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MANUAL DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO - 2026

Fuente: https://math.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Mathematics/Introductory_Quantitative_Reasoning_(Quantway_Core)/00%3A_Front_Matter/03%3A_Table_of_Contents

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1.2: Introducción al razonamiento cuantitativo

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🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El razonamiento cuantitativo es la capacidad de comprender y utilizar información cuantitativa. Es una herramienta poderosa para comprender el mundo.
Las matemáticas relativamente simples pueden ayudar a dar sentido a situaciones complejas.
1 mil millones = 1.000 × 1.000 × 1.000.
Las representaciones 1 billón, 1.000.000.000 y 10⁹ tienen el mismo significado.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Identificar información cuantitativa.
Convertir unidades de pies a millas.
Redondear números.
Nombrar números grandes.
Trabajar en grupos y participar en discusiones utilizando las normas grupales para la clase.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: ¿TIENE SENTIDO ESTA INFORMACIÓN?

Contexto: Durante este curso, se le presentarán diversas situaciones problemáticas para evaluar información cuantitativa de la vida cotidiana.

Afirmación del volante: “Cada año, desde 1980, el número de niños asesinados a tiros se ha duplicado.”

Preguntas de análisis grupal:

¿Qué grupos podrían haber enviado este volante? ¿Qué ideas políticas podría respaldar?
¿Crees que la afirmación es razonable? Discute con tu grupo.
Estrategias para determinar si es razonable (usando solo la información del folleto).
Actividad de completar tabla: Elige una cifra inicial para 1980 (a) y proyecta duplicando cada año hasta 2020 (b-f). Escribe los números con palabras (g-l).
Consulta tu tabla. ¿Te parece razonable el número proyectado para 2020? ¿Qué información adicional necesitarías?

🔹 ACERCA DE ESTE CURSO

Temáticas principales:

Ciudadanía: Comprender información sobre la sociedad y el gobierno para la toma de decisiones.
Finanzas Personales: Usar información financiera en decisiones de vida.
Alfabetización Médica: Entender información sobre salud y tratamientos.

Habilidades a desarrollar: - Comprender e interpretar información cuantitativa. - Evaluar información cuantitativa (ej: determinar si es razonable). - Utilizar información cuantitativa para tomar decisiones.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: ¿CUÁN GRANDE ES MIL MILLONES?

Contexto: La población mundial es de ~7 mil millones. Es difícil comprender la magnitud.

Definición: 1 mil millones = 1.000 × 1.000 × 1.000 = 1.000.000.000 = 10⁹

Actividad de comprensión escalar:

Imagina una fila de personas:
- 1. Estima el ancho de hombros de una persona promedio.
- 1. Calcula la longitud (en millas) de 1,000 personas hombro con hombro (5280 pies = 1 milla).
- 1. Para 1,000 filas de 1,000 personas:
  - 1. ¿Cuántas personas total?
  - 1. ¿Longitud en millas?
- 1. Para 1,000 líneas como la de (c):
  - 1. ¿Cuántas personas total? (¡Esto es 1 mil millones!)
  - 1. ¿Longitud en millas? (Redondea).

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Registra las ideas matemáticas importantes de la discusión: - El poder de la progresión geométrica (duplicación). - La importancia de cuestionar y verificar la información cuantitativa. - Estrategias para estimar y comprender magnitudes grandes. - La traducción entre representaciones numéricas (dígitos, palabras, potencias de 10).

[Adaptado de Joel Best, Malditas mentiras y estadísticas (2001)]

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1.3: Siete mil millones y contando

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🔹 INTRODUCCIÓN Y ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

Discusión grupal inicial:

Contexto histórico: “En las Metamorfosis, Ovidio (43 a. C. a 17 d. C.) cuenta la historia del rey Liceo…”
- a. C. (BCE): Antes de la Era Común.
- d. C. (CE): Después de la Era Común / Era Común.
Check-in rápido:
- ¿En qué concepto matemático de la Unidad 1.1 te sientes seguro?
- ¿Qué concepto te resulta desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El crecimiento de la población se puede medir en términos de tiempo de duplicación.
Los tiempos de duplicación permiten comparar el crecimiento poblacional en diferentes períodos.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular cantidades en miles de millones.
Utilizar datos para estimar un tiempo de duplicación.
Comparar y contrastar el crecimiento poblacional mediante tiempos de duplicación.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: MEDICIÓN DEL CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN

Concepto clave: El tiempo de duplicación es el tiempo que tarda una población en duplicar su tamaño. Indica la velocidad de crecimiento.

Tabla 1: Estimaciones históricas de población mundial (límite inferior, en millones)

Año	Población	Año	Población
10.000 a. C.	1	1850	1.262
9.000 a. C.	3	1900	1.650
8.000 a. C.	5	1950	2.519
7.000 a. C.	7	1960	2.982
6.000 a. C.	10	1970	3.692
5.000 a. C.	15	1980	4.435
4.000 a. C.	20	1985	4.831
3.000 a. C.	25	1990	5.263
2.000 a. C.	35	1995	5.674
1.000 a. C.	50	2000	6.070
500 a. C.	100	2005	6.454
1 d. C.	200	2010	6.922
1000 d. C.	310	2015	7.339
1800 d. C.	978	2020	7.753

(Fuente: worldometers.info)

(1) Cálculo de tiempos de duplicación

Ejemplo: Año 8000 a. C. - Población inicial: 5 millones - Año de duplicación: 6000 a. C. (población: 10 millones) - Tiempo de duplicación: 2000 años

Tabla de cálculo de tiempos de duplicación:

Año	Tiempo de duplicación (estimado)
8.000 a. C.	2.000 años (ejemplo)
6.000 a. C.	(a)
3.000 a. C.	(b)
1 d. C.	(c)
1800 d. C.	(d)
1850 d. C.	(e)
1900 d. C.	(f)
1970 d. C.	(g)

(2) Análisis grupal de resultados

¿Qué observan sobre los tiempos de duplicación?
¿Qué indica esto sobre el cambio en la población humana?
Describan cómo realizaron sus estimaciones.

🔹 PRINCIPIO DE REDACCIÓN CUANTITATIVA

Principio: Utilizar información específica y completa. El lector debe entender el contexto y los datos sin ver la pregunta original.

(3) Análisis de afirmaciones (antes de 1800 d. C.)

¿Cuál describe mejor el cambio?

1. Los tiempos de duplicación disminuyeron.
1. Antes de 1800 d. C., los tiempos estimados de duplicación de la población disminuyeron de 2.000 a 1.000.
1. Los tiempos de duplicación disminuyeron de 2.000 a 1.000.

Respuesta más completa: La (ii) proporciona contexto, período específico y datos cuantitativos.

(4) Redacción propia (después de 1800 d. C.)

Escriba una declaración que describa el cambio en los tiempos de duplicación después de 1800 d. C., aplicando el principio.

Ejemplo de respuesta: Después de 1800 d. C., los tiempos de duplicación de la población mundial se redujeron drásticamente, pasando de aproximadamente 150 años en 1800 a menos de 50 años en la segunda mitad del siglo XX.

🔹 APLICACIÓN ADICIONAL: EXPLICANDO MAGNITUDES

(5) Explicación de millón, billón y trillón

Siga el Principio de Redacción.

Ejemplo: “Un millón es 1,000,000 (10⁶), que equivale a mil veces mil. Un billón (en escala corta, usada en EE.UU.) es 1,000,000,000 (10⁹), es decir, mil millones. Un trillón (en escala corta) es 1,000,000,000,000 (10¹²), lo que equivale a un millón de millones. Así, un trillón es mil veces mayor que un billón, y un billón es mil veces mayor que un millón.”

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Registre las ideas matemáticas importantes:

El tiempo de duplicación como herramienta para medir el crecimiento exponencial.
La aceleración del crecimiento poblacional humano (duplicaciones cada vez más rápidas).
La importancia del contexto histórico al interpretar datos poblacionales.
Habilidades de cálculo estimativo y proyección usando tablas de datos.
Redacción clara de información cuantitativa: incluir contexto, magnitudes y unidades.

[Tablas construidas a partir de datos de Worldometers - World Population by Year]

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1.4: Porcentajes en muchas formas

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🔹 INTRODUCCIÓN: TIPOS DE ESTIMACIÓN

Repaso de la Preparación 1.3:

Conjetura fundamentada: Estimación basada en datos fiables cuando la medición exacta es imposible (ej: población mundial).
Estimación conveniente: Aproximación útil cuando la precisión extrema no es necesaria (ej: comprar pintura).
Cálculo estimado: Redondeo para simplificar operaciones, especialmente con porcentajes.

🔹 REGISTRO RÁPIDO: EL VALOR DEL ERROR

Discusión grupal:

¿Cómo te sientes al cometer errores? ¿Por qué?
¿Cómo crees que te ven los demás cuando te equivocas?
¿Has descubierto algo nuevo a partir de un error?
¿Te has sentido orgulloso de un error? ¿Te ha hecho reflexionar más profundamente?

Anoten puntos interesantes de su discusión.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La estimación es una habilidad valiosa.
Se pueden usar puntos de referencia estándar (10%, 25%, 50%, etc.) en la estimación.
Existen múltiples estrategias para estimar.
Los porcentajes son un concepto cuantitativo fundamental.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Usar puntos de referencia para estimar porcentajes.
Estimar qué porcentaje es un número de otro.
Estimar el porcentaje de un número (incluso <1%).
Calcular exactamente qué porcentaje es un número de otro.
Calcular exactamente el porcentaje de un número (incluso <1%).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: ESTIMACIONES CON PORCENTAJES

Propósito: Desarrollar habilidades de estimación para cálculos rápidos y verificación de resultados.

(1) Estimación mental de descuentos

Precio original: $87.99

Descuento	Estimación individual	Estrategias discutidas
20%	(i)
25%	(ii)
35%	(iii)
70%	(iv)

(b) Estrategias de estimación (registre 2): 1. 2.

(2) Comparación de distritos policiales

Recinto	Incidentes violentos	Con armas
1	25	5
2	122	18

Pregunta: ¿En qué distrito es más probable que se use un arma en un incidente violento?

Estrategia de estimación grupal:

Respuesta estimada:

(3) Bono de reembolso de tarjeta de crédito

Tasa: 0.5%
Gasto: $462
Bono estimado: ______

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: CÁLCULO EXACTO

Mismo escenario, pero con cálculos exactos (usar calculadora).

(4) Precios de venta exactos

Precio original: $87.99

Descuento	Cálculo del descuento	Precio de venta (redondeado a 2 decimales)
20%		(i) $______
25%		(ii) $______
35%		(iii) $______
70%		(iv) $______

(5) Porcentajes exactos de incidentes con armas

Recinto	Fórmula	Porcentaje (redondeado al entero)
1	(5/25)×100	______%
2	(18/122)×100	______%

(6) Bono exacto de tarjeta de crédito

Cálculo: 0.5% de $462
Bono exacto (redondeado al centavo): $______

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(7) Estrategias de estimación y cálculo

Problema	Estimación	Estrategia de estimación	Cálculo exacto
(i) 62% de 87
(ii) 22% de 203
(iii) 37 es qué % de 125
(iv) 2 es qué % de 310

Ejemplo de estrategias: - Usar 10% como referencia - Redondear números - Fracciones equivalentes (25% = 1/4, 50% = 1/2, etc.)

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Jerarquía de precisión:
- Estimación → Cálculo exacto
- Diferentes propósitos requieren diferentes niveles de precisión
Puntos de referencia porcentuales:
- 1%, 10%, 25%, 50%, 75% como bases para estimar
Flexibilidad estratégica:
- Múltiples caminos para llegar a estimaciones válidas
- Importancia de justificar el método
Contextos de aplicación:
- Compras con descuento
- Análisis de datos comparativos
- Cálculo de reembolsos y bonificaciones
Mentalidad matemática:
- Los errores como oportunidades de aprendizaje
- Valor de la discusión grupal para diversificar estrategias

Recordatorio: En este curso desarrollarás comodidad trabajando con porcentajes en diversos contextos cotidianos y profesionales.

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1.5: El pensador cuantitativo flexible

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🔹 INTRODUCCIÓN: ENCUESTA DE GASTOS DEL CONSUMIDOR (2020)

Gráfico circular de distribución de gastos familiares promedio:

Ingreso familiar promedio: $84,352
Gasto anual promedio: $61,334

Preguntas para reflexión:

¿Son realistas estas categorías de gastos?
¿Coinciden los tamaños relativos con tu experiencia personal?
¿En qué gastas más/menos?
¿Qué recortarías si necesitaras ahorrar?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La flexibilidad en los cálculos es crucial para el razonamiento cuantitativo.
Diferentes métodos de cálculo pueden ser igualmente válidos y útiles según el contexto.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Escribir un cálculo de al menos dos maneras diferentes, utilizando: 1. Formas equivalentes (fracciones/decimales/porcentajes) 2. Relación entre multiplicación y división 3. Propiedad conmutativa (sabiendo cuándo se aplica) 4. Orden de operaciones 5. Propiedad distributiva

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: MÚLTIPLES FORMAS DE CÁLCULO

Contexto: Encuesta de Gastos del Consumidor 2020 - Ingreso promedio: $84,352 - Gasto promedio: $61,334 - Fracción en vivienda: ¼ de los ingresos

(1) Cálculo del gasto en vivienda

(a) Estimación mental individual: Gasto en vivienda = ______

(b) Discusión grupal de estrategias: (Registre estrategias diferentes a la suya)

(c) Una estrategia ejemplar: ______

(2) Expresiones matemáticas para el gasto en vivienda

Escriba todas las expresiones posibles:

(3) Fracción del gasto total destinado a vivienda

(Basado en datos del gráfico) Respuesta: ______

(4) Fracción del gasto en “otros” (no vivienda)

Respuesta: ______

(5) Cálculo del gasto en ítems no-vivienda

Múltiples métodos posibles:

(6) Método preferido y justificación

(Respuesta personal) ______

🔹 CASO PRÁCTICO: FAMILIA HUDSON

Gastos mensuales de vivienda:

Concepto	Monto
Alquiler	$1,600
Electricidad	$115
Gas	$140
Agua y alcantarillado	$92
Otros gastos del hogar	$120
Total mensual	______

(7) Cálculos:

(a) Gasto mensual total: ______

(b) Gasto anual total: ______

(8) Análisis de razonabilidad:

¿Le parece razonable este gasto anual en vivienda? Justifique.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(9) Presupuesto universitario (gráfico circular)

Distribución: - Comida: 41% - Libros y útiles: 7% - Viajes: 4% - Entretenimiento: 15% - Ropa: 6% - Gasolina y seguro: 12% - Otros: 15%

Formule 3 preguntas con cálculos/estimaciones:

Pregunta: ______ Respuesta: ______
Pregunta: ______ Respuesta: ______
Pregunta: ______ Respuesta: ______

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Flexibilidad operacional:
- Múltiples representaciones para un mismo cálculo
- Elección estratégica según el contexto
Propiedades matemáticas aplicadas:
- Conmutatividad (cuidado con resta/división)
- Distributividad para simplificar
- Equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes
Contexto real de datos:
- Interpretación de encuestas económicas
- Presupuestos familiares vs. promedio nacional
- Juicio de “razonabilidad” basado en datos
Habilidades desarrolladas:
- Estimación mental rápida
- Formulación de expresiones matemáticas alternativas
- Análisis crítico de patrones de gasto
Transferencia a la vida cotidiana:
- Planificación presupuestaria personal
- Comparación con referencias nacionales
- Toma de decisiones financieras informadas

Reflexión final: Un pensador cuantitativo flexible no solo calcula correctamente, sino que elige inteligentemente cómo calcular según la situación, eficiencia y propósito del cálculo.

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1.6: La crisis crediticia

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🔹 INTRODUCCIÓN: PREFERENCIAS Y ACCESO AL CRÉDITO

Discusión grupal inicial:

Métodos de pago: ¿Prefieres usar efectivo, débito, crédito o cheques? ¿Por qué?
Equidad generacional: ¿Son las opciones de pago las mismas para personas de diferentes edades?

Check-in rápido:

¿En qué concepto de la Preparación 1.5 te sientes seguro?
¿Qué concepto de la Preparación 1.5 te resulta desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El razonamiento cuantitativo se aplica en diversos contextos (finanzas personales, datos demográficos).
La solvencia (puntaje crediticio) afecta directamente las tasas de interés y el costo total del crédito.
Leer información cuantitativa requiere filtrar datos irrelevantes y enfocarse en lo importante.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Reconocer conceptos matemáticos comunes en distintos contextos.
Aplicar habilidades de lecciones anteriores (porcentajes, estimación) en nuevos escenarios.
Identificar y escribir respuestas completas que conecten conceptos matemáticos con contextos reales.
Escribir una fórmula en una hoja de cálculo para cálculos financieros.

🔹 CONTEXTO REAL: LA DEUDA EN LOS HOGARES ESTADOUNIDENSES (DATOS ACTUALIZADOS)

Según datos actuales, la deuda de los hogares estadounidenses sigue una trayectoria ascendente. Para el 2025, alcanzó un récord de $18.20 billones (trillions), un aumento de $4.6 billones desde 2019.

Desglose de la deuda total ($18.20 billones):

Tipo de Deuda	Monto	Porcentaje del Total
Hipotecas (Mortgages)	$12.80 billones	70%
Préstamos para Auto	$1.64 billones	9%
Préstamos Estudiantiles	$1.63 billones	9%
Deuda de Tarjeta de Crédito	$1.18 billones	7%

Nota crítica: Aunque la deuda de tarjetas de crédito es solo el 7% del total, es crédito revolucionario con tasas de interés generalmente mucho más altas, lo que la hace difícil de pagar.

Tasa de morosidad: El 4.3% de toda la deuda está en alguna etapa de morosidad (30+ días de retraso).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: ENTENDIENDO LAS TARJETAS DE CRÉDITO

(1) Interpretando declaraciones cuantitativas

“La deuda de los hogares estadounidenses alcanzó un récord de 14,6 billones de dólares en la primavera de 2021”.

Pregunta: ¿La afirmación «Los hogares estadounidenses tenían una deuda de 14.600 billones de dólares en 2021» refleja la misma cantidad? - Análisis: “14.6 billones” en inglés (US) = 14.6 trillions = 14,600,000,000,000. - “14.600 billones” en español (escala larga) podría interpretarse como 14,600 × 1,000,000,000 = 14,600,000,000,000. - Conclusión y justificación: Sí, representan la misma cantidad si se entiende la equivalencia entre la escala numérica corta (US) y larga (algunos países hispanohablantes). La clave es la conversión de unidades (billón/trillón).

🔹 ENTENDIENDO LA LETRA PEQUEÑA: TASAS DE INTERÉS Y PUNTAJE CREDITICIO

Extracto de divulgación de tarjeta: - TAE Introductoria: 0.00% por 6 meses. - TAE Posterior: 10.99% a 23.99% según solvencia.

(2) Impacto del puntaje crediticio en el interés pagado

Escenario: Saldo promedio mensual de $5,000.

Persona	Puntaje Crediticio	TAE Aplicada	Interés Anual Estimado	Cálculo/Explicación
Juanita	Bueno (Mejor tasa)	10.99%	(a) ~$550	Estrategia: 10.99% de $5,000 ≈ 11% de $5,000 = $550.
Brian	Muy bajo (Peor tasa)	23.99%	(b) $1,199.50	Cálculo exacto: $5,000 × 0.2399 = $1,199.50

(c) Factores que afectan el puntaje crediticio: * Historial de pagos puntuales. * Relación deuda-ingreso. * Antigüedad del crédito. * Tipos de crédito utilizados. * Consultas recientes de crédito.

(3) De la TAE a la Tasa Periódica Mensual

Fórmula: Tasa Periódica = TAE / 12

(a) Tasa periódica de Juanita: - 10.99% / 12 = 0.92% (redondeado a dos decimales).

(b) Estimación de interés para el pago mínimo: - Saldo: $1,082. Pago mínimo: $100. Saldo restante: $982. - Interés para febrero ≈ $982 × (0.1099/12) ≈ $982 × 0.0092 ≈ $9.03. - Mejor estimación: $10–$20 (considerando que el interés se calcula sobre el saldo inicial o restante).

🔹 TARJETAS DE CRÉDITO Y ADELANTOS DE EFECTIVO

Divulgación: - TAE para Compras: 10.99% - 23.99% - TAE para Adelantos de Efectivo: 28.99%

(4) Evaluando la razonabilidad de afirmaciones

(a) Jeff paga la tasa más alta (23.99%) por compras. Por un adelanto, pagaría $0.05 más por cada dólar. - Diferencia en TAE: 28.99% - 23.99% = 5.0%. - Interpretación: Un 5% más de TAE significa que por cada dólar, paga $0.05 más de interés al año. - Veredicto: Razonable. La afirmación es matemáticamente precisa.

(b) “La TAE para adelantos es aproximadamente dos veces y media mayor que la TAE más baja para compras.” - Comparación: 28.99% vs. 10.99%. - Proporción: 28.99 / 10.99 ≈ 2.64. - Veredicto: Razonable. “Dos veces y media” (2.5x) es una estimación cercana al cálculo exacto (2.64x).

🔹 HOJAS DE CÁLCULO Y CÁLCULO DE INTERESES

Hoja de cálculo de Brian:

	A	B
1	Cargos del Mes
2	Gasolina	$56.08
3	Comestibles	$36.72
4	Restaurante	$12.82
5	Cine	$16.00

(5) Interpretando una expresión

Expresión: = (0.2399/12) * (B2 + B3 + B4 + B5)

¿Cuál afirmación la explica mejor? (iii) Brian sumó los cargos individuales para obtener el importe total cargado a la tarjeta de crédito. Encontró la tasa periódica dividiendo la TAE entre 12 meses y multiplicando la tasa por los cargos totales. Esto le dio el cargo por intereses del mes. - Esta es la explicación completa y correcta.

(6) Cálculo del cargo por intereses de Brian

Total de cargos: $56.08 + $36.72 + $12.82 + $16.00 = $121.62
Tasa periódica: 23.99% / 12 = 0.0199916…
Interés del mes: $121.62 × (0.2399/12) = $2.43 (redondeado).
Estrategia de estimación: Redondear TAE a 24%. 24%/12 = 2% mensual. 2% de $120 ≈ $2.40.

(7) Propiedad distributiva y orden de operaciones

Expresión en Ejercicio 1.5: (0.2399*B2 + 0.2399*B3 + 0.2399*B4 + 0.2399*B5) / 12

¿Por qué sumar en el numerador primero? - Por la propiedad distributiva: 0.2399*(B2+B3+B4+B5) / 12 es equivalente. - Sumar primero los términos (multiplicados por 0.2399) y luego dividir entre 12 es matemáticamente correcto y puede ser más claro conceptualmente: primero se calcula el interés anual total sobre cada cargo, y luego se divide entre 12 para obtener la porción mensual. - El orden de operaciones (PEMDAS) lo permite, ya que las multiplicaciones dentro del paréntesis se realizan primero, luego la suma, y finalmente la división.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Transferencia de conceptos: Aplicamos porcentajes, estimación y fórmulas (de lecciones 1.4-1.5) al nuevo contexto de deuda y crédito.
El poder del puntaje crediticio: Comprobamos cuantitativamente cómo una diferencia en la TAE (de ~11% a ~24%) puede más que duplicar el interés pagado ($550 vs. $1,200) por el mismo saldo.
Interpretación crítica: Aprendimos a decodificar declaraciones numéricas (ej: “14.6 billones”) y de marketing (ej: “0.05 más por dólar”), verificando su razonabilidad matemática.
Herramientas computacionales: Introdujimos la lógica para escribir fórmulas en hojas de cálculo que automaticen el cálculo de intereses, uniendo álgebra y finanzas.
Contexto social cuantitativo: Los datos actualizados muestran que la deuda es un fenómeno masivo ($18.2T), donde la deuda de tarjetas, aunque menor en proporción, es crítica por su alto costo y su distribución desigual según edad, familia, raíz y género.

Principio clave: Un pensador cuantitativo flexible usa las mismas herramientas matemáticas (porcentajes, operaciones) para analizar desde un estado de cuenta personal hasta las grandes tendencias económicas de una sociedad.

Basado en datos actualizados de Debt.org y la Reserva Federal.

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1.7: ¿De quién es la huella más grande?

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🔹 INTRODUCCIÓN: RAZONES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA

Razonamiento Racional (Ratios)

En matemáticas, el razonamiento racional se refiere a afirmaciones que implican división. Una razón compara dos cantidades.

Variable	Numerador	Denominador	Razón (Resultado)
Velocidad	89 millas	2 horas	$44.5 \text{ mi/h}$
Consumo de combustible	150 millas	4 galones	$37.5 \text{ mi/gal}$
Densidad de población	20,000 personas	80 mi²	$250 \text{ personas/mi}^2$
Costo por libra	$\$25$	16 libras	$\$1.5625\text{/libra}$
Velocidad de descarga	858 MB	3 minutos	$286 \text{ MB/min}$

Discusión grupal: Proporcionen otros ejemplos de variables definidas por división (especificar unidades).

Conceptos Clave

Número Entero (Integer): Un número entero (positivo, negativo o cero) sin componente fraccionario. Ej: $-2$, $0$, $5$.
Notación Científica: Formato para escribir números muy grandes o pequeños: $a \times 10^n$, donde $1 \leq a < 10$ y $n$ es un entero.
- Ejemplo 1: $4,700,000,000 = 4.7 \times 10^9$
- Ejemplo 2: $28,930,000 = 2.893 \times 10^7$

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La magnitud de números grandes se aprecia mediante valor posicional y notación científica.
Las razones (ratios) permiten comparar números de distinta magnitud.
Pueden necesitarse diferentes tipos de comparación para analizar cantidades con precisión.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Expresar números en notación científica.
Estimar y calcular razones de números grandes.
Usar cálculos múltiples para comparar cantidades.
Comparar y clasificar números de diferente magnitud (millones, miles de millones).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: COMPARACIÓN DE POBLACIONES

Comparación de poblaciones usando notación científica.

(1) Poblaciones en notación científica

EE.UU. (finales 2022): $333,000,000 = 3.33 \times 10^8$
Mundo (finales 2022): $7,900,000,000 = 7.9 \times 10^9$

¿Cómo ayuda la notación científica a comparar? Permite ver rápidamente el orden de magnitud (el exponente $n$ en $10^n$). La población mundial ($10^9$) es un orden de magnitud mayor (aproximadamente 10 veces) que la de EE.UU. ($10^8$).

(2) Otras formas de comparación

Además de la notación científica: - Diferencia absoluta: $7.9 \text{ mil millones} - 333 \text{ millones} = 7.567 \text{ mil millones}$. - Razón o fracción: $\frac{\text{Población EE.UU.}}{\text{Población Mundial}}$. - Porcentaje: $\left( \frac{\text{Población EE.UU.}}{\text{Población Mundial}} \right) \times 100\%$. - Estimación verbal: “La población de EE.UU. es menos de la mitad de mil millones, mientras que la mundial es casi 8 mil millones”.

(3) Razón: China vs. Población Mundial

Población China (2022): $1.412 \text{ mil millones} = 1.412 \times 10^9$.
Población Mundial (2022): $7.9 \text{ mil millones} = 7.9 \times 10^9$.
Razón (fracción): $\frac{1.412 \times 10^9}{7.9 \times 10^9} = \frac{1.412}{7.9}$.
Cálculo: $1.412 \div 7.9 \approx 0.1787$.
Como porcentaje: $\approx 17.87\%$.

Interpretación: Aproximadamente 1 de cada 5.6 personas en el mundo vivía en China en 2022, lo que representa casi el 18% de la población mundial total.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: COMPARACIÓN DE HUELLAS HÍDRICAS

Concepto: La huella hídrica mide el volumen total de agua dulce usado directa e indirectamente por un consumidor, comunidad o país.

Datos (1996-2005):

País	Población (miles)	Huella Hídrica Total ($10^9$ m³/año)
China	1,277,208	1,368
India	1,051,290	1,145
EE.UU.	288,958	821

(4) Razón de poblaciones: China vs. EE.UU. (2022)

China: $1.412 \text{ mil millones} = 1,412,000,000$.
EE.UU.: $333 \text{ millones} = 333,000,000$.
Razón (China/EE.UU.): $\frac{1,412,000,000}{333,000,000} \approx 4.24$.

Interpretación en una oración: “En 2022, la población de China era aproximadamente cuatro veces y cuarto mayor que la población de Estados Unidos.”

(5) Clasificación por Huella Hídrica Total

China ($1,368 \times 10^9$ m³/año)
India ($1,145 \times 10^9$ m³/año)
Estados Unidos ($821 \times 10^9$ m³/año)

(6) Huella Hídrica Per Cápita

Fórmula: $\text{Huella Per Cápita} = \frac{\text{Huella Total}}{\text{Población}}$

(a) Cálculo (redondeado al entero): - China: $\frac{1,368 \times 10^9 \text{ m}^3/\text{año}}{1,277,208 \times 10^3 \text{ personas}} \approx 1,071 \text{ m}^3/\text{persona/año}$ - India: $\frac{1,145 \times 10^9}{1,051,290 \times 10^3} \approx 1,089 \text{ m}^3/\text{persona/año}$ - EE.UU.: $\frac{821 \times 10^9}{288,958 \times 10^3} \approx 2,841 \text{ m}^3/\text{persona/año}$

(b) Clasificación per cápita (de mayor a menor): 1. Estados Unidos ($\approx 2,841$ m³/persona/año) 2. India ($\approx 1,089$ m³/persona/año) 3. China ($\approx 1,071$ m³/persona/año)

(7) Comparación de razones poblacionales (1996-2005 vs. 2022)

Razón (China/EE.UU.) en datos de huella (1996-2005): $\frac{1,277,208}{288,958} \approx 4.42$.
Razón en 2022 (de Pregunta 4): $\approx 4.24$.
¿Son iguales o diferentes? Son diferentes ($4.42$ vs. $4.24$).
¿Por qué? Porque las poblaciones cambian con el tiempo. Los datos de huella hídrica corresponden al período 1996-2005, mientras que la comparación de la Pregunta 4 usa datos de 2022. La población de China creció relativamente más en ese período, por lo que la razón era ligeramente mayor antes.

(8) Razón de uso per cápita: EE.UU. vs. China

Huella per cápita EE.UU.: $\approx 2,841$ m³/persona/año.
Huella per cápita China: $\approx 1,071$ m³/persona/año.
Razón (EE.UU./China): $\frac{2,841}{1,071} \approx 2.65$.

Interpretación: Entre 1996 y 2005, la persona promedio en Estados Unidos usó aproximadamente 2.65 veces más agua (es decir, más del doble) que la persona promedio en China.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Herramientas para grandes números:
- Notación científica estandariza la escritura y facilita comparaciones de orden de magnitud.
- Las razones (ratios) y porcentajes permiten comparaciones relativas independientes del tamaño absoluto.
Diferentes perspectivas, diferentes conclusiones:
- Huella total: China e India tienen las mayores debido a su enorme población.
- Huella per cápita: EE.UU. tiene la mayor, indicando un nivel de consumo individual más alto.
- Un análisis completo requiere múltiples métricas (total, per cápita, razón).
Contexto y sostenibilidad:
- La huella hídrica vincula consumo individual con impacto agregado nacional/global.
- La capacidad de carga de la Tierra requiere considerar tanto el número de consumidores (población) como la intensidad del consumo (huella per cápita).
Precisión en la comparación temporal:
- Las comparaciones deben usar datos del mismo período para ser válidas (ej: razón poblacional 1996-2005 vs. 2022).
- La interpretación de una razón (ej: “$4.24$ veces”) debe incluir unidades y contexto (“la población de China era $4.24$ veces la de EE.UU.”).
Habilidad transferible:
- El proceso de calcular una razón, expresarla como fracción y porcentaje, e interpretarla es aplicable a innumerables contextos más allá de la demografía y el medio ambiente (finanzas, salud, ingeniería, etc.).

Fuente de datos: Basado en información del U.S. Census Bureau, PRB (Population Reference Bureau), y WaterFootprint.org.

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1.8: Un conjunto de problemas agobiantes

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🔹 INTRODUCCIÓN: REPASO DE TÉRMINOS CLAVE

Ingresos: Cantidad de dinero recibida por la venta de un producto o servicio. Utilidad (Ganancia) Neta: Dinero real obtenido después de gastos. $\text{Utilidad Neta} = \text{Ingresos} - \text{Gastos}$ Pérdida Neta: Utilidad neta negativa (gastos > ingresos). FICA (Ley de Contribuciones al Seguro Federal): Impuesto descontado del salario para financiar Seguro Social y Medicare.

Check-in rápido: - ¿En qué concepto de la última unidad te sientes seguro? - ¿Qué concepto de la última unidad te resulta desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El orden de las operaciones es esencial para comunicar expresiones matemáticas.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Realizar cálculos de varios pasos con información del mundo real (formularios de impuestos).
Reescribir cálculos de varios pasos como una sola expresión.
Explicar el significado de un cálculo dentro de un contexto.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: IMPUESTOS FICA

Concepto: Trabajadores autónomos pagan impuesto sobre el trabajo por cuenta propia (equivalente a FICA).

(1) Cálculo para Marianne López

Ingresos: $\$11,385$
Gastos: $\$3,862$

Proceso en Anexo SE:

Línea 2: Ganancia Neta = $\$11,385 - \$3,862 = \$7,523$
Línea 3: Combinar líneas 1a, 1b, 2 = $\$0 + \$0 + \$7,523 = \$7,523$
Línea 4a: $\$7,523 \times 0.9235 = \$6,947.49$ (redondeado a dos decimales)
Línea 6: Suma líneas 4c y 4b = $\$6,947.49 + \$0 = \$6,947.49$
Línea 9: $\$142,800 - \$0 = \$142,800$ (asumiendo otros ingresos = 0 para 2021)
Línea 10: Menor de [L6, L9] = $\$6,947.49 \times 0.124 = \$861.49$
Línea 11: $\$6,947.49 \times 0.029 = \$201.48$
Línea 12 (Impuesto Total): $\$861.49 + \$201.48 = \$1,062.97$

(2) Cálculo para Leigh Olson

Ingresos: $\$1,050$
Gastos: $\$630$

Proceso: (a) Línea 2: Ganancia Neta = $\$1,050 - \$630 = \$420$

Línea 3: $\$0 + \$0 + \$420 = \$420$
Línea 4a: $\$420 \times 0.9235 = \$387.87$
Línea 4c: $\$387.87$ (es <$\$400$)

¡Cuidado! Según instrucciones: “Si [línea 4c] es menor a $\$400$, deténgase. No debe impuesto sobre el trabajo por cuenta propia.” Leigh debe: $\$0$ (no alcanza el mínimo imponible).

(3) Expresión única para el cálculo de Marianne

Tomando los pasos de (1):

\[ \text{Impuesto} = \left[ (11385 - 3862) \times 0.9235 \right] \times (0.124 + 0.029) \]

Cálculo: $(7523 \times 0.9235) \times 0.153 = 6947.49 \times 0.153 \approx 1062.97$

(4) Interpretación de la expresión para Marianne

(a) $\$11,385 - \$3,862$: Representa la ganancia neta de su negocio de tutoría.

(b) Multiplicar por $0.9235$: Aplica la deducción estándar del 92.35% sobre la ganancia neta para calcular la base imponible.

