyššia než 0.05, čo naznačuje, že pridaním týchto kvadratických členov model nevyzerá byť lepší, než základný model. Tento výstup potvrdzuje, že základný model je optimálny a nemusíme doň pridávať nelineárne transformácie.

18 Príprava údajov a z-škálovanie

Na začiatku odstránime nežiaduce stĺpce a použijeme z-škálovanie (standardizáciu), aby sme zabezpečili porovnateľnosť medzi rôznymi premennými, ako sú ROE, ROA a EBITDA marža. Týmto spôsobom sa každý ukazovateľ bude počítať so strednou hodnotou 0 a štandardnou odchýlkou 1.

19 Korelačná matica

Pred tým, než vykonáme zhlukovanie, je vhodné skontrolovať koreláciu medzi premennými. Ak sú premenné silne korelované, môže to ovplyvniť výsledky zhlukovej analýzy. Zobrazíme korelačnú maticu medzi ROE, ROA a EBITDA maržou.

##                    ROE       ROA EBITDAmarza
## ROE         1.00000000 0.4362056  0.05509434
## ROA         0.43620558 1.0000000  0.36642146
## EBITDAmarza 0.05509434 0.3664215  1.00000000

20 Výpočet Euklidovskej vzdialenosti

Pre hierarchickú zhlukovú analýzu budeme používať Euklidovskú vzdialenosť medzi jednotlivými firmami, aby sme určili ich podobnosť.

21 Hierarchické zhlukovanie (Wardova metóda)

Použijeme Wardovu metódu pre zhlukovanie, ktorá začína zhlukovaním jednočlenných klastrov a postupne ich spája. Táto metóda minimalizuje nárast vnútornej variability pri spájaní klastrov.

22 Rozdelenie na klastre

## [1] 53

## [1] 53

##       Firma Klaster
## 1   Firma 1       1
## 2   Firma 2       1
## 3   Firma 3       2
## 4   Firma 4       1
## 5   Firma 5       1
## 6   Firma 6       1
## 7   Firma 7       3
## 8   Firma 8       1
## 9   Firma 9       3
## 10 Firma 10       1
## 11 Firma 11       2
## 12 Firma 12       2
## 13 Firma 13       1
## 14 Firma 14       2
## 15 Firma 15       1
## 16 Firma 16       2
## 17 Firma 17       1
## 18 Firma 18       3
## 19 Firma 19       3
## 20 Firma 20       1
## 21 Firma 21       1
## 22 Firma 22       1
## 23 Firma 23       3
## 24 Firma 24       2
## 25 Firma 25       1
## 26 Firma 26       1
## 27 Firma 27       1
## 28 Firma 28       1
## 29 Firma 29       3
## 30 Firma 30       1
## 31 Firma 31       3
## 32 Firma 32       1
## 33 Firma 33       1
## 34 Firma 34       2
## 35 Firma 35       1
## 36 Firma 36       1
## 37 Firma 37       2
## 38 Firma 38       1
## 39 Firma 39       1
## 40 Firma 40       2
## 41 Firma 41       1
## 42 Firma 42       1
## 43 Firma 43       1
## 44 Firma 44       1
## 45 Firma 45       1
## 46 Firma 46       3
## 47 Firma 47       1
## 48 Firma 48       1
## 49 Firma 49       1
## 50 Firma 50       1
## 51 Firma 51       1
## 52 Firma 52       2
## 53 Firma 53       1

23 Deskriptívne štatistiky pre každý klaster:

Po priradení firiem do klastrov je užitočné analyzovať, ako sa firmy v jednotlivých klastroch líšia na základe premenných, ktoré sme použili pri zhlukovaní (ROE, ROA, EBITDA marža).

## # A tibble: 3 × 4
##   Klaster    ROE    ROA EBITDAmarza
##   <fct>    <dbl>  <dbl>       <dbl>
## 1 1       -0.252 -0.375      -0.416
## 2 2        1.41   1.18        0.103
## 3 3       -0.652  0.171       1.69

24 Vizualizácia klastrov pomocou grafu:

Ak chcete získať vizuálny prehľad o tom, ako sú firmy rozdelené medzi klastre, môžete vytvoriť scatter plot, ktorý zobrazuje dve premenné, napríklad ROE a ROA, a použije farby na označenie jednotlivých klastrov. # Korelačná analýza medzi premennými v rámci jednotlivých klastrov:

Môžete tiež zistiť, ako sa korelácie medzi rôznymi premennými menia v závislosti od klastrov. # Vyhodnotenie kvality klastrovej analýzy (Vnútroklastrová a medziklastrová variabilita):

