BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam analisis statistik klasik, salah satu asumsi mendasar yang sering digunakan adalah adanya independensi antar pengamatan (saling bebas). Artinya, nilai suatu variabel pada satu unit observasi dianggap tidak dipengaruhi oleh nilai variabel pada unit observasi lainnya. Namun, dalam data yang memiliki referensi geografis atau keruangan (data spasial), asumsi ini sering kali tidak terpenuhi. Fenomena ini terjadi karena karakteristik suatu wilayah sering kali dipengaruhi oleh karakteristik wilayah di sekitarnya, baik karena faktor kedekatan geografis, interaksi sosial, maupun penyebaran fenomena alam.

Konsep ketergantungan antar wilayah ini dikenal dengan istilah autokorelasi spasial (spatial autocorrelation). Hal ini sejalan dengan Hukum Geografi Pertama yang dikemukakan oleh Tobler (1970), yang menyatakan bahwa “Segala sesuatu saling berhubungan dengan hal lainnya, tetapi sesuatu yang dekat memiliki hubungan yang lebih kuat daripada sesuatu yang jauh”. Mengabaikan efek spasial dalam analisis data kewilayahan dapat menyebabkan kesalahan dalam penarikan kesimpulan, seperti bias pada estimasi parameter atau ketidaktepatan dalam identifikasi pola penyebaran masalah.

Autokorelasi spasial berfungsi untuk mengidentifikasi pola penyebaran suatu variabel, apakah membentuk pola mengelompok (cluster), menyebar (dispersed), atau acak (random). Deteksi pola ini sangat penting dalam berbagai bidang, seperti epidemiologi untuk memetakan penyebaran penyakit, ekonomi untuk melihat klaster kemiskinan, hingga klimatologi. Untuk mengukur tingkat autokorelasi spasial, terdapat beberapa metode statistik yang umum digunakan, di antaranya adalah Indeks Moran (Moran’s I) dan Indeks Geary (Geary’s C).

Indeks Moran umumnya digunakan untuk melihat autokorelasi spasial secara global dengan membandingkan kovarians antar lokasi, sedangkan Indeks Geary lebih sensitif terhadap perbedaan lokal dengan menggunakan pendekatan kuadrat selisih nilai antar lokasi. Kedua metode ini memberikan perspektif yang saling melengkapi dalam memahami struktur spasial data. Oleh karena itu, penelitian ini akan menerapkan analisis autokorelasi spasial menggunakan kedua metode tersebut untuk mengetahui pola hubungan dan ketergantungan antar wilayah pada data yang diamati.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah pada penelitian kali ini adalah sebagai berikut;

  1. Bagaimana cara melakukan analisis autokorelasi spasial dengan menggunakan Indeks Moran dan bagaimana pengujian parameternya?
  2. Bagaimana cara melakukan analisis autokorelasi spasial dengan menggunakan Indeks Geary dan bagaimana pengujian parameternya?

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah maka didapatkan tujuan penelitian kali ini adalah sebagai berikut:

  1. Mahasiswa dapat melakukan analisis autokorelasi spasial dengan menggunakan Indeks Moran dan melakukan pengujian parameternya.
  2. Mahasiswa dapat melakukan analisis autokorelasi spasial dengan menggunakan Indeks Geary dan melakukan pengujian parameternya.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Autokorelasi Spasial

Autokorelasi spasial merupakan suatu ukuran kemiripan antar objek dalam suatu ruang, dengan kata lain autokrelasi adalah korelasi antar variabel pada dirinya sendiri berdasarkan ruang. Jika nilai pada suatu wilayah tertentu memiliki keterkaitan dengan wilayah lainnya maka dapat dikatakan pada wilayah-wilayah tersebut terdapat autokorelasi spasial. Autokrelasi spasial terbagi atas autokorelasi spasial positif, autokorelasi spasial negatif dan tidak terdapat autokorelasi spasial (Agwil dan Hidayati, 2023).