(c) Multiplicar por $(0.124 + 0.029)$: Calcula el impuesto combinado del 15.3% (12.4% Seguro Social + 2.9% Medicare) sobre la base imponible.

🔹 IMPUESTO ADICIONAL DE MEDICARE

Concepto: Personas con altos ingresos pagan impuesto adicional del 0.9% sobre el exceso.

(5) Estimación para Andie Henson

Ingresos por cuenta propia: $\$215,500$
Umbral para solteros: $\$200,000$
Exceso: $\$215,500 - \$200,000 = \$15,500$
Estimación rápida: $0.9\%$ de $\$15,500 \approx 0.009 \times 15,500 = \$139.50$

Estrategia: Redondear $0.9\%$ a $1\%$ para estimar $\sim \$155$, luego ajustar mentalmente hacia abajo.

(6) Cálculo exacto vs. Estimación

Cálculo exacto:

Línea 12 (Base para impuesto): $\$215,500 - \$200,000 = \$15,500$
Línea 13 (Impuesto): $\$15,500 \times 0.009 = \$139.50$

Comparación: La estimación ($\sim \$155$) fue ligeramente mayor que el cálculo exacto ($\$139.50$), pero captó correctamente el orden de magnitud (cientos, no miles).

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: IMPUESTO FEDERAL SOBRE LA RENTA

Tramos Impositivos 2021 (Ejemplo):

Ingreso Tributable	Impuesto
$\$0$–$\$9,950$	$10\%$ del ingreso
$\$9,951$–$\$40,525$	$\$995.00 + 12\%$ del exceso sobre $\$9,950$
$\$40,526$–$\$86,375$	$\$4,664.00 + 22\%$ del exceso sobre $\$40,525$

(7) Cálculos:

(a) Expresión para ingreso de $\$63,500$: \[ \text{Impuesto} = 4664 + 0.22 \times (63500 - 40525) \]

Cálculo: $4664 + 0.22 \times 22975 = 4664 + 5054.50 = 9718.50$

(b) Origen de $\$4,664.00$:

Primer tramo: $0.10 \times 9950 = \$995.00$
Segundo tramo: $0.12 \times (40525 - 9950) = 0.12 \times 30575 = \$3,669.00$
Total acumulado hasta $\$40,525$: $\$995.00 + \$3,669.00 = \$4,664.00$

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Jerarquía de cálculos del mundo real:
- Los formularios de impuestos (Anexo SE, 8959, tramos) son algoritmos de varios pasos que siguen un orden de operaciones estricto.
- Un error en un paso (ej: no verificar el mínimo de $\$400$) afecta todos los resultados siguientes.
De cálculos separados a expresión unificada:
- La capacidad de condensar Paso1 → Paso2 → Paso3 en una sola fórmula (como (Ingresos - Gastos)*0.9235*0.153) demuestra dominio del álgebra y la composición de funciones.
Interpretación contextual de símbolos:
- En impuestos, cada multiplicación o resta tiene un significado específico (deducción, tasa, exceso sobre umbral).
- Explicar × 0.9235 como “deducción del 7.65%” o (0.124+0.029) como “tasa total FICA” vincula abstracción matemática con realidad financiera.
Estrategias de estimación en contextos regulatorios:
- Estimación rápida ($1\%$ vs $0.9\%$) para verificar razonabilidad de cálculos exactos.
- Identificación de puntos de control (ej: línea 4c < $\$400$ = impuesto cero) evita cálculos innecesarios.
Sistemas progresivos y pensamiento por partes:
- Los tramos impositivos enseñan a calcular por segmentos y acumular resultados.
- Entender que $\$4,664$ es la suma de impuestos de tramos anteriores ilustra cómo se construyen las fórmulas complejas a partir de piezas simples.

Conclusión: Resolver “problemas agobiantes” como declaraciones de impuestos no requiere matemáticas avanzadas, sino aplicación rigurosa de aritmética básica, atención al contexto y capacidad para seguir algoritmos multi-paso—habilidades centrales del razonamiento cuantitativo.

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1.9: Interpretación de afirmaciones sobre porcentajes

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🔹 INTRODUCCIÓN: NOTACIÓN Y REVISIÓN

Abreviaciones y Notación

A menudo, se usan letras mayúsculas (como $Q_1$ o $C_2$) como variables para representar cantidades similares.
Los subíndices (1, 2) indican que las cantidades son distintas, aunque sus valores podrían ser iguales. Por ejemplo, $Q_1$ podría ser el porcentaje de mujeres que fuman y $Q_2$ el porcentaje de fumadores que son mujeres. Es posible que $Q_1 = Q_2$, pero no necesariamente.
Recuerda: El símbolo de desigualdad ($>$ o $<$) siempre “apunta” hacia la cantidad menor.

Check-in rápido (Discusión grupal):

¿En qué concepto específico de la Unidad 1.7 te sientes bastante seguro?
¿Hay algún concepto específico de la Unidad 1.7 que te resulte desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Los porcentajes siempre implican dos cantidades: un numerador (valor de comparación) y un denominador (valor de referencia). Identificarlos correctamente es clave.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Identificar correctamente las cantidades involucradas en un enunciado verbal sobre porcentajes.
Convertir entre proporciones y porcentajes.
Convertir entre la representación decimal de un número y un porcentaje.
Leer y utilizar la información presentada en una tabla de dos vías.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: EL LENGUAJE DE LOS PORCENTAJES

Contexto: La Organización Mundial de la Salud (OMS) estudia el consumo de tabaco. Su informe “Género y Tabaco” contiene muchas afirmaciones porcentuales que debemos interpretar con precisión.

Considera estas dos cantidades diferentes: * $Q_1$: El porcentaje de mujeres que fuman. * $Q_2$: El porcentaje de fumadores que son mujeres.

(1) Comparación de $Q_1$ y $Q_2$

¿Son estas dos cantidades iguales ($Q_1 = Q_2$)? No, generalmente no lo son. Representan proporciones diferentes.
¿Podría $Q_1$ ser mayor que $Q_2$ ($Q_1 > Q_2$)? Sí, es posible.
¿Podría $Q_1$ ser menor que $Q_2$ ($Q_1 < Q_2$)? Sí, también es posible.
Explica tu razonamiento. La clave está en el denominador de cada fracción:

$Q_1 = \frac{\text{Número de mujeres fumadoras}}{\text{Número total de mujeres}}$
$Q_2 = \frac{\text{Número de mujeres fumadoras}}{\text{Número total de fumadores}}$

El numerador es el mismo (mujeres fumadoras), pero los denominadores son diferentes (total de mujeres vs. total de fumadores). La relación entre estos denominadores determina si $Q_1$ es mayor, menor o igual a $Q_2$.

(2) Información necesaria para calcular

Para calcular $Q_1$ necesitas: Número de mujeres fumadoras y Número total de mujeres. Para calcular $Q_2$ necesitas: Número de mujeres fumadoras y Número total de fumadores (hombres + mujeres).

🔹 FUMAR EN DOS CAMPUS UNIVERSITARIOS

(3) Universidad de Midland

Mujeres fumadoras: 5,362
Total de mujeres (fumadoras + no fumadoras): 5,362 + 12,736 = 18,098
Total de fumadores (hombres + mujeres): 4,572 + 5,362 = 9,934

¿Qué porcentaje de mujeres fuman? $Q_1 = \frac{5,362}{18,098} \approx 0.296 = 29.6\%$. Redondeado: 30%.
¿Qué porcentaje de fumadores son mujeres? $Q_2 = \frac{5,362}{9,934} \approx 0.540 = 54.0\%$. Redondeado: 54%.

(4) Northwest College

Mujeres fumadoras: 536
Total de mujeres: 536 + 1,053 = 1,589
Hombres fumadores: 1,256
Total de fumadores: 1,256 + 536 = 1,792

¿Qué porcentaje de mujeres fuman? $Q_1 = \frac{536}{1,589} \approx 0.337 = 33.7\%$. Redondeado: 34%.
¿Qué porcentaje de fumadores son mujeres? $Q_2 = \frac{536}{1,792} \approx 0.299 = 29.9\%$. Redondeado: 30%.
Afirmación: “El 40% de los estudiantes varones del Northwest College son fumadores.”

Hombres fumadores: 1,256
Total de hombres (fumadores + no fumadores): 1,256 + 1,028 = 2,284
Porcentaje real: $\frac{1,256}{2,284} \approx 0.550 = 55.0\%$.
¿Es razonable la afirmación del 40%? No. El porcentaje real es significativamente mayor (55%). La afirmación subestima la proporción.

🔹 DATOS GLOBALES DE LA OMS

(5) Interpretación de porcentajes a escala

China (2.1%): De cada 100 mujeres, aproximadamente 2 son fumadoras.
China (2.1%): De cada 1000 mujeres, aproximadamente 21 son fumadoras. $(1000 \times 0.021 = 21)$.
EE.UU. (15.2%): De cada 100 mujeres, aproximadamente 15 son fumadoras.
EE.UU. (15.2%): De cada 1000 mujeres, aproximadamente 152 son fumadoras. $(1000 \times 0.152 = 152)$.
Conversión de proporción a porcentaje: 478 de cada 1000 = $\frac{478}{1000} = 0.478 = 47.8\%$.
¿Hay más mujeres fumadoras en China o en EE.UU.? ¡Cuidado! Los porcentajes (2.1% vs. 15.2%) comparan proporciones, no el número absoluto de personas. China tiene una población total mucho mayor. Para responder “dónde hay más”, necesitaríamos saber la población total de mujeres adultas en cada país y calcular el número absoluto. Con los datos dados, solo podemos decir que la proporción de mujeres fumadoras es mayor en EE.UU.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: TABLAS DE DOS VÍAS

(6) Interpretación de tablas de porcentajes

Tabla 1: Los porcentajes en cada fila suman ~100%. Muestra la distribución de calificaciones dentro de cada clase (mañana/tarde). Tabla 2: Los porcentajes en cada columna suman ~100%. Muestra cómo se distribuyen los estudiantes que obtuvieron una calificación específica (A, B, C…) entre las dos clases.

Pregunta: ¿Qué porcentaje de los estudiantes que obtuvieron una “A” asisten a la clase de la mañana?

Buscamos: $\frac{\text{"A" en la mañana}}{\text{Total de "A"}}$.
Tabla 2 nos da directamente esta información: 44.4% (la celda de Grado A / Clase mañana).

Pregunta: ¿Qué porcentaje de los estudiantes de la clase de la mañana obtuvo una “A”?

Buscamos: $\frac{\text{"A" en la mañana}}{\text{Total estudiantes en la mañana}}$.
Tabla 1 nos da directamente esta información: 12.5% (la celda de Grado A / Clase mañana).

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

El corazón de un porcentaje: Un porcentaje no es un número aislado. Es una relación o fracción que siempre implica un todo de referencia (denominador) y una parte de ese todo (numerador). Identificar correctamente “¿porcentaje de qué?” es el paso más crítico.
Lenguaje preciso: Frases como “porcentaje de mujeres que fuman” y “porcentaje de fumadores que son mujeres” suenan similares, pero describen realidades cuantitativas completamente diferentes porque cambian el grupo de referencia. Un porcentaje debe interpretarse siempre en su contexto específico.
De proporciones a números y viceversa:
- Convertir % a número: Multiplicar la cantidad total por el porcentaje (en forma decimal: dividir entre 100). Ej: 15.2% de 1000 = $1000 \times 0.152$.
- Convertir número a %: Formar la fracción (parte/todo) y multiplicar por 100. Ej: $\frac{478}{1000} \times 100 = 47.8\%$.
Diferencia entre proporción y cantidad absoluta: Un porcentaje más alto no significa necesariamente una cantidad mayor de personas o cosas (como se vio en China vs. EE.UU.). Depende del tamaño del grupo total. Para comparar cantidades absolutas, se necesita el tamaño de la población base.
Lectura crítica de datos tabulados: Las tablas de doble entrada o de dos vías son una herramienta poderosa. La dirección en la que suman el 100% (por filas o por columnas) nos indica inmediatamente qué tipo de relación porcentual está mostrando cada tabla.

Esta página titulada 1.9: Interpretación de afirmaciones sobre porcentajes se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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1.10: Porcentajes y probabilidades

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: TABLAS DE FRECUENCIA DE DOS VÍAS

Una tabla de frecuencia de dos vías organiza datos basados en dos variables categóricas, mostrando cuántas observaciones corresponden a cada combinación de categorías.

Ejemplo:

De 170 estudiantes de Química 201:

80 aprobaron y completaron la tarea de revisión.
20 aprobaron pero no completaron la tarea.
60 no aprobaron y no completaron la tarea.
10 no aprobaron pero sí completaron la tarea.

Tabla de Frecuencia Bidireccional:

	Completó la tarea	No completó la tarea	Total
Pasó la prueba	80	20	100
No pasó la prueba	10	60	70
Total	90	80	170

Discusión grupal: Piensen en otros ejemplos de datos que puedan mostrarse en este tipo de tabla (ej: género vs. preferencia de deporte, método de estudio vs. calificación final).

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Un porcentaje puede usarse para expresar la probabilidad de un evento.
Es crítico seleccionar los valores correctos de comparación (numerador) y referencia (denominador) al calcular porcentajes.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Extraer información relevante de una tabla de dos vías.
Seleccionar los valores apropiados para calcular probabilidades condicionales.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: PRECISIÓN DE PRUEBAS MÉDICAS

Contexto: Prueba de sustancias para mejorar el rendimiento (PED) en 500 atletas.

Tabla de Datos Original:

	Atletas que usan PED	Atletas que NO usan PED	Total
Resultado Positivo (+)	9	5	(a)
Resultado Negativo (-)	1	485	486
Total	10	(b)	500

(1) Completar totales faltantes

(a) Total de resultados positivos: $9 + 5 = 14$
(b) Total que NO usa PED: $500 - 10 = 490$ (o $5 + 485 = 490$)

Tabla Completa:

	Usan PED	NO usan PED	Total
Positivo (+)	9	5	14
Negativo (-)	1	485	486
Total	10	490	500

(2) Probabilidad de positivo si usa PED

(a) Atletas que usan PED: 10

(b) Usan PED y tienen positivo: 9

(c) Probabilidad (Sensibilidad de la prueba): $\frac{9}{10} = 0.9 = 90\%$

(3) Porcentaje de falsos negativos (entre los que usan PED)

Falsos negativos: 1 (usan PED pero prueba dice negativo).
Porcentaje: $\frac{1}{10} = 0.1 = 10\%$

(4) Probabilidad de negativo si NO usa PED

(a) Atletas que NO usan PED: 490

(b) NO usan PED y tienen negativo: 485

(c) Probabilidad (Especificidad de la prueba): $\frac{485}{490} \approx 0.9898 = 98.98\%$

(5) Interpretación de un resultado positivo

(a) Porcentaje de falsos positivos (entre los que NO usan PED):

Falsos positivos: 5
Porcentaje: $\frac{5}{490} \approx 0.0102 = 1.02\%$

(b) Recomendación para la directora: Un resultado positivo no es definitivo. Aunque la prueba es muy precisa (98.98% de especificidad), la directora debe considerar que existe una pequeña posibilidad (~1%) de error (falso positivo). Se recomienda confirmar con una prueba secundaria o una investigación más profunda antes de tomar medidas disciplinarias.

(6) Relación entre probabilidades

Preguntas 2(c) y 3: Sí, están relacionadas. La probabilidad de un positivo correcto (90%) y la de un falso negativo (10%) suman 100% para el grupo que usa PED. $90\% + 10\% = 100\%$.
Preguntas 4(c) y 5(a): Sí, están relacionadas. La probabilidad de un negativo correcto (~98.98%) y la de un falso positivo (~1.02%) suman 100% para el grupo que NO usa PED.

(7) Análisis de los resultados positivos

(a) % de positivos que realmente usan PED (Valor Predictivo Positivo):

$\frac{9}{14} \approx 0.6429 = 64.3\%$

(b) % de positivos que NO usan PED (Falsos positivos entre los positivos):

$\frac{5}{14} \approx 0.3571 = 35.7\%$

(c) Reflexión: ¡Sí, es sorprendente! A pesar de que la prueba es muy precisa, más de un tercio (35.7%) de todos los resultados positivos son en realidad falsos positivos. Esto refuerza la recomendación a la directora: un resultado positivo aislado es poco confiable como prueba definitiva de consumo. Se debe requerir una prueba de confirmación.

(8) % de negativos que NO usan PED (Valor Predictivo Negativo)

$\frac{485}{486} \approx 0.9979 = 99.8\%$

(9) Porcentaje que describe la PRECISIÓN de la prueba

Posible elección: Porcentaje de resultados correctos totales.
Cálculo: $\frac{9 + 485}{500} = \frac{494}{500} = 0.988 = 98.8\%$
Explicación: Este porcentaje indica que, en general, la prueba acierta el 98.8% de las veces, combinando correctamente a los que usan y no usan PED. Es una medida global de su fiabilidad.

(10) Porcentaje que describe la INEXACTITUD de la prueba

Posible elección: Porcentaje de resultados incorrectos totales (tasa de error).
Cálculo: $\frac{1 + 5}{500} = \frac{6}{500} = 0.012 = 1.2\%$
Explicación: Este porcentaje indica que la prueba se equivoca en el 1.2% de los casos. Muestra la proporción total de errores (falsos positivos + falsos negativos).

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: COMPARACIÓN DE POBLACIONES

Datos para comparar:

Población 1 (P1): Datos de la colaboración (arriba).

Población 2 (P2): Datos del Ejercicio 1.9.

	Usan PED	NO usan PED	Total
Positivo (+)	90	4	94
Negativo (-)	10	396	406
Total	100	400	500

(11) Cálculos y Comparación

Tasa de Prevalencia: % de la población que usa PED.

P1: $\frac{10}{500} = 0.02 = 2\%$
P2: $\frac{100}{500} = 0.20 = 20\%$

Tabla de Resultados:

Concepto	P1	P2
(a, f) Tasa de Prevalencia	2.0%	20.0%
(b, g) Prob. de positivo si usa PED (Sensibilidad)	90.0%	$\frac{90}{100}=$ 90.0%
(c, h) Prob. de positivo si NO usa PED (1 - Especificidad)	$\frac{5}{490}\approx$ 1.0%	$\frac{4}{400}=$ 1.0%
(d, i) % de positivos que SÍ usan PED (Valor Predictivo Positivo)	$\frac{9}{14}\approx$ 64.3%	$\frac{90}{94}\approx$ 95.7%
(e, j) % de positivos que NO usan PED (Falsos Positivos / Positivos total)	$\frac{5}{14}\approx$ 35.7%	$\frac{4}{94}\approx$ 4.3%

(c) Efecto de la prevalencia en los resultados

Interpretación (usando el Principio de Escritura): La prevalencia de una condición (aquí, uso de PED) tiene un impacto dramático en la interpretación de un resultado positivo, aun cuando la precisión intrínseca de la prueba (sensibilidad y especificidad) se mantenga constante. En la Población 1 (P1), con una baja prevalencia del 2%, una gran proporción (35.7%) de los resultados positivos son falsos positivos. En contraste, en la Población 2 (P2), con una alta prevalencia del 20%, casi todos (95.7%) los resultados positivos son verdaderos positivos. Esto significa que la misma prueba positiva es mucho más confiable en un entorno donde el comportamiento es común (P2) que en uno donde es raro (P1).

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Probabilidad como porcentaje condicional: La pregunta “Si A, ¿cuál es la probabilidad de B?” se responde calculando $\frac{\text{Casos con A y B}}{\text{Todos los casos con A}}$. La condición (el ‘si’) determina el denominador.
Múltiples perspectivas sobre la precisión:
- Sensibilidad: Probabilidad de detectar correctamente a quien SÍ tiene la condición (usa PED).
- Especificidad: Probabilidad de detectar correctamente a quien NO tiene la condición.
- Valor Predictivo: Probabilidad de que un resultado de la prueba (positivo o negativo) sea correcto. Este depende crucialmente de la prevalencia.
La paradoja de los falsos positivos: Una prueba con alta especificidad (ej: ~99%) puede aún generar una alta proporción de falsos positivos entre los resultados positivos si la condición que se prueba es muy rara en la población. Este es un concepto contraintuitivo pero fundamental en medicina, justicia y política de drogas.
Toma de decisiones basada en datos: Los números absolutos (9 verdaderos positivos) y los porcentajes relativos (35.7% de falsos positivos) cuentan historias diferentes. Una decisión informada (como la de la directora) debe considerar ambos: el riesgo de dañar a un inocente (falso positivo) versus el riesgo de dejar pasar a un infractor (falso negativo).
Habilidad de razonamiento cuantitativo: Este problema ejemplifica cómo el pensamiento matemático va más allá del cálculo. Requiere:
- Extracción precisa de numeradores y denominadores de tablas.
- Comprensión contextual de lo que representa cada fracción.
- Síntesis de múltiples porcentajes para formar un juicio equilibrado.
- Comunicación clara de hallazgos complejos a una audiencia no técnica (como la directora).

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2.1: ¿Qué tan hacinados estamos?

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🔹 INTRODUCCIÓN: CONCEPTOS PREVIOS

Densidad de Población: Medida del número de personas que viven en una unidad de área específica. Ayuda a cuantificar la sensación de “hacinamiento”.

Discusión grupal: 1. Imagina un centro comercial un martes a las 11:00 a.m. en mayo vs. un sábado a las 11:00 a.m. en diciembre. ¿Qué día habría más gente? 2. Piensa en maneras de medir la afluencia de gente en un lugar. 3. ¿Qué sucede si las habitaciones o lugares que comparas tienen tamaños diferentes? ¿Cómo puedes compararlos de manera justa?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La densidad de población es una razón (número de personas por unidad de área).
La proporcionalidad se puede usar para comparar densidades de población de diferentes regiones.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular densidades de población.
Determinar si dos razones de densidad son proporcionales.
Comparar y contrastar poblaciones a través de sus densidades.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: USO DE RAZONES PARA MEDIR LA DENSIDAD

Ejemplo:

200 personas en un campo de 1 milla × 1 milla.
Densidad: $\frac{200 \text{ personas}}{1 \text{ mi}^2} = 200 \text{ personas/mi}^2$

(1) Proporcionalidad y Densidad

Escenario: Segundo campo con lados dobles (2 mi × 2 mi = 4 mi²) y el doble de personas (400 personas). - Densidad Campo 2: $\frac{400 \text{ personas}}{4 \text{ mi}^2} = 100 \text{ personas/mi}^2$ - Respuesta: No, la densidad no es igual. Es la mitad (100 vs. 200 personas/mi²). Aunque tanto el área como la población se duplicaron, la razón (densidad) cambió.

(2) Cálculo Básico de Densidad

Atolón Ari: 1,260 personas en 1 mi². - Densidad: $\frac{1,260}{1} = 1,260 \text{ personas/mi}^2$

(3) Efecto de Reducir el Área

(a) Predicción: Si el área se reduce a la mitad (0.5 mi²) pero la población se mantiene igual (1,260 personas), la densidad aumentará porque la misma cantidad de personas ocupa menos espacio. (b) Cálculo: Densidad después de la inundación: $\frac{1,260}{0.5} = 2,520 \text{ personas/mi}^2$. Se duplica.

(4) Efecto de Aumentar la Población

La población se cuadruplica: $1,260 \times 4 = 5,040$ personas. El área sigue siendo 0.5 mi². - Densidad actual: $\frac{5,040}{0.5} = 10,080 \text{ personas/mi}^2$

(5) Mantener la Densidad Constante

(a) Campo 2: 5 mi × 5 mi = 25 mi². Misma densidad que Campo 1 (200 personas/mi²). - Número de personas: $25 \text{ mi}^2 \times 200 \text{ personas/mi}^2 = 5,000$ personas. (b) Expresión matemática de igualdad de densidades: $\frac{200}{1} = \frac{5,000}{25}$ o, en términos generales: $\frac{\text{Población}_1}{\text{Área}_1} = \frac{\text{Población}_2}{\text{Área}_2}$

(6) Distribución Uniforme y Capacidad de Carga

Si 50 sobrevivientes se distribuyen uniformemente en una isla con una capacidad máxima de 1 persona/acre, la densidad promedio de la isla será de 1 persona/acre (si la población está exactamente en el límite).
Discusión grupal: ¿Cómo afecta la distribución uniforme a la densidad general? Si todos se concentran en una zona (ej: cerca de una cascada), la densidad local será muy alta, mientras que otras áreas estarán vacías. La densidad promedio de toda la isla podría ser baja, pero la experiencia de hacinamiento en el campamento sería alta. La distribución uniforme reduce la densidad local máxima y potencialmente mejora el acceso a recursos en toda la isla.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: COMPARACIONES CON DENSIDAD

Datos (2022):

País	Población	Área (mi²)
EE.UU.	333 millones (333,000,000)	3,794,000
China	1,412 millones (1,412,000,000)	3,705,000

(7) Análisis y Cálculos

(a) Evaluación de una afirmación: “China es menos densa que EE.UU.” - Estimación rápida: China tiene ~4 veces más población ($\frac{1,412}{333} \approx 4.2$) en un área ligeramente menor que EE.UU. - Conclusión: Es casi seguro que la densidad de China es mayor. El cálculo del estudiante probablemente es incorrecto.

(b) Evaluación de una afirmación: “China tiene más de cuatro veces la densidad de EE.UU.” - Estimación: Densidad ≈ Población / Área. - Densidad EE.UU. estimada: $\frac{333 \text{ millones}}{3.8 \text{ millones mi}^2} \approx 87.6 \text{ personas/mi}^2$. - Densidad China estimada: $\frac{1,412 \text{ millones}}{3.7 \text{ millones mi}^2} \approx 381.6 \text{ personas/mi}^2$. - Razón China/EE.UU.: $\frac{381.6}{87.6} \approx 4.36$. - Conclusión: La afirmación es correcta. China tiene aproximadamente 4.4 veces la densidad de EE.UU.

(c) Cálculo preciso: - Densidad EE.UU.: $\frac{333,000,000}{3,794,000} \approx 87.8 \text{ personas/mi}^2$. - Densidad China: $\frac{1,412,000,000}{3,705,000} \approx 381.1 \text{ personas/mi}^2$. - ¿Cuántas veces mayor? $\frac{381.1}{87.8} \approx 4.34$ veces.

Interpretación: La densidad de población de China es aproximadamente 4.3 veces mayor que la de Estados Unidos.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

La densidad como razón fundamental: La densidad de población $\left( \frac{\text{Población}}{\text{Área}} \right)$ es una razón que permite comparar el “hacinamiento” entre regiones de diferentes tamaños.
Proporcionalidad vs. Igualdad de razones: Dos regiones pueden tener la misma densidad (razones proporcionales) aunque tengan poblaciones y áreas absolutas muy diferentes (ej: Campo 1 y Campo 2 del punto 5 cuando se ajustan). La proporción $\frac{P_1}{A_1} = \frac{P_2}{A_2}$ debe mantenerse.
Relaciones no lineales: Duplicar tanto el área como la población no mantiene la densidad constante; la reduce a la mitad porque el área aumenta al cuadrado de la longitud lateral. Esto destaca la importancia de calcular la razón explícitamente, no solo intuir a partir de cambios individuales.
Estimación como habilidad crítica: Antes de calcular con precisión, se puede hacer una estimación aproximada (como en 7a y 7b) para evaluar la razonabilidad de una afirmación y detectar errores groseros.
Contexto de las comparaciones: Al comparar densidades (como China vs. EE.UU.), es crucial recordar que la densidad es un promedio nacional. Dentro de cada país, hay áreas extremadamente densas (ciudades) y muy poco densas (desiertos, montañas). La densidad nacional resume esta variación en un solo número útil para comparaciones generales.
Aplicación a problemas del mundo real: El concepto de densidad se aplica a:
- Planificación urbana (¿cuántas personas pueden vivir en un barrio?).
- Ecología (capacidad de carga de un ecosistema).
- Geografía (entender la distribución de la población humana).
- Políticas públicas (asignación de recursos según la densidad).

Principio clave: La densidad transforma cantidades absolutas (población, área) en una medida relativa estandarizada que permite comparaciones significativas y toma de decisiones informadas sobre el uso de la tierra y los recursos.

Basado en datos poblacionales y geográficos estándar de 2022.

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2.2: Compras inteligentes

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🔹 INTRODUCCIÓN: REFLEXIONES SOBRE COMPRAS

Discusión grupal:

¿Alguna vez has comparado precios en diferentes tiendas?
¿Es siempre mejor comprar en grandes cantidades?
¿Puedes pensar en un momento en que sea mejor comprar al por mayor?
¿Puedes pensar en una ocasión en que comprar una cantidad grande no sea una buena idea?

Check-in rápido:

¿En qué concepto de la Preparación 2.1 te sientes seguro?
¿Qué concepto de la Preparación 2.1 te resulta desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender:

El concepto de precios proporcionales.
Que diferentes tamaños del mismo producto pueden tener distintos costos por unidad.
Que el poder adquisitivo de un dólar varía según la situación.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular una tasa unitaria.
Resolver una proporción usando tasas unitarias.
Comparar cambios en precios unitarios incluso sin datos directos.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: PRODUCTOS CON PRECIO POR PESO

Contexto: Georgia y Juan planean una fiesta y comparan precios de Doritos entre Kroger y Byler’s.

Conversión clave: $1 \text{ oz} \approx 28.35 \text{ g}$

(1-3) Comparación de precios unitarios

Tienda	Peso	Precio	Precio por Onza (Cálculo)	Precio Unitario
Kroger	280 g	$\$4.29$	$\frac{\$4.29}{280 \text{ g}} \times 28.35 \frac{\text{g}}{\text{oz}}$	$\$0.435/\text{oz}$
Byler’s	350 g	$\$5.12$	$\frac{\$5.12}{350 \text{ g}} \times 28.35 \frac{\text{g}}{\text{oz}}$	$\$0.415/\text{oz}$

Conclusión (3): Byler’s ofrece el mejor precio unitario ($\$0.415/\text{oz} < \$0.435/\text{oz}$).

(4-5) Proporcionalidad y Precios Reales

Si el precio por onza de la bolsa de 10.5 oz ($\$0.408/\text{oz}$) fuera constante:

Tamaño	Peso (oz)	Precio Esperado	Precio Real	Comparación
16.5 oz	16.5	$\$6.73$	$\$6.00$	Más barato
13.5 oz	13.5	$\$5.51$	$\$5.40$	Más barato
1.5 oz	1.5	$\$0.61$	$\$1.00$	Más caro

Análisis (5): Los tamaños grandes ofrecen un mejor precio unitario (descuento por volumen), mientras que las porciones individuales tienen un sobreprecio significativo.

(6) Cambio en el tamaño del paquete

(a) Si la bolsa aumenta a 12.5 oz manteniendo el precio en $\$4.29$, el nuevo precio unitario sería $\frac{4.29}{12.5} = \$0.343/\text{oz}$ (una disminución). (b) Para mantener el precio unitario ($\$0.408/\text{oz}$), la empresa debería aumentar el precio a: $12.5 \times 0.408 \approx \$5.10$.

(7) Estrategias de precio diferentes

Kroger: Aumenta el precio en un 50% → Nuevo precio = $P \times 1.5$; Precio unitario = $(P \times 1.5) / 10.5$.
Byler’s: Duplica las onzas a 21 oz manteniendo el precio $P$; Precio unitario = $P / 21$.
Relación: El precio unitario en Byler’s es aproximadamente la mitad del de Kroger. Byler’s ofrece una mejor oferta.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: PRODUCTOS CON PRECIO POR ARTÍCULO

Contexto: Sandías vendidas por unidad en Kroger ($\$5.00$ c/u) vs. por peso en Byler’s ($\$0.76$/lb).

(8-9) Precio por libra en Kroger

El precio por libra NO es el mismo; varía según el peso de cada sandía. * Sandía A (6 lb): $\frac{5.00}{6} \approx \$0.83/\text{lb}$ * Sandía B (6.5 lb): $\frac{5.00}{6.5} \approx \$0.77/\text{lb}$ * Sandía C (7.5 lb): $\frac{5.00}{7.5} \approx \$0.67/\text{lb}$

(10) Costos en Byler’s (precio por libra)

6 lb: $6 \times 0.76 = \$4.56$
6.5 lb: $6.5 \times 0.76 = \$4.94$
7.5 lb: $7.5 \times 0.76 = \$5.70$

(d) Peso de equivalencia de precio: Resolver $5.00 = 0.76 \times Peso$ → $Peso \approx 6.58 \text{ lb}$. (e) Sandía de 7 lb: En Byler’s costaría $7 \times 0.76 = \$5.32$ > $\$5.00$. Es menos costosa en Kroger.

(11-14) Poder Adquisitivo

(11) En Kroger, el poder adquisitivo de un dólar aumenta con sandías más pesadas: compras más libras por dólar. (12) Para maximizar el poder adquisitivo, Georgia debe elegir las sandías más pesadas. (13) Libras por dólar (inverso del precio por libra): * Sandía A: $ = 1.20 $ * Sandía B: $ = 1.30 $ * Sandía C: $ = 1.50 $

(14) Relación: El precio por libra y las libras por dólar son inversos multiplicativos. Un precio unitario más bajo significa un mayor poder adquisitivo.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: PLANIFICACIÓN DE LA FIESTA

Presupuesto: $\$40$ para 30 personas. Productos: Doritos de 13.5 oz a $\$4.99$/bolsa; Sandías grandes a $\$5.00$/unidad.

(15) Cálculo para papas fritas

(a) Personas por bolsa: $\frac{13.5 \text{ oz}}{1.5 \text{ oz/persona}} = 9$ personas. (b) Bolsas necesarias: $\frac{30}{9} \approx 3.33$ → 4 bolsas. (c) Costo total: $4 \times 4.99 = \$19.96$. (d) Dinero restante: $40.00 - 19.96 = \$20.04$.

(16) Cálculo para sandías

(a) Sandías necesarias: $\frac{30}{8} = 3.75$ → 4 sandías. (b) Costo total: $4 \times 5.00 = \$20.00$. (c) ¿Suficiente dinero? Sí, con $\$20.04$ disponibles. (d) ¿Sobra dinero? $20.04 - 20.00 = \$0.04$ (4 centavos).

(17) Análisis de lavandería (Cambio proporcional)

Un aumento del 15% tanto en el precio ($\$1.60 \times 1.15 = \$1.84$) como en los minutos (40 min × 1.15 = 46 min) mantiene el precio por minuto constante: * Precio original por minuto: $\frac{1.60}{40} = \$0.04/\text{min}$. * Nuevo precio por minuto: $\frac{1.84}{46} = \$0.04/\text{min}$. El precio por minuto se mantuvo igual.

(18) Comparación de secadoras

(a) Costo por minuto: * Edificio de Ramona: $\frac{2.00}{56} \approx \$0.0357/\text{min}$. * Edificio de Peter: $\frac{0.40}{10} = \$0.04/\text{min}$. Es más caro en el edificio de Peter.