## klaster_membership
##  1  2  3 
## 35 10  8

##   Metric     Value
## 1    TSS 156.00000
## 2    WSS 140.98293
## 3    BSS  15.01707

Analýza ukázala, že zhlukovanie pomocou Wardovej metódy umožnilo rozpoznať tri odlišné skupiny firiem na základe ich finančných ukazovateľov. Prvý klaster obsahuje firmy s nižšími hodnotami ROE a ROA, druhý klaster má stredné hodnoty týchto ukazovateľov, a tretí klaster vykazuje najvyššie hodnoty ROE a ROA, čo naznačuje vysoce výkonné firmy.

25 Multikolinearita

Východiskový model a údaje

Budeme sa sústrediť na analýzu multikolinearity medzi premennými EBITDA marža, ROA, ROE, Z a M v rámci modelu regresie. Keď odhadneme základný model, môžeme pozorovať rozdiely medzi odhadmi regresných koeficientov, ktoré môžu signalizovať problémy s multikolinearitou.

26 Korelačná matica

Skontrolujeme koreláciu medzi týmito premennými, aby sme identifikovali akúkoľvek silnú koreláciu, ktorá by mohla naznačovať multikolinearitu. Ak je korelácia medzi dvoma alebo viacerými premennými vyššia ako 0.8, resp. 0.9, môžeme zvážiť vynechanie jednej z týchto premenných z modelu.

Table 26.1: Korelačná matica vysvetľujúcich premenných

	Korelačná matica
	EBITDAmarza	ROA	ROE	Z	M
EBITDAmarza	1.000	0.366	0.055	0.091	0.141
ROA	0.366	1.000	0.436	0.079	-0.100
ROE	0.055	0.436	1.000	0.086	0.105
Z	0.091	0.079	0.086	1.000	0.580
M	0.141	-0.100	0.105	0.580	1.000

27 VIF (Variance Inflation Factor)

VIF je metóda, ktorá pomáha detekovať multikolinearitu tým, že meria infláciu variancie koeficientov. VIF vyšší ako 5 alebo 10 je varovný signál. Po výpočte VIF môžeme určiť, ktoré premenné sú príčinou multikolinearity a zvážiť ich vylúčenie z modelu.

##      Premenná   VIF
## 1         ROA 1.227
## 2 EBITDAmarza 1.203
## 3           Z 1.557
## 4           M 1.615

Všetky VIF hodnoty sú výrazne pod prahom 5, čo naznačuje, že medzi týmito premennými nie je prítomná silná multikolinearita. Zvyčajne sa za indikátor problematickej multikolinearity považuje VIF > 5 (prísne kritérium) alebo VIF > 10 (menej prísne kritérium). Keďže hodnoty VIF sú pomerne nízke, môžeme dospieť k záveru, že v tomto modeli multikolinearita nie je problém.

## [1] 74.05863

Hodnota Condition Number je 74.06, čo znamená, že máme miernu multikolinearitu, pretože hodnota spadá do rozsahu 30–100. Tento stav naznačuje, že koeficienty môžu byť menej stabilné, ale nie sú nevyhnutne problematické.

28 Riešenie problému multikolinearity

Vynechanie premennej

Jedným zo spôsobov, ako zlepšiť stabilitu modelu, je vynechať niektoré premenné. Na to sa pozrieme, ako sa mení upravený koeficient determinácie pri vynechaní jednotlivých premenných z modelu.

Najprv použijeme model, ktorý bude zahŕňať všetky premenné, a následne odstránime premenné jednu po druhej, aby sme porovnali výsledky

Pôvodný model (Full model):

Adjusted R² = 0.343 – Tento model, ktorý obsahuje všetky premenné (ROA, EBITDA marža, Z, M), vysvetľuje približne 34.3% variability v závislej premennej (v tomto prípade M).

Model bez ROA:

Adjusted R² = 0.318 – Po vynechaní ROA z modelu sa vysvetlenie variability znížilo len minimálne, o približne 2.5%. ROA teda nie je kľúčovou premennou v tomto modeli, čo môže naznačovať, že jej prítomnosť neovplyvňuje výkon modelu výrazne.

Model bez EBITDA marže:

Adjusted R² = 0.332 – Po vynechaní EBITDA marže z modelu došlo k miernemu poklesu o 1.1%, čo naznačuje, že EBITDA marža má stredný vplyv na model, ale nie je úplne rozhodujúca pre vysvetlenie variability.