Autokorelasi spasial merupakan konsep fundamental dalam analisis spasial yang mengukur tingkat ketergantungan antar nilai atribut pada lokasi-lokasi yang berdekatan. Konsep ini berakar pada Hukum Geografi Pertama yang dikemukakan oleh Tobler (1970), yang menyatakan bahwa segala sesuatu saling berhubungan dengan hal lainnya, tetapi sesuatu yang dekat memiliki hubungan yang lebih kuat dibandingkan dengan sesuatu yang jauh.

Menurut Anselin (1988), autokorelasi spasial dapat didefinisikan sebagai hubungan fungsional antara nilai variabel \(Y\) di lokasi \(i\) dengan nilai variabel yang sama di lokasi \(j\) (\(i \neq j\)). Hubungan ini bisa bersifat:

  1. Positif: Jika lokasi yang berdekatan memiliki nilai yang serupa (tinggi dikelilingi tinggi, atau rendah dikelilingi rendah). Ini menunjukkan adanya pola pengelompokan (cluster).
  2. Negatif: Jika lokasi yang berdekatan memiliki nilai yang berlawanan (tinggi dikelilingi rendah, atau sebaliknya). Ini menunjukkan pola menyebar (dispersed) atau seperti papan catur.
  3. Nihil (Acak): Jika tidak ada pola spasial tertentu yang terdeteksi.

Dalam perhitungannya, autokorelasi spasial sangat bergantung pada Matriks Pembobot Spasial (\(W\)). Lee dan Wong (2001) menjelaskan bahwa matriks ini merepresentasikan hubungan kedekatan antar wilayah, baik berdasarkan persinggungan batas (contiguity) maupun berdasarkan jarak (distance).

2.2 Indeks Moran

Indeks Moran (\(I\)) adalah statistik yang paling luas digunakan untuk mendeteksi autokorelasi spasial global. Metode ini dikembangkan oleh Patrick Alfred Pierce Moran pada tahun 1950. Indeks Moran pada dasarnya membandingkan nilai kovarians antar lokasi dengan varians data secara keseluruhan.

Secara matematis, Indeks Moran dirumuskan sebagai berikut:

\[ I = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{ij}} \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{ij}(x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

Dimana:

  • \(n\) adalah jumlah total unit observasi (wilayah).
  • \(x_i\) dan \(x_j\) adalah nilai variabel pada lokasi \(i\) dan \(j\).
  • \(\bar{x}\) adalah rata-rata dari variabel \(x\).
  • \(w_{ij}\) adalah elemen pembobot spasial antar lokasi \(i\) dan \(j\).

Nilai Indeks Moran berkisar antara -1 hingga +1.

  • Nilai \(I\) mendekati +1 mengindikasikan autokorelasi spasial positif yang kuat (mengelompok).
  • Nilai \(I\) mendekati -1 mengindikasikan autokorelasi spasial negatif (menyebar).
  • Nilai \(I\) mendekati 0 (atau lebih tepatnya mendekati nilai harapan \(E(I)\)) mengindikasikan pola acak.

Untuk menguji signifikansi autokorelasi spasial, digunakan nilai statistik \(Z\) atau Z-score. Menurut Cliff dan Ord (1981), jika nilai \(|Z_{hitung}| > Z_{\alpha/2}\), maka tolak \(H_0\), yang berarti terdapat autokorelasi spasial yang signifikan pada taraf nyata \(\alpha\).

\[ Z(I) = \frac{I - E(I)}{\sqrt{Var(I)}} \]

2.3 Indeks Geary

Metode lain yang sering digunakan sebagai pembanding Indeks Moran adalah Indeks Geary (\(C\)), atau dikenal sebagai Geary’s Ratio. Berbeda dengan Moran yang menggunakan produk silang dari deviasi rata-rata (mirip korelasi Pearson), Indeks Geary menggunakan kuadrat selisih antar nilai observasi pada lokasi bertetangga.