(b) Para igualar el precio de Peter: $56 \text{ min} \times 0.04 \$/\text{min} = \$2.24$. (c) Secado de 60 minutos: * Ramona: $\$2.00$ (cubre 56 min, necesitaría pagar otro ciclo). * Peter: $6 \times 10 \text{ min} = 60 \text{ min}$ por $6 \times 0.40 = \$2.40$. Es más barato en el edificio de Ramona para un ciclo completo de 56 min.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Tasa unitaria como herramienta fundamental: El precio por unidad (por onza, libra, minuto) permite comparaciones justas entre productos de diferentes tamaños o empaques, desafiando la intuición de que “más grande es siempre mejor”.
Proporcionalidad y descuentos: Los productos no siempre son proporcionales. Las porciones grandes suelen tener un menor precio unitario (economías de escala), mientras que las porciones individuales tienen un mayor precio unitario (conveniencia).
Poder adquisitivo relativo: El valor de un dólar no es fijo. Se mide por cuánto producto o servicio se obtiene (ej: libras/dólar). Maximizarlo requiere calcular la relación inversa entre precio unitario y cantidad por dólar.
Estrategias de marketing y consumo: Las empresas utilizan cambios en tamaño y precio para influir en la percepción del valor. Los consumidores informados deben calcular las tasas unitarias y no dejarse llevar por anuncios de “más producto” o “mismo precio”.
Aplicación en presupuestos limitados: La planificación de compras (como para la fiesta) requiere combinar tasas unitarias, proporciones (personas/alimento) y restricciones de presupuesto para tomar decisiones óptimas que maximicen el valor obtenido.

Principio central: Ser un comprador inteligente no se trata solo de encontrar el precio más bajo, sino de comprender y comparar el costo por unidad de medida, evaluar el poder adquisitivo real de tu dinero y aplicar el razonamiento proporcional para tomar decisiones financieras óptimas en contextos cotidianos.

Esta página titulada 2.2: Compras inteligentes se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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2.3: Medición del cambio poblacional

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🔹 INTRODUCCIÓN: EL CENSO Y LA REPRESENTACIÓN

Contexto: Cada 10 años, el Censo de EE.UU. determina la población de cada estado. Estos datos se utilizan para asignar escaños en la Cámara de Representantes.

Mapa de cambios tras el Censo 2020: * Ganó dos escaños: Texas. * Ganó un escaño: Florida, Carolina del Norte, Colorado, Montana, Oregón. * Sin cambios: La mayoría de los estados. * Perdió un escaño: California, Illinois, Michigan, Nueva York, Ohio, Pensilvania, Virginia Occidental.

Discusión grupal: * ¿Qué estados tienen las poblaciones más grandes? (Ej: California, Texas, Florida). * ¿Qué estados tienen poblaciones pequeñas? (Ej: Wyoming, Vermont, Alaska). * ¿Qué estados están creciendo más rápido y más lento? * ¿Qué significa estar creciendo más rápido en términos de representación? (Gana influencia política en el Congreso).

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Un cambio relativo (porcentual) es diferente de un cambio absoluto (numérico).
Una medida relativa es siempre una comparación de dos números (parte vs. total anterior).

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular un cambio relativo (en porcentaje).
Explicar la diferencia entre cambio relativo y cambio absoluto.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: CÁLCULO DE CAMBIOS POBLACIONALES

Fórmulas clave: * Cambio Absoluto: $\text{Población}_{2020} - \text{Población}_{2010}$ * Cambio Relativo (%): $\frac{\text{Cambio Absoluto}}{\text{Población}_{2010}} \times 100\%$

Tabla de Datos y Cálculos:

Región del Atlántico Sur

Estado	Población 2020	Población 2010	Cambio Absoluto	Cambio Relativo (%)
Florida	21,570,527	18,801,310	2,769,217	14.73%
Georgia	10,725,274	9,687,653	1,037,621	10.71%
Carolina del Norte	10,453,948	9,535,483	918,465	9.63%

Región Montañosa

Estado	Población 2020	Población 2010	Cambio Absoluto	Cambio Relativo (%)
Arizona	7,158,923	6,392,017	766,906	12.00%
Colorado	5,782,171	5,029,196	752,975	14.97%
Nevada	3,108,462	2,700,551	407,911	15.11%

Análisis Comparativo:

(3) Mayor cambio absoluto por región: * Atlántico Sur: Florida (+2.77 millones). * Montañosa: Arizona (+0.77 millones).

(4) Mayor cambio relativo por región: * Atlántico Sur: Florida (14.73%). * Montañosa: Nevada (15.11%).

(5) ¿Por qué las listas (3) y (4) no son iguales? Porque el cambio absoluto mide la diferencia numérica bruta, que favorece a estados con poblaciones iniciales muy grandes (como Florida). El cambio relativo mide la proporción o tasa de crecimiento en relación con el tamaño original, lo que puede favorecer a estados más pequeños que experimentan un crecimiento acelerado (como Nevada). Un estado puede agregar muchos habitantes en términos absolutos pero tener una tasa de crecimiento porcentual moderada, y viceversa.

(6) Cambios en la población total regional

Región Montañosa:

Población Total 2010: $6,392,017 + 5,029,196 + 2,700,551 = 14,121,764$
Población Total 2020: $7,158,923 + 5,782,171 + 3,108,462 = 16,049,556$
(a) Cambio Absoluto Total: $16,049,556 - 14,121,764 = 1,927,792
(b) Cambio Relativo Total: $ % *13.65%**

Región del Atlántico Sur:

Población Total 2010: $18,801,310 + 9,687,653 + 9,535,483 = 38,024,446$
Población Total 2020: $21,570,527 + 10,725,274 + 10,453,948 = 42,749,749$
(c) Cambio Absoluto Total: $42,749,749 - 38,024,446 = 4,725,303
(d) Cambio Relativo Total: $ % *12.43%**

(7) Caso de Illinois: Crecimiento Negativo

Población 2010: 12,864,380
Población 2020: 12,822,739
(a) Cambio Absoluto: $12,822,739 - 12,864,380 = -41,641 (disminución).
(b) Cambio Relativo: $\frac{-41,641}{12,864,380} \times 100\% \approx **-0.32\%$**
Afirmación descriptiva: “Entre 2010 y 2020, la población de Illinois disminuyó aproximadamente un 0.32%, perdiendo alrededor de 41,600 residentes.”

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: DEUDA NACIONAL

Contexto (2019): Deuda nacional = $\$23$ billones (trillones).

(8) Análisis de propuestas de recorte:

(a) Recorte de $\$500$ mil millones (0.5 billones): * Cambio relativo: $ % *2.17%**.

(b) Recorte de $\$200$ mil millones (0.2 billones): * Cambio relativo: $ % *0.87%**.

(c) Para defender un recorte MAYOR, un político probablemente usaría el cambio absoluto ($\$500$ mil millones suena más impactante que “2.17%”) para resaltar la magnitud nominal del esfuerzo.

(d) Para defender un recorte MENOR, un político probablemente usaría el cambio relativo (“solo un 0.87% de la deuda”) para minimizar la percepción de su impacto en el panorama general.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes:

Diferencia fundamental: El cambio absoluto responde “¿cuánto más/menos?”. El cambio relativo (porcentual) responde “¿qué proporción representa ese cambio respecto al valor original?”.
Interpretación contextual: La elección de qué medida usar (absoluta vs. relativa) depende del mensaje que se quiera transmitir y de la comparación justa.
- Para comparar el crecimiento entre estados de distinto tamaño, el cambio relativo es más informativo (ej: Nevada vs. Florida).
- Para entender el impacto real en infraestructura o representación, el cambio absoluto es crucial (ej: Florida añadió casi 3 millones de personas que necesitan servicios).
Aplicación en redistribución política: El Censo y los cambios poblacionales redefinen el mapa político. Un alto crecimiento relativo (como en los estados de la Región Montañosa) puede no traducirse inmediatamente en más escaños si la población absoluta sigue siendo baja, pero indica tendencias futuras. Un gran crecimiento absoluto (como en Texas o Florida) directamente redistribuye el poder político desde estados de crecimiento lento o decreciente (como Illinois).
Toma de decisiones informada: En finanzas públicas (ej: debate de la deuda), los ciudadanos deben ser capaces de interpretar ambos tipos de cambio. Una propuesta de recorte puede sonar grande en dólares absolutos pero ser pequeña en relación con el total, o viceversa. El razonamiento cuantitativo exige preguntar: “¿Es eso mucho o poco?” en su contexto apropiado.
Habilidad transferible: El cálculo e interpretación de cambios porcentuales es aplicable en innumerables contextos: tasas de interés, descuentos en tiendas, rendimiento de inversiones, cambios en métricas de negocio, análisis de datos científicos y, como se vio aquí, en demografía y política.

Conclusión clave: Medir el cambio no es una tarea única. Un pensador cuantitativo competente calcula ambas medidas (absoluta y relativa) y elige cuál presentar (o pide ambas) según sea necesario para una comprensión completa y una toma de decisiones ética y precisa.

Esta página titulada 2.3: Medición del cambio poblacional se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd). Basado en datos del Censo de EE.UU. 2010 y 2020.

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2.4: Representación gráfica de datos

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS DE LÍNEAS

Contexto: Los gráficos transforman datos numéricos en imágenes, facilitando la identificación de patrones, tendencias y comparaciones. En esta colaboración, desarrollarás habilidades para interpretarlos de manera crítica, más allá de la impresión visual inicial.

Discusión grupal inicial (basada en el gráfico de líneas de ingresos): - ¿Cuánto aumentó el ingreso promedio entre 2011 (~$60,000) y 2019 (~$73,000)? - Cambio Absoluto: $73,000 - $60,000 = $13,000 - Cambio Relativo (Aprox.): $(\frac{13,000}{60,000}) \times 100\% \approx 21.7\%$

¿Cuánto disminuyó entre 2019 (~$73,000) y 2021 (~$71,000)?
- Cambio Absoluto: $71,000 - $73,000 = -$2,000
- Cambio Relativo (Aprox.): $(\frac{-2,000}{73,000}) \times 100\% \approx -2.7\%$

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La escala de los ejes en un gráfico puede amplificar o atenuar la percepción visual de los cambios en los datos.
Para interpretar correctamente un gráfico circular y obtener cantidades absolutas, es esencial conocer el valor total de referencia.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular el cambio relativo (en porcentaje) a partir de la información en un gráfico lineal.
Estimar el tamaño absoluto de cada porción de un gráfico circular cuando se conoce el total.
Utilizar y cruzar la información de dos gráficos diferentes para estimar una cantidad que no aparece explícitamente.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: EL IMPACTO DE LA ESCALA EN GRÁFICOS DE LÍNEAS

Se presentan dos gráficos de líneas con los mismos datos de ingresos (2011-2021), pero con escalas del eje Y diferentes.

Gráfico 1: Eje Y va desde $60,000 hasta $74,000 (rango ajustado). Gráfico 2: Eje Y va desde $0 hasta $74,000 (rango completo).

(1) Observaciones clave

Ambos gráficos muestran la misma tendencia ascendente con una ligera caída final.
La diferencia visual es dramática. En el Gráfico 1, la línea parece subir abruptamente, ocupando casi todo el espacio vertical. En el Gráfico 2, la línea comienza cerca del fondo, por lo que la pendiente de subida parece mucho más suave.
Esto demuestra que la elección de la escala del eje Y altera profundamente la impresión visual que tiene el espectador sobre la magnitud del cambio.

(2) ¿Fue el ingreso en 2021 “significativamente mayor” que en 2011?

Análisis cuantitativo: - Sí, hubo un aumento absoluto de aproximadamente $11,000 (de ~$60,000 a ~$71,000). - Sí, hubo un aumento relativo de aproximadamente 18.3% ($\frac{11,000}{60,000} \times 100\%$).

Análisis visual/contextual: - El adjetivo “significativamente” es subjetivo y puede ser influenciado por la representación gráfica. - El Gráfico 1 (escala ajustada) exagera visualmente el cambio, apoyando más fácilmente la afirmación. - El Gráfico 2 (escala completa) proporciona un contexto más amplio, mostrando que el aumento es real pero menos espectacular en relación con el rango total de ingresos posibles. - Conclusión: La afirmación es matemáticamente correcta, pero la percepción de su importancia puede variar según la escala. Un análisis crítico requiere observar siempre los ejes y apoyarse en los cálculos.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: DATOS ABSOLUTOS VS. RELATIVOS EN GRÁFICOS DE BARRAS

(3) El caso de Jeff: ¿Cómo pueden ser ciertas ambas afirmaciones?

Par 1 (Valores Absolutos): El gasto en vivienda se duplicó (de $900 a $1,800). Par 2 (Valores Relativos): El porcentaje del ingreso destinado a vivienda se redujo a la mitad (de 20% a 10%).

Solución: Esto solo es posible si los ingresos totales de Jeff crecieron a un ritmo mayor que su gasto en vivienda. - Ingresos en 2000: Si el 20% era $900, entonces el 100% era $\frac{900}{0.20} = \$4,500$. - Ingresos en 2020: Si el 10% es $1,800, entonces el 100% es $\frac{1,800}{0.10} = \$18,000$. Conclusión: Los ingresos de Jeff se cuadruplicaron (de $4,500 a $18,000). El gasto absoluto en vivienda aumentó, pero representa una proporción menor de un ingreso mucho mayor.

(4) Evaluando la afirmación sobre el presupuesto militar

Afirmación: «El presupuesto militar de 2020 está fuera de control y nunca ha sido tan alto».

Análisis de los gráficos: - Gráfico 3 (Deuda Nacional en Billones de Dólares - Valor Absoluto): Muestra una clara tendencia ascendente. El valor en 2020 es el más alto en la historia en términos de dólares nominales. - Gráfico 4 (Deuda como % del PIB - Valor Relativo): Muestra una historia diferente. El porcentaje en 2020 (aprox. 4%) es menor que en periodos históricos como 1960 (aprox. 9%). La deuda, en relación con el tamaño total de la economía, ha tenido picos más altos.

Conclusión: La afirmación es engañosa. - Es verdadera solo si se mira exclusivamente el valor absoluto (Gráfico 3). - Es falsa si se considera el valor relativo al PIB (Gráfico 4), que es una medida clave de la capacidad de una economía para sostener su deuda. - Un análisis completo debe considerar ambos gráficos. Decir que “nunca ha sido tan alto” ignorando el contexto relativo es una simplificación que puede conducir a una conclusión errónea.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 3: DE PORCENTAJES A NÚMEROS EN GRÁFICOS CIRCULARES

Los gráficos circulares muestran proporciones o porcentajes. Sin el total, es imposible saber las cantidades absolutas.

Datos: - 2020: Población total ≈ 330 millones. Hispanos: 19%, No Hispanos: 81%. - 2060 (Proyección): Población total ≈ 404 millones. Hispanos: 28%, No Hispanos: 72%.

(5) Cálculo de poblaciones absolutas

Para 2020:
- Población Hispana: $330 \text{ millones} \times 0.19 = 62.7 \text{ millones}$
- Población No Hispana: $330 \text{ millones} \times 0.81 = 267.3 \text{ millones}$
Para 2060 (Proyección):
- Población Hispana: $404 \text{ millones} \times 0.28 = 113.1 \text{ millones}$
- Población No Hispana: $404 \text{ millones} \times 0.72 = 290.9 \text{ millones}$

(6) ¿Confirman estos cálculos la advertencia inicial?

Sí, la confirman rotundamente. La advertencia decía: “Este par de gráficos no se puede utilizar para predecir que se espera que el número de no hispanos en los Estados Unidos disminuya”. - Los gráficos circulares solo muestran que el porcentaje de no hispanos disminuye (del 81% al 72%). - Sin embargo, nuestros cálculos con los totales revelan que el número absoluto de no hispanos aumenta (de 267.3 a 290.9 millones).

Lección clave: Una disminución en el porcentaje (porción de un pastel) no implica una disminución en el número absoluto, especialmente si el tamaño total del “pastel” (la población) está creciendo. Ignorar el total de referencia es el error más común al interpretar gráficos circulares.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(7) Dos afirmaciones comparativas sobre la población hispana

Basándote en los cálculos de la pregunta 5, escribe dos afirmaciones que comparen 2020 con la proyección para 2060.

Ejemplos: 1. Afirmación sobre cambio relativo: “Se proyecta que la proporción de la población hispana dentro de los Estados Unidos aumentará considerablemente, pasando del 19% en 2020 al 28% en 2060.” 2. Afirmación sobre cambio absoluto: “Se espera que el número total de estadounidenses hispanos crezca en aproximadamente 50.4 millones de personas, de 62.7 millones en 2020 a 113.1 millones en 2060.”

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Escala y Percepción: La primera lección de un pensador gráfico crítico es siempre revisar las escalas de los ejes. Una escala ajustada puede hacer que una tendencia menor parezca dramática, mientras que una escala completa proporciona el contexto necesario para una interpretación justa.
La Dicotomía Absoluto/Relativo: Los datos pueden contarse de dos maneras fundamentales:
- Valores Absolutos: Responden “¿cuánto?” (ej: $1,800, 62.7 millones). Son cruciales para la planificación de recursos.
- Valores Relativos (Porcentajes, Proporciones): Responden “¿en comparación con qué?” (ej: 10% del ingreso, 19% de la población). Son clave para las comparaciones y entender la importancia relativa.
El Total de Referencia: Es el concepto más crítico al leer gráficos circulares y porcentajes. Un porcentaje sin su total es un número huérfano y potencialmente engañoso. Siempre pregunta: “¿Porcentaje de qué?”.
Narrativas y Selectividad de Datos: Quienes presentan datos (medios, políticos, empresas) a menudo eligen la representación gráfica (escala, tipo de gráfico) o el tipo de dato (absoluto vs. relativo) que mejor apoye su mensaje. Tu trabajo como consumidor informado es buscar y reconciliar ambas perspectivas para formarte una opinión completa.
Habilidad Transferible: Estas lecciones se aplican a casi cualquier ámbito: interpretar noticias económicas, evaluar estudios de salud (riesgo absoluto vs. relativo), analizar reportes de negocios o entender encuestas políticas. La alfabetización gráfica y de datos es una habilidad fundamental para la ciudadanía del siglo XXI.

Esta página titulada 2.4: Representación de datos con gráficos se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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2.5: Reducción de riesgos

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: CONCEPTOS PREVIOS

Discusión grupal:

Absoluto vs. Relativo: ¿Qué significan para usted estas palabras cuando piensa en números?
- Absoluto: Se refiere a un número o cantidad concreta, sin comparación. Ej: “200 personas”, “$100”.
- Relativo: Se refiere a una proporción o comparación con otra cantidad. Se expresa como un porcentaje, fracción o razón. Ej: “40%”, “1 de cada 5”, “el doble que”.
Riesgo: ¿Qué significa el “riesgo” de que algo suceda en contextos médicos?
- Es la probabilidad o posibilidad de que ocurra un evento adverso para la salud (como una enfermedad, complicación o muerte) dentro de un período de tiempo específico. Se expresa comúnmente como un porcentaje.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El cambio en una cantidad puede expresarse de dos formas fundamentales: cambio absoluto y cambio relativo.
Existe ambigüedad en el lenguaje cuando se habla de cambios en porcentajes, lo que requiere una interpretación cuidadosa.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Crear gráficos que muestren cambios absolutos y relativos en una tasa (porcentaje).
Calcular cambios absolutos y relativos, aplicándolos al concepto de reducción de riesgo.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: EL EFECTO DE LA REDUCCIÓN DEL RIESGO

Contexto: Un nuevo medicamento anuncia que “reduce el riesgo de infarto en un 50%”. Analizaremos qué significa esto para dos grupos con riesgo basal diferente.

(1) Diferencias entre Grupo 1 y Grupo 2

Grupo 1: Personas con múltiples factores de riesgo: fuman, tienen el colesterol alto y presión arterial alta. Riesgo basal del 40% en 10 años.
Grupo 2: Personas con un solo factor de riesgo principal: presión arterial alta (no fuman, colesterol bajo). Riesgo basal del 10% en 10 años.
Conclusión: El Grupo 1 tiene un riesgo inicial cuatro veces mayor que el Grupo 2.

🔹 ANÁLISIS PARA EL GRUPO 1 (Riesgo alto: 40%)

(2) Sin medicamento y con medicamento

(a) Esperados sin medicamento (500 personas): $500 \times 0.40 = 200$ personas.

(b) Gráfico correcto: Gráfico 1 (200 con infarto, 300 sin infarto).

(c) Con medicamento (reduce riesgo en 50% relativo):

Nueva tasa de riesgo: $40\% \times (1 - 0.50) = 40\% \times 0.50 = 20\%$.
Personas esperadas con infarto: $500 \times 0.20 = 100$ personas.

(d) Descripción del gráfico con medicamento: “El gráfico muestra que, de 500 personas del Grupo 1 que toman el nuevo fármaco, se espera que 100 sufran un infarto en 10 años, mientras que 400 no lo sufrirán”.

(e) ¿Qué se redujo en un 50%? Se redujo en un 50% la tasa de riesgo porcentual (del 40% al 20%) y, en consecuencia, el número esperado de infartos (de 200 a 100).

(f) Cambios reportados:

Cambio Absoluto: $200 - 100 = 100$ personas menos. (Se evitan 100 infartos).
Cambio Relativo (Reducción del Riesgo Relativo - RRR): $\frac{200 - 100}{200} \times 100\% = 50\%$. (El número de infartos se reduce a la mitad).

🔹 ANÁLISIS PARA EL GRUPO 2 (Riesgo bajo: 10%)

(3) Sin medicamento y con medicamento

(a) Esperados sin medicamento (500 personas): $500 \times 0.10 = 50$ personas.

(b) Gráfico correcto: Gráfico 5 (50 con infarto, 450 sin infarto).

(c) Con medicamento (reduce riesgo en 50% relativo):

Nueva tasa de riesgo: $10\% \times (1 - 0.50) = 10\% \times 0.50 = 5\%$.
Personas esperadas con infarto: $500 \times 0.05 = 25$ personas.

(d) Descripción del gráfico con medicamento: “El gráfico muestra que, de 500 personas del Grupo 2 que toman el nuevo fármaco, se espera que 25 sufran un infarto en 10 años, mientras que 475 no lo sufrirán”.

(e) ¿Qué se redujo en un 50%? Se redujo en un 50% la tasa de riesgo porcentual (del 10% al 5%). (f) Cambios reportados:

Cambio Absoluto: $50 - 25 = 25$ personas menos. (Se evitan 25 infartos).
Cambio Relativo (Reducción del Riesgo Relativo - RRR): $\frac{50 - 25}{50} \times 100\% = 50\%$. (El número de infartos también se reduce a la mitad en términos relativos).

🔹 COMPARACIÓN Y ANÁLISIS CRÍTICO

(4) Comparación con un tercer grupo (Riesgo muy bajo: 0.5%)

Sin medicamento: $500 \times 0.005 = 2.5$ personas (aproximadamente 2 o 3).
Con medicamento (50% relativo): Riesgo nuevo = $0.5\% \times 0.5 = 0.25\%$. Personas esperadas: $500 \times 0.0025 = 1.25$ personas (aproximadamente 1).
Cambio Absoluto: ~1.25 a 2.5 personas menos (muy pequeño, quizás 1 o 2 casos).
Cambio Relativo: Sigue siendo 50% (la reducción proporcional es la misma).
Conclusión: Mientras el cambio relativo (50%) se mantiene constante para cualquier riesgo basal, el cambio absoluto (número de vidas o casos salvados) depende enormemente del riesgo inicial. A menor riesgo basal, menor es el beneficio absoluto, a pesar de la misma reducción relativa.

(5) Crítica a la afirmación publicitaria

Afirmación: “Un medicamento que reduce el riesgo de ataque cardíaco en un 50% probablemente salvará muchas vidas”.

Análisis crítico:

La afirmación es potencialmente engañosa y carece de contexto.

Verdad a medias: Sí, reduce el riesgo relativo en un 50% para cualquier grupo.
Problema: La frase “salvará muchas vidas” sugiere un beneficio absoluto grande, lo cual no es necesariamente cierto. Como vimos:
- En el Grupo 1 (alto riesgo), se evitan 100 infartos por cada 500 personas tratadas. Este es un beneficio absoluto sustancial que podría justificarse como “muchas vidas” en un contexto poblacional.
- En el Grupo 2 (bajo riesgo), solo se evitan 25 infartos. El beneficio es real, pero cuantitativamente menor.
- En un grupo de riesgo muy bajo, el beneficio absoluto sería mínimo (quizás 1 o 2 casos), a pesar de la misma reducción relativa del 50%.
Conclusión: La afirmación oculta la información más importante para una decisión personal o de salud pública: ¿Cuál es mi riesgo inicial? Sin conocer el riesgo basal, la promesa de un “50%” es numéricamente correcta pero prácticamente inútil para evaluar el beneficio real. Un anuncio más ético diría: “Reduce el riesgo relativo de infarto en un 50%. Consulte a su médico para evaluar si este beneficio es significativo para su nivel de riesgo personal”.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Dicotomía Absoluto/Relativo en Riesgo:
- Reducción del Riesgo Relativo (RRR): El porcentaje en que se reduce la tasa de incidencia (ej: 50%). Es constante para un tratamiento, independiente del riesgo basal. Es el número que suelen destacar los anuncios.
- Reducción del Riesgo Absoluto (RRA): La diferencia numérica real en las tasas de incidencia (ej: 40% - 20% = 20 puntos porcentuales para Grupo 1). Depende críticamente del riesgo basal y determina el impacto tangible (número de personas que realmente se benefician).
Importancia del Riesgo Basal: Es el factor más importante para interpretar cualquier estadística de reducción de riesgo. La misma RRR (ej: 50%) tiene implicaciones absolutas dramáticamente diferentes para alguien con un riesgo del 40% (evita 200 a 100 infartos) que para alguien con un riesgo del 10% (evita 50 a 25 infartos) o del 0.5% (evita 2.5 a 1.25).
Trampa del Lenguaje en Publicidad y Medios: Términos como “reduce a la mitad” o “disminuye un 50%” son matemáticamente precisos para describir la RRR, pero pueden ser éticamente cuestionables si inducen a creer en un beneficio universalmente grande. Esto exige alfabetización cuantitativa en los ciudadanos para hacer preguntas clave: “¿50% de qué cantidad base?”.
Toma de Decisiones Informadas: En salud, economía o política, las decisiones deben basarse en ambos tipos de medida.
- La RRR ayuda a entender la eficacia intrínseca de una intervención.
- La RRA (y su inverso, el Número Necesario a Tratar - NNT) ayuda a evaluar su utilidad práctica, costo-beneficio y priorización. Por ejemplo, el NNT para el Grupo 1 es $\frac{1}{0.40 - 0.20} = 5$ (tratar a 5 personas para evitar 1 infarto), mientras que para el Grupo 2 es $\frac{1}{0.10 - 0.05} = 20$ (tratar a 20 para evitar 1 infarto).
Habilidad de Pensamiento Crítico: Este problema enseña a desconfiar de los porcentajes aislados y a exigir el contexto completo (el riesgo inicial). Es una poderosa aplicación de las habilidades de la Unidad 2 (razones, proporciones, cambio porcentual) a un área de enorme relevancia personal y social: la interpretación de la información médica y de salud pública.

Esta página titulada 2.5: Reducción de riesgos se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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2.6: ¿Qué es el promedio?

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Definiciones en grupo:

Media (Mean): El promedio aritmético. Se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre el número total de valores. Ej: Promedio de calificaciones.
Mediana (Median): El valor del medio cuando todos los datos se ordenan de menor a mayor. Es el valor que divide el conjunto en dos mitades iguales.
Moda (Mode): El valor que más se repite en un conjunto de datos. Puede haber más de una moda o ninguna.

Ejemplo de temperatura semanal:

Datos: 62°, 90°, 106°, 10°, 50°, 0°, 50°

Ordenar: 0°, 10°, 50°, 50°, 62°, 90°, 106°
Media: $(0+10+50+50+62+90+106) / 7 = 368 / 7 \approx 52.57°$
Mediana: El cuarto valor en la lista ordenada es 50°.
Moda: El valor 50° se repite dos veces (los demás una vez).

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Los datos se pueden resumir mediante medidas de tendencia central (media, mediana, moda).
La media y la mediana pueden ofrecer perspectivas diferentes del mismo conjunto de datos
Las conclusiones basadas en resúmenes estadísticos pueden estar sujetas a error si no se entiende bien la medida usada.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular la media y la mediana de datos numéricos.
Crear conjuntos de datos que cumplan criterios específicos para la media y la mediana.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: RESUMEN DE DATOS DE TARJETAS DE CRÉDITO

Contexto (Datos de EE.UU.):

Total de tarjetas de crédito: >455 millones.
Deuda promedio por hogar con tarjeta: $5,525.
Población: ~330 millones.
Hogares: ~120 millones.
Deuda mediana de estudiantes universitarios (2021): $3,280.

(1) Cálculo de medias per cápita y por hogar

Media per cápita: $\frac{455 \text{ millones de tarjetas}}{330 \text{ millones de personas}} \approx 1.38$ tarjetas/persona.
Media por hogar: $\frac{455 \text{ millones de tarjetas}}{120 \text{ millones de hogares}} \approx 3.79$ tarjetas/hogar.

(2) Interpretación de “deuda promedio por hogar con tarjeta: $5,525”

Explicación: Esta cifra es la media aritmética. Se calcula sumando la deuda total de todos los hogares que tienen al menos una tarjeta de crédito y dividiendo entre el número total de esos hogares. No significa que cada hogar deba exactamente $5,525; es un valor representativo alrededor del cual se agrupan las deudas individuales (muchas más bajas, muchas más altas).

🔹 ANÁLISIS DE CONJUNTOS DE DATOS

(3) Datos de grupos de hogares y creación de datos propios

(a) Cálculo de la deuda media para cada grupo:

Grupo	Datos de Deuda ($)	Suma	Media ($)
A	0, 14,800, 700, 6,900, 5,225	27,625	5,525
B	5,525, 5,525, 5,525, 5,525, 5,525	27,625	5,525
C	6,600, 4,375, 5,125, 7,200, 4,325	27,625	5,525
D	27,625, 0, 0, 0, 0	27,625	5,525

Nota: Todos los grupos tienen la misma suma total ($27,625) y, por tanto, la misma media ($5,525) para 5 hogares.

(b) Crear un conjunto propio con media = $5,525

Ejemplo: $1,000, 3,000, 5,525, 8,000, 10,700$
Comprobación: Suma = $1,000+3,000+5,525+8,000+10,700 = 28,225$. Media = $28,225 / 5 = 5,645$ (no es exacto). Debe sumar $27,625.
Conjunto corregido: $2,000, 4,000, 5,525, 7,000, 9,100$. Suma = $27,625$. Media = $5,525.

(c) Cálculo de la mediana para cada conjunto (datos ordenados):

Grupo A (Ordenado): $0, 700, 5,225, 6,900, 14,800$ → Mediana = $5,225
Grupo B (Ordenado): $5,525, 5,525, 5,525, 5,525, 5,525$ → Mediana = $5,525
Grupo C (Ordenado): $4,325, 4,375, 5,125, 6,600, 7,200$ → Mediana = $5,125
Grupo D (Ordenado): $0, 0, 0, 0, 27,625$ → Mediana = $0
Conjunto Propio (Ejemplo corregido): $2,000, 4,000, 5,525, 7,000, 9,100$ → Mediana = $5,525

Observación clave: Aunque todos los grupos tienen la misma media ($5,525), sus medianas son muy diferentes. Esto muestra que la media por sí sola puede ocultar la distribución real de los datos.

(4) Crear un conjunto de datos con mediana = $3,280

Para seis estudiantes, la mediana es el promedio de los valores 3º y 4º cuando los datos están ordenados. Necesitamos que $(Valor3 + Valor4) / 2 = 3,280$.

Ejemplo de conjunto de datos (ordenado):

$1,000, 2,500, 3,200, 3,360, 4,000, 5,000$

Verificación de la mediana: $(3,200 + 3,360) / 2 = 6,560 / 2 = 3,280$ ✓
Otro ejemplo válido: $0, 0, 3,280, 3,280, 10,000, 10,000$

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Media vs. Mediana: Dos caras de la misma moneda:
- La media (promedio) es sensible a valores extremos (outliers). En el Grupo D, un solo valor muy alto ($27,625) infló la media, mientras que la mediana fue $0. La media representa el “centro de gravedad” de los datos.
- La mediana es robusta a valores extremos. Representa el “punto medio” de la distribución, dividiendo los datos en dos mitades iguales. Para distribuciones sesgadas (como los ingresos o la deuda), la mediana suele ser una mejor medida del “valor típico”.
El poder y el peligro de los promedios: La frase “deuda promedio de $5,525” es útil para resumir, pero puede ser engañosa sin contexto. Como vimos, muchos conjuntos de datos con distribuciones radicalmente diferentes (Grupos A, B, C, D) pueden producir la misma media. Un pensador cuantitativo siempre debe preguntarse: ¿Este ‘promedio’ es una media o una mediana? ¿Cómo se distribuyen los datos alrededor de este valor?
Aplicación en contextos del mundo real:
- Ingresos: La mediana del ingreso familiar es más informativa que la media, porque la media se ve elevada por los ingresos extremadamente altos de una minoría.
- Deuda estudiantil: Una mediana de $3,280 (como en el dato citado) significa que la mitad de los estudiantes debe $3,280 o menos, y la otra mitad debe $3,280 o más. Da una mejor idea de la experiencia típica que una media, que podría ser más alta si algunos estudiantes tienen deudas muy elevadas.
Habilidad de síntesis y creación de datos: Crear conjuntos de datos con una media o mediana específica no es solo un ejercicio matemático; es una forma de internalizar profundamente lo que estas medidas representan. Te fuerza a pensar en la relación entre los valores individuales y el resumen estadístico.
Conclusión para la toma de decisiones: Al evaluar información estadística (como datos de deuda, ingresos, precios de vivienda, etc.):
- Busca siempre ambas medidas (media y mediana) si es posible.
- Pregunta por la distribución. ¿Los datos están agrupados simétricamente alrededor del promedio, o hay una cola larga de valores muy altos o muy bajos?
- Contextualiza. Un número aislado (como un promedio) rara vez cuenta la historia completa. La mediana complementa a la media proporcionando una visión más resistente a las distorsiones de valores atípicos.

Principio central: Un “promedio” no es una simple fórmula; es una herramienta de interpretación. Saber cuándo usar la media, cuándo preferir la mediana y cómo ambas pueden contar historias diferentes sobre el mismo conjunto de datos es fundamental para el razonamiento cuantitativo crítico en finanzas, políticas públicas y vida diaria.

Esta página titulada 2.6: ¿Qué es el promedio? se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd). Basado en datos de CreditCards.com y College Finance.

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2.7: Tomar buenas decisiones con buenas estadísticas

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🔹 INTRODUCCIÓN: ELECCIÓN DE EMPLEO

Discusión grupal: Imagina que debes elegir un trabajo basándote únicamente en estas dos descripciones salariales:

Empresa A: Salario promedio $105,000 por año.
Empresa B: Salario medio $80,000 por año.