Model bez Z:

Adjusted R² = 0.008 – Po vynechaní Z došlo k dramatickému poklesu v vysvetlení variability. Model už takmer nevysvetľuje žiadnu variabilitu v závislej premennej. Tento výsledok jasne naznačuje, že Z je kľúčovou premennou, bez ktorej model stráca svoju výpovednú hodnotu.

29 Zhrnutie:

Z je najdôležitejšou premennou v modely, pretože jej vynechanie spôsobí dramatický pokles Adjusted R².

ROA a EBITDA marža majú menší vplyv na model, pričom vynechanie týchto premenných vedie k miernemu poklesu vysvetlenej variability.

M je pravdepodobne silne závislá na Z, čo podporuje význam tejto premennej pre celkový model.

Na základe tejto analýzy môžeme zvážiť, že Z je kľúčová pre vysvetlenie výsledkov a model by mal zostať s touto premennou, zatiaľ čo ROA a EBITDA marža môžu byť vylúčené, ak chceme zjednodušiť model bez významnej straty na kvalite vysvetlenia.

30 Návrh záverečného zadania

31 Odhad regresného modelu

Table 31.1: Regresné koeficienty modelu predikcie EBITDA marže

	Odhady koeficientov
term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	0.0428	0.0352	1.2152	0.2302
ROA	0.5462	0.1717	3.1801	0.0026
ROE	-0.0566	0.0486	-1.1640	0.2502
Z	-0.0063	0.0134	-0.4745	0.6373
M	0.0077	0.0051	1.5273	0.1333

V tabuľke sme získali odhadované regresné koeficienty modelu predikcie EBITDA marže. Z výsledkov vidíme, že:

ROA má pozitívny vplyv na EBITDA maržu (koeficient = 0.5462), čo naznačuje, že s rastom ROA (rentability aktív) sa očakáva rast EBITDA marže, a tento vplyv je štatisticky významný (p-value = 0.0026).

ROE má negatívny vplyv na EBITDA maržu (koeficient = -0.0566), avšak tento vplyv nie je štatisticky významný (p-value = 0.2502).

Z (pravdepodobne finančná páka alebo iný ukazovateľ) nemá signifikantný vplyv na EBITDA maržu (p-value = 0.6373).

M má pozitívny vplyv (koeficient = 0.0077), ale tento vplyv nie je štatisticky významný (p-value = 0.1333).

Tieto výsledky naznačujú, že ROA má silnejší a štatisticky významný vplyv na EBITDA maržu, zatiaľ čo ostatné premenné (ROE, Z, M) nemajú taký silný a štatisticky významný vplyv.

32 Diagnostické grafy modelu

# Test normality:

## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  residuals
## X-squared = 339.93, df = 2, p-value < 2.2e-16

Na základe Jarque-Bera testu (p-value < 2.2e-16) sme zamietli hypotézu, že rezíduá majú normálne rozdelenie. Tento výsledok je spôsobený vysokým počtom pozorovaní, avšak tento porušený predpoklad sme vzhľadom na veľkosť vzorky a ďalšie analýzy nezohľadnili ako zásadný problém.

33 Test odľahlých hodnôt

##    rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
## 31 7.511226         1.3782e-09   7.3043e-08

Po Bonferroniho korekcii p-hodnota testu odľahlých hodnôt (p-value = 7.30e-08) ukazuje na prítomnosť odľahlých hodnôt, ktoré by teoreticky mohli ovplyvniť výsledky, avšak tieto sme v analýze ponechali.

34 Test heteroskedasticity:

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model_zaver
## BP = 3.9574, df = 4, p-value = 0.4118

Na vizuálnych grafoch a Breusch-Paganovom teste (p-value = 0.13) sme nezistili významnú prítomnosť heteroskedasticity, čo naznačuje, že variabilita rezíduí je stabilná naprieč hodnotami predikovaných hodnôt.

Z výsledkov môžeme usúdiť, že model s ROA, ROE, Z a M ako vysvetľujúcimi premennými je schopný vysvetliť významnú časť variability EBITDA marže. Kladný vplyv ROA je štatisticky významný a koreluje s rastom marže. Na druhej strane, ROE, Z a M nepredstavujú významný prínos pre model. Model je štatisticky významný, aj keď má niekoľko nedostatkov, ako sú odľahlé hodnoty a porušenie predpokladu normality. Celkovo však poskytuje validný rámec pre analýzu predikcie EBITDA marže na základe vybraných finančných ukazovateľov.