Rumus Indeks Geary adalah:

\[ C = \frac{(n-1) \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{ij} (x_i - x_j)^2}{2 (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{ij}) \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]

Rentang nilai Indeks Geary berbeda dengan Indeks Moran, yaitu berkisar antara 0 hingga 2:

  • Jika \(0 < C < 1\): Menunjukkan autokorelasi spasial positif. Nilai yang semakin mendekati 0 menunjukkan pengelompokan yang semakin kuat.
  • Jika \(C > 1\): Menunjukkan autokorelasi spasial negatif.
  • Jika \(C = 1\): Menunjukkan tidak ada autokorelasi spasial (acak).

Sokal dan Oden (1978) mencatat bahwa Indeks Geary cenderung lebih sensitif terhadap perbedaan lokal (heterogenitas spasial) dibandingkan Indeks Moran yang lebih stabil dalam melihat pola global. Oleh karena itu, penggunaan kedua indeks ini secara bersamaan sering disarankan untuk mendapatkan gambaran struktur spasial yang lebih komprehensif.

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari paket data bawaan dalam perangkat lunak R, yaitu paket `spdep` dan `sf`. Dataset tersebut adalah data *North Carolina SIDS* (*Sudden Infant Death Syndrome*) yang memuat informasi spasial dan atribut kesehatan dari 100 *counties* (kabupaten) di negara bagian North Carolina, Amerika Serikat. Penelitian ini secara spesifik menggunakan data jumlah kasus kematian mendadak pada bayi (SIDS) yang tercatat pada tahun 1974. Data spasial direpresentasikan dalam format *shapefile* poligon yang memuat batas-batas administrasi setiap kabupaten.

3.2 Variabel Penelitian

Variabel yang digunakan dalam analisis ini terdiri dari variabel pengamatan utama dan variabel unit spasial. Fokus utama penelitian ini adalah variabel Jumlah Kasus SIDS 1974 (SID74), yaitu variabel numerik yang merepresentasikan total kejadian kematian mendadak pada bayi (Sudden Infant Death Syndrome) di setiap kabupaten selama periode tahun 1974. Variabel ini digunakan untuk mendeteksi keberadaan pola autokorelasi spasial. Sebagai acuan keruangan, digunakan variabel Nama Kabupaten (NAME) yang berfungsi sebagai unit spasial. Variabel ini memuat identitas wilayah administrasi dari 100 kabupaten di North Carolina dan berperan krusial dalam penentuan lokasi serta proses pembentukan matriks pembobot spasial (spatial weights matrix) dalam analisis selanjutnya.

3.3 Langkah-langkah Analisis

Prosedur analisis data dilakukan dengan bantuan perangkat lunak RStudio. Langkah-langkah analisis yang dilakukan adalah sebagai berikut:

  1. Eksplorasi Data dan Statistik Deskriptif
  2. Visualisasi Peta Sebaran
  3. Pembentukan Matriks Pembobot Spasial (Spatial Weights Matrix)
  4. Uji Autokorelasi Spasial Global
  5. Interpretasi Visual (Moran Scatterplot)
  6. Penarikan Kesimpulan.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Statistik Deskriptif

# 1. Load Library
library(sf)
library(spdep)
library(ggplot2)

# 2. Load Data Bawaan R (North Carolina SIDS)
# Mengambil file shapefile yang tersimpan di dalam folder instalasi library 'sf'
nc_file <- system.file("shape/nc.shp", package="sf")
peta <- st_read(nc_file)
## Reading layer `nc' from data source `D:\apps\R-4.5.2\library\sf\shape\nc.shp' using driver `ESRI Shapefile'
## Simple feature collection with 100 features and 14 fields
## Geometry type: MULTIPOLYGON
## Dimension:     XY
## Bounding box:  xmin: -84.32385 ymin: 33.88199 xmax: -75.45698 ymax: 36.58965
## Geodetic CRS:  NAD27
# Kita akan menganalisis variabel 'SID74' (Jumlah kasus SIDS tahun 1974)
# Nama variabel kita simpan ke objek 'data_var' agar mudah diganti-ganti
data_var <- peta$SID74 
nama_wilayah <- peta$NAME # Nama Kabupaten untuk label