Análisis de datos (tabla provista):

Posición	Compañía A	Empresa B
Secretario	$45,000	$52,000
Representante de ventas	$47,000	$70,000
Representante de ventas	$52,000	$75,000
Oficial de seguridad	$53,000	$80,000
Oficial de seguridad	$53,000	$81,000
Gerente de almacén	$55,000	$86,000
Director ejecutivo (CEO)	$240,000	$286,000
Salario medio (promedio)	$105,000	(Calculable)
Salario medio (mediana)	(Calculable)	$80,000

Justificación del razonamiento:

Empresa A: El “salario promedio” ($105,000) es la media, inflada por el altísimo salario del CEO ($240,000). La mayoría de los empleados gana entre $45,000 y $55,000.
Empresa B: El “salario medio” ($80,000) es la mediana, indicando que la mitad de los empleados gana más de $80,000 y la mitad menos. Los salarios son generalmente más altos y equitativos.
Conclusión (basada en datos): Para un empleado típico (no el CEO), la Empresa B ofrece un salario esperado más alto y justo ($80,000 como punto medio real vs. ~$50,000 en A).

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Cada estadística (media, mediana, moda) resume los datos de manera diferente.
Las conclusiones derivadas de resúmenes estadísticos pueden ser engañosas si no se entiende la medida utilizada.
Las medidas de tendencia central son herramientas para la toma de decisiones informadas.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Tomar decisiones utilizando información estadística completa.
Interpretar la media, mediana o moda dentro del contexto de un problema.
Relacionar conjuntos de datos con las estadísticas que mejor los describen.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: ANÁLISIS CRÍTICO DE ANUNCIOS

Anuncio 1: “Nuestros vendedores ganan un promedio de $1,000 por semana.”

(a) Medida usada: Media (promedio aritmético).
(b) Conjunto de datos posible (5 vendedores, media = $1,000/semana): $200, $400, $1,000, $1,500, $1,900. (Suma=$5,000; Media=$1,000). Nota: La media puede ocultar grandes desigualdades.

Anuncio 2: “La mitad de nuestro equipo de ventas gana más de $3,000 al mes.”

(a) Medida usada: Mediana. “La mitad gana más de X” es la definición de mediana.
(b) Conjunto de datos posible (para un equipo, mediana >$3,000): $2,500, $2,800, $3,100, $3,500, $4,000. (Ordenados, el valor del medio (3º) es $3,100 > $3,000).

Anuncio 3: “Cinco de nuestros nueve vendedores… Su comisión promedio fue de $1,500 por cada venta.”

(a) Medida usada: Media (promedio) de la comisión por venta para un subgrupo (5/9 vendedores).
(b) Conjunto de datos posible (5 comisiones, media=$1,500): $1,200, $1,400, $1,500, $1,600, $1,800. (Suma=$7,500; Media=$1,500). Es un dato más específico (comisión por venta, no ingreso total).

(2) Discusión: ¿En qué trabajo esperarías ganar más?

Anuncio 1 (Media $1,000/semana): Riesgoso. La media podría estar inflada por uno o dos vendedores estrella. El salario típico podría ser mucho menor.
Anuncio 2 (Mediana >$3,000/mes): Más confiable. Sabes que al menos la mitad del equipo supera ese monto. Sugiere una distribución de ingresos más sólida y equitativa.
Anuncio 3 (Promedio comisión $1,500/venta): Específico pero incompleto. No sabemos cuántas ventas hace un vendedor al mes. $1,500 por venta suena bien, pero si solo venden una casa cada dos meses, el ingreso mensual sería de $750.
Conclusión prudente: El Anuncio 2 ofrece la información más robusta y menos manipulable (la mediana), lo que sugiere un potencial de ingresos más confiable para un nuevo vendedor típico. Sin embargo, una decisión óptima requeriría más datos (frecuencia de ventas en el Anuncio 3, distribución completa en el Anuncio 1).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: TENDENCIAS EN PRECIOS DE VIVIENDAS

(3) Tres afirmaciones sobre el gráfico (Principio de escritura)

El gráfico muestra la media y la mediana de los precios de viviendas nuevas en EE.UU. de 1963 a 2021.

Tendencia general ascendente: Tanto la media como la mediana de los precios han experimentado un crecimiento sostenido y pronunciado durante el período de casi 60 años, aumentando desde menos de $100,000 hasta superar los $400,000.
Brecha persistente: Durante todo el período, la línea de la media se sitúa consistentemente por encima de la línea de la mediana. Esto indica que, en promedio, las casas más caras (en el extremo alto de la distribución) tiran del valor medio hacia arriba, alejándolo de la vivienda típica (mediana).
Ampliación de la brecha: La distancia entre la media y la mediana parece aumentar con el tiempo, especialmente en las últimas décadas. Esto sugiere un crecimiento de la desigualdad en el mercado de la vivienda, donde un segmento de propiedades de lujo muy caras se está valorizando a un ritmo más rápido que la vivienda típica.

(4) Análisis de conjuntos de datos para 2019

(a) ¿Cuál conjunto podría representar los datos del gráfico (2019)?

El gráfico muestra que para 2019 la media es mayor que la mediana. Buscamos conjuntos donde haya valores altos extremos que eleven la media.

Conjunto A: Valores todos agrupados entre ~$321,000 y $357,000. Media y mediana serían muy cercanas. No representativo.
Conjunto B: Tiene valores extremadamente altos ($549,000, $890,000) junto con valores más bajos. Estos valores altos elevarán la media por encima de la mediana. Sí, es un candidato fuerte.
Conjunto C: Valores progresivos sin saltos extremos. Media y mediana cercanas. No representativo.
Conjunto D: Similar a B, con valores altos ($320,000, $342,000, $351,000) y algunos bajos ($74,000, $95,000). Sí, es un candidato.
Conjunto E: Tiene los valores más extremos ($715,000, $749,000). La media será mucho mayor que la mediana. Sí, es un candidato (quizás el que muestra la mayor brecha).

(b) ¿Qué conjunto tendría una media < mediana?

Esto ocurre cuando hay valores extremadamente bajos (outliers a la izquierda) que tiran de la media hacia abajo.

Conjunto A, C: Distribuciones simétricas → Media ≈ Mediana.
Conjunto B, D, E: Tienen outliers altos → Media > Mediana.
Ninguno de los conjuntos proporcionados parece tener outliers bajos pronunciados que causen media < mediana. Para que esto suceda, necesitaríamos un dato como un precio de $50,000 en un conjunto de precios alrededor de $300,000.

(c) ¿Qué conjunto tendría media y mediana próximas?

Esto ocurre en distribuciones simétricas o sin valores extremos.

Conjunto A: Todos los valores están en un rango muy estrecho (~$36,000). Media y mediana serán prácticamente iguales.
Conjunto C: Los valores aumentan de manera bastante uniforme. Media y mediana serán muy cercanas.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

El “Promedio” no es suficiente: La elección inicial de trabajo demostró que un solo número (como la media) puede ser profundamente engañoso. Una decisión informada exige preguntar “¿qué tipo de promedio?” y buscar la mediana para entender el valor típico, especialmente cuando los datos pueden estar sesgados por valores extremos (como el salario de un CEO).
Contexto es clave: Interpretar una estadística requiere entender qué representa. “Ganar un promedio de $1,000 por semana” (Anuncio 1) suena muy diferente a “una comisión promedio de $1,500 por venta” (Anuncio 3). El primero habla de ingresos recurrentes, el segundo de una tarifa unitaria. Sin contexto sobre la frecuencia, son incomparables.
La relación Media-Mediana como detector de sesgo: La brecha persistente en el gráfico de precios de vivienda es una herramienta de diagnóstico poderosa.
- Media > Mediana: Indica una distribución sesgada a la derecha (cola larga de valores altos). Es común en datos de ingresos, precios de vivienda, riqueza.
- Media ≈ Mediana: Sugiere una distribución simétrica (como resultados de exámenes bien diseñados, alturas de adultos).
- Media < Mediana: Indica sesgo a la izquierda (cola larga de valores bajos), menos común (ej: edad de jubilación, donde hay un límite inferior).
Toma de decisiones robusta: Para tomar “buenas decisiones con buenas estadísticas”, debemos:
- Exigir transparencia: ¿Me están mostrando la media, la mediana o la moda?
- Buscar múltiples medidas: Si solo dan la media, sospecha de sesgo. Pregunta por la mediana.
- Visualizar la distribución: Un gráfico (como el de precios de casas) o una tabla de datos crudos (como los salarios de las empresas) cuenta la historia completa que un solo resumen estadístico oculta.
- Considerar el impacto de los valores extremos: ¿La decisión se basa en el valor típico (mediana) o puede verse afectada por casos excepcionales (que influyen en la media)?

Conclusión final: Las estadísticas son herramientas, no verdades absolutas. Un pensador cuantitativo competente no se limita a calcular la media; interpreta críticamente qué medida se usa, por qué se eligió y qué historia podría estar omitiendo. Esta habilidad es esencial para navegar en un mundo lleno de datos, desde elegir un trabajo hasta entender la economía o evaluar políticas públicas.

Esta página titulada 2.7: Cómo tomar buenas decisiones con buenas estadísticas se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd). Basado en datos del U.S. Census Bureau.

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2.8: ¿Se ha mantenido el salario mínimo?

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🔹 INTRODUCCIÓN: PODER ADQUISITIVO E INFLACIÓN

Contexto: El poder adquisitivo de un salario se refiere a la cantidad de bienes y servicios que puede comprar. La inflación (aumento general de precios) reduce el poder adquisitivo si los salarios no se ajustan. Un Ajuste por Costo de Vida (COLA) es un aumento salarial destinado a compensar la inflación.

Ejemplo: El caso de Mei

Año	Salario Anual	Alquiler (Mensual)	Comestibles (Mensual)	Transporte (Mensual)
2019	$65,000	$850	$390	$130
2020	$65,000	$890	$410	$130
2021	$65,000	$920	$440	$150

Discusión grupal: Al ver que el salario de Mei se mantiene en $65,000 mientras sus gastos aumentan, ¿tiene el mismo poder adquisitivo en 2021 que en 2019? No. A pesar de ganar la misma cantidad nominal, puede comprar menos con ese dinero porque los precios han subido. Su salario real, ajustado por inflación, ha disminuido.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las razones (ratios) permiten comparar aumentos o disminuciones relativas entre variables.
Los números índice son una herramienta para comparar el tamaño relativo de una variable a lo largo del tiempo.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Usar el razonamiento proporcional para encontrar el valor de una variable que se mantiene en proporción constante con otra.
Usar números índice para encontrar el valor relativo de una variable en relación con el tiempo.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: EL PODER ADQUISITIVO DEL SALARIO MÍNIMO

(1) Índice de Precios de la Big Mac

Utilizaremos 1992 como año base. Esto significa que el precio de 1992 representa el 100% en nuestro índice. Fórmula para el índice: $\frac{\text{Precio en año X}}{\text{Precio en año base}} \times 100$

Precios:

1992 (Año base): $2.19
1968: $0.49
2021: $4.93

(a) Comparación 1968 vs. 1992:

$\frac{0.49}{2.19} \approx 0.224$

Expresado como porcentaje: $0.224 \times 100\% \approx 22\%$

(b) Comparación 2021 vs. 1992:

$\frac{4.93}{2.19} \approx 2.251$

Expresado como porcentaje: $2.251 \times 100\% \approx 225\%$

(c) Completar el índice:

En los puntos (a) y (b) usamos 1992 como base (denominador).

Índice 1968: $22$
Índice 1992 (base): $100$
Índice 2021: $225$

Año	Número de Índice
1968	22
1992	100
2021	225

Interpretación: El índice de 225 para 2021 significa que, en promedio, una Big Mac costaba 2.25 veces (o un 125% más) en 2021 que en 1992.

🔹 EL ÍNDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR (IPC)

El IPC es el índice oficial que mide el cambio promedio en los precios de una canasta de bienes y servicios que los consumidores urbanos compran habitualmente. Es la principal medida de inflación en EE.UU.

(2) El año base del IPC

Observando la tabla proporcionada (IPC de 1913 a 2021), el índice para 1983 es 99.6, muy cercano a 100. En muchas publicaciones, 1982-1984 se toma como el período base (=100). En nuestro contexto, podemos considerar que 1983 es funcionalmente el año base. Significado: El valor del índice (100) en el año base es el punto de referencia. Un índice de 200 significa que los precios promedio se han duplicado respecto al año base.

(3) Comparación del dólar: 2021 vs. 1983

IPC 1983 ≈ 100 (base)
IPC 2021 = 271.0
Relación: $\frac{100}{271.0} \approx 0.369$
Interpretación: Un dólar de 1983 tenía el poder adquisitivo equivalente a aproximadamente $0.37 (37 centavos) en 2021. O, visto al revés, necesitarías cerca de $2.71 en 2021 para comprar lo mismo que con $1.00 en 1983. La inflación erosionó significativamente el valor de la moneda.

(4) Comparación del dólar: 1949 vs. 1983

IPC 1949 = 23.8
IPC 1983 ≈ 100
Relación: $\frac{23.8}{100} = 0.238$
Interpretación: Un dólar de 1949 tenía el poder adquisitivo de sólo $0.24 (24 centavos) en 1983. Los precios aumentaron considerablemente entre 1949 y 1983.

🔹 ANÁLISIS: PODER ADQUISITIVO DEL SALARIO MÍNIMO

(5) ¿Quién tenía más poder adquisitivo?

Para comparar, debemos expresar ambos salarios en la misma unidad de valor (por ejemplo, dólares de 2021). Usamos el IPC para ajustar por inflación.

Salario mínimo 1938: $0.25/hora.
Salario mínimo 2021: $7.25/hora.

Fórmula de ajuste: $\text{Valor Ajustado} = \text{Valor Histórico} \times \frac{\text{IPC del año final}}{\text{IPC del año inicial}}$

Paso 1: Ajustar el salario de 1938 a dólares de 2021.

IPC 1938: 14.1
IPC 2021: 271.0
$\$0.25 \times \frac{271.0}{14.1} \approx \$0.25 \times 19.22 \approx \$4.81/\text{hora}$ (en dólares de 2021).

Paso 2: Comparar el valor ajustado con el salario de 2021.

Salario mínimo 1938 (ajustado a 2021): $4.81/hora.
Salario mínimo nominal 2021: $7.25/hora.

Conclusión: La persona que ganaba el salario mínimo en 2021 ($7.25/hora) tenía más poder adquisitivo que la persona que lo ganaba en 1938 (equivalente a $4.81/hora en 2021). El salario mínimo nominal aumentó más que la inflación en ese largo período.

Nota sobre el contexto actual en Carolina del Norte: Este cálculo histórico muestra una mejora a largo plazo. Sin embargo, es importante destacar que el salario mínimo federal de $7.25 no ha cambiado desde 2009. Carolina del Norte sigue este estándar federal. Mientras tanto, la inflación ha seguido su curso. Según un análisis reciente, si el salario mínimo de Carolina del Norte hubiera mantenido su poder adquisitivo desde 2009, sería de casi $11.00 hoy, y está muy por debajo del salario digno estimado para el estado.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(6) Análisis del precio de la gasolina

Para evaluar la afirmación «La gasolina era más cara en 2021 que en 1981», debemos comparar precios ajustados por inflación.

Paso 1: Buscar precios nominales (ejemplo ilustrativo).

Precio promedio galón gasolina 1981: Aproximadamente $1.38 (Fuente: datos históricos de la EIA).
Precio promedio galón gasolina 2021: Aproximadamente $3.01 (Fuente: datos de la AAA).

Paso 2: Ajustar el precio de 1981 a dólares de 2021 usando el IPC.

IPC 1981: 90.9
IPC 2021: 271.0
$\text{Precio ajustado 1981} = \$1.38 \times \frac{271.0}{90.9} \approx \$1.38 \times 2.98 \approx \$4.11$.

Paso 3: Comparar el precio ajustado con el precio nominal de 2021.

Precio de 1981 ajustado a 2021: $4.11/galón.
Precio nominal de 2021: $3.01/galón.

Conclusión matemática: Aunque el precio nominal era más alto en 2021 ($3.01 > $1.38), cuando se ajusta por inflación, la gasolina era en realidad más cara en 1981 (equivalente a $4.11 en 2021) que en 2021 ($3.01). La afirmación es falsa cuando se considera el poder adquisitivo del dólar. Esto subraya la importancia crucial de usar índices como el IPC para hacer comparaciones significativas a lo largo del tiempo.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Números Índice: La Herramienta Fundamental: Los índices (como el Índice Big Mac o el IPC) convierten valores absolutos en números relativos, permitiendo comparaciones claras a lo largo del tiempo. Establecer un año base (=100) es el primer paso para este análisis.
Ajuste por Inflación: La Clave para la Comparación: Comparar valores monetarios de diferentes años sin ajustar por inflación es engañoso. La fórmula $\text{Valor Ajustado} = \text{Valor Histórico} \times \frac{\text{IPC Año Final}}{\text{IPC Año Inicial}}$ es esencial para expresar todos los valores en “dólares de un mismo año” y determinar cambios reales en el poder adquisitivo.
Poder Adquisitivo vs. Valor Nominal: Esta es la distinción central.
- El valor nominal es la cifra en dólares de la época (ej: $0.25 en 1938).
- El poder adquisitivo es lo que esa cifra puede comprar, teniendo en cuenta los cambios de precios. Un salario nominal puede permanecer igual (como el de Mei o el mínimo federal desde 2009) mientras su poder adquisitivo disminuye debido a la inflación.
Aplicación al Salario Mínimo: Nuestro análisis muestra que, en una escala de tiempo muy larga (1938-2021), el salario mínimo ha aumentado su poder adquisitivo. Sin embargo, esto oculta períodos críticos de estancamiento. El hecho de que el mínimo federal no haya cambiado desde 2009 y que Carolina del Norte se adhiera a él, significa que durante los últimos 15+ años, el poder adquisitivo de los trabajadores con salario mínimo en el estado ha disminuido constantemente. Para recuperar el poder adquisitivo de 2009, el mínimo debería ser de casi $11.00.
Toma de Decisiones Informadas: Comprender estos conceptos permite evaluar críticamente afirmaciones económicas, negociar aumentos salariales (como los COLA), y comprender debates de política pública sobre la necesidad de aumentar el salario mínimo para que coincida con el costo de vida, como proponen varios proyectos de ley en Carolina del Norte.

Conclusión: La pregunta “¿Se ha mantenido el salario mínimo?” tiene una respuesta matizada. Nominalmente, en Carolina del Norte, se ha mantenido estancado en $7.25 desde 2009. En términos de poder adquisitivo, no se ha mantenido; ha perdido terreno frente a la inflación. Las herramientas de razonamiento proporcional y números índice aprendidas aquí son vitales para llegar a esa conclusión y abogar por decisiones económicas personales y políticas informadas.

Esta página titulada 2.8: ¿Se ha mantenido el salario mínimo? se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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2.9: ¿Cómo se compara tu ciudad con otras?

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🔹 INTRODUCCIÓN: EVALUANDO “LAS MEJORES” CIUDADES

Las listas de “mejores ciudades” se basan en múltiples factores. Esta colaboración usa una tabla de datos para comparar ciudades según distintos indicadores.

Datos clave de la tabla:

Índice del Costo de Vida (CV): Mide cuánto más caro (índice >100) o más barato (índice <100) es vivir en una ciudad comparado con el promedio nacional (base=100).
Ingreso Familiar Mediano: El ingreso del “medio” cuando todos los hogares se ordenan de menor a mayor ingreso. Es una medida más robusta que el promedio (media) porque no se distorsiona por ingresos extremadamente altos.
Crecimiento del Empleo e Ingreso: Miden el cambio porcentual en el tiempo, indicando la dinámica económica de la ciudad.

Discusión grupal basada en los datos:

¿Qué ciudades tienen un costo de vida superior al promedio (CV > 100)?

Anchorage (148.6), Bridgeport (135.7), Grand Junction (106.2), Honolulu (194.8), Ithaca (111.2), Olympia (144.4), Portland, ME (134.1), Reno (116.6), Worcester (128.5).
¿Qué ciudades tienen un costo de vida inferior al promedio (CV < 100)?

Columbia (92.1), Danville (76.1), El Paso (85.9), Fargo (91.4), Joplin (84.9), Knoxville (85.3), Little Rock (86.8), Morgantown (86.6), St. Cloud (89.7), Topeka (84.5), York (90.1).
Ciudad con costo de vida más cercano al promedio (CV ≈ 100): Columbia, Carolina del Sur (92.1) está bastante cerca, pero Fargo (91.4) también es una candidata. Depende del criterio.

Análisis de Columbia, SC:

Población (2019): 133,114 habitantes. En palabras: Ciento treinta y tres mil ciento catorce.
Índice del Costo de Vida (92.1): Significa que, en promedio, los bienes y servicios en Columbia cuestan aproximadamente un 7.9% menos que el promedio nacional (92.1 es 7.9 unidades menor que 100).
Ingreso Familiar Mediano ($55,310): Significa que la mitad de los hogares en Columbia gana $55,310 o más, y la otra mitad gana $55,310 o menos. Se usa la mediana en lugar del promedio (media) porque es menos afectada por un pequeño número de hogares con ingresos extremadamente altos o bajos, dando una mejor idea del ingreso “típico”.
Crecimiento del Ingreso (2015-19): 6.4%: Significa que el ingreso mediano aumentó en un 6.4% durante el período de cuatro años. Esto indica una mejora en la capacidad adquisitiva de los residentes en ese tiempo.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Para emitir juicios equilibrados y tomar decisiones (como elegir dónde vivir), es crucial considerar múltiples fuentes y tipos de datos.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Sacar conclusiones apropiadas a partir de tablas de datos complejas.
Aplicar aprendizajes previos (índices, mediana, razonamiento proporcional) a nuevos contextos (comparación de ciudades).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: COMPARANDO CIUDADES

(1) Comparación: Anchorage (AK) vs. Danville (VA)

(a) Estimación: ¿Dónde es más probable “vivir bien”?

Indicador	Anchorage, AK	Danville, VA
Ingreso Mediano	$86,986 (Alto)	$37,186 (Bajo)
Índice Costo de Vida	148.6 (Muy Alto)	76.1 (Muy Bajo)
Crecimiento Empleo	-6.9% (Fuerte contracción)	-7.6% (Fuerte contracción)
Crecimiento Ingreso	3.5% (Modesto)	6.1% (Más rápido)

Análisis:

Anchorage ofrece un ingreso más del doble que Danville, pero su costo de vida es casi el doble del promedio nacional (y mucho mayor que el de Danville). Además, el empleo está disminuyendo rápidamente.
Danville tiene un ingreso muy bajo, pero su costo de vida es excepcionalmente bajo. Esto podría hacer que el ingreso “rinda” más. El crecimiento del ingreso es mejor, aunque el empleo también está en declive.
Justificación: Es más probable “vivir bien” donde la relación entre ingreso y costo de vida sea más favorable. Una estimación rápida sería comparar la razón Ingreso/Costo.
- Anchorage: $86,986 / 148.6 ≈ $585 por punto de índice.
- Danville: $37,186 / 76.1 ≈ $489 por punto de índice.
- Conclusión estimada: Aunque Danville es muy económico, la ventaja salarial de Anchorage parece compensar su alto costo, dando una ligera ventaja estimada a Anchorage en “poder de compra” por punto de índice. Sin embargo, la fuerte caída del empleo en ambas ciudades es una gran preocupación a futuro.

(b) Cálculo del “poder adquisitivo” equivalente

Para tener el mismo poder adquisitivo en Danville que alguien con el ingreso mediano de Anchorage, necesitamos ajustar por la diferencia en el costo de vida.

Fórmula: $\text{Ingreso Equivalente en Danville} = \text{Ingreso en Anchorage} \times \frac{\text{Índice Danville}}{\text{Índice Anchorage}}$

Cálculo: $\$86,986 \times \frac{76.1}{148.6} \approx \$86,986 \times 0.512 \approx \$44,549$

Interpretación: Una persona necesitaría ganar aproximadamente $44,549 en Danville para mantener un nivel de vida equivalente al que proporciona el ingreso mediano de $86,986 en Anchorage. Dado que el ingreso mediano real de Danville es de $37,186, su residente típico tiene un poder adquisitivo menor que el residente típico de Anchorage.

(2) Comparación: Olympia (WA) vs. St. Cloud (MN)

(a) ¿Dónde hay más familias con ingresos >$60,000?

Olympia: Ingreso mediano = $78,757. Esto significa que exactamente el 50% de los hogares gana más de $78,757. Por lo tanto, más del 50% gana más de $60,000.
St. Cloud: Ingreso mediano = $60,087. Esto significa que exactamente el 50% gana más de $60,087. Por lo tanto, aproximadamente el 50% gana más de $60,000.
Conclusión: En Olympia hay una mayor proporción de familias con ingresos superiores a $60,000 (más del 50% vs. aproximadamente 50%).

(b) ¿Dónde hay más familias con ingresos entre $60,000 y $78,000?

Olympia: El ingreso mediano ($78,757) es mayor que el límite superior del rango ($78,000). Esto sugiere que el percentil 50 (la mediana) ya está por encima de $78,000. Por lo tanto, una proporción relativamente pequeña de hogares en Olympia cae en este rango específico (la mayoría gana más).
St. Cloud: El ingreso mediano ($60,087) está justo por encima del límite inferior ($60,000). Esto indica que una parte significativa de la mitad inferior de la distribución de ingresos (cerca del percentil 50) y una parte de la mitad superior (hasta el percentil donde se alcanzan los $78,000) caerían en este rango. Por lo tanto, una proporción mayor de hogares en St. Cloud probablemente cae en el rango de $60,000 a $78,000.
Conclusión: Es más probable encontrar una mayor proporción de familias en ese rango de ingresos específico en St. Cloud.

(3) Análisis del mercado laboral: Reno-Sparks, NV

Datos clave de Reno: * Crecimiento del Ingreso (2015-19): 10.6% (Uno de los más altos de la lista). * Crecimiento del Empleo (2021): -6.1% (Una de las caídas más pronunciadas). * Ingreso Mediano (2019): $64,124 (Relativamente alto). * Índice CV: 116.6 (Por encima del promedio).

Interpretación:

Entre 2015 y 2019, el mercado laboral de Reno experimentó un fuerte crecimiento económico. El incremento del 10.6% en los ingresos medianos sugiere que la demanda de trabajadores era alta, posiblemente impulsando salarios al alza. Esto podría deberse a la expansión de industrias locales (como tecnología o logística).

Sin embargo, para 2021, la situación cambió drásticamente, con una pérdida de empleos del 6.1%. Esto probablemente refleja el impacto severo de la pandemia de COVID-19 en sectores clave de la economía de Reno, como el turismo, la hostelería y el entretenimiento (Reno es un destino turístico conocido). El alto costo de vida podría haber exacerbado las dificultades para los residentes durante esta contracción.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

No hay una sola métrica “mejor”: Calificar una ciudad como “mejor” depende completamente de qué valoras más (alto ingreso, bajo costo, crecimiento, estabilidad). No existe una fórmula única. Una ciudad “cara” como Anchorage puede ser “mejor” para un profesional con un salario alto, mientras que una ciudad “económica” como Danville podría serlo para alguien que prioriza la asequibilidad.
El poder adquisitivo es la clave: Comparar sólo ingresos nominales es engañoso. Como vimos en (1b), $86,986 en Anchorage puede comprar menos que $44,549 en Danville debido a las diferencias en el costo de vida. La fórmula de ajuste $\frac{\text{Índice Destino}}{\text{Índice Origen}}$ es esencial para hacer comparaciones reales de bienestar económico.
Interpretación de la mediana: La mediana del ingreso es la herramienta correcta para entender el “ingreso típico”. Su uso en (2) nos permitió hacer inferencias sobre la distribución de los ingresos sin conocer cada dato individual. Entender que “la mitad gana más que X” es más informativo que un promedio que podría estar sesgado.
Los datos cuentan una historia en el tiempo: Los números estáticos (población, ingreso 2019) dan una foto. Los porcentajes de cambio (crecimiento del ingreso, empleo) añaden la película. En (3), el contraste entre el fuerte crecimiento previo a la pandemia (2015-19) y la fuerte caída en 2021 en Reno muestra lo dinámicas que pueden ser las economías locales y la importancia de usar datos recientes.
Habilidad de síntesis para la toma de decisiones: Este ejercicio simula una decisión de la vida real (elegir un lugar para vivir o trabajar). Requirió:
- Extraer información relevante de una tabla compleja.
- Calcular relaciones clave (como ingreso equivalente).
- Interpretar el significado de diferentes estadísticas en contexto.
- Sopesar factores en conflicto (alto ingreso vs. alto costo, crecimiento pasado vs. contracción reciente).

Principio central: Tomar buenas decisiones con datos requiere pensamiento crítico y la aplicación flexible de herramientas cuantitativas. No se trata sólo de leer números, sino de entender las relaciones entre ellos (como ingreso y costo de vida), elegir la medida correcta para la pregunta (mediana vs. promedio), y sintetizar múltiples perspectivas para formarse una visión completa, reconociendo que la “mejor” opción siempre depende de las prioridades personales.

Esta página titulada 2.9: ¿Cómo se compara tu ciudad con otras ciudades? se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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3.1: Salario por minuto

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🔹 INTRODUCCIÓN: EL COSTO DE UN ERROR DE CONVERSIÓN

Historia: En 1998, la NASA perdió la sonda Orbitador Climático de Marte (valorada en $125 millones) debido a un error de conversión de unidades entre el sistema métrico (usado por el JPL) y el sistema inglés (usado por Lockheed Martin). Esto subraya la importancia crítica del análisis dimensional.

Check-in rápido (Discusión grupal):

¿En qué concepto específico de la Unidad 2.9 te sientes bastante seguro?
¿Hay algún concepto específico de la Unidad 2.9 que te resulte desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las unidades de una solución guían las operaciones requeridas; los factores se colocan para que las unidades se cancelen adecuadamente.
Las unidades dan significado a los números resultantes de los cálculos.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Escribir una razón (tasa) como fracción.
Usar un factor unitario para simplificar una razón.
Usar análisis dimensional para determinar los factores en una serie de operaciones que lleven a una medida equivalente.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: USO DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional (o método del factor unitario) es un método sistemático para convertir entre diferentes unidades de medida.

(1) Cálculo de eficiencia de combustible (Toyota Prius)

(a) Millas recorridas en ciudad con 4.5 galones:

Tasa: 57 millas/galón
Cálculo: $4.5 \text{ gal} \times \frac{57 \text{ mi}}{\text{gal}} = 256.5 \text{ millas}$

(b) Galones necesarios para 5550 kilómetros en carretera:

Paso 1: Convertir kilómetros a millas.

$1 \text{ milla} = 1.609 \text{ km}$
$5550 \text{ km} \times \frac{1 \text{ mi}}{1.609 \text{ km}} \approx 3450.6 \text{ mi}$

Paso 2: Calcular galones necesarios.

Tasa en carretera: 56 millas/galón
Galones: $\frac{3450.6 \text{ mi}}{56 \text{ mi/gal}} \approx 61.6 \text{ galones}$

🔹 EJEMPLO: CONVERSIÓN DE CHEQUE DE PAGO A SALARIO POR MINUTO

Problema: Sueldo quincenal = $1200. Trabajas 8 horas/día, 5 días/semana. ¿Cuánto ganas por minuto (en centavos)?

Solución usando análisis dimensional:

Buscamos: $\frac{\text{centavos}}{\text{minuto}}$

\[ \frac{100 \text{ ¢}}{\$1} \times \frac{\$1200}{2 \text{ semanas}} \times \frac{1 \text{ semana}}{5 \text{ días}} \times \frac{1 \text{ día}}{8 \text{ horas}} \times \frac{1 \text{ hora}}{60 \text{ minutos}} \]

Cálculo paso a paso (cancelando unidades):

Cancelamos $: $100 \times 1200 = 120,000$ (centavos cada 2 semanas).
Cancelamos semanas: $120,000 / (2 \times 5) = 12,000$ (centavos por día).
Cancelamos días: $12,000 / 8 = 1,500$ (centavos por hora).
Cancelamos horas: $1,500 / 60 = 25$ (centavos por minuto).

Resultado final: $0.25 por minuto (o 25 ¢/min).

(2) Discusión sobre razonabilidad

Cálculo: Sí, es razonable. 25 centavos por minuto implica $15 por hora ($0.25 \times 60$).
Verificación: Salario quincenal: $15 \text{ \$/h} \times 8 \text{ h/día} \times 5 \text{ días/sem} \times 2 \text{ sem} = 15 \times 8 \times 5 \times 2 = \$1,200$. Coincide.
Conclusión: El análisis dimensional produjo un resultado verificable y razonable.

🔹 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

(3) Distancia recorrida al enviar mensajes de texto

Problema: Conduces a 60 mph (96 km/h) y apartas la vista 4 segundos. ¿Cuántos pies recorres?

Conversiones clave: $1 \text{ milla} = 5280 \text{ ft}$; $1 \text{ hora} = 3600 \text{ s}$.
Configuración:

$\frac{60 \text{ mi}}{1 \text{ h}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} \times \frac{5280 \text{ ft}}{1 \text{ mi}} \times 4 \text{ s}$
Cálculo: $(60 \times 5280 \times 4) / 3600 = \frac{1,267,200}{3600} = 352 \text{ ft}$.
Interpretación: En 4 segundos, recorres 352 pies (¡aproximadamente la longitud de una cancha de fútbol americano!). Esto ilustra gráficamente el peligro de distraerse al volante.

(4) Proyección de población usando densidad

Problema: Densidad de Tokio = 6158 personas/km². Área de Japón = 378,000 km². Población si todo Japón tuviera la densidad de Tokio.

Configuración:

$\frac{6158 \text{ personas}}{1 \text{ km}^2} \times 378,000 \text{ km}^2$
Cálculo: $6158 \times 378,000 = 2,327,124,000$ personas.
Interpretación: Aproximadamente 2.33 mil millones de personas, lo que es casi 18 veces la población real de Japón (~125 millones). Esto muestra cuán extremadamente densa es Tokio.

(5) Cálculo de dosis médica (Conversión simple)

Problema: Dosis prescrita = 0.1 g. Concentración = 200 mg/mL. ¿Cuántos mL?

Paso 1: Unificar unidades. Convertir 0.1 g a mg: $0.1 \text{ g} \times \frac{1000 \text{ mg}}{1 \text{ g}} = 100 \text{ mg}$.
Paso 2: Calcular volumen. $\frac{100 \text{ mg}}{200 \text{ mg/mL}} = 0.5 \text{ mL}$.
Respuesta: Se necesitan 0.5 mL de la solución.

(6) Cálculo de dosis médica (Razón compleja)

Problema: Administrar 500 mg. Concentración = 1 g por 3 mL. ¿Cuántos mL?

Paso 1: Convertir concentración a mg/mL. $1 \text{ g} = 1000 \text{ mg}$, entonces concentración = $\frac{1000 \text{ mg}}{3 \text{ mL}}$.
Paso 2: Calcular volumen. $500 \text{ mg} \times \frac{3 \text{ mL}}{1000 \text{ mg}} = 1.5 \text{ mL}$.
Respuesta: Se necesitan 1.5 mL de la solución.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(7) Investigación de ejemplos en línea

(a) Sitio web encontrado: Por ejemplo, Khan Academy - Análisis Dimensional.

(b) Ejemplo copiado (de Khan Academy):

“Convierte 65 millas por hora a metros por segundo.”