# Tampilkan 6 data teratas
head(peta[, c("NAME", "SID74")])
## Simple feature collection with 6 features and 2 fields
## Geometry type: MULTIPOLYGON
## Dimension:     XY
## Bounding box:  xmin: -81.74107 ymin: 36.07282 xmax: -75.77316 ymax: 36.58965
## Geodetic CRS:  NAD27
##          NAME SID74                       geometry
## 1        Ashe     1 MULTIPOLYGON (((-81.47276 3...
## 2   Alleghany     0 MULTIPOLYGON (((-81.23989 3...
## 3       Surry     5 MULTIPOLYGON (((-80.45634 3...
## 4   Currituck     1 MULTIPOLYGON (((-76.00897 3...
## 5 Northampton     9 MULTIPOLYGON (((-77.21767 3...
## 6    Hertford     7 MULTIPOLYGON (((-76.74506 3...
nc <- st_read(system.file("shape/nc.shp", package="sf"), quiet = TRUE)
data_var <- nc$SID74

# 2. Statistik Deskriptif (Min, 1st Qu, Median, Mean, 3rd Qu, Max)
summary(data_var)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    0.00    2.00    4.00    6.67    8.25   44.00

Berdasarkan hasil diatas maka didapatkan bahwa pada data tersebut didapatkan nilai minimum adalah 0 yang berarti terdapat kabupaten yang tidak memiliki kasus SIDS, dengan quartil 1 adalah 2, yang berarti sebanyak 25% kabupaten memiliki jumlah kasus 2 atau kurang. Dari nilai mean, median, dan modus didapatkan data menceng ke kanan yang berarti data tidak berdistribusi normal. Terdapat juga outlier yang dapat dilihat dari nilai rata-rata lebih tinggi karena adanya segelintir kabupaten yang kasusnya sangat esktrem, padahal mayoritas kabupaten cuma punya 4 kasus.

4.2 Indeks Moran

# 1. Membuat Tetangga (Queen Contiguity)
nb <- poly2nb(peta, queen = TRUE)

# 2. Membuat Matriks Pembobot (Row Standardized)
listw <- nb2listw(nb, style = "W")

# --- C. INDEKS MORAN (MORAN'S I) ---

# Uji Moran
moran_result <- moran.test(data_var, listw)

print("--- HASIL UJI INDEKS MORAN ---")
## [1] "--- HASIL UJI INDEKS MORAN ---"
print(moran_result)
## 
##  Moran I test under randomisation
## 
## data:  data_var  
## weights: listw    
## 
## Moran I statistic standard deviate = 2.5192, p-value = 0.00588
## alternative hypothesis: greater
## sample estimates:
## Moran I statistic       Expectation          Variance 
##       0.147740529      -0.010101010       0.003925567

Pengujian Hipotesis Indeks Moran

Berdasarkan output analisis Indeks Moran di atas, berikut adalah pengujian hipotesis untuk menentukan keberadaan autokorelasi spasial:

1. Hipotesis

\[ \begin{aligned} H_0 &: I = 0 \text{ (Tidak terdapat autokorelasi spasial antar lokasi)} \\ H_1 &: I > 0 \text{ (Terdapat autokorelasi spasial positif / Pola Mengelompok)} \end{aligned} \]

Catatan: Hipotesis alternatif (\(H_1\)) dinyatakan “lebih besar dari 0” karena output R menunjukkan alternative hypothesis: greater.

2. Tingkat Signifikansi

Tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95% atau taraf nyata \(\alpha = 0.05\).

3. Statistik Uji

Berdasarkan hasil output R, diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:

  • Nilai Indeks Moran (\(I\)): 0.1477
  • Nilai Harapan (\(E(I)\)): -0.0101
  • Z-hitung (Standard Deviate): 2.5192
  • P-value: 0.00588

4. Kriteria Keputusan

  • Tolak \(H_0\) jika \(P\text{-value} < \alpha\) (\(0.05\)).
  • Terima \(H_0\) jika \(P\text{-value} \ge \alpha\) (\(0.05\)).

5. Keputusan

Dikarenakan nilai \(P\text{-value} (0.00588) < \alpha (0.05)\), maka keputusannya adalah Tolak\(H_0\). Selain itu, nilai Indeks Moran (\(I = 0.1477\)) lebih besar dari nilai harapan (\(E(I) = -0.0101\)) dan nilai Z-hitung (\(2.5192\)) bernilai positif, yang mengindikasikan arah hubungan positif. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat disimpulkan bahwa terdapat autokorelasi spasial positif yang signifikan pada data tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa lokasi-lokasi yang berdekatan memiliki nilai karakteristik yang cenderung mirip (nilai tinggi dikelilingi nilai tinggi, atau nilai rendah dikelilingi nilai rendah), sehingga membentuk pola pengelompokan (cluster) secara spasial.

# Visualisasi Moran Scatterplot
moran.plot(data_var, listw,
           labels = as.character(nama_wilayah), 
           xlab = "Kasus SIDS", 
           ylab = "Lag Spatial Kasus SIDS",
           main = "Moran Scatterplot - North Carolina")

Grafik diatas menggambarkan hubungan antara nilai suatu wilayah (Sumbu X) dengan rata-rata nilai tetangganya (Sumbu Y). Garis putus-putus membagi grafik menjadi 4 kuadran.Analisis ini menunjukkan bahwa penyebaran kasus SIDS di North Carolina memiliki pola mengelompok (cluster). Ada klaster daerah aman (Low-Low) yang dominan, klaster daerah rawan (High-High seperti Robeson), serta daerah unik yang kasusnya meledak sendirian (Mecklenburg).

4.3 Indeks Geary

# Uji Geary
geary_result <- geary.test(data_var, listw)

print("--- HASIL UJI KOEFISIEN GEARY ---")
## [1] "--- HASIL UJI KOEFISIEN GEARY ---"
print(geary_result)
## 
##  Geary C test under randomisation
## 
## data:  data_var 
## weights: listw   
## 
## Geary C statistic standard deviate = 1.9591, p-value = 0.02505
## alternative hypothesis: Expectation greater than statistic
## sample estimates:
## Geary C statistic       Expectation          Variance 
##       0.843876721       1.000000000       0.006350747

Selain Indeks Moran, analisis autokorelasi spasial juga dilakukan menggunakan Koefisien Geary (Geary’s C) untuk melihat sensitivitas hubungan antar wilayah tetangga berdasarkan perbedaan nilai kuadratnya. Berikut adalah hasil pengujiannya:

1. Hipotesis

\[ \begin{aligned} H_0 &: C = 1 \text{ (Tidak terdapat autokorelasi spasial / Pola Acak)} \\ H_1 &: C < 1 \text{ (Terdapat autokorelasi spasial positif / Pola Mengelompok)} \end{aligned} \]

Catatan: Hipotesis alternatif (\(H_1\)) dinyatakan \(C < 1\) karena output R menunjukkan “alternative hypothesis: Expectation greater than statistic”, yang berarti nilai Harapan (1) lebih besar dari statistik hitung (\(C\)).

2. Tingkat Signifikansi

Tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95% atau taraf nyata \(\alpha = 0.05\).

3. Statistik Uji

Berdasarkan hasil output R, diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:

  • Nilai Koefisien Geary (\(C\)): 0.8439
  • Nilai Harapan (\(E[C]\)): 1.0000
  • Z-hitung (Standard Deviate): 1.9591
  • P-value: 0.02505

4. Kriteria Keputusan

  • Tolak \(H_0\) jika \(P\text{-value} < \alpha\) (\(0.05\)).
  • Terima \(H_0\) jika \(P\text{-value} \ge \alpha\) (\(0.05\)).