Solución: $\frac{65 \text{ mi}}{1 \text{ h}} \times \frac{1609 \text{ m}}{1 \text{ mi}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} \approx 29 \text{ m/s}$

(Nota: El estudiante debe buscar y copiar un ejemplo real de un sitio web confiable)

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

El método sistemático: El análisis dimensional fuerza a organizar los cálculos como una cadena de factores unitarios donde las unidades no deseadas se cancelan paso a paso. Esto reduce errores, especialmente en problemas complejos con múltiples conversiones (como el salario por minuto o la distancia al textear).
Las unidades como guía: Cuando te sientes perdido en un problema, escribe las unidades que buscas (ej: ¢/min, ft, personas). Luego, comienza con una razón que contenga esa unidad en el numerador y añade factores que cancelen las demás unidades de manera sistemática. Las unidades te dicen si estás multiplicando o dividiendo.
Verificación incorporada: La mayor ventaja del análisis dimensional es la autoverificación. Si al final las unidades no son las correctas, hay un error en la configuración. Por ejemplo, si en el problema del salario hubieras obtenido “minutos/centavo”, sabrías inmediatamente que invertiste una razón.
Aplicación universal: Como vimos, esta técnica es vital en campos tan diversos como:
- Ingeniería y ciencia (evitar desastres como el de la NASA).
- Medicina y enfermería (calcular dosis con precisión, donde un error puede ser fatal).
- Finanzas personales (entender el valor real de un salario o una tasa).
- Cocina (escalar recetas).
- Viajes (convertir divisas, distancias, consumo de combustible).
Del cálculo abstracto al significado concreto: El análisis dimensional transforma números abstractos en cantidades con significado real. No es lo mismo decir “352” que “352 pies recorridos en 4 segundos a 60 mph”. Esta conexión entre el cálculo y su interpretación contextual es el corazón del razonamiento cuantitativo.

Conclusión: El análisis dimensional es más que una técnica de conversión; es un marco de pensamiento disciplinado que organiza problemas, previene errores costosos y ayuda a dar sentido a los números en el mundo real. Dominarlo es una inversión que paga dividendos en cualquier carrera que implique medición, cálculo o toma de decisiones basada en datos.

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3.2: El costo de conducir - Partes 1 y 2

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🔹 INTRODUCCIÓN: EL COSTO DE SER PROPIETARIO

Situación Inicial: Greg es propietario de una propiedad en alquiler en Beaufort, Carolina del Sur. Sus gastos fijos mensuales (hipoteca, seguro, cuotas) suman $1,400. Además, prevé estos gastos de mantenimiento para el próximo año:

Reemplazo de horno: $5,500
Reemplazo de canaletas: $2,500
Paisajismo: $2,000

Pregunta para discusión grupal: ¿Cuál es la renta mínima mensual que Greg debería cobrar el próximo año solo para cubrir todos sus gastos? Discutan sus estrategias.

Solución Conceptual:

\[ \begin{aligned} \text{Gastos anuales totales} &= \text{Gastos fijos anuales} + \text{Gastos de mantenimiento únicos} \\ &= (\$1,400/\text{mes} \times 12 \text{ meses}) + (\$5,500 + \$2,500 + \$2,000) \\ &= \$16,800 + \$10,000 = \$26,800 \end{aligned} \]

\[ \text{Renta mensual mínima} = \frac{\$26,800}{12 \text{ meses}} \approx \$2,233.33 \]

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las unidades se pueden utilizar en el análisis dimensional para configurar cálculos.
La precisión debe basarse en varios factores (tamaño de números, precisión de valores). El redondeo puede producir grandes diferencias en los resultados.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Resolver un problema complejo con múltiples piezas de información y pasos.
Usar análisis dimensional de manera efectiva.
Investigar cómo el cambio de ciertos valores afecta el resultado de un cálculo.

🔹 PARTE 1: SITUACIÓN PROBLEMÁTICA - COSTO DE CONDUCIR

Contexto: Jenna viaja por trabajo. Tiene un Toyota 4Runner 2020, pero puede alquilar un coche. Su empleador le reembolsa $0.655$ por milla (tarifa IRS 2023).

Preguntas iniciales para discusión:

¿Qué necesitas saber para calcular el costo de que Jenna conduzca su propio auto?
- Ejemplos: Consumo de gasolina (mpg), costo del gas, costos de mantenimiento, depreciación, seguro, etc.
¿Qué necesitas saber para calcular el costo de alquilar un auto para Jenna?
- Ejemplos: Tarifa diaria/semanal de alquiler, impuestos, consumo de gasolina del auto alquilado, costo del gas, seguros adicionales, etc.

🔧 DESARROLLO DE HABILIDADES

(3) Comparación de eficiencia de combustible:

Viaje: 240 millas | Precio gasolina: $\$3.50$/galón
Toyota 4Runner: 29 millas/galón
Hyundai Elantra (alquiler): 64 millas/galón

(a) Estimación: El 4Runner usa casi el doble de gasolina por milla que el Elantra. Con el mismo precio de gasolina, el 4Runner costará más.

(b) Cálculo preciso: * 4Runner: $(240 \text{ millas}) \div (29 \text{ mpg}) = 8.28 \text{ galones} \times \$3.50/\text{galón} = \$28.97$ * Elantra: $(240 \text{ millas}) \div (64 \text{ mpg}) = 3.75 \text{ galones} \times \$3.50/\text{galón} = \$13.13$

(4) Costo total de alquilar un auto para un viaje de ida y vuelta:

Distancia ida y vuelta: $193 \text{ millas (ida)} \times 2 = 386 \text{ millas}$
Gasolina necesaria: $386 \text{ millas} \div 40 \text{ mpg} = 9.65 \text{ galones}$
Costo gasolina: $9.65 \text{ galones} \times \$3.50/\text{galón} = \$33.78$
Precio alquiler + impuestos: $\$118.98 + (15.3\% \text{ de } \$118.98) = \$118.98 + \$18.20 = \$137.18$
Costo total viaje: $\$33.78 \text{ (gasolina)} + \$137.18 \text{ (alquiler)} = \$170.96$

(5) Costo total de que Jenna conduzca su propio auto (ida y vuelta):

Distancia: 386 millas
Gasolina necesaria: $386 \text{ millas} \div 18 \text{ mpg} = 21.44 \text{ galones}$
Costo gasolina: $21.44 \text{ galones} \times \$3.50 = \$75.04$

Costos de mantenimiento (proporcionales al viaje): * Mantenimiento general: $(\$45 / 3000 \text{ millas}) \times 386 \text{ millas} = \$5.79$ * Neumáticos: $(\$960 / 50,000 \text{ millas}) \times 386 \text{ millas} = \$7.41$ * Reparaciones: $(\$426 / 15,000 \text{ millas}) \times 386 \text{ millas} = \$10.96$

Costo total propio auto: $\$75.04 + \$5.79 + \$7.41 + \$10.96 = \$99.20$

🔹 PARTE 2: COMPARACIÓN DE COSTOS

(1) Cálculo de ganancias después de gastos (reembolso IRS: $0.655$/milla)

Concepto	Propio auto de Jenna	Coche de alquiler
Costo total para Jenna	$\$99.20$	$\$170.96$
Costo por milla	$\$99.20 \div 386 \text{ millas} = \$0.257/\text{milla}$	$\$170.96 \div 386 = \$0.443/\text{milla}$
Beneficio después de gastos	$(386 \times \$0.655) - \$99.20 = \$252.83 - \$99.20 = \$153.63$	$(386 \times \$0.655) - \$170.96 = \$252.83 - \$170.96 = \$81.87$

Conclusión inicial: A Jenna le resulta más rentable usar su propio auto para este viaje específico.

(2) Análisis de sensibilidad: Alquiler con diferentes precios de gasolina y distancias

Precio gasolina	Distancia (ida+vuelta)	Costo alquiler total	Costo por milla
$\$3.50$	386 millas	$\$170.96$	$\$0.443$
$\$5.00$	386 millas	$\$181.51^{*}$	$\$0.470$
$\$3.50$	772 millas	$\$204.91^{*}$	$\$0.265$
$\$5.00$	772 millas	$\$225.77^{*}$	$\$0.292$

Cálculos estimativos: El costo de alquiler fijo se distribuye en más millas, reduciendo el costo por milla.

(3) Análisis de sensibilidad: Propio auto con diferentes variables

(a) Tabla de costos para propio auto:

Precio gasolina	Distancia (ida+vuelta)	Costo total propio auto	Costo por milla
$\$3.50$	386 millas	$\$99.20$	$\$0.257$
$\$5.00$	386 millas	$\$115.84^{*}$	$\$0.300$
$\$3.50$	772 millas	$\$198.40^{*}$	$\$0.257$
$\$5.00$	772 millas	$\$231.68^{*}$	$\$0.300$

Nota: El costo por milla se mantiene constante para cada precio de gasolina porque los costos variables son proporcionales a las millas.

(b) Ecuación matemática para costo por milla del propio auto:

\[ C = \frac{P}{m} + M + N + R \]

Donde:

$C$ = Costo por milla
$P$ = Precio galón gasolina
$m$ = Millas por galón (18 para 4Runner)
$M$ = Costo mantenimiento por milla $(\$45/3000 = \$0.015)$
$N$ = Costo neumáticos por milla $(\$960/50000 = \$0.0192)$
$R$ = Costo reparaciones por milla $(\$426/15000 = \$0.0284)$

Ecuación simplificada:

\[ C = \frac{P}{18} + 0.015 + 0.0192 + 0.0284 = \frac{P}{18} + 0.0626 \]

(c) Costo para 1,000 millas con gasolina a $\$4.00$:

Costo por milla: $(\$4.00 \div 18) + \$0.0626 = \$0.2222 + \$0.0626 = \$0.2848/\text{milla}$
Costo 1,000 millas: $1,000 \times \$0.2848 = \$284.80$

(4) Recomendación para Jenna:

Querida Jenna,

Basándonos en nuestro análisis, tu decisión entre usar tu propio 4Runner o alquilar un auto depende principalmente de:

Distancia del viaje: Para viajes más largos, el costo fijo del alquiler se distribuye mejor, haciendo el alquiler relativamente más atractivo.
Precio de la gasolina: Tu 4Runner (18 mpg) es más sensible a cambios en el precio del gas que los autos de alquiler típicos (40 mpg).
Factores clave:
- Tu auto: Costos altos de gasolina pero sin tarifa de alquiler fija.
- Auto alquilado: Mejor eficiencia pero con costo fijo de alquiler.

Regla general aproximada: * Para viajes cortos (< 400 millas ida y vuelta): Tu auto suele ser más económico. * Para viajes muy largos: Considera alquilar, especialmente si el precio de la gasolina es alto.

Sugerencia: Usa la ecuación $C = \frac{P}{18} + 0.0626$ para calcular rápidamente tu costo por milla según el precio actual del gas, y compáralo con el costo por milla de alquiler (que incluye tarifa fija dividida entre las millas del viaje).

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Pensamiento sistemático en problemas complejos: La situación de Jenna requiere considerar múltiples componentes (gasolina, mantenimiento, reparaciones, alquiler, impuestos). Organizar la información en tablas y usar análisis dimensional ayuda a manejar esta complejidad sin perderse en los detalles.
Costos fijos vs. variables: La distinción entre costos fijos (tarifa de alquiler) y variables (gasolina por milla) es crucial. Los costos fijos se diluyen con la distancia, cambiando la ecuación costo-beneficio.
Análisis de sensibilidad: No basta con calcular un escenario. Cambiar parámetros clave (precio gasolina, distancia) revela patrones y umbrales de decisión. Esto transforma un cálculo puntual en una herramienta de toma de decisiones robusta.
Modelado matemático para decisiones del mundo real: La ecuación $C = \frac{P}{18} + 0.0626$ es un modelo simplificado pero útil. Captura las relaciones esenciales y permite a Jenna tomar decisiones rápidas e informadas sin recalcular todo cada vez.
La importancia del contexto: El “mejor” option depende del contexto específico (duración del viaje, precios actuales, disponibilidad de autos de alquiler eficientes). Las matemáticas no dan una respuesta única, sino un marco para evaluar opciones en diferentes escenarios.
Aplicaciones más allá del viaje: Este tipo de análisis es útil para muchas decisiones financieras:
- Comprar vs. alquilar una casa
- Usar servicios por suscripción vs. pagar por uso
- Invertir en eficiencia energética vs. pagar costos de energía más altos

Conclusión: Tomar decisiones financieras inteligentes requiere más que aritmética básica. Necesita descomponer problemas complejos, identificar patrones, construir modelos y probar suposiciones bajo diferentes condiciones. Estas habilidades son valiosas tanto para los viajes de negocios de Jenna como para cualquier decisión financiera importante en la vida.

Esta página titulada 3.2: El costo de conducir se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

🔗 Referencias:

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3.3: La casa que necesita reparaciones

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🔹 INTRODUCCIÓN: LONGITUD, ÁREA Y VOLUMEN

Repaso rápido de conceptos:

Longitud: Espacio que ocupa un objeto en una dimensión
Ejemplo: Teclado estándar ≈ 55 cm (22 pulgadas)
Área: Espacio que ocupa un objeto en dos dimensiones
Ejemplo: Mesa de 60 cm × 90 cm → $60 \text{ cm} \times 90 \text{ cm} = 5,400 \text{ cm}^2 = 1.8 \text{ m}^2$
Volumen: Espacio que ocupa un objeto en tres dimensiones
Ejemplo: Caja de 1.5 m × 0.9 m × 0.6 m → $1.5 \text{ m} \times 0.9 \text{ m} \times 0.6 \text{ m} = 0.81 \text{ m}^3$

Contexto: Bob y Carol Mazursky compraron una casa con terreno (lote). Quieren hacer mejoras a su propiedad.

Figura 1: Casa y Terreno
Dibujo a escala donde: 1 cuadrado = 10 pies

![Diagrama esquemático: Lote rectangular con casa en el centro, entrada en esquina inferior izquierda, patio trasero sombreado en la parte derecha]

Preguntas para discusión grupal:

¿Cuáles son las dimensiones del lote?
Basado en la escala: Si el lote mide X cuadrados de ancho × Y cuadrados de largo
Dimensiones reales = X × 10 pies × Y × 10 pies
¿Cuántos pies cuadrados hay en la casa?
Contar cuadrados que ocupa la casa y aplicar escala: $1 \text{ cuadrado} = 100 \text{ pies}^2$
¿Cuál es la longitud del camino de entrada?
Medir en cuadrados y convertir: longitud = (cuadrados) × 10 pies
¿Cuál es el área del lote?
$Área = \text{largo} \times \text{ancho} = (Y \times 10) \times (X \times 10) = 100XY \text{ pies}^2$
¿Qué porcentaje del lote está cubierto por la casa?
$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Área casa}}{\text{Área lote}} \times 100\%$

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las fórmulas se pueden encontrar buscando en Internet y libros de referencia.
Una variable se puede utilizar para representar una incógnita.
Para utilizar una fórmula es necesario saber qué representa cada variable.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Usar fórmulas de geometría y realizar cálculos que involucren tasas y medidas para respaldar decisiones financieras.
Evaluar una expresión matemática.
Usar las unidades apropiadas para longitud, área y volumen.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: MEJORAS EN EL HOGAR

(1) Interpretación de la escala del plano

La escala indica que 1 cuadrado en el dibujo = 10 pies en la realidad.
Esto significa que cada cuadrado representa: * Longitud: 10 pies por lado * Área: $10 \text{ pies} \times 10 \text{ pies} = 100 \text{ pies}^2$

(2) Fertilizar y resembrar el jardín trasero

Datos del anuncio de Gerry’s Green Team: * Semillas de césped: 4 libras por 1,000 pies² a $\$1.25$/libra * Fertilizante: 50 libras por 12,000 pies² a $\$0.50$/libra * Mano de obra: 4 horas a $\$45$/hora

Cálculo del área del patio trasero (basado en Figura 1): Supongamos que el patio trasero ocupa aproximadamente 15 cuadrados × 8 cuadrados

\[ \text{Área patio} = 15 \times 8 \times 100 \text{ pies}^2 = 12,000 \text{ pies}^2 \]

Cálculo de costos:

Semillas: * Cantidad necesaria: $\frac{12,000 \text{ pies}^2}{1,000 \text{ pies}^2} \times 4 \text{ lbs} = 48 \text{ lbs}$ * Costo: $48 \text{ lbs} \times \$1.25/\text{lb} = \$60.00$

Fertilizante: * Cantidad necesaria: $\frac{12,000 \text{ pies}^2}{12,000 \text{ pies}^2} \times 50 \text{ lbs} = 50 \text{ lbs}$ * Costo: $50 \text{ lbs} \times \$0.50/\text{lb} = \$25.00$

Mano de obra: * Tiempo: 4 horas * Costo: $4 \text{ horas} \times \$45/\text{hora} = \$180.00$

Costo total estimado:

\[ \$60.00 + \$25.00 + \$180.00 = \$265.00 \]

Comparación con presupuesto de Gerry ($600):
El presupuesto de Gerry ($600) es más del doble de nuestra estimación ($265). Posibles razones: 1. Gerry incluyó costos adicionales no especificados en el anuncio 2. El área real del patio trasero es mayor de lo estimado 3. Gerry incluyó margen de ganancia o costos de equipo 4. La mano de obra requerida es mayor (medio día ≈ 4 horas, pero podría ser más)

(3) Construcción de patio de concreto (trapezoidal)

Figura 2: Patio trapezoidal junto a la parrilla
Dibujo a escala donde: 1 cuadrado = 1 pie

Dimensiones del trapecio (basadas en figura): * Base mayor ($b_1$): 8 pies * Base menor ($b_2$): 5 pies * Altura ($h$): 4 pies * Profundidad: 5 cm = 0.164 pies (aproximadamente 0.16 pies)

Fórmula del área de un trapecio:

\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2} \]

Cálculo del área:

\[ A = \frac{(8 \text{ pies} + 5 \text{ pies}) \times 4 \text{ pies}}{2} = \frac{13 \times 4}{2} = 26 \text{ pies}^2 \]

Cálculo del volumen de concreto:

\[ V = \text{Área} \times \text{Profundidad} = 26 \text{ pies}^2 \times 0.16 \text{ pies} = 4.16 \text{ pies}^3 \]

Cálculo de bolsas de concreto necesarias: * Cada bolsa rinde: 0.30 pies³ * Bolsas necesarias: $\frac{4.16 \text{ pies}^3}{0.30 \text{ pies}^3/\text{bolsa}} = 13.87 \text{ bolsas}$ * Se necesitan 14 bolsas (siempre redondear hacia arriba)

Costo de materiales: * Costo sin impuesto: $14 \text{ bolsas} \times \$6.50/\text{bolsa} = \$91.00$ * Impuesto (7.5%): $\$91.00 \times 0.075 = \$6.83$ * Costo total: $\$91.00 + \$6.83 = \$97.83$

🔹 FÓRMULAS GEOMÉTRICAS RELEVANTES

Para resolver problemas similares:

Áreas: 1. Rectángulo: $A = l \times w$

Triángulo: $A = \frac{1}{2} \times b \times h$
Trapecio: $A = \frac{(b_1 + b_2) \times h}{2}$
Círculo: $A = \pi \times r^2$

Volúmenes:

Prisma rectangular: $V = l \times w \times h$
Cilindro: $V = \pi \times r^2 \times h$

Conversiones útiles:

$1 \text{ pie} = 12 \text{ pulgadas}$
$1 \text{ pulgada} = 2.54 \text{ cm}$
$1 \text{ pie} = 30.48 \text{ cm}$
$1 \text{ m} = 3.281 \text{ pies}$

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Interpretación de planos a escala: La habilidad de leer e interpretar dibujos a escala es fundamental en construcción, arquitectura y diseño. La escala establece la relación entre las medidas en el papel y las medidas reales.
Aplicación de fórmulas geométricas en contextos reales: Las fórmulas no son solo ejercicios abstractos; se usan para:
- Calcular cantidades de materiales (concreto, semillas, fertilizante)
- Estimar costos de proyectos
- Planificar espacios y distribuciones
Gestión de unidades y conversiones: Es crucial:
- Trabajar con unidades consistentes (todo en pies o todo en metros)
- Convertir adecuadamente entre sistemas (métrico vs. imperial)
- Incluir unidades en todos los cálculos para verificar coherencia
Pensamiento crítico en estimaciones de costos: Cuando un presupuesto (como el de Gerry) difiere significativamente de nuestros cálculos, debemos:
- Revisar nuestras suposiciones y mediciones
- Considerar costos ocultos o no especificados
- Buscar múltiples cotizaciones para comparar
Toma de decisiones basada en cálculos: Los Mazursky pueden usar estos cálculos para:
- Decidir si el presupuesto de Gerry es razonable
- Calcular el retorno de inversión de las mejoras
- Priorizar qué proyectos realizar según su presupuesto
Habilidades transferibles: Estas competencias son aplicables en:
- Proyectos de mejoras del hogar personales
- Profesiones como contratista, arquitecto, paisajista
- Planificación financiera familiar
- Evaluación de propiedades para compra/venta

Conclusión: Las matemáticas geométricas y el cálculo de medidas no son solo ejercicios académicos, sino herramientas prácticas para tomar decisiones informadas sobre propiedades y proyectos de mejora. Dominar estas habilidades permite a los propietarios evitar sobrecostos, planificar efectivamente y entender realmente lo que están pagando en proyectos de construcción y landscaping.

Esta página titulada 3.3: La casa que necesita reparaciones se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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3.4: Desglosando las variables

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: DISTANCIA DE FRENADO

Preguntas para discusión grupal:

¿Se detiene más rápidamente cuando los neumáticos se bloquean y patinan o cuando no lo hacen?
Respuesta: Un vehículo se detiene más rápidamente cuando los neumáticos NO se bloquean, ya que la fricción estática es mayor que la fricción cinética (patinaje). Los sistemas ABS (frenos antibloqueo) están diseñados precisamente para evitar el bloqueo de ruedas.
¿Qué se entiende por “pendiente” de una carretera?
Respuesta: La pendiente es la inclinación de la carretera, expresada como porcentaje. Se calcula como:
\[\text{Pendiente} = \frac{\text{desnivel vertical}}{\text{distancia horizontal}} \times 100\%\]

Notación con subíndices:
En matemáticas, usamos subíndices para distinguir valores relacionados de una misma variable: - $v_0$: velocidad inicial (al tiempo $t=0$) - $v_1$: velocidad después de 1 minuto - $v_2$: velocidad después de 2 minutos

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Una variable es un símbolo que representa una cantidad que puede cambiar.
En un experimento, algunas variables se mantienen fijas para analizar el efecto de cambiar otra variable.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Evaluar una expresión matemática.
Describir informalmente cómo cambia una variable cuando cambia otra.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: DISTANCIA DE FRENADO

Contexto: A 72 km/h (20 m/s), un vehículo recorre 20 metros en solo 1 segundo. Esto muestra la importancia de la conducción defensiva.

(1) Variables que afectan la distancia de frenado: - Velocidad del vehículo - Estado de los frenos - Condición de los neumáticos (presión, dibujo) - Tipo de superficie (asfalto, concreto, grava, hielo) - Condiciones climáticas (lluvia, nieve, hielo) - Pendiente de la carretera (ascendente/descendente) - Peso del vehículo - Tiempo de reacción del conductor

(2) Efecto de la velocidad en la distancia de frenado: Discusión grupal - Preguntas posibles: - ¿Cómo cambia la distancia de frenado si duplicamos la velocidad? - ¿La relación es lineal o exponencial? - ¿A qué velocidad aumenta más rápidamente la distancia de frenado? - ¿Cómo afecta la velocidad inicial al tiempo total de detención?

🔹 FÓRMULA DE DISTANCIA DE FRENADO

Fórmula general:

\[ d = \frac{v_0^2}{2g(f + G)} \]

Variables:

Símbolo	Significado	Unidades
$d$	Distancia de frenado	pies (ft)
$v_0$	Velocidad inicial	pies/segundo (ft/s)
$g$	Aceleración gravitacional	$32.2 \text{ ft/s}^2$
$f$	Coeficiente de fricción	adimensional (0 < f < 1)
$G$	Pendiente de la carretera	adimensional (decimal)

Notas importantes:

$g = 32.2 \text{ ft/s}^2$ es constante
$f ≈ 0.8-0.85$ para neumáticos buenos en pavimento bueno
$G$ positiva para pendiente ascendente, negativa para descendente
Conversión mph → ft/s: $1 \text{ mph} = 1.46667 \text{ ft/s}$

Conversión de unidades (ejemplo 72 mph):

\[ 72 \text{ mph} \times \frac{5280 \text{ ft}}{1 \text{ mi}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 105.6 \text{ ft/s} \]

Ejemplo de cálculo (72 mph, f=0.8, G=0.01):

\[ d = \frac{(105.6)^2}{2 \times 32.2 \times (0.8 + 0.01)} = \frac{11151.36}{2 \times 32.2 \times 0.81} = \frac{11151.36}{52.164} \approx 213.8 \text{ ft} \]

🔹 CÁLCULOS PRÁCTICOS

(3) Cálculo con valores específicos:

Datos:

$v_0 = 120 \text{ mph}$
$f = 0.85$
$G = 0.06$ (pendiente ascendente del 6%)
$g = 32.2 \text{ ft/s}^2$

Paso 1: Convertir 120 mph a ft/s:

\[ 120 \text{ mph} \times 1.46667 \text{ ft·s}^{-1}\text{·mph}^{-1} = 176 \text{ ft/s} \]

Paso 2: Aplicar fórmula:

\[ d = \frac{(176)^2}{2 \times 32.2 \times (0.85 + 0.06)} = \frac{30976}{2 \times 32.2 \times 0.91} \]

\[ d = \frac{30976}{64.4 \times 0.91} = \frac{30976}{58.604} \approx 528.6 \text{ ft} \]

Respuesta: La distancia de frenado es aproximadamente 528.6 pies.

(4) Simplificación de fórmula con valores fijos:

Datos:

$f = 0.8$
$G = 0.05$
$g = 32.2$

Fórmula simplificada:

\[ d = \frac{v_0^2}{2 \times 32.2 \times (0.8 + 0.05)} = \frac{v_0^2}{2 \times 32.2 \times 0.85} \]

\[ d = \frac{v_0^2}{64.4 \times 0.85} = \frac{v_0^2}{54.74} \]

Fórmula final simplificada: $d = \frac{v_0^2}{54.74}$

🔹 INVESTIGACIÓN DE RELACIONES

(5) Verificación de predicciones:

Para verificar la relación entre velocidad y distancia de frenado:

Cálculo tabular: Calcular $d$ para diferentes valores de $v_0$
Gráfica: Graficar $v_0$ vs. $d$
Análisis matemático: Observar que $d$ es proporcional a $v_0^2$

(6) Investigación de preguntas del grupo:

(a) Ejemplo de preguntas:

¿Qué pasa con la distancia de frenado si duplicamos la velocidad?
¿Cómo afecta una pendiente pronunciada a la distancia de frenado?
¿Qué diferencia hay entre frenar en seco vs. mojado?

(b) Estrategias de investigación:

Fijar todas las variables excepto la que se estudia
Crear tabla de valores
Analizar patrones en los resultados
Generalizar conclusiones

(c) Resultados típicos:

La distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad
Duplicar la velocidad cuadruplica la distancia de frenado
Una pendiente ascendente reduce la distancia de frenado
Una pendiente descendente aumenta la distancia de frenado
Reducir la fricción a la mitad duplica la distancia de frenado

🔹 LAS TRES HABILIDADES FUNDAMENTALES

Para trabajar con fórmulas en cualquier campo, necesitas:

Comprensión y uso de variables:
- Incluyendo subíndices para distinguir diferentes valores
- Identificación de constantes vs. variables
Comprensión y aplicación del orden de operaciones:
- PEMDAS: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Adición/Sustracción
- Evaluación correcta de expresiones complejas
Comprensión y uso de unidades:
- Incluyendo análisis dimensional
- Conversión entre sistemas de unidades
- Verificación de consistencia dimensional

Ejemplo de aplicación en la fórmula de frenado:

\[ d = \frac{v_0^2}{2g(f+G)} \]

Análisis dimensional:

$v_0^2$: $(\text{ft/s})^2 = \text{ft}^2/\text{s}^2$
$g$: $\text{ft/s}^2$
$(f+G)$: adimensional
Resultado: $\frac{\text{ft}^2/\text{s}^2}{\text{ft/s}^2} = \text{ft}$ ✓

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

El concepto de variable: Una variable no es solo una “letra” en matemáticas, sino una herramienta poderosa para representar cantidades que cambian. En la fórmula de frenado, cada variable representa un factor físico real que afecta la seguridad vial.
Control de variables en experimentación: Para entender cómo una variable afecta a otra (como velocidad → distancia de frenado), debemos mantener constantes otras variables relevantes. Este es un principio fundamental del método científico aplicado a problemas matemáticos.
Relaciones cuadráticas en el mundo real: La relación $d ∝ v_0^2$ es crucial:
- A 30 mph: $d ≈ 45$ pies
- A 60 mph: $d ≈ 180$ pies (¡4 veces más!)
- A 90 mph: $d ≈ 405$ pies (¡9 veces más que a 30 mph!)
Importancia de las unidades y conversiones:
- Las fórmulas físicas requieren consistencia de unidades
- La conversión incorrecta puede llevar a errores graves
- El análisis dimensional es una herramienta de verificación esencial
Aplicaciones prácticas de las fórmulas:
- Diseño de carreteras: Determinación de distancias de visibilidad
- Ingeniería automotriz: Diseño de sistemas de frenos
- Educación vial: Concientización sobre velocidad y seguridad
- Investigación de accidentes: Reconstrucción de eventos
Pensamiento crítico con fórmulas:
- No solo “insertar números”, sino entender qué representa cada término
- Preguntarse “¿esto tiene sentido?” (ej: ¿528 pies para frenar desde 120 mph?)
- Considerar limitaciones de la fórmula (condiciones ideales vs. reales)

Conclusión: Las fórmulas matemáticas son más que expresiones abstractas; son modelos del mundo real que nos permiten predecir, analizar y tomar decisiones informadas. Dominar el uso de variables, el orden de operaciones y el manejo de unidades nos da la capacidad de aplicar matemáticas a problemas complejos en múltiples disciplinas, desde la ingeniería hasta la seguridad vial.

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3.5: Comparando manzanas con manzanas

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: EL PROBLEMA DE LOS PICTOGRAMAS

Discusión grupal sobre dos pelotas de baloncesto:
Una pequeña (≈1.5 cm) y una grande (≈3 cm)

Perspectivas de comparación:

Diámetro/Altura: La grande es aproximadamente el doble que la pequeña
Área/Proyección 2D: La grande tiene aproximadamente 4 veces el área
Volumen/Masa 3D: La grande tiene aproximadamente 8 veces el volumen
Percepción visual: Depende de a qué aspecto prestemos atención

Problema fundamental: Diferentes personas interpretarán las imágenes de manera distinta, lo que puede llevar a malentendidos significativos en la comunicación de datos.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Los pictogramas pueden ser engañosos porque las áreas y volúmenes de las figuras no aumentan proporcionalmente a las cantidades que representan.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Resolver escenarios de análisis dimensional con múltiples factores de conversión.
Analizar representaciones erróneas en gráficos relacionadas con área y volumen.
Evaluar fórmulas y usar los resultados para tomar decisiones.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: IMPORTACIONES DE ZUMO DE MANZANA

(1) Análisis de un pictograma engañoso:

Datos del gráfico:

2001: 318.3 millones de galones → manzana de 32 mm de altura
2021: 565.3 millones de galones → manzana de 55 mm de altura

(a) Impresión visual inicial:

Al observar solo el gráfico: Las importaciones parecen haber crecido mucho porque la manzana grande se ve significativamente mayor que la pequeña.

(b) Cálculos matemáticos precisos:

Concepto	2001 (32 mm)	2021 (55 mm)	Cambio relativo
Altura	32 mm	55 mm	$\frac{55-32}{32} \times 100\% = 71.9\%$
Área ($A = \pi r^2$)	$\pi(16)^2 = 804.2 \text{ mm}^2$	$\pi(27.5)^2 = 2375.8 \text{ mm}^2$	$\frac{2375.8-804.2}{804.2} \times 100\% = 195.5\%$
Volumen ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$)	$\frac{4}{3}\pi(16)^3 = 17157.3 \text{ mm}^3$	$\frac{4}{3}\pi(27.5)^3 = 87026.5 \text{ mm}^3$	$\frac{87026.5-17157.3}{17157.3} \times 100\% = 407.2\%$

Nota: Radio = altura/2 = 16 mm (2001) y 27.5 mm (2021)

(c) Aumento real de importaciones:

\[ \text{Aumento porcentual} = \frac{565.3 - 318.3}{318.3} \times 100\% = \frac{247.0}{318.3} \times 100\% = 77.6\% \]

(d) ¿Qué interpretación es más precisa?

Aumento real: 77.6%
Altura: 71.9% (la más cercana, error del 7%)
Área: 195.5% (sobreestima por 152%)
Volumen: 407.2% (sobreestima por 424%)

Conclusión: La altura es la interpretación que más se aproxima al cambio real, pero aún así tiene error.

(e) Mejores prácticas para gráficos:

Usar gráficos de barras con escala proporcional
Si se usan pictogramas, mantener el mismo tamaño y variar la cantidad
Incluir valores numéricos explícitos
Asegurar que la escala visual corresponda a la escala numérica

🔹 ANÁLISIS DE COSTOS LABORALES

(2) Cálculo de costos de recolección:

Datos proporcionados:

China: $0.28/hora = $2/día
EE.UU. (Pensilvania): $9-10/hora
EE.UU. (Washington): $14/hora
36 manzanas → 1 galón de jugo
126 manzanas → 1 bushel
12.5 bushels/hora (recolector experimentado)

Cálculo paso a paso:

Paso 1: Manzanas por hora:

\[ 12.5 \text{ bushels/hora} \times 126 \text{ manzanas/bushel} = 1575 \text{ manzanas/hora} \]

Paso 2: Galones por hora:

\[ \frac{1575 \text{ manzanas/hora}}{36 \text{ manzanas/galón}} = 43.75 \text{ galones/hora} \]

Paso 3: Costo por galón:

China:

\[ \frac{\$0.28/\text{hora}}{43.75 \text{ galones/hora}} = \$0.0064/\text{galón} \approx 0.64 \text{ centavos/galón} \]

EE.UU. (Pensilvania, promedio $9.50/hora):

\[ \frac{\$9.50/\text{hora}}{43.75 \text{ galones/hora}} = \$0.217/\text{galón} \]

EE.UU. (Washington, $14/hora):

\[ \frac{\$14.00/\text{hora}}{43.75 \text{ galones/hora}} = \$0.32/\text{galón} \]

Comparación de costos:

China: $0.0064/galón
Pensilvania: $0.217/galón (≈ 34 veces más caro)
Washington: $0.32/galón (≈ 50 veces más caro)

🔹 ARGUMENTACIÓN BASADA EN DATOS

(3) Opciones de argumentación:

(a) Argumento contra importaciones excesivas:

“El aumento del 77.6% en las importaciones de jugo de manzana entre 2001 y 2021 representa una dependencia preocupante de fuentes extranjeras. Considerando que el consumo total solo aumentó un 29.8% (de 505.6 a 656.1 millones de galones), las importaciones están desplazando desproporcionadamente a los productores nacionales. Esto amenaza la seguridad alimentaria estadounidense y los medios de vida de los agricultores locales, especialmente cuando los pictogramas engañosos minimizan visualmente la magnitud real de este cambio.”

(b) Argumento a favor de las importaciones:

“Importar jugo de manzana es económicamente racional cuando el costo de recolección en China es aproximadamente 34-50 veces menor que en EE.UU. ($0.0064 vs $0.217-$0.32 por galón). Esto hace que el jugo sea más accesible para consumidores de bajos ingresos. Además, las importaciones complementan la producción nacional durante temporadas de baja cosecha, estabilizan precios y permiten a los agricultores estadounidenses enfocarse en productos de mayor valor añadido como manzanas frescas orgánicas.”

🔹 APLICACIÓN ADICIONAL

(4) Nuevo gráfico con porcentaje del consumo total:

Cálculos necesarios:

Consumo total 2001: 505.6 millones de galones
Consumo total 2021: 656.1 millones de galones

Porcentaje importado:

2001: $\frac{318.3}{505.6} \times 100\% = 63.0\%$
2021: $\frac{565.3}{656.1} \times 100\% = 86.2\%$

Aumento en participación de mercado:

\[ 86.2\% - 63.0\% = 23.2\% \text{ puntos porcentuales} \]

Recomendación para gráfico:

Eje vertical: “Porcentaje del consumo total”
Escala: 0% a 100%
Representación: Barras de ancho constante con alturas proporcionales
Alternativa pictograma: Usar manzanas del mismo tamaño en filas:
- 2001: 63 manzanas de cada 100 sombreadas
- 2021: 86 manzanas de cada 100 sombreadas

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

La ilusión óptica de los pictogramas: Cuando escalamos objetos en dos o tres dimensiones para representar cambios en una dimensión (cantidad), creamos distorsiones perceptuales. Un aumento del 77.6% en cantidad puede parecer un aumento del 195.5% en área o 407.2% en volumen.
Escalas lineales vs. cuadráticas vs. cúbicas:
- Lineal (1D): $y = kx$
- Cuadrática (2D): $y = kx^2$
- Cúbica (3D): $y = kx^3$
Esta es la razón matemática por la cual los pictogramas son tan engañosos: nuestro cerebro tiende a interpretar el tamaño total del objeto, no solo su altura.
Ética en la visualización de datos: Los creadores de gráficos tienen la responsabilidad de representar datos con precisión. Los pictogramas, aunque visualmente atractivos, pueden ser inherentemente engañosos y deberían usarse con precaución o evitarse en contextos donde la precisión cuantitativa es importante.
Análisis dimensional en economía: La comparación de costos laborales internacionales requiere conversiones cuidadosas entre unidades (horas, bushels, manzanas, galones). El análisis dimensional garantiza que las comparaciones sean válidas y significativas.
Interpretación crítica de medios: Los ciudadanos necesitan alfabetización estadística para:
- Reconocer gráficos engañosos
- Calcular porcentajes y cambios reales
- Distinguir entre cambio absoluto y relativo
- Entender la diferencia entre cifras brutas y proporciones
Toma de decisiones informada: Los datos cuantitativos (como la diferencia de 34-50x en costos laborales) deben equilibrarse con consideraciones cualitativas (seguridad alimentaria, impacto en agricultores locales, estándares de calidad). Las matemáticas proporcionan la base para el debate, pero no dictan automáticamente la decisión “correcta”.

Conclusión: Comparar “manzanas con manzanas” requiere más que una simple observación visual. Exige pensamiento crítico, análisis matemático riguroso y conciencia de las limitaciones de las representaciones visuales. En un mundo saturado de datos e infografías, estas habilidades son esenciales para ser un consumidor informado de información y un tomador de decisiones efectivo.

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3.6: Equilibrio del alcohol en la sangre

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🔹 INTRODUCCIÓN: OPERACIONES INVERSAS

Discusión sobre cómo las operaciones se cancelan entre sí:

A medida que cursas matemáticas más avanzadas, verás más operaciones que se presentan en pares inversos. Lo que una operación hace, la otra lo deshace.

Operaciones inversas clave:

Suma y resta
Multiplicación y división

Ejemplo con suma/resta:

Elige un número: $25$
Suma 10: $25 + 10 = 35$
Resta 10: $35 - 10 = 25$

✅ Resultado: Volvemos al número original

Esto funciona siempre:

$50 + 2 - 2 = 50$

$-20 - 76 + 76 = -20$

$x + 2 - 2 = x$

$-60R - 91 + 91 = -60R$

Ejemplo con multiplicación/división:

Elige un número: $80$
Multiplica por 20: $80 \times 20 = 1.600$
Divide entre 20: $1600 \div 20 = 80$

✅ Resultado: Volvemos al número original

Esto funciona siempre:

$50 \times 10 \div 10 = 50$

$T \times 25,81 \div 25,81 = T$

$-7 \div 8 \times 8 = -7$

$25 \times y \div 25 = y$

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La suma y la resta son operaciones inversas.
La multiplicación y la división son operaciones inversas.
Resolver una variable incluye aislarla “deshaciendo” las acciones realizadas sobre ella.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Resolver una variable en una ecuación lineal.
Escribir explícitamente el orden de las operaciones para evaluar una ecuación dada.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: CÁLCULO DEL CONTENIDO DE ALCOHOL EN SANGRE

Conceptos básicos del BAC:

BAC 0.3% = 3 gramos de alcohol por cada 1000 gramos de sangre
BAC 0.05% = Afecta razonamiento y concentración
BAC 0.30% = Dificultad respiratoria, desmayos
Límite legal (mayoría de estados): 0.08%

Fórmula de Widmark:

La fórmula desarrollada por el médico sueco EMP Widmark para estimar BAC:

\[ B = \frac{5.14N}{Wr} - 0.015t \]

Variables de la fórmula:

Variable	Descripción	Valores típicos
$B$	Porcentaje de BAC (en decimal)	Ej: 0.08 para 0.08%
$N$	Número de bebidas estándar	≥ 1
$W$	Peso en libras	-
$r$	Tasa de distribución	0.68 (hombres), 0.55 (mujeres)
$t$	Horas desde primera bebida	-

Bebida estándar: 12 oz cerveza, 5 oz vino, o 1.5 oz licor

(1) Análisis de la fórmula:

¿Por qué los elementos $(t, N, W \text{ y } r)$ tienen sentido para calcular el BAC?

(2) Caso específico - simplificación:

Escenario: Estudiante que bebe 3 cervezas y pesa 54 kilos (≈119 libras)

Simplifica la ecuación al máximo para este caso:

$N = 3$
$W = 119$ lbs
Asumir $r = 0.68$ (hombre)

\[ B = \frac{5.14 \times 3}{119 \times 0.68} - 0.015t \]

Calcula valores y redondea a milésimas:

Numerador: $5.14 \times 3 = 15.42$

Denominador: $119 \times 0.68 = 80.92$

Primer término: $15.42 ÷ 80.92 = 0.1906... ≈ 0.191$

Ecuación simplificada:

\[ B = 0.191 - 0.015t \]

Variables desconocidas: $t$ (tiempo en horas)

(3) Cálculos de BAC a diferentes tiempos:

(a) Usando $B = 0.191 - 0.015t$:

Tiempo ($t$)	Cálculo	BAC ($B$)
1 hora	$0.191 - 0.015(1)$	$0.176$
3 horas	$0.191 - 0.015(3)$	$0.146$
5 horas	$0.191 - 0.015(5)$	$0.116$

(b) Patrón observado: El BAC disminuye linealmente con el tiempo, aproximadamente 0.015 por hora.

(4) Proceso matemático - discusión grupal:

¿Cómo obtuvimos los valores de BAC? ¿Qué operaciones hicimos primero?

Pasos seguidos:

Multiplicación en el numerador: $5.14 \times 3 = 15.42$
Multiplicación en el denominador: $119 \times 0.68 = 80.92$
División: $15.42 ÷ 80.92 = 0.191$
Multiplicación: $0.015 \times t$
Resta: $0.191 - 0.015t$

(5) Tiempos críticos:

(a) Cuando $BAC = 0.08$:

\[ 0.08 = 0.191 - 0.015t \]

\[ 0.015t = 0.191 - 0.08 = 0.111 \]

\[ t = \frac{0.111}{0.015} = 7.4 \text{ horas} \]

(b) Cuando $BAC = 0.0$:

\[ 0.0 = 0.191 - 0.015t \]

\[ 0.015t = 0.191 \] \[ t = \frac{0.191}{0.015} = 12.7 \text{ horas} \]

Resultados redondeados a 1 decimal:

BAC = 0.08: $t = 7.4$ horas
BAC = 0.0: $t = 12.7$ horas

(6) Caso: Estudiante de 110 lbs que se va en 2 horas:

Fórmula simplificada: $B = \frac{0.447N}{110} - 0.03$

(a) Comparación de BAC:

$N = 1$: $B = \frac{0.447(1)}{110} - 0.03 = 0.004064 - 0.03 = -0.0259 ≈ 0.000$

Nota: Valores negativos se redondean a 0
$N = 3$: $B = \frac{0.447(3)}{110} - 0.03 = \frac{1.341}{110} - 0.03 = 0.01219 - 0.03 = -0.0178 ≈ 0.000$

(b) Bebidas para mantener BAC < 0.08:

\[ \frac{0.447N}{110} - 0.03 < 0.08 \]

\[ \frac{0.447N}{110} < 0.11 \]

\[ 0.447N < 12.1 \]

\[ N < \frac{12.1}{0.447} ≈ 27.07 \]

Considerando solo resultados no negativos: \[ \frac{0.447N}{110} - 0.03 ≥ 0 \]

\[ 0.447N ≥ 3.3 \]

\[ N ≥ 7.38 \]

Rango posible: $7 ≤ N < 27$

Redondeando al trago más cercano: Máximo 26 bebidas (aunque esto es solo matemáticamente, no recomendado en la realidad)

🔹 APLICACIÓN ADICIONAL

(7) Resolución de ecuaciones lineales:

Ecuación: $y = -4x - 2$

(a) Resuelve $y$ si $x = -3$:

Pasos:

Sustituir: $y = -4(-3) - 2$
Multiplicar: $y = 12 - 2$
Restar: $y = 10$

(b) Resuelve $x$ si $y = -3$:

Pasos: 1. Sustituir: $-3 = -4x - 2$ 2. Sumar 2 a ambos lados: $-1 = -4x$ 3. Dividir entre -4: $x = \frac{-1}{-4} = 0.25$

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Operaciones inversas en la vida real: La fórmula de Widmark demuestra cómo operaciones matemáticas básicas (multiplicación, división, suma, resta) modelan procesos fisiológicos complejos como la metabolización del alcohol.
Modelado lineal: La relación entre BAC y tiempo es aproximadamente lineal ($B = a - bt$), lo que simplifica cálculos pero tiene limitaciones en casos extremos.
Interpretación contextual de resultados:
- Valores negativos de BAC no tienen sentido fisiológico (se interpretan como 0)
- Las simplificaciones matemáticas deben contrastarse con la realidad biológica
- El redondeo afecta decisiones importantes (como tiempos de conducción segura)
Proceso de despeje de variables:
- Para aislar una variable, aplicamos operaciones inversas en orden contrario al PEMDAS
- Cada paso debe mantener la igualdad de la ecuación
Limitaciones del modelo:
- Asume metabolismo constante (0.015 por hora)
- No considera diferencias individuales en metabolismo
- Asume consumo instantáneo de todas las bebidas
- Factores como comida, hidratación y fatiga no se incluyen
Aplicación ética de las matemáticas:
- Los cálculos de BAC tienen consecuencias legales y de seguridad
- La precisión matemática es crucial para decisiones personales y forenses
- Los modelos simplificados deben usarse con comprensión de sus limitaciones
Pensamiento crítico con fórmulas:
- Siempre verificar si las unidades son consistentes
- Considerar el rango válido de variables (ej: BAC no puede ser negativo)
- Evaluar si los resultados son razonables en contexto

Conclusión: Las matemáticas proporcionan herramientas poderosas para modelar fenómenos del mundo real como la metabolización del alcohol. Sin embargo, la aplicación responsable requiere entender tanto las capacidades como las limitaciones de estos modelos, y siempre considerar el contexto más amplio de seguridad y salud.

Esta página titulada 3.6: Equilibrio del alcohol en sangre se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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3.7: Un retorno al razonamiento proporcional

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: EL TRATAMIENTO DE COMBUSTIBLE LUCAS

Producto: Tratamiento de Combustible Lucas

Para: Motores de gasolina y diésel

Beneficios clave:

✅ Excelente producto de afinación en una botella
✅ Limpia y lubrica el sistema de combustible
✅ Neutraliza problemas de combustible con bajo contenido de azufre
✅ Aumenta potencia y consumo de combustible
✅ Aumenta vida útil de bombas e inyectores

Modo de empleo:

Dosis recomendada: 2 a 3 onzas por cada 10 galones de combustible

Aplicación: Verter directamente en el tanque de combustible

📝 Actividad grupal inicial:

Usando la información anterior, respondan:

¿Cuál es la dosis recomendada por cada 50 galones de combustible?
¿Cuál es la dosis recomendada por cada 37 galones de combustible?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las relaciones proporcionales se basan en una relación constante.
Las reglas para resolver ecuaciones se pueden aplicar en situaciones desconocidas.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Establecer una proporción en función de una situación contextual.
Resolver una proporción utilizando métodos algebraicos.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: PROPORCIONES EN LA OBRA DE ARTE

Contexto profesional:

Muchos profesionales (artistas gráficos, arquitectos, ingenieros) trabajan con objetos ampliados o reducidos, donde es crucial mantener la misma apariencia a pesar del cambio de tamaño.

Ejemplo: El logotipo de una empresa debe verse igual en: - Una valla publicitaria (muy grande) - Una taza de café (pequeño)

Ejemplo ilustrativo: Cambios dimensionales de una imagen

Imagen original: - Ancho: 1.9 pulgadas - Altura: 1 pulgada - Relación ancho:alto: $1.9:1$

Escenario 1: Solo cambia el ancho

Nuevo ancho: 2.45 pulgadas
Altura: 1 pulgada (igual)
Relación: $2.45:1$ → NO proporcional

Escenario 2: Cambian ambos, sin proporcionalidad

Nuevo ancho: 2.2 pulgadas
Nueva altura: 1.19 pulgadas
Relación: $2.2:1.19 ≈ 1.85:1$ → NO proporcional

Escenario 3: Cambian ambos, manteniendo proporcionalidad

Nuevo ancho: 2.55 pulgadas
Nueva altura: 1.29 pulgadas
Relación: $2.55:1.29 ≈ 1.98:1$ → SÍ proporcional (≈ $1.9:1$)

(1) Análisis de cambios dimensionales:

Dimensiones originales: - Ancho: 1.9 pulgadas - Altura: 1 pulgada

Cambio	Ancho	Altura	¿Es proporcional?	Razón
Cambio 1	7.45	1	❌ No	$7.45:1 ≠ 1.9:1$
Cambio 2	4	1.19	❌ No	$4:1.19 ≈ 3.36:1$
Cambio 3	0.95	0.5	✅ Sí	$0.95:0.5 = 1.9:1$

Método para verificar proporcionalidad: - Calcular la razón ancho:alto de cada cambio - Comparar con la razón original ($1.9:1$ o $1.9/1 = 1.9$) - Si las razones son iguales → proporcional - Si son diferentes → no proporcional

(2) Problema práctico: Valla publicitaria

Escenario: Eres artista gráfico contratado para crear una valla publicitaria.

Logotipo original: - Ancho: 5.8 cm - Largo: 8.5 cm

Requerimiento: Ampliar para que tenga largo = 1.8 metros (180 cm)

Proporción a establecer: \[ \frac{\text{Ancho original}}{\text{Largo original}} = \frac{\text{Ancho nuevo}}{\text{Largo nuevo}} \]

Sustituyendo valores:

\[ \frac{5.8}{8.5} = \frac{x}{180} \]

(3) Diferentes formas de escribir proporciones:

La proporción $\frac{5.8}{8.5} = \frac{x}{180}$ puede escribirse como:

Forma de fracción: $\frac{5.8}{8.5} = \frac{x}{180}$
Forma de razón: $5.8:8.5 = x:180$
Forma cruzada: $5.8 \times 180 = 8.5 \times x$
Forma recíproca: $\frac{8.5}{5.8} = \frac{180}{x}$

Todas son equivalentes matemáticamente.

(4) Pasos para resolver la proporción:

Dada: $\frac{5.8}{8.5} = \frac{x}{180}$

Pasos de solución: 1. Multiplicación cruzada: $5.8 \times 180 = 8.5 \times x$ 2. Simplificar: $1044 = 8.5x$ 3. Dividir ambos lados entre 8.5: $x = \frac{1044}{8.5}$ 4. Calcular: $x ≈ 122.8235...$ 5. Redondear a décimas: $x ≈ 122.8$ cm

(5) Solución del problema (2):

Respuesta: El ancho de la versión ampliada será aproximadamente 122.8 cm o 1.23 metros.

(6) Resolver otra proporción:

Ecuación: $\frac{7.2}{4.5} = \frac{x}{9.8}$

Pasos: 1. Multiplicación cruzada: $7.2 \times 9.8 = 4.5 \times x$ 2. Calcular: $70.56 = 4.5x$ 3. Dividir: $x = \frac{70.56}{4.5}$ 4. Resultado: $x = 15.68$ 5. Redondeado a décimas: 15.7

(7) Aplicación: Mezcla de gasolina y aceite

Problema: Motor requiere 20 onzas de aceite para 5 galones de gasolina. ¿Cuánto aceite para 8 galones?

Proporción:

\[ \frac{20 \text{ oz}}{5 \text{ gal}} = \frac{x \text{ oz}}{8 \text{ gal}} \]

Solución:

Multiplicación cruzada: $20 \times 8 = 5 \times x$
Simplificar: $160 = 5x$
Dividir: $x = \frac{160}{5} = 32$

Respuesta: Se necesitan 32 onzas de aceite para 8 galones de gasolina.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto de proporcionalidad:
- Dos cantidades son directamente proporcionales si su razón permanece constante.
- Matemáticamente: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ o $a:b = c:d$
- La constante de proporcionalidad ($k$) conecta las variables: $y = kx$
Verificación de proporcionalidad:
- Método 1: Comparar razones $\frac{a}{b}$ vs $\frac{c}{d}$
- Método 2: Verificar productos cruzados $a \times d = b \times c$
- Método 3: Graficar y verificar si pasa por el origen con línea recta
Aplicaciones en el mundo real:
- Arte y diseño: Escalado de imágenes, logotipos, planos
- Automoción: Mezclas de combustible, dosificación de aditivos
- Cocina: Ajuste de recetas para diferentes porciones
- Finanzas: Tasas de cambio, porcentajes, impuestos

Resolución sistemática de proporciones:

1. Identificar las dos razones relacionadas
2. Establecer la proporción: a/b = c/d
3. Aplicar multiplicación cruzada: a×d = b×c
4. Despejar la variable desconocida
5. Verificar la solución en contexto

Errores comunes a evitar:
- Invertir las razones incorrectamente
- No mantener unidades consistentes (ej: cm vs metros)
- Olvidar simplificar fracciones antes de calcular
- Asumir proporcionalidad donde no existe
Pensamiento proporcional avanzado:
- Distinguir entre proporcionalidad directa e inversa
- Reconocer situaciones no proporcionales (con constantes aditivas)
- Aplicar razonamiento escalar en múltiples dimensiones (área vs longitud)
Importancia en la toma de decisiones:
- Permite predecir resultados basados en relaciones conocidas
- Facilita ajustes precisos en procesos de manufactura
- Ayuda en estimaciones realistas de costos y recursos
- Es fundamental para interpretar correctamente gráficos y estadísticas

Conclusión: El razonamiento proporcional es una herramienta matemática fundamental que trasciende el aula, aplicándose en innumerables contextos profesionales y personales. Desarrollar una comprensión sólida de las proporciones no solo mejora nuestras habilidades matemáticas, sino que también nos capacita para tomar decisiones más informadas y resolver problemas complejos en la vida diaria.

*Esta página titulada 3.7: Un retorno al razonamiento proporcional se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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3.8: Resolver más ecuaciones

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: NUEVAS OPERACIONES INVERSAS

Repaso de operaciones inversas: - Suma ↔︎ Resta - Multiplicación ↔︎ División

Nuevos pares de operaciones inversas: - Elevar al cuadrado ↔︎ Sacar raíz cuadrada - Elevar al cubo ↔︎ Sacar raíz cúbica

Ejemplo con cuadrados:

Elige un número: $11$
Eleva al cuadrado: $11^2 = 121$
Saca raíz cuadrada: $\sqrt{121} = 11$ ✅ Resultado: Volvemos al número original

Funciona siempre: $\sqrt{71^2} = 71$, $\sqrt{x^2} = x$ (para $x ≥ 0$)

Ejemplo con cubos:

Elige un número: $8$
Eleva al cubo: $8^3 = 512$
Saca raíz cúbica: $\sqrt[3]{512} = 8$ ✅ Resultado: Volvemos al número original

Funciona siempre: $\sqrt[3]{87.5^3} = 87.5$, $\sqrt[3]{T^3} = T$

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Para resolver cualquier ecuación, se deben seguir las reglas básicas de deshacer operaciones y mantener la ecuación equilibrada.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Resolver ecuaciones lineales que requieran simplificación previa.
Resolver una variable en una ecuación lineal en términos de otra variable.
Resolver una variable en una ecuación cuadrática de un solo término.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE DIFERENTES FORMAS

Los modelos matemáticos representan situaciones reales. Usarlos completamente implica resolver diversas incógnitas.

(1) Análisis de costos de transporte:

Escenario: Paula tiene dos opciones para ir a la universidad: compartir coche o tomar el autobús.

Modelo de costo compartido:

\[ C = \frac{1}{2}(0.082m + 0.22m + 25) \]

donde:

$C$ = costo semanal (en dólares)
$m$ = millas totales recorridas semanalmente

(a) ¿Qué representa el $\frac{1}{2}$?

Representa que Paula paga la mitad de los costos totales del coche.

(b) Análisis de términos:

$0.082m$ = costo de mantenimiento por $m$ millas
$0.22m$ = costo de gasolina por $m$ millas
$25$ = tarifa fija de estacionamiento semanal

(c) Combinar términos semejantes: \[ 0.082m + 0.22m = 0.302m \]

Nueva fórmula simplificada:

\[ C = \frac{1}{2}(0.302m + 25) \]

(d) Cálculo para caso específico: - Distancia por trayecto: 7 millas - Viajes por semana: 3 veces - Millas totales semanales: $m = 7 \times 3 \times 2 = 42$ millas (ida y vuelta)

Cálculo:

\[ C = \frac{1}{2}(0.302 \times 42 + 25) = \frac{1}{2}(12.684 + 25) = \frac{1}{2}(37.684) = 18.842 \]

Redondeado al centavo: $18.84

(e) Comparación con pase de autobús: Pase de autobús: $22.00 Igualamos costos: $\frac{1}{2}(0.302m + 25) = 22$

Resolución:

$0.302m + 25 = 44$
$0.302m = 19$
$m = \frac{19}{0.302} ≈ 62.91$ millas

Respuesta: Paula debe recorrer 62.91 millas semanales para que los costos sean iguales.

(f) Viajes para que autobús sea más barato: Condición: $C > 22$ (coche compartido más caro) Resolución:

$\frac{1}{2}(0.302m + 25) > 22$
$0.302m + 25 > 44$
$0.302m > 19$
$m > 62.91$ millas

Convertir a viajes:

Millas por viaje ida y vuelta: $7 \times 2 = 14$ millas
Viajes necesarios: $\frac{62.91}{14} ≈ 4.49$ viajes

Interpretación: Si Paula hace 5 o más viajes por semana, el autobús es más barato.

(2) Ecuación de Widmark - Aplicación forense:

Fórmula simplificada para hombre de 86 kg (≈189.6 lbs):

\[ B = 0.031N - 0.015t \]

donde:

$B$ = nivel de alcohol en sangre (BAC)
$N$ = número de bebidas estándar
$t$ = horas desde la primera bebida

(a) Cálculo de bebidas con valores conocidos: - $B = 0.09$ - $t = 2$ horas

Sustitución: $0.09 = 0.031N - 0.015(2)$ Resolución: 1. $0.09 = 0.031N - 0.03$ 2. $0.12 = 0.031N$ 3. $N = \frac{0.12}{0.031} ≈ 3.87$

Redondeado a bebida entera: 4 bebidas

(b) Reorganizar fórmula para despejar N:

Partiendo de: $B = 0.031N - 0.015t$ 1. Sumar $0.015t$ a ambos lados: $B + 0.015t = 0.031N$ 2. Dividir entre $0.031$: $N = \frac{B + 0.015t}{0.031}$

Fórmula reorganizada:

\[ N = \frac{B + 0.015t}{0.031} \]

(c) Uso de nueva fórmula: - $B = 0.17$ - $t = 1.5$ horas

Cálculo:

\[ N = \frac{0.17 + 0.015(1.5)}{0.031} = \frac{0.17 + 0.0225}{0.031} = \frac{0.1925}{0.031} ≈ 6.21 \]

Redondeado a bebida entera: 6 bebidas

(3) Diseño de logotipo para organización:

Descripción: Logotipo con tres cuadrados idénticos dispuestos de manera escalonada.

(a) Ecuación para área total: - Sea $s$ = longitud del lado de un cuadrado (en metros) - Área de un cuadrado: $s^2$ - Área total: $A = 3s^2$

Ecuación: $A = 3s^2$

(b) Cálculo del tamaño con material disponible: - Material donado: 140 metros cuadrados de tela - Área total disponible: $A = 140$ m²

Resolución de ecuación cuadrática:

$140 = 3s^2$
$s^2 = \frac{140}{3} ≈ 46.6667$
$s = \sqrt{46.6667} ≈ 6.83$

Redondeado a dos decimales: Cada lado debe medir 6.83 metros.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Jerarquía de operaciones inversas:
- Nivel 1: Suma/Resta (operaciones lineales básicas)
- Nivel 2: Multiplicación/División (operaciones escalares)
- Nivel 3: Cuadrado/Raíz cuadrada (operaciones cuadráticas)
- Nivel 4: Cubo/Raíz cúbica (operaciones cúbicas)
- Cada nivel requiere deshacer en orden inverso al aplicado originalmente.
Estrategias sistemáticas para resolver ecuaciones:

PASO 1: Simplificar ambos lados • Combinar términos semejantes • Aplicar propiedades distributivas

PASO 2: Aislar la variable • Usar operaciones inversas apropiadas • Mantener equilibrio (hacer lo mismo en ambos lados)

PASO 3: Resolver completamente • Realizar cálculos finales • Redondear según contexto

PASO 4: Verificar solución • Sustituir en ecuación original • Confirmar razonabilidad en contexto
Traducción de situaciones reales a ecuaciones:
- Identificar variables clave y sus relaciones
- Distinguir entre variables dependientes e independientes
- Convertir descripciones verbales en expresiones matemáticas usando palabras clave:
  - “Suma”, “más que” → $+$
  - “Diferencia”, “menos que” → $-$
  - “Producto”, “veces” → $\times$
  - “Cociente”, “dividido por” → $\div$
  - “Es”, “equivale a” → $=$
Aplicación de diferentes tipos de ecuaciones:
- Ecuaciones lineales: Modelan relaciones proporcionales directas (costos por milla, BAC)
- Ecuaciones cuadráticas: Relacionan dimensiones lineales con áreas (diseño de logotipos)
- Fórmulas reorganizadas: Permiten resolver para diferentes variables según necesidad
Validación contextual de soluciones:
- Unidades de medida: Verificar consistencia (millas vs. kilómetros, horas vs. minutos)
- Rango razonable: Número de bebidas debe ser entero positivo, BAC no puede ser negativo
- Interpretación práctica: “4.49 viajes” se interpreta como “5 o más viajes”
- Limitaciones del modelo: La fórmula de Widmark es una estimación, no considera diferencias individuales
Pensamiento algebraico avanzado:
- Despejar variables en fórmulas: Habilidad esencial para ciencia e ingeniería
- Trabajar con fórmulas literales: Manipular ecuaciones con múltiples variables
- Elegir métodos apropiados: Lineales vs. cuadráticas requieren diferentes estrategias
- Simplificación inteligente: Combinar términos semejantes reduce complejidad
Transferencia a otros contextos:
- Toma de decisiones personales: Comparar costos de transporte, consumo responsable
- Aplicaciones forenses: Reconstrucción de eventos basada en evidencia científica
- Diseño y planificación: Cálculo de materiales, dimensionamiento de proyectos
- Análisis financiero: Presupuestos, comparación de opciones económicas

Conclusión: Resolver ecuaciones es más que un ejercicio algebraico abstracto; es una herramienta esencial para modelar y entender el mundo real. Al dominar diferentes tipos de ecuaciones y técnicas de resolución, desarrollamos la capacidad de tomar decisiones informadas, resolver problemas prácticos y analizar críticamente información cuantitativa en diversos contextos profesionales y personales. La clave está en comprender las relaciones subyacentes, aplicar métodos sistemáticos y validar soluciones dentro de su contexto específico.

Esta página titulada 3.8: Resolver más ecuaciones se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.1: Alineación

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: CHECK-IN RÁPIDO

Por favor discuta con su grupo: 1. ¿En qué concepto específico de Preparación 4.1 te sientes bastante seguro? 2. ¿Hay algún concepto de Preparación 4.1 que te resulte desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

En esta colaboración aprenderás que:

Los modelos lineales (ecuaciones lineales en contexto) son útiles para examinar situaciones de la vida real.
Un modelo es una descripción matemática de una situación real.

Practicarás el uso de cuatro representaciones para expresar modelos lineales:

Representación verbal
Representación tabular
Representación gráfica
Representación algebraica

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: PLANES DE DATOS

Opciones disponibles: - Precios por GB: Tarifa mensual de $20 + $10 por GB (sin prorrateo) - Datos ilimitados: $60 por mes

(1) Discusión inicial:

¿Qué plan crees que es más económico y por qué? - Tómate un minuto para pensarlo individualmente - Luego comparte tus ideas con el grupo

(2) Construcción de modelos lineales:

(a) Modelo para plan por GB ($P$):

GB utilizados ($g$)	Costo	Ecuación
0	20	$P = 20$
1	30	$P = 20 + 10$
2	40	$P = 20 + 2(10)$
3	50	$P = 20 + 3(10)$
4	60	$P = 20 + 4(10)$
5	70	$P = 20 + 5(10)$
10	120	$P = 20 + 10(10)$
$g$	$20 + 10g$	$P = 20 + 10g$

(b) Modelo para plan ilimitado ($U$):

GB utilizados ($g$)	Costo	Ecuación
0	60	$U = 60$
1	60	$U = 60$
2	60	$U = 60$
10	60	$U = 60$
$g$	60	$U = 60$

(c) Tabla comparativa de costos:

$g$ (GB)	$P$ (Precio por GB)	$U$ (Ilimitado)
0	$20	$60
1	$30	$60
2	$40	$60
3	$50	$60
4	$60	$60
5	$70	$60
6	$80	$60
7	$90	$60
8	$100	$60

(d) ¿Cuándo es $P$ menos costoso? ✅ Opción (i): Cuando se utilizan menos de 4 GB

(e) ¿Cuándo es $U$ menos costoso? ✅ Opción (iii): Cuando se utilizan más de 4 GB Nota: A 4 GB exactos, ambos planes cuestan $60

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: LATTE DIARIO

Escenario: - Tarjeta de café precargada con $60 - Latte pequeño de soya cuesta $3.28 - Mes laboral: aproximadamente 22 días

(3) Estimación inicial:

¿Alcanzará el dinero hasta fin de mes comprando un latte diario? - Reflexiona individualmente antes de compartir

(4) Análisis detallado:

(a) Tabla de valores:

Lattes ($n$)	Cantidad restante ($A$)
0	60.00
1	56.72
2	53.44
3	50.16
4	46.88
10	27.20
15	10.80
20	-5.60

(b) Gráfico de la relación: - Eje horizontal: Número de cafés comprados ($n$) - Eje vertical: Dinero restante en tarjeta ($A$) - Características: Línea recta con pendiente negativa

(c) Modelo lineal:

\[ A = 60 - 3.28n \]

donde:

$A$ = dinero restante en la tarjeta
$n$ = cantidad de lattes comprados
60 = valor inicial (intersección vertical)
-3.28 = tasa de cambio (pendiente)

(d) Respuestas a preguntas:

(i) ¿La tarjeta durará todo el mes?

No. Para 22 días ($n=22$): $A = 60 - 3.28×22 = 60 - 72.16 = -12.16$

(ii) ¿Cuánto dinero queda al final del mes? No aplica (la tarjeta se agota antes)

(iii) ¿Cuántos días durará?

Resolver: $60 - 3.28n = 0$
$3.28n = 60$
$n = 60 ÷ 3.28 ≈ 18.29$
Respuesta: Aproximadamente 18 días

🔹 VOCABULARIO CLAVE DE MODELOS LINEALES

Conceptos fundamentales:

1. Tasa de cambio constante:

Definición: Característica que define una relación lineal
Observación: Se ve en tablas (cambios iguales) y gráficas (línea recta)
Ejemplo en latte diario: Cada latte reduce $A$ en $3.28

2. Pendiente ($m$):

Definición: Razón que describe la tasa de cambio
Interpretación gráfica: $\text{pendiente} = \frac{\text{elevación}}{\text{recorrido}}$
Relación con modelo: Se multiplica por la variable independiente
Ejemplo en plan por GB: Pendiente = $10 ($/GB)

3. Intersecciones:

Intersección con el eje vertical ($b$): - También llamado valor inicial - Punto donde la gráfica toca el eje vertical ($x=0$) - Ejemplo en latte diario: $b=60$ (dinero inicial)

Intersección horizontal: - Punto donde la gráfica interseca el eje horizontal ($y=0$) - Ejemplo en latte diario: $n≈18.29$ (días hasta agotar tarjeta)

4. Modelo lineal general:

\[ A = mt + b \]

donde:

$A$ = cantidad en cualquier instante $t$
$m$ = tasa de cambio constante (pendiente)
$b$ = cantidad inicial (intersección vertical)

🔹 APLICACIÓN DE CONCEPTOS

(5) Análisis del modelo “Latte Diario”:

(a) Tasa de cambio: - Valor: $-3.28$ dólares por latte - Significado contextual: Cada café reduce el saldo de la tarjeta en $3.28 - Unidades: Dólares/latte

(b) Intersección vertical: - Valor: $60 - Significado contextual: Saldo inicial de la tarjeta después de recargarla - Unidades: Dólares

(c) Intersección horizontal: - ¿Existe? Sí - Valor: $n ≈ 18.29$ lattes - Significado contextual: Cantidad máxima de cafés que se pueden comprar antes de agotar la tarjeta - Interpretación práctica: La tarjeta dura aproximadamente 18 días si se compra un latte diario

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Modelización de situaciones reales:
- Las relaciones lineales son herramientas poderosas para modelar situaciones cotidianas
- Cuatro representaciones (verbal, tabular, gráfica, algebraica) proporcionan diferentes perspectivas del mismo modelo
- La elección de representación depende del propósito: análisis detallado (tabla), tendencias (gráfico), cálculo (ecuación)
Interpretación contextual de parámetros:
- Pendiente ($m$): Representa la tasa de cambio en contexto (costo por GB, costo por latte)
- Intersección vertical ($b$): Representa el valor inicial (tarifa fija, saldo inicial)
- Signos importantes: Pendiente negativa indica disminución (gasto), positiva indica aumento (costo acumulativo)
Toma de decisiones basada en modelos:
- Punto de equilibrio: Donde dos opciones tienen el mismo costo (4 GB en planes de datos)
- Análisis de escenarios: Comparar opciones para diferentes niveles de uso
- Proyecciones: Predecir resultados futuros (días hasta agotar tarjeta)
Limitaciones de modelos lineales:
- Asumen tasa de cambio constante que puede no mantenerse indefinidamente
- Pueden no considerar descuentos por volumen o límites máximos
- En contextos reales, pueden necesitar ajustes para factores adicionales
Habilidades de pensamiento matemático desarrolladas:
- Traducción: Convertir descripciones verbales a expresiones algebraicas
- Generalización: Crear fórmulas generales a partir de casos específicos
- Interpretación: Extraer significado contextual de parámetros matemáticos
- Predicción: Usar modelos para anticipar resultados
Aplicaciones en diversos campos:
- Finanzas personales: Presupuestos, comparación de planes de servicio
- Negocios: Análisis de costos, fijación de precios
- Ciencias: Modelos de crecimiento/decaimiento
- Ingeniería: Relaciones proporcionales en diseño

Conclusión: Los modelos lineales proporcionan un marco estructurado para analizar y tomar decisiones en situaciones de la vida real. Al dominar la construcción e interpretación de estos modelos, desarrollamos no solo habilidades matemáticas, sino también capacidad de pensamiento crítico para evaluar opciones, predecir resultados y optimizar recursos en contextos personales y profesionales.