5. Keputusan

Dikarenakan nilai \(P\text{-value} (0.02505) < \alpha (0.05)\), maka keputusannya adalah Tolak \(H_0\). Selain itu, nilai statistik Geary (\(C = 0.8439\)) lebih kecil dari 1 (nilai harapan). Dalam Koefisien Geary, nilai \(0 < C < 1\) mengindikasikan adanya autokorelasi positif. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat disimpulkan bahwa terdapat autokorelasi spasial positif yang signifikan. Hasil ini konsisten dengan Indeks Moran, di mana lokasi-lokasi yang berdekatan memiliki perbedaan nilai yang kecil (mirip), sehingga membentuk pola pengelompokan (cluster).

BAB V KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Analisis autokorelasi spasial menggunakan Indeks Moran dilakukan dengan membandingkan nilai kovarians antar lokasi yang bertetangga terhadap varians data secara keseluruhan, yang dimediasi oleh matriks pembobot spasial (spatial weights matrix). Metode ini menghasilkan nilai statistik (\(I\)) dengan rentang -1 hingga +1 untuk mendeteksi pola global. Pengujian parameternya dilakukan melalui uji hipotesis dengan \(H_0\) yang menyatakan bahwa data menyebar secara acak (\(I=0\)). Keputusan pengujian didasarkan pada perbandingan nilai \(P\text{-value}\) dengan taraf nyata \(\alpha\) (0.05) dan nilai \(Z\)-hitung; jika \(P\text{-value} < \alpha\) dan \(Z\)-hitung positif, maka disimpulkan terdapat autokorelasi spasial positif atau pola pengelompokan (cluster).

Sementara itu, analisis menggunakan Indeks Geary (Geary’s C) menggunakan pendekatan kuadrat selisih nilai antar lokasi, yang membuatnya lebih sensitif terhadap perbedaan lokal dibandingkan pola global. Statistik ini memiliki nilai harapan sebesar 1, di mana nilai \(C < 1\) mengindikasikan autokorelasi positif (kemiripan nilai antar tetangga) dan \(C > 1\) mengindikasikan autokorelasi negatif (ketidakmiripan). Pengujian parameternya menggunakan prinsip yang sama dengan Indeks Moran, yaitu membandingkan statistik hitung dengan nilai harapan melalui uji-Z. Jika \(H_0\) (\(C=1\)) ditolak dengan nilai statistik \(C\) yang signifikan di bawah angka 1, maka terbukti adanya hubungan spasial yang bersifat mengelompok.

Berdasarkan hasil analisis pada data kasus SIDS di North Carolina, kedua metode memberikan kesimpulan yang konsisten dan signifikan secara statistik. Uji Indeks Moran menghasilkan nilai \(I = 0.1477\) (\(P\text{-value} = 0.0058\)) dan Uji Indeks Geary menghasilkan nilai \(C = 0.8439\) (\(P\text{-value} = 0.025\)), di mana kedua nilai \(P\text{-value} < 0.05\). Hal ini mengonfirmasi bahwa sebaran penyakit tersebut memiliki pola autokorelasi spasial positif (clustered). Artinya, wilayah dengan kasus SIDS tinggi cenderung dikelilingi oleh wilayah dengan kasus tinggi pula, sebagaimana dikonfirmasi oleh visualisasi Moran Scatterplot yang menunjukkan dominasi pola pada kuadran Low-Low dan High-High.

DAFTAR PUSTAKA

Agwil, W & Hidayati, N. (2003). Modul Pengantar Statistik Spasial. FMIPA, Universitas Bengkulu.

Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods and Models. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Cliff, A. D., & Ord, J. K. (1981). Spatial Processes: Models & Applications. London: Pion.

Lee, J., & Wong, D. W. S. (2001). Statistical Analysis with ArcView GIS. New York: John Wiley & Sons.

Sokal, R. R., & Oden, N. L. (1978). Spatial autocorrelation in biology: 1. Methodology. Biological Journal of the Linnean Society, 10(2), 199-228.

Tobler, W. R. (1970). A Computer Movie Simulating Urban Growth in the Detroit Region. Economic Geography, 46(2), 234-240.