*Esta página titulada 4.1: Alineación se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.2: Comparación del cambio

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: CHECK-IN RÁPIDO

Por favor discuta con su grupo:

¿En qué concepto específico de la Unidad 4.1 te sientes bastante seguro?
¿Hay algún concepto de la Unidad 4.1 que te resulte desafiante?

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender:

Que los modelos lineales son apropiados cuando la situación tiene una tasa constante de aumento/disminución, o puede aproximarse mediante una.
Que la tasa de cambio (pendiente) tiene unidades en contexto.
La diferencia entre una pendiente positiva y una pendiente negativa.
Que los modelos lineales para situaciones reales tienen limitaciones al usarlos para hacer predicciones.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Realizar un modelo lineal cuando se dan datos o información en contexto.
Calcular una pendiente dados datos o información en contexto.
Estimar el valor que hace que dos modelos lineales sean equivalentes.

🔹 MODELOS LINEALES Y ESTIMACIÓN

En esta colaboración, construiremos modelos lineales para estimar el consumo de refrescos y café a lo largo del tiempo. Aunque nuestros modelos no serán totalmente precisos para cada año, proporcionarán estimaciones aproximadas que nos permitirán ver cómo han evolucionado estas tendencias.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: CONSUMO DE CAFÉ Y REFRESCOS

Contexto y Datos:

En los últimos 70 años, el consumo per cápita de café y refrescos en EE.UU. ha cambiado drásticamente.

Datos clave (1950 vs. 2020):

Producto	Consumo en 1950 (gal/persona)	Consumo en 2020 (gal/persona)
Café (C)	38.0	27.6
Refrescos (S)	10.8	43.0

Suposición del modelo: Asumimos que el cambio en el consumo es lineal (tasa de cambio constante).

(1) Cálculo de las pendientes (tasa de cambio):

La pendiente se calcula como el cambio en la cantidad dividido por el cambio en el tiempo.

Para el Café:

$\text{Pendiente} = \frac{27.6 - 38.0}{2020 - 1950} = \frac{-10.4}{70} \approx -0.15$

Interpretación: El consumo de café disminuyó, en promedio, 0.15 galones por persona cada año.
Para los Refrescos:

$\text{Pendiente} = \frac{43.0 - 10.8}{70} = \frac{32.2}{70} \approx 0.46$

Interpretación: El consumo de refrescos aumentó, en promedio, 0.46 galones por persona cada año.

(2) Definición de la variable tiempo:

Sea el tiempo ($t$) cero en el año 1950. Por lo tanto:

$t = 0$ en 1950.

$t = 70$ en 2020 (porque $2020 - 1950 = 70$ años).

(3) Estimación del consumo en 1985:

1985 corresponde a $t = 1985 - 1950 = 35$ años. Usando la pendiente del café y el punto inicial:

$\text{Consumo en 1985} = \text{Consumo inicial} + (\text{pendiente} \times t)$

$C = 38.0 + (-0.15 \times 35) = 38.0 - 5.25 = 32.75$

Respuesta: Aproximadamente 32.8 galones por persona.

(4) Construcción de los modelos lineales:

Usamos la forma general: $y = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es el valor inicial (intersección vertical en $t=0$).

Modelo para el Café ($C$): $C = -0.15t + 38.0$
Modelo para los Refrescos ($S$): $S = 0.46t + 10.8$

(5) Tabla de consumos estimados (1950-2020):

Los valores se calcularon con los modelos de la pregunta (4) y se redondearon a un decimal.

Año calendario	$t$ (años desde 1950)	Café (gal/persona)	Refrescos (gal/persona)
1950	0	38.0	10.8
1960	10	36.5	15.4
1970	20	35.0	20.0
1980	30	33.5	24.6
1990	40	32.0	29.2
2000	50	30.5	33.8
2011	61	29.0	38.4
2020	70	27.6	43.0

Nota: Se ajustó ligeramente 2010 a 2011 (t=61) para reflejar mejor el punto de cruce del gráfico.

(6) y (7) Análisis gráfico e interpretación:

Gráfico:

Eje horizontal ($x$): Años desde 1950 ($t$).
Eje vertical ($y$): Consumo per cápita en galones.
Se grafican las dos líneas rectas: $C(t)$ (decreciente) y $S(t)$ (creciente).

Interpretación del punto de cruce:

Observando la tabla, se ve que el consumo de refrescos superó al de café entre $t=50$ (año 2000) y $t=61$ (año 2011). La gráfica permite estimar visualmente que el punto de intersección (donde $C = S$) ocurrió aproximadamente entre $t=44$ y $t=46$ (es decir, entre 1994 y 1996).

(8) Significado de los puntos iniciales:

(a) En contexto:

Para $C$ en $t=0$: Representa el consumo inicial de café en 1950: 38.0 gal/persona.
Para $S$ en $t=0$: Representa el consumo inicial de refrescos en 1950: 10.8 gal/persona.

(b) En términos matemáticos:

Estos puntos son las intersecciones con el eje vertical (eje y) de cada gráfica. En la ecuación $y = b_0 + b_1 x$, el valor $b_0$ (cuando $x=0$) es precisamente esta intersección.

(9) Cálculo algebraico del punto de igualdad:

Para encontrar el momento exacto en que $C = S$, igualamos los modelos:

$-0.15t + 38.0 = 0.46t + 10.8$

$38.0 - 10.8 = 0.46t + 0.15t$

$27.2 = 0.61t$

$t = 27.2 / 0.61 \approx 44.59$ años

Interpretación: * Tiempo: $t \approx 44.6$ años después de 1950, es decir, a mediados de 1994.

Consumo: Sustituyendo $t$ en cualquier modelo (usamos el del café):

$C = -0.15 \times 44.59 + 38.0 \approx 31.31$ gal/persona.

Respuesta: El consumo fue igual alrededor de 1994, con aproximadamente 31.3 galones por persona de cada bebida.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: DISTANCIA DE FRENADO

(10) Análisis de datos de velocidad vs. distancia de frenado:

Tabla de datos proporcionada:

Velocidad (mph)	Distancia de frenado (pies)
5	0.98
15	8.84
20	15.72
30	35.37
50	98.24

(a) Cálculo de pendientes entre puntos consecutivos:

Fórmula: $\text{Pendiente} = \frac{\text{Cambio en distancia}}{\text{Cambio en velocidad}}$

Intervalo (mph)	Cálculo de la pendiente	Valor (pies/mph)
5 a 15	$(8.84 - 0.98) / (15 - 5) = 7.86 / 10$	0.786
15 a 20	$(15.72 - 8.84) / (20 - 15) = 6.88 / 5$	1.376
20 a 30	$(35.37 - 15.72) / (30 - 20) = 19.65 / 10$	1.965
30 a 50	$(98.24 - 35.37) / (50 - 30) = 62.87 / 20$	3.144

(b) ¿Es una relación lineal?

No, no es lineal. En una relación lineal verdadera, la pendiente es constante. Aquí, las pendientes aumentan (0.786, 1.376, 1.965, 3.144), lo que indica que la distancia de frenado aumenta a un ritmo cada vez mayor por cada mph adicional de velocidad.

(c) Mejor explicación del significado de la primera pendiente:

✅ Opción (ii): “En promedio, a velocidades entre 5 y 15 millas por hora, la distancia de frenado aumenta 0.786 pies por cada aumento de 1 milla por hora en la velocidad.” Es correcta porque la pendiente calculada es una tasa de cambio promedio en ese intervalo específico.

(d) y (e) Predicción para velocidades altas (50-70 mph):

✅ Opción (iii): “La distancia de frenado entre 50 y 70 mph aumentará en más de 3.144 pies por milla.”

Explicación: Dado que las pendientes han ido en aumento constante (cada vez son mayores), la tendencia indica que para un intervalo de velocidad mayor (de 50 a 70 mph), la tasa de aumento será aún mayor que la última calculada (3.144 pies por mph).

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Modelo Lineal como Aproximación Útil:
- Los modelos lineales asumen un cambio uniforme en el tiempo (ej: consumo que baja/sube lo mismo cada año).
- Son una simplificación poderosa para analizar tendencias generales y hacer estimaciones, incluso cuando sabemos que la realidad puede ser más compleja.
Pendiente con Significado Real:
- La pendiente no es solo un número. Sus unidades (ej: galones/año, pies/mph) le dan un significado concreto en el contexto del problema.
- Describe cuánto cambia la variable de interés por cada unidad de cambio en la variable de entrada (tiempo, velocidad, etc.).
El Signo de la Pendiente como Indicador de Dirección:
- Pendiente Negativa (café: -0.15): Indica que la cantidad disminuye con el tiempo.
- Pendiente Positiva (refrescos: +0.46): Indica que la cantidad aumenta con el tiempo.
- El signo nos dice inmediatamente la dirección de la tendencia.
Limitaciones Inherentes de los Modelos Simples:
- Un modelo basado en datos de 1950-2020 puede no predecir con exactitud el consumo en 2050. Las tasas de cambio en la vida real no suelen mantenerse constantes para siempre.
- Es fundamental reconocer estos límites para no hacer extrapolaciones más allá de lo razonable.
El Punto de Intersección como Herramienta de Decisión:
- El valor que hace que dos modelos sean equivalentes ($C = S$) se encuentra igualando las ecuaciones y resolviendo algebraicamente.
- Este punto (de equilibrio, cruce o igualdad) es clave para entender cuándo una tendencia supera a otra, permitiendo análisis comparativos y toma de decisiones.
Identificación de Comportamiento No Lineal:
- Como se vio en la distancia de frenado, cuando la pendiente no es constante, la relación no es lineal.
- Calcular pendientes en diferentes intervalos es una forma efectiva de detectar este comportamiento y evitar aplicar un modelo lineal donde no corresponde.

Conclusión: La comparación de cambios a través de modelos lineales nos equipa con un marco analítico para interpretar tendencias del mundo real, desde hábitos de consumo hasta seguridad vial. La clave reside en construir el modelo correctamente, interpretar sus parámetros en contexto, reconocer sus limitaciones y saber cuándo el supuesto de linealidad deja de ser válido. Estas habilidades son fundamentales para el pensamiento cuantitativo crítico en cualquier disciplina.

Esta página titulada 4.2: Comparación del cambio se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.3: Eso está suficientemente cerca

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🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las ecuaciones lineales pueden aproximar datos que son casi lineales, proporcionando un modelo útil para análisis y proyecciones.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Encontrar la ecuación de una recta que estime datos casi lineales, calculando la tasa de cambio y estimando la intersección vertical.
Utilizar modelos lineales aproximados para hacer interpolaciones (estimar valores entre datos) y extrapolaciones (predecir valores más allá de los datos).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: ESPERANZA DE VIDA Y EQUIDAD EN LA SEGURIDAD SOCIAL

Problema Central: Examinar si aumentar la edad de jubilación a 75 años tendría un impacto desigual en diferentes grupos demográficos de EE.UU., considerando sus distintas esperanzas de vida.

Metodología: Usaremos datos del CDC para crear modelos lineales aproximados de la esperanza de vida al nacer de dos grupos. Los datos rara vez son perfectamente lineales, pero si muestran una tendencia definida, un modelo lineal puede dar buenas estimaciones.

Nota: En los gráficos, el eje horizontal ($y$) representa “años transcurridos desde 1900”, no el año calendario directamente.

(1) Modelo para Hombres Afroamericanos:

Descripción del Gráfico: Muestra un aumento general en la esperanza de vida ($L$) a lo largo del siglo XX y principios del XXI.

Proceso para crear el modelo lineal $b = L - m*y$:

Seleccionar dos puntos representativos de la tendencia en el gráfico. Por ejemplo:
- Punto A (aproximado): Año 1920 ($y=20$), Esperanza de vida $L ≈ 45$ años.
- Punto B (aproximado): Año 2010 ($y=110$), Esperanza de vida $L ≈ 70$ años.
Calcular la pendiente (m) - Tasa de cambio anual:

$m = \frac{\text{Cambio en } L}{\text{Cambio en } y} = \frac{70 - 45}{110 - 20} = \frac{25}{90} \approx 0.28$

años de esperanza de vida ganados por cada año transcurrido desde 1900.
Estimar la intersección ($b$) - Esperanza de vida cuando $y = 0$ (año 1900). Usando el punto A y la fórmula $b = L - m*y$:

$b = 45 - (0.28 * 20) = 45 - 5.6 = 39.4$
Ecuación del Modelo Lineal Aproximado:

\[ L \approx 0.28y + 39.4 \]

Donde L es la esperanza de vida al nacer e y son los años transcurridos desde 1900.

(2) Proyección para Jubilación a los 75 años (Hombres Afroamericanos):

Pregunta A: ¿En qué año ($y$) el modelo predice $L=75$?

Plantear la ecuación: $75 = 0.28y + 39.4$
Despejar $y$: $0.28y = 75 - 39.4 = 35.6$
Calcular: $y = 35.6 / 0.28 \approx 127.1$
Interpretar: y ≈ 127 corresponde al año $1900 + 127 = 2027$.

Pregunta B: Si un bebé nace en ese año y la edad de jubilación es 75, ¿cuándo empezaría a cobrar?

Año de inicio de beneficios: $2027 + 75 = 2102$.

Conclusión Parcial: Según este modelo, los hombres afroamericanos nacidos alrededor de 2027 tendrían una esperanza de vida igual a la nueva edad de jubilación propuesta (75 años). Quienes vivan más allá de esa edad comenzarían a recibir beneficios a partir de 2102.

(3) Modelo y Proyecciones para Mujeres Blancas:

(a) Encontrar el Modelo Lineal:

Descripción del Gráfico: Muestra una esperanza de vida inicial más alta y un crecimiento sostenido.

Proceso (similar al anterior):

Seleccionar puntos. Por ejemplo:
- Punto C (≈1950, y=50): L ≈ 72
- Punto D (≈2010, y=110): L ≈ 80
Calcular pendiente: $m = \frac{80 - 72}{110 - 50} = \frac{8}{60} \approx 0.133$
Estimar intersección (usando punto C): $b = 72 - (0.133 * 50) = 72 - 6.65 = 65.35$
Ecuación del Modelo Aproximado:

\[ L \approx 0.133y + 65.35 \]

(b) Proyección para Jubilación a los 75 años (Mujeres Blancas):

Pregunta: ¿Cuándo L = 75?

$75 = 0.133y + 65.35$
$0.133y = 9.65$
$y = 9.65 / 0.133 \approx 72.6$
Año correspondiente: $1900 + 72.6 \approx 1973$

Interpretación: Según el modelo, las mujeres blancas nacidas alrededor de 1973 ya tenían una esperanza de vida al nacer de aproximadamente 75 años. Si la edad de jubilación se hubiera elevado a 75 para esa cohorte, habrían comenzado a recibir beneficios alrededor de 2048 (1973 + 75).

(c) Proyección para Esperanza de Vida de 90 años:

Pregunta: ¿Cuándo L = 90? 1. $90 = 0.133y + 65.35$ 2. $0.133y = 24.65$ 3. $y = 24.65 / 0.133 \approx 185.3$ 4. Año correspondiente: $1900 + 185.3 \approx 2085$

Interpretación: El modelo predice que las mujeres blancas nacidas alrededor de 2085 podrían tener una esperanza de vida al nacer de 90 años.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas Matemáticas Importantes de la Discusión:

Idea Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Aproximación Lineal de Tendencias	Los datos del mundo real rara vez son perfectos, pero si muestran una tendencia general recta, un modelo lineal (`y = mx + b`) ofrece una herramienta poderosa y simple para describirla, analizarla y proyectarla.
Interpolación y Extrapolación	Interpolar es usar el modelo para estimar valores entre puntos de datos conocidos. Extrapolar es usarlo para predecir valores más allá del rango de datos. La extrapolación es más riesgosa porque asume que la tendencia lineal continúa indefinidamente.
La Pendiente como Tasa de Cambio en Contexto	La pendiente (`m`) en estos modelos no es abstracta. Representa cuántos años de esperanza de vida (`L`) se ganan, en promedio, por cada año calendario (`y`) que pasa. Comparar pendientes (0.28 vs. 0.133) muestra que la mejora ha sido históricamente más rápida para los hombres afroamericanos, aunque partían de un nivel mucho más bajo.
La Intersección como Línea de Base	La intersección vertical (`b`) estima la esperanza de vida en el punto de referencia (año 1900 en este caso). Refleja las desigualdades históricas profundas en salud y condiciones de vida.
Limitaciones de los Modelos Simples	1. Supuesto de Linealidad: La esperanza de vida no puede aumentar para siempre de forma lineal; encontrará límites biológicos y sociales. 2. Agregación de Datos: Un modelo para un grupo “promedio” oculta variaciones internas (por región, nivel socioeconómico, etc.). 3. Precisión de la Extrapolación: Las proyecciones a largo plazo (ej: año 2102) son especulativas y deben interpretarse con mucha cautela.
Matemáticas para el Análisis de Políticas Públicas	Este ejercicio muestra cómo las herramientas matemáticas básicas (calcular una pendiente, escribir una ecuación) pueden iluminar cuestiones de equidad y justicia social. El análisis numérico revela que un cambio de política aparentemente neutro (subir la edad de jubilación a 75) tendría consecuencias temporales muy diferentes según el grupo demográfico, afectando primero y durante más tiempo a algunos grupos.

Conclusión: Un modelo lineal es una aproximación útil que nos permite trabajar con datos complejos del mundo real para identificar tendencias y explorar escenarios. Sin embargo, su verdadero valor no está en la precisión absoluta de sus predicciones a largo plazo, sino en la capacidad de estructurar un problema, cuantificar diferencias y hacer visible el impacto potencial de las decisiones – en este caso, evidenciando cómo una reforma de la Seguridad Social podría exacerbar o mitigar desigualdades existentes basadas en la esperanza de vida.

Esta página titulada 4.3: Eso está suficientemente cerca se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.4: El costo de los negocios

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🔹 INTRODUCCIÓN: SOBREPRECIOS Y REBAJAS EN EL MUNDO REAL

Conceptos clave:

Margen (sobreprecio): Cantidad que se añade al precio de costo original de un artículo, generalmente expresado como porcentaje.
Rebaja (descuento): Cantidad que se resta del precio de venta original, generalmente expresado como porcentaje.

Ejemplo contextual: Amazon Prime en Whole Foods

Amazon ofrece a los miembros Prime un 10% de descuento en productos seleccionados de Whole Foods.

Problema introductorio:

Cliente no Prime gasta: $250 en productos con etiqueta “Oferta para Miembros Prime”
Pregunta: ¿Cuánto pagaría un miembro Prime por la misma compra?

Dos formas de calcular el descuento:

Calcular el descuento y restarlo:

Descuento = $250 × 10% = $250 × 0.10 = $25

Precio final = $250 - $25 = $225
Calcular directamente el porcentaje a pagar:

Miembro Prime paga el 90% del precio (100% - 10% = 90%)

Precio final = $250 × 90% = $250 × 0.90 = $225

Conclusiones del análisis grupal:

Ambas fórmulas son matemáticamente equivalentes
La segunda forma es más eficiente para cálculos directos
En hojas de cálculo, esta eficiencia es crítica para procesar grandes volúmenes de datos

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Usar el álgebra para generalizar cálculos con porcentajes es una herramienta valiosa y eficiente, especialmente en contextos empresariales y de hojas de cálculo.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Escribir o interpretar una expresión algebraica que modele un aumento o disminución porcentual.
Utilizar expresiones y ecuaciones para resolver problemas contextuales sobre cambios porcentuales en precios.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: ESCRIBIR FÓRMULAS CON PORCENTAJES

(1) Análisis de fórmulas de Paula y Eduardo:

(a) Comparación de fórmulas:

Fórmula de Paula: B2 + 0.65*B2
Fórmula de Eduardo: B2*1.65
Verificación de equivalencia:

B2 + 0.65*B2 = 1*B2 + 0.65*B2 = (1 + 0.65)*B2 = 1.65*B2
Conclusión: ✅ Ambas fórmulas SON equivalentes

(b) Cálculo de precios con margen del 65%:

Artículo	Costo (B)	Precio de venta (C)	Cálculo
Camiseta mujer	$8.79	$14.50	$8.79 × 1.65 = $14.5035 ≈ $14.50
Camiseta hombre	$10.13	$16.71	$10.13 × 1.65 = $16.7145 ≈ $16.71
Camiseta joven	$6.59	$10.87	$6.59 × 1.65 = $10.8735 ≈ $10.87
Falda	$23.45	$38.69	$23.45 × 1.65 = $38.6925 ≈ $38.69
Vestido	$35.67	$58.86	$35.67 × 1.65 = $58.8555 ≈ $58.86

🔹 AJUSTE DE PRECIOS: SEIS MESES DESPUÉS

(2) Descuentos del 15%:

(a) Estimación de precios en oferta:

Estrategia: Redondear precios al dólar más cercano y calcular mentalmente el 15%
Camiseta mujer ($15): 10% = $1.50, 5% = $0.75, total 15% ≈ $2.25 → Precio estimado ≈ $12.75
Camiseta hombre ($17): 10% = $1.70, 5% = $0.85, total 15% ≈ $2.55 → Precio estimado ≈ $14.45
Camiseta joven ($11): 10% = $1.10, 5% = $0.55, total 15% ≈ $1.65 → Precio estimado ≈ $9.35
Falda ($39): 10% = $3.90, 5% = $1.95, total 15% ≈ $5.85 → Precio estimado ≈ $33.15
Vestido ($59): 10% = $5.90, 5% = $2.95, total 15% ≈ $8.85 → Precio estimado ≈ $50.15

(b) Fórmulas para calcular precio con descuento:

Para celda D2 (precio de oferta camiseta mujer):

=C2 - 0.15*C2
=C2*0.85
=ROUND(C2*0.85, 2) (redondeado a centavos)
=ROUND(C2*0.85, 0) (redondeado a dólares)

(c) Doble descuento del 15% vs. descuento del 30%:

Análisis:

Primer descuento del 15%: Nuevo precio = Precio original × 0.85
Segundo descuento del 15%: Precio final = (Precio original × 0.85) × 0.85 = Precio original × 0.7225
Descuento único del 30%: Precio final = Precio original × 0.70

Ejemplo con falda de $39:

Dos descuentos del 15%: $39 × 0.7225 = $28.18
Un descuento del 30%: $39 × 0.70 = $27.30

Conclusión: ✅ Paula tiene razón. Dos descuentos sucesivos del 15% NO equivalen a un descuento del 30%. El precio final es diferente porque el segundo descuento se aplica sobre un precio ya reducido.

🔹 CÁLCULO CON IMPUESTOS

(3) Ajuste de precios para incluir impuestos:

Situación: Impuesto sobre ventas = 7.5%

Objetivo: Fijar precio de venta para que el total después de impuestos sea una cantidad entera (redondeada al dólar superior).

(a) Cálculo de precios antes de impuestos:

Fórmula general: Precio_antes_impuestos = Precio_deseado / (1 + tasa_impuesto)

Artículo	Precio deseado (después de impuestos)	Precio antes de impuestos	Cálculo
Camiseta mujer	$17.00	$15.81	$17.00 ÷ 1.075 = $15.81395 ≈ $15.81
Camiseta hombre	$19.00	$17.67	$19.00 ÷ 1.075 = $17.67442 ≈ $17.67
Camiseta joven	$12.00	$11.16	$12.00 ÷ 1.075 = $11.16279 ≈ $11.16
Falda	$42.00	$39.07	$42.00 ÷ 1.075 = $39.06977 ≈ $39.07
Vestido	$64.00	$59.53	$64.00 ÷ 1.075 = $59.53488 ≈ $59.53

(b) Fórmula para celda B2 (precio antes de impuestos):

=C2/1.075 o =C2/(1+0.075)

🔹 PRÁCTICA CON EXPRESIONES PORCENTUALES

(4) Relacionar expresiones con descripciones:

Respuestas correctas:

Expresión (Columna A)	Descripción (Columna B)	Explicación
`x + 0.45x`	a) aumentar x en un 45%	Equivale a `1.45x`
`0.45x`	No aparece	Es el 45% de x, no un aumento
`x - 0.55x`	f) disminuir x en un 55%	Equivale a `0.45x` (queda el 45%)
`1.45x`	a) aumentar x en un 45%	Multiplicador directo
`3.45x`	e) aumentar x en 345%	Aumento de 245% sobre el 100% original
`2.45x`	d) aumentar x en un 245%	Aumento de 145% sobre el 100% original
`x + 0.55x`	b) aumentar x en un 55%	Equivale a `1.55x`
`x - 0.45x`	g) disminuir x en un 45%	Equivale a `0.55x` (queda el 55%)
`0.55x`	f) disminuir x en un 55%	Es el resultado de disminuir x en 55%

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(5) Presupuesto con ajuste por inflación:

Situación: Subvención trienal con aumento del 2.5% anual por inflación.

Estructura de la hoja de cálculo:

A1: “Artículo” B1: “Año 1” C1: “Año 2” D1: “Año 3” A2: “Salarios” B2: $120,000 C2: [fórmula] D2: [fórmula] A3: “Beneficios” B3: $21,600 C3: [fórmula] D3: [fórmula] A4: “Seguro” B4: $10,000 C4: [fórmula] D4: [fórmula] A5: “Materiales” B5: $6,000 C5: [fórmula] D5: [fórmula]

(a) Fórmula para salarios del Año 2 (celda C2):

=B2 * 1.025 o =B2 + B2*0.025

(b) Fórmula para salarios del Año 3 (celda D2):

=C2 * 1.025 o =B2 * 1.025^2

Cálculos completos:

Concepto	Año 1	Año 2 (Año 1 × 1.025)	Año 3 (Año 2 × 1.025)
Salarios	$120,000	$123,000	$126,075
Beneficios	$21,600	$22,140	$22,693.50
Seguro	$10,000	$10,250	$10,506.25
Materiales	$6,000	$6,150	$6,303.75

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Generalización algebraica de operaciones con porcentajes:
- Aumento del p%: Precio_final = Precio_inicial × (1 + p/100)
- Disminución del d%: Precio_final = Precio_inicial × (1 - d/100)
- Estas fórmulas simplifican drásticamente los cálculos repetitivos
Propiedad distributiva en contexto empresarial:
- B2 + 0.65*B2 = B2*(1 + 0.65) = B2*1.65
- Esta transformación demuestra la potencia del álgebra para optimizar procesos
Composición de porcentajes NO es aditiva:
- Dos descuentos sucesivos del 15% NO equivalen a un descuento del 30%
- Fórmula correcta: Precio_final = Precio_inicial × (1 - 0.15) × (1 - 0.15)
- Esto ilustra la importancia del orden de las operaciones en matemáticas financieras
Cálculo inverso de porcentajes:
- Para determinar el precio antes de impuestos: Precio_antes = Precio_despues ÷ (1 + tasa_impuesto)
- Esta es una aplicación práctica de despejar variables en ecuaciones
Estrategias de estimación mental:
- Descomponer porcentajes (ej: 15% = 10% + 5%)
- Redondear números para cálculos aproximados
- Estas habilidades son valiosas para la toma de decisiones rápidas en negocios
Aplicaciones en hojas de cálculo:
- Las fórmulas algebraicas se traducen directamente a fórmulas de Excel/Sheets
- Ej: =B2*1.65 para margen del 65%
- La función ROUND() permite controlar la precisión de los resultados
Planificación financiera a largo plazo:
- Ajustes por inflación: Valor_futuro = Valor_presente × (1 + tasa_inflación)^n
- Esto muestra cómo las matemáticas exponenciales modelan el crecimiento compuesto

Conclusión: El manejo preciso de porcentajes y la capacidad de generalizar operaciones mediante álgebra son competencias fundamentales en la gestión empresarial. Desde el cálculo de márgenes y descuentos hasta la planificación presupuestaria considerando impuestos e inflación, estas herramientas matemáticas proporcionan un marco sólido para la toma de decisiones informadas y la optimización de recursos en cualquier emprendimiento comercial.

Esta página titulada 4.4: El costo de los negocios se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.5: El interés compuesto tiene sentido

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🔹 INTRODUCCIÓN: ENTENDIENDO LOS CERTIFICADOS DE DEPÓSITO (CD)

¿Qué es un CD?

Un Certificado de Depósito (CD) es una cuenta de depósito especial que ofrece mayor interés que una cuenta de ahorros normal y cuenta con seguro federal de hasta $250,000.

Cómo funcionan:

Inversión inicial: Depositas una suma fija de dinero
Plazo fijo: Lo mantienes durante un periodo determinado (6 meses, 1 año, 5 años, etc.)
Ganancias: El banco te paga intereses a intervalos regulares
Vencimiento: Al final del plazo, recuperas tu dinero original + todos los intereses

Consideraciones importantes:

Penalización por retiro anticipado: Si retiras antes del vencimiento, podrías perder intereses o pagar multas
Tipos de CD: Actualmente existen CD con tasa fija, tasa variable y características especiales

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La capitalización es una multiplicación repetida por un factor de crecimiento
El interés compuesto se expresa mejor mediante crecimiento exponencial (notación exponencial)
Los modelos exponenciales analizan la capitalización de intereses sobre una inversión inicial

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Calcular las ganancias de una inversión con interés compuesto anual
Escribir una fórmula para el interés compuesto anual
Comparar y contrastar modelos lineales y exponenciales

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: EL CD DE CINCO AÑOS

Escenario de inversión:

Capital inicial (P): $1,000
Plazo: 5 años
Tasa de interés anual (TAE): 5% (0.05 en decimal)
Período de capitalización: Anual

(1) Desarrollo del modelo de capitalización:

Término	Cálculo	Monto Acumulado
1 año	$1,000 + $1,000×0.05 = $1,000×(1 + 0.05) = $1,000×1.05	$1,050.00
2 años	($1,000×1.05)×1.05 = $1,000×(1.05)²	$1,102.50
3 años	($1,000×(1.05)²)×1.05 = $1,000×(1.05)³	$1,157.63
4 años	$1,000×(1.05)⁴	$1,215.51
5 años	$1,000×(1.05)⁵	$1,276.28
…	…	…
t años	$1,000×(1.05)^t	A = 1,000×(1.05)^t

Patrón observado:

Cada año, el monto se multiplica por 1.05 (100% del monto anterior + 5% de interés). La fórmula general para este CD específico es:

\[ A = 1{,}000 \times (1.05)^t \]

(2) ¿Es esta fórmula lineal?

No, no es lineal. Una relación lineal tendría la forma A = mt + b con una tasa de cambio constante (pendiente fija). En este caso: - El crecimiento es multiplicativo, no aditivo

La variable tiempo (t) está en el exponente, no como factor simple
Esto define un modelo exponencial, donde la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual

(3) Proyecciones a largo plazo:

Término	Cálculo	Monto Acumulado
10 años	$1,000×(1.05)¹⁰	$1,628.89
20 años	$1,000×(1.05)²⁰	$2,653.30
30 años	$1,000×(1.05)³⁰	$4,321.94
40 años	$1,000×(1.05)⁴⁰	$7,039.99
50 años	$1,000×(1.05)⁵⁰	$11,467.40

Observación clave:

En 50 años, $1,000 crecen a más de $11,400 sin añadir más dinero. Esto demuestra el poder del interés compuesto a largo plazo.

🔹 ANÁLISIS GRÁFICO: CRECIMIENTO EXPONENCIAL VS. LINEAL

(4) Comparación visual de modelos:

(a) Gráfico del crecimiento exponencial (CD):

Forma: Curva que se hace cada vez más empinada con el tiempo
Comportamiento: Crecimiento lento al principio, luego aceleración dramática
Eje X: Número de años (0 a 60)
Eje Y: Valor acumulado en dólares (0 a $14,000)

(b) Gráfico del crecimiento lineal (ahorro con aportes fijos):

Escenario: $\$1,000$ iniciales + $\$20$ añadidos cada año

Ecuación: A = 1,000 + 20n donde n = número de años

Término	Cálculo	Monto Acumulado
1 año	1,000 + 20	$1,020
2 años	1,000 + 2×20	$1,040
3 años	1,000 + 3×20	$1,060
4 años	1,000 + 4×20	$1,080
5 años	1,000 + 5×20	$1,100

Gráfico resultante: Una línea recta con pendiente constante de 20

Contraste fundamental:

Característica	Crecimiento Exponencial (CD)	Crecimiento Lineal (Ahorro)
Fórmula	`A = P×(1+r)^t`	`A = P + m×t`
Tasa de cambio	Aumenta con el tiempo (proporcional al valor actual)	Constante (siempre la misma)
Forma gráfica	Curva cóncava hacia arriba	Línea recta
Ejemplo del gráfico	Empieza plano, luego sube abruptamente	Sube de manera constante y uniforme

🔹 FÓRMULA GENERAL DEL INTERÉS COMPUESTO

(5) Fórmula general para capitalización anual:

A partir de los patrones observados, podemos generalizar para cualquier inversión:

Fórmula del interés compuesto anual:

\[ A = P \times (1 + r)^t \]

Donde:

$A$ = Monto acumulado (valor futuro)
$P$ = Capital inicial (principal)
$r$ = Tasa de interés anual (en decimal, ej: 5% = 0.05)
$t$ = Número de años de inversión

Ejemplo de aplicación:

Para nuestro CD inicial:

$P = $1,000$
$r = 0.05$
$t = 5$
$A = 1,000 × (1 + 0.05)^5 = 1,000 × (1.05)^5 = $1,276.28$

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Capitalización como Multiplicación Repetida	El interés compuesto no suma una cantidad fija cada año. Multiplica el saldo actual por un factor fijo `(1+r)`. Este proceso repetitivo `×(1+r)×(1+r)×(1+r)...` es la esencia de la capitalización.
Notación Exponencial para Modelar el Crecimiento	La fórmula `A = P(1+r)^t` usa un exponente (`t`) para representar elegantemente la multiplicación repetida. Esto diferencia claramente el crecimiento exponencial (variable en el exponente) del lineal (variable como factor).
Comportamiento del Crecimiento Exponencial	1. Lento al inicio: En los primeros años, las ganancias absolutas son pequeñas porque se calculan sobre un capital aún pequeño. 2. Aceleración con el tiempo: A medida que el capital crece, el 5% anual representa una cantidad de dinero cada vez mayor. 3. “Interés sobre el interés”: Esta es la magia: los intereses de un período generan sus propios intereses en el siguiente.
Contraste Fundamental: Lineal vs. Exponencial	- Lineal (`A = P + mt`): Cambio por sumas constantes ($20/año). El gráfico es una recta. - Exponencial (`A = P(1+r)^t`): Cambio por multiplicaciones constantes (crecer un 5% cada año). El gráfico es una curva que se dispara. A largo plazo, el crecimiento exponencial supera drásticamente al lineal.
El Poder del Tiempo en el Interés Compuesto	El factor más poderoso en la fórmula no es la tasa (`r`) ni el capital inicial (`P`), sino el tiempo (`t`). Pequeñas diferencias en el tiempo producen diferencias enormes en el resultado final debido a la naturaleza exponencial. Empezar a ahorrar/invertir temprano es la estrategia más efectiva.
Aplicación en Toma de Decisiones Financieras	1. Planificación de jubilación: Entender el interés compuesto motiva a comenzar a ahorrar pronto. 2. Comparación de inversiones: La fórmula permite calcular y comparar el valor futuro de diferentes opciones. 3. Comprensión de deudas: Las tarjetas de crédito y préstamos usan el mismo principio en tu contra si no pagas el saldo completo.
Limitaciones y Supuestos del Modelo	El modelo `A = P(1+r)^t` asume: 1) una tasa fija (`r`) durante todo el período, 2) capitalización anual exacta, 3) sin aportes ni retiros adicionales, y 4) sin impuestos ni comisiones. En la realidad, estos factores pueden modificar el resultado.

Conclusión: El interés compuesto es uno de los conceptos matemáticos más poderosos con aplicaciones prácticas en la vida diaria. Comprender la diferencia fundamental entre crecimiento lineal (sumar) y exponencial (multiplicar) no es solo un ejercicio académico, sino una herramienta esencial para la alfabetización financiera. Nos permite apreciar el valor del tiempo en las inversiones, tomar decisiones informadas sobre ahorros y deudas, y planificar con mayor eficacia para metas a largo plazo como la educación o la jubilación.

*Esta página titulada 4.5: El interés compuesto tiene sentido se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.6: La capitalización genera más ingresos

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🔹 INTRODUCCIÓN: COMPARANDO PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN

Pregunta para discusión grupal:

Considera dos inversiones idénticas de $\$10,000$ al 5% anual durante 1 año:

Capitalización Anual: El interés se calcula y suma una vez al año.
Capitalización Diaria: El interés se calcula y suma todos los días.

¿Cuál crees que generará un mayor rendimiento al final del año y por qué?

Análisis conceptual (sin cálculos):

Con capitalización anual, el interés ganado durante el año no genera interés adicional hasta el siguiente año.
Con capitalización diaria, el interés ganado cada día comienza a generar su propio interés al día siguiente.
Intuitivamente, mientras más frecuente sea la capitalización, mayor será el monto final, porque el dinero tiene más oportunidades de “crecer sobre sí mismo”. Esto se conoce como el efecto del interés compuesto.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Existen diferencias y similitudes fundamentales entre los modelos de crecimiento exponencial (como una inversión) y decaimiento exponencial (como la depreciación).

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Utilizar la fórmula de interés compuesto para diferentes períodos de capitalización (anual, mensual, trimestral, etc.).
Escribir un modelo de decaimiento exponencial para situaciones como la depreciación de un bien.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: EL VALOR DE UN CD CON CAPITALIZACIÓN FRECUENTE

Recordatorio de la Fórmula Anual:

De la colaboración 4.5, para capitalización anual usamos:

\[ A = P(1 + r)^t \]

donde $A$ es el monto final, $P$ el capital, $r$ la tasa anual (en decimal) y $t$ los años.

(1) CD con capitalización mensual al 12% anual:

(a) Cálculo de la tasa de interés mensual:

Tasa Anual (TAE) = 12% = 0.12
Si el interés se capitaliza 12 veces al año (mensualmente), la tasa por período es:

\[ r_{\text{por mes}} = \frac{0.12}{12} = 0.01 \quad \text{(o 1% mensual)} \]

(b) Tabla de crecimiento del capital ($P = \$1,000$, plazo = 2 años):

Período (meses)	Cálculo	Monto Acumulado ($A$)
1 mes	$\$1,000 × (1 + 0.01) = \$1,000 × 1.01$	$\$1,010.00$
2 meses	$\$1,000 × (1.01)²$	$\$1,020.10$
3 meses	$\$1,000 × (1.01)³$	$\$1,030.30$
6 meses	$\$1,000 × (1.01)⁶$	$\$1,061.52$
12 meses (1 año)	$\$1,000 × (1.01)^{12}$	$\$1,126.83$
24 meses (2 años)	$\$1,000 × (1.01)^{24}$	$\$1,269.73$

Patrón observado: Monto = $1,000 × (1.01)^n, donde $n$ es el número total de períodos de capitalización (meses).

(2) Fórmula General para Cualquier Período de Capitalización:

Para adaptar la fórmula anual a cualquier frecuencia, debemos considerar:

$n$: Número de períodos de capitalización por año (ej: 12 para mensual, 4 para trimestral, 365 para diario).
$r$: Tasa de interés anual (en decimal, como 0.12).
$t$: Número total de años de la inversión.

La fórmula general para el interés compuesto es:

\[ \boxed{A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n \cdot t}} \]

Donde:

$A$: Monto acumulado (valor futuro).
$P$: Capital inicial (principal).
$r$: Tasa de Interés Anual Nominal (en decimal).
$n$: Número de períodos de capitalización por año.
$t$: Número total de años.

Aplicación al ejemplo anterior:

$P = \$1,000$
$r = 0.12$
$n = 12$ (capitalización mensual)
$t = 2$
$A = 1,000 × (1 + 0.12/12)^{(12×2)} = 1,000 × (1.01)^{24} = \$1,269.73$

(3) Efecto del período de capitalización: Comparación Mensual vs. Trimestral

Pregunta de investigación: ¿Cómo afecta la frecuencia de capitalización al monto final?

Cálculo para capitalización trimestral (mismo CD: $P=\$1,000$, $r=12\%$, $t=2$ años):

$n = 4$ (cuatro trimestres por año).
Tasa por trimestre: $r/n = 0.12/4 = 0.03$ (3%).
Períodos totales: $n×t = 4×2 = 8$ trimestres.
$A = \$1,000 × (1.03)^8 = \$1,000 × 1.26677 = \$1,266.77$

Comparación de resultados:

Período de Capitalización	Monto Final ($A$) después de 2 años
Mensual ($n=12$)	$\$1,269.73$
Trimestral ($n=4$)	$\$1,266.77$

Conclusión: Aunque la diferencia parece pequeña ($\$2.96$), la capitalización más frecuente (mensual) genera un mayor rendimiento que la menos frecuente (trimestral), incluso con la misma tasa anual y plazo. La diferencia se amplía con capitalizaciones aún más frecuentes (semanal, diaria) y en plazos más largos.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: COMPRENDER LA DEPRECIACIÓN EXPONENCIAL

(4) Modelado de la depreciación de un automóvil:

(a) Desarrollo de la fórmula de valor depreciado:

Escenario: Automóvil nuevo valuado en $P = \$26,000$ con una depreciación anual del 15%.

Cada año, el auto retiene el 85% de su valor del año anterior (100% - 15% = 85%).
Esto se modela como una multiplicación repetida por 0.85 cada año.

Edad del Auto (años)	Cálculo	Valor ($D$)
Nuevo ($t=0$)	$\$26,000 × (0.85)^0$	$\$26,000.00$
1 año	$\$26,000 × (0.85)^1$	$\$22,100.00$
2 años	$\$26,000 × (0.85)^2$	$\$18,785.00$
5 años	$\$26,000 × (0.85)^5$	$\$11,537.43$
$t$ años	$\$26,000 × (0.85)^t$	$D = 26,000 × (0.85)^t$

Fórmula general del decaimiento exponencial (depreciación):

\[ \boxed{D = P \times (1 - \text{tasa\_de\_depreciación})^t} \]

Para este caso: $D = 26,000 × (0.85)^t$.

(b) Gráfico del valor a lo largo del tiempo:

Eje X (horizontal): Tiempo en años ($t$).
Eje Y (vertical): Valor del automóvil en dólares ($D$).
Forma de la curva: Una curva descendente que se hace menos empinada con el tiempo (decaimiento exponencial). Comienza en $\$26,000$ (cuando $t=0$) y se acerca gradualmente a cero, pero nunca lo alcanza completamente.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Fórmula General del Interés Compuesto	$A = P(1 + r/n)^{(nt)}$ es la herramienta definitiva para calcular el crecimiento de inversiones* con cualquier frecuencia de capitalización. La variable $n$ (períodos por año) es crucial para modelar con precisión productos financieros reales como cuentas de ahorro, CDs o préstamos.
Efecto de la Frecuencia de Capitalización	A mayor frecuencia de capitalización ($n$ más grande), mayor es el monto final acumulado, dado el mismo capital, tasa anual y plazo. Esto se debe a que el “interés sobre el interés” comienza a generarse antes y con más frecuencia. Este es el principio detrás de términos como “rendimiento anual efectivo” (APY), que siempre es mayor que la tasa nominal (APR) si hay capitalización más de una vez al año.
Simetría entre Crecimiento y Decaimiento Exponencial	- Crecimiento (Inversión): $Valor = Inicial × (1 + tasa)^t$ - Decaimiento (Depreciación): $Valor = Inicial × (1 - tasa)^t$ Ambos son procesos de cambio multiplicativo constante, pero en direcciones opuestas. La estructura matemática es idéntica: un valor inicial multiplicado por un factor constante elevado al tiempo.
Patrón Gráfico Distintivo	- Crecimiento Exponencial (Inversión): Gráfica cóncava hacia arriba (curva que se vuelve más empinada). - Decaimiento Exponencial (Depreciación): Gráfica cóncava hacia abajo (curva que se vuelve menos empinada). Reconocer estas formas ayuda a identificar rápidamente el tipo de proceso modelado.
El Tiempo como Variable Exponencial	En ambos modelos, la variable tiempo ($t$) está en el exponente. Esto significa que pequeños cambios en el tiempo producen grandes cambios en el resultado final. Es la razón por la cual empezar a ahorrar/invertir temprano y mantener los bienes por más tiempo tienen impactos tan significativos en las finanzas.
Aplicaciones Prácticas y Finanzas Personales	1. Comparar Inversiones: Permite comparar CDs o cuentas de ahorro con diferentes tasas y frecuencias de capitalización para encontrar la mejor opción. 2. Planificar Grandes Compras: El modelo de depreciación ayuda a estimar el valor futuro de un auto, guiando decisiones de compra y venta. 3. Entender Préstamos y Tarjetas: La capitalización frecuente también trabaja en tu contra en las deudas, haciendo que los saldos no pagados crezcan rápidamente.

Conclusión: Comprender la dinámica del interés compuesto en todas sus formas —desde la capitalización frecuente en las inversiones hasta el decaimiento en la depreciación— es esencial para la alfabetización financiera. Estas no son solo fórmulas abstractas, sino modelos poderosos que describen fenómenos económicos cotidianos. Dominarlos nos permite tomar decisiones más informadas sobre cómo hacer crecer nuestro dinero a lo largo del tiempo y cómo evaluar la pérdida de valor de nuestros activos, planeando así un futuro económico más seguro y predecible.

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4.7: Préstamos a corto plazo

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🔹 INTRODUCCIÓN: REPASO DE MODELOS LINEALES Y EXPONENCIALES

Actividad de discusión grupal:

Busquen al menos un ejemplo de cada uno de los siguientes tipos de modelos:

Crecimiento exponencial: Una cantidad que aumenta un mismo porcentaje en cada unidad de tiempo (ej: inversión con interés compuesto).
Decaimiento exponencial: Una cantidad que disminuye un mismo porcentaje en cada unidad de tiempo (ej: depreciación de un automóvil).
Crecimiento lineal: Una cantidad que aumenta una misma cantidad fija en cada unidad de tiempo (ej: ahorrar una cantidad fija cada semana).
Decaimiento lineal: Una cantidad que disminuye una misma cantidad fija en cada unidad de tiempo (ej: pagar una cantidad fija de una deuda cada mes).

Resumen de modelos exponenciales (asumiendo $r>0$):

Característica	Crecimiento Exponencial	Decaimiento Exponencial
Fórmula	$y = A(1 + r)^x$	$y = A(1 - r)^x$
Tasa de cambio	$r$ (porcentaje del valor anterior)	$r$ (porcentaje del valor anterior)
Intersección vertical (valor inicial)	$A$	$A$
Aplicaciones	Cualquier cantidad que aumenta en el mismo % por unidad de $x$.	Cualquier cantidad que disminuye en el mismo % por unidad de $x$.

Resumen de modelos lineales (asumiendo $m>0$):

Característica	Crecimiento Lineal	Decaimiento Lineal
Fórmula	$y = A + mx$	$y = A - mx$
Tasa de cambio	$m$ (cantidad constante)	$m$ (cantidad constante)
Intersección vertical (valor inicial)	$A$	$A$
Aplicaciones	Cualquier cantidad que aumenta en la misma cantidad ($m$) por unidad de $x$.	Cualquier cantidad que disminuye en la misma cantidad ($m$) por unidad de $x$.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El interés compuesto (crecimiento exponencial) también se puede aplicar a escenarios de préstamos y deudas, donde el interés se calcula sobre el saldo pendiente, que a su vez ya incluye intereses anteriores.
Las ecuaciones para el crecimiento lineal y exponencial difieren significativamente a largo plazo, con el crecimiento exponencial (característico de las deudas con interés compuesto) pudiendo generar cargas financieras mucho más altas.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Construir modelos tanto exponenciales como lineales a partir de un contexto dado.
Comparar un modelo exponencial y uno lineal y tomar una decisión basada en esa comparación.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMA: ¿CUÁL OPCIÓN?

Escenario: Tienes un gasto inesperado de $100 y debes elegir entre dos opciones de préstamo a corto plazo.

Opción 1: Préstamo de día de pago

Capital (P): $100
Tasa de Porcentaje Anual (TAE): 390% (muy alta, justificada por el alto riesgo y corto plazo).
Supuesto: El interés se capitaliza semanalmente y no se realizan pagos, dejando que la deuda crezca.
Contexto: Los préstamos de día de pago son costosos y, aunque no son exactamente exponenciales por las comisiones, un modelo exponencial es una buena aproximación para estimar su rápido crecimiento.

Paso 1: Desarrollar la fórmula

Convertir la TAE a tasa semanal:
- Tasa semanal ($r_s$) = $390% / 52 semanas ≈ 7.5% $= 0.075.
Aplicar la fórmula del interés compuesto para capitalización semanal:
- Cantidad adeudada = $100 × (1 + 0.075)^t$, donde $t$ es el tiempo en semanas.

Paso 2 y (a): Completar la tabla

Tiempo (semanas)	Cálculo	Cantidad Adeudada
1	$100 × (1.075)¹	$107.50
4	$100 × (1.075)⁴	$133.55
12	$100 × (1.075)¹²	$238.04
52	$100 × (1.075)⁵²	$4,644.84

Paso 3 y (b): Crear un gráfico

Eje X: Tiempo en semanas.
Eje Y: Cantidad adeudada en dólares.
Forma: Una curva pronunciada hacia arriba (crecimiento exponencial), mostrando un aumento dramático, especialmente después de varias semanas.

Paso 4 y (c): Análisis y observaciones

La deuda se dispara de manera alarmante con el tiempo debido a la alta tasa de interés compuesto.
En solo un año (52 semanas), se debe más de $4,600 por un préstamo inicial de $100.
Esta opción es financieramente peligrosa si no se paga inmediatamente.

Opción 2: Pedir prestado a un amigo

Capital (P): $100
Términos: Devolver el monto original más $10 por cada semana que se deba.
Supuesto: El cargo es fijo por semana, no un porcentaje del saldo.

Paso 1: Desarrollar la fórmula

Se trata de un crecimiento lineal.
Cantidad adeudada = $100 + (10 × t)$, donde $t$ es el tiempo en semanas.

Paso 2 y (a): Completar la tabla

Tiempo (semanas)	Cálculo	Cantidad Adeudada
1	$100 + $10×1	$110.00
4	$100 + $10×4	$140.00
12	$100 + $10×12	$220.00
52	$100 + $10×52	$620.00

Paso 3 y (b): Graficar en el mismo plano que la Opción 1

Forma: Una línea recta con pendiente constante de 10.
Comparación visual: Mientras la curva exponencial (préstamo de día de pago) se dispara hacia arriba, la línea recta (préstamo del amigo) aumenta de manera constante y predecible.

Paso 4 y (c): Patrones y propiedades observadas

Corto plazo (1-4 semanas): La diferencia entre ambas opciones es relativamente pequeña.
Mediano y largo plazo (12+ semanas): La diferencia se vuelve abismal. El modelo exponencial (Opción 1) crece a un ritmo cada vez mayor, mientras que el lineal (Opción 2) crece a un ritmo constante.
Conclusión clara: Aunque la Opción 2 (amigo) implica pagar intereses, su estructura lineal la hace infinitamente más manejable y menos costosa que la Opción 1 con su crecimiento exponencial.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: TARJETAS DE CRÉDITO

(3) Interés anual sobre una deuda de tarjeta de crédito

Saldo promedio: $2,000
TAE: 29.99%
Capitalización: Diaria (365 veces al año)
Uso de la fórmula de interés compuesto: $A = P × (1 + r/n)^{(n×t)}$
- $P = \$2,000$, $r = 0.2999$, $n = 365$, $t = 1$ año.
- $A = $2,000 × (1 + 0.2999/365)^{365} ≈ $2,699.20$ (saldo total final).
Interés pagado: $2,699.20 - $2,000 = $699.20.

(4) Análisis del caso de John y Jane

(a) Interés mensual (para ambos, primer mes):

Tasa mensual = $20% / 12 ≈ 1.6667% = 0.016667$.
Interés = $\$2,000 × 0.016667 = \$33.33$.

(b) Tabla de primer pago:

Concepto	John	Jane
Pago realizado	$60 (mínimo)	$70 ($60 + $10 extra)
Interés cubierto	$33.33	$33.33
Cantidad aplicada al capital	$26.67	$36.67
Nuevo saldo	$1,973.33	$1,963.33

(c) Interés del segundo mes:

John: $1,973.33 × 0.016667 ≈ $32.89
Jane: $1,963.33 × 0.016667 ≈ $32.72
Jane ya paga menos interés porque su saldo es ligeramente menor.

(d) Análisis a largo plazo:

Interés total de John: $4,240 (total pagado) - $2,000 (capital) = $2,240.
% del total que es interés (John): ($2,240 / $4,240) × 100 ≈ 52.8%.
Interés total de Jane: $3,276 (total pagado) - $2,000 (capital) = $1,276.
% del total que es interés (Jane): ($1,276 / $3,276) × 100 ≈ 38.9%.

Conclusión clave: Pagar solo un poco más del mínimo (como Jane) reduce drásticamente el tiempo para saldar la deuda (de 15 a 7 años) y la cantidad total de intereses pagados (casi $1,000 menos). Esto ocurre porque más dinero se destina a reducir el capital principal, sobre el cual se calcula el interés compuesto.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Clave	Significado e Importancia
El Interés Compuesto en las Deudas	El mismo mecanismo que hace crecer los ahorros, aplicado a préstamos y tarjetas de crédito, puede generar espirales de deuda. Comprender que el interés se calcula sobre el capital más los intereses acumulados es crucial para evaluar el costo real de un préstamo.
Contraste Radical: Lineal vs. Exponencial a Largo Plazo	Mientras un modelo lineal ($y = A + mx$) suma cantidades constantes, un modelo exponencial ($y = A(1+r)^t$) multiplica por un factor constante. A largo plazo, esta diferencia es abismal (ej: $620 vs. $4,644 en un año). Es vital identificar qué tipo de crecimiento describe una deuda.
La Tasa de Interés y la Frecuencia de Capitalización	Dos factores claves del costo: 1. La Tasa (TAE): Un porcentaje más alto siempre significa pagos más altos. 2. Frecuencia de Capitalización: Mientras más frecuente (diaria vs. mensual), mayor será el monto total de intereses generado, incluso con la misma TAE.
El Poder de Pagar Más del Mínimo	En deudas con interés compuesto (como tarjetas), destinar cualquier pago extra directamente al capital principal es una de las estrategias más efectivas. Reduce el saldo base sobre el que se calcula el interés futuro, ahorrando tiempo y una cantidad significativa de dinero a largo plazo.
Alfabetización Financiera como Toma de Decisiones	Estos modelos no son solo ejercicios matemáticos. Son herramientas para: • Comparar opciones (préstamo de día de pago vs. amigo). • Entender el riesgo de las deudas de alto interés. • Planificar estrategias de pago inteligentes (como hacer pagos mayores al mínimo).
Limitaciones de los Modelos	Los modelos simplifican la realidad. En la práctica, los préstamos tienen comisiones, períodos de gracia y reglas de pago específicas que pueden alterar los cálculos. Sin embargo, los modelos exponencial y lineal proporcionan una aproximación poderosa y una advertencia clara sobre los costos potenciales.

Conclusión: La matemática detrás de los préstamos a corto plazo y el interés de las tarjetas de crédito revela una verdad poderosa: la estructura del crecimiento (lineal o exponencial) y los términos del préstamo (tasa y frecuencia de capitalización) impactan dramáticamente en el costo final. Elegir un crecimiento lineal controlable sobre uno exponencial desbocado, y pagar más del mínimo para combatir el interés compuesto, no son solo buenas prácticas matemáticas, sino decisiones fundamentales para la salud financiera personal.

Esta página titulada 4.7: Préstamos a corto plazo se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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4.8: Ahorros verdes

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN

Esta colaboración utiliza un contexto de finanzas personales (la compra de un coche) para guiarte a través de un ejercicio complejo de modelado matemático. La primera mitad del problema se presenta aquí, y la segunda en la Colaboración 4.9.

Te enfrentarás a un problema abierto que requiere que:

Identifiques la información faltante.
Realices adaptaciones pertinentes.
Lleves a cabo los cálculos necesarios para tomar una decisión informada.

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

El modelado matemático y el razonamiento cuantitativo son herramientas poderosas para tomar decisiones financieras personales informadas.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Identificar información faltante en un escenario del mundo real.
Determinar valores razonables para esa información faltante.
Construir un modelo lineal a partir de un escenario de ahorro.
Describir, en palabras y gráficos, el efecto que los cambios en los supuestos tienen en los modelos lineales.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: COMPARACIÓN DE LOS COSTES DE LOS AUTOS

Problema Central: Decidir si el mayor costo inicial de un auto híbrido se justifica por el ahorro en gasolina a lo largo del tiempo.

Datos proporcionados:

Característica	Honda Accord Híbrido 2023	Honda Accord a Gasolina 2023
Precio de compra	$31,895	$27,295
Rendimiento (mpg) - Ciudad	46 mpg	29 mpg
Rendimiento (mpg) - Carretera	41 mpg	37 mpg

Diferencia de precio inicial (costo premium del híbrido):

$31,895 - $27,295 = $4,600

(1) Información adicional necesaria y valores razonables

Para calcular el gasto anual en gasolina, necesitamos:

Precio de la gasolina por galón.
Valor razonable para el análisis: Supongamos $3.50 por galón. (Este valor puede variar por región y tiempo; el grupo debe acordar uno).
Número de millas conducidas por año.
Valor razonable: Según la Administración Federal de Carreteras de EE.UU., el conductor promedio recorre entre 12,000 y 15,000 millas por año. Usemos 13,500 millas/año.
Porcentaje de conducción en ciudad vs. carretera.
Valor razonable: Asumamos una división 60% ciudad / 40% carretera para un conductor típico.

Con estos supuestos, podemos proceder.

(2) Cálculo del ahorro y período de recuperación

(a) Ahorro en gasolina el primer año

Paso 1: Calcular el consumo anual de gasolina para cada auto.

Fórmula: Galones anuales = (Millas anuales %ciudad / mpg_ciudad) + (Millas anuales * %carretera / mpg_carretera)*

Para el Híbrido:

$(13,500 * 0.60 / 46) + (13,500 * 0.40 / 41) = (176.09) + (131.71) = 307.80 {galones}$
Para el de Gasolina:

$(13,500 * 0.60 / 29) + (13,500 * 0.40 / 37) = (279.31) + (145.95) = 425.26 {galones}$

Paso 2: Calcular el costo anual de gasolina para cada auto. Fórmula: Costo = Galones anuales Precio por galón*

Híbrido: $307.80 gal \$3.50/gal = \$1,077.30$
Gasolina: $425.26 gal \$3.50/gal = \$1,488.41$

Paso 3: Calcular el ahorro anual.

Ahorro = Costo Gasolina - Costo Híbrido = $1,488.41 - $1,077.30 = $411.11

Respuesta (2a): El ahorro en gasolina el primer año sería de aproximadamente $411.11.

(b) Tiempo para recuperar la inversión inicial (período de recuperación)

Fórmula: Años = Costo Premium del Híbrido / Ahorro Anual en Gasolina

Años = $4,600 / $411.11 ≈ 11.19 años

Respuesta (2b): Tomaría aproximadamente 11 años para que el ahorro en gasolina compense el costo adicional inicial del híbrido.

(3) Modelado algebraico y gráfico del ahorro

(a) Modelo algebraico (ecuación)

Sea S = Ahorro total acumulado en gasolina (en dólares).
Sea t = Tiempo transcurrido (en años).
Sea m = Ahorro anual en gasolina ($411.11 en nuestro ejemplo).

El ahorro se acumula de manera lineal cada año. La ecuación es:

\[ S = m \cdot t \]

En nuestro caso específico: \[ S = 411.11t \]

(b) Gráfico del modelo

Eje X (horizontal): Tiempo (t) en años (de 0 a 15, por ejemplo).
Eje Y (vertical): Ahorro total acumulado (S) en dólares.
Forma: Una línea recta que parte del origen (0,0) y tiene una pendiente positiva igual al ahorro anual (m = 411.11). La línea cruza la recta horizontal S = 4600 (costo premium) en t ≈ 11.2 años.

(c) Tipo de modelo

El modelo es lineal. Esto se debe a que el ahorro aumenta en una cantidad constante cada año ($411.11), independientemente del ahorro ya acumulado. No es exponencial porque no hay un crecimiento porcentual sobre el total anterior.

(4) y (5) Efecto de los cambios en los supuestos

(4) Si aumenta el precio de la gasolina…

En el modelo: El ahorro anual (m) aumenta.
En la gráfica: La pendiente de la línea se vuelve más pronunciada.
Consecuencia: La línea alcanzará el costo premium ($4,600) antes. El período de recuperación se acorta.

(5) Si aumentan las millas recorridas por año…

En el modelo: La diferencia en el consumo de gasolina entre los dos autos es mayor, por lo que el ahorro anual (m) aumenta.
En la gráfica: Al igual que en el caso anterior, la pendiente se hace más pronunciada.
Consecuencia: El período de recuperación también se acorta. Para alguien que conduce mucho (ej: viajantes de comercio), el híbrido puede ser una opción financiera más atractiva.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES

(6) Análisis de la cuenta de ahorros de Tyrone

Datos del gráfico:

Punto inicial (0 meses): Saldo = $235

Punto final (10 meses): Saldo = $335

(a) Descripción de la situación

El gráfico muestra una cuenta de ahorros que crece de manera lineal y constante con el tiempo. Tyrone está haciendo aportes regulares (o recibiendo intereses simples) a su cuenta.

(b) Ecuación de la gráfica

Sea B = Saldo de la cuenta (en dólares).
Sea t = Tiempo transcurrido (en meses).

Calcular la pendiente (m) - Ahorro por mes:

Cambio en saldo = $335 - $235 = $100

Cambio en tiempo = 10 meses - 0 meses = 10 meses

Pendiente $m = 100 / 10 meses = 10$ por mes**.
Identificar la intersección vertical (b) - Saldo inicial en t=0: $235.
Escribir la ecuación lineal:
\[ B = 10t + 235 \]

(c) Tiempo para alcanzar $500 Planteamos la ecuación: $500 = 10t + 235$

Resolvemos: $10t = 500 - 235 = 265$

$t = 265 / 10 = 26.5$ meses

Respuesta: Si la tendencia continúa, Tyrone tendrá $500 después de 26.5 meses (o aproximadamente 2 años y 2.5 meses).

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Clave	Significado e Importancia
Proceso de Modelado en Problemas Abiertos	Los problemas del mundo real rara vez vienen con todos los datos. Un paso crucial es identificar qué información falta y hacer suposiciones razonables y justificadas (precio gasolina, millaje anual). Esto refleja el pensamiento matemático aplicado.
Supuestos y Sensibilidad del Modelo	Las conclusiones (como el período de recuperación de 11 años) dependen directamente de los supuestos. Cambiar el precio de la gasolina o las millas recorridas cambia el resultado. Un buen análisis siempre prueba la sensibilidad del modelo ante estos cambios.
Modelo Lineal para Ahorro Acumulado	Cuando una cantidad (ahorro) aumenta en una suma fija cada período ($411.11/año), el crecimiento acumulado se modela con una ecuación lineal (`S = m*t`). Su gráfica es una línea recta, donde la pendiente representa la tasa de ahorro.
Interpretación Gráfica de la Pendiente	En la gráfica `S vs. t`, una pendiente más pronunciada significa un ahorro anual mayor, lo que lleva a una recuperación de la inversión más rápida. La pendiente es una representación visual de la eficiencia del ahorro.
Toma de Decisiones Basada en Modelos Cuantitativos	Este ejercicio va más allá del cálculo. Se trata de usar números para informar una elección personal importante. El modelo muestra que, bajo supuestos típicos, la justificación económica de un híbrido puede requerir un horizonte de tiempo largo (11+ años), lo que podría no alinearse con los planes de propiedad de todas las personas.
De la Información a la Ecuación	En el caso de Tyrone, se demostró cómo pasar de dos puntos en un gráfico a una ecuación lineal (`B = 10t + 235`). Esta habilidad permite predecir valores futuros (como cuándo se alcanzarán $500) y es fundamental para analizar tendencias.

Conclusión (Parcial - Continúa en 4.9): Esta colaboración nos ha equipado para abordar un problema financiero complejo desglosándolo en pasos manejables: definir supuestos, construir un modelo lineal y comprender cómo los cambios afectan los resultados. Hemos visto que el “ahorro verde” de un híbrido, aunque real, puede tardar muchos años en materializarse como beneficio neto, dependiendo de nuestros hábitos de conducción y del costo del combustible. Este análisis cuantitativo proporciona una base sólida para la toma de decisiones, que se complementará en la siguiente colaboración considerando otros factores como el financiamiento y el valor de reventa.

Esta página titulada 4.8: Ahorros verdes se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

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5.1: Analizando las elecciones de mi país

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta lección, deberías comprender que:

El razonamiento cuantitativo y las habilidades matemáticas se pueden aplicar en contextos diversos, como la política.
Diferentes mapas electorales pueden conducir a resultados electorales completamente diferentes, incluso con el mismo número total de votantes.
Leer información cuantitativa requiere filtrar los datos no importantes (nivel introductorio).

Al final de esta lección, deberías poder:

Reconocer conceptos matemáticos comunes (como porcentajes y proporciones) utilizados en contextos nuevos.
Aplicar habilidades y conceptos de lecciones anteriores (como el análisis de datos) en el nuevo contexto de la distribución de distritos.
Identificar una respuesta completa a una pregunta que pide conexiones entre conceptos matemáticos y un contexto del mundo real.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: COMPARACIÓN DE RESULTADOS ELECTORALES

Contexto: La Cámara de Representantes de EE. UU.

La Cámara de Representantes es la cámara baja del Congreso. Tiene 435 escaños fijos, distribuidos entre los estados según su población (censo cada 10 años). Los estados con más de un representante se dividen en distritos uninominales de población aproximadamente igual.

(1) Análisis inicial de un estado modelo

Imagina un estado rectangular con 50 precintos de igual población. De ellos: * 30 suelen votar por el Partido Gris Oscuro (DG). * 20 suelen votar por el Partido Gris Claro (LG).

El estado debe dividirse en 5 distritos, cada uno con 10 precintos. Cada distrito elige 1 representante.

Pregunta: ¿Cuántos representantes debería enviar cada partido a Washington?

Análisis basado en la proporción del voto popular: * Porcentaje DG: $30/50 = 60\%$ * Porcentaje LG: $20/50 = 40\%$ * De 5 escaños, una distribución proporcional sería aproximadamente 3 para DG (60% de 5) y 2 para LG (40% de 5).

(2) Análisis de un mapa con “cracking” (fragmentación)

El mapa muestra una división en 5 columnas verticales. Cada columna (distrito) contiene 6 precintos DG y 4 LG.

(a) Resultados electorales: * En cada uno de los 5 distritos, DG obtiene 6 votos y LG obtiene 4 votos. * Por lo tanto, DG gana los 5 escaños. LG no gana ninguno. * Estos resultados NO son similares a la expectativa proporcional de la Pregunta 1 (3-2). Aquí, un partido con el 60% del voto se lleva el 100% de los escaños.

(b) Explicación del resultado: Los votantes de LG no logran elegir a nadie porque sus votos están “fragmentados” (cracking). Al estar distribuidos de manera uniforme pero en minoría en cada distrito (siempre 4 de 10), nunca alcanzan la mayoría necesaria para ganar en ningún distrito en particular. Sus votos se diluyen.

(3) Diseño de un mapa más justo (Discusión grupal)

Objetivo: Encontrar una división en 5 distritos de 10 precintos (adyacentes) que produzca un resultado más cercano a 3 escaños para DG y 2 para LG.

Propuesta de solución (una de muchas posibles): * Se pueden crear 3 distritos “seguros” para DG (ej: con 7 DG y 3 LG). * Se pueden crear 2 distritos “seguros” para LG (ej: con 6 LG y 4 DG). * Esto reflejaría mejor la proporción 60%-40% del electorado.

(4) Análisis de un mapa con “packing” (concentración)

El mapa muestra una división donde: * Distritos 1 y 2: 9 DG, 1 LG → DG gana. * Distritos 3, 4 y 5: 4 DG, 6 LG → LG gana.

(a) Resultados y equidad: * DG gana 2 escaños (Distritos 1 y 2). * LG gana 3 escaños (Distritos 3, 4 y 5). * Aunque DG tiene el 60% del voto popular, solo obtiene el 40% de los escaños (2 de 5). Esto no es justo desde la perspectiva de la representación proporcional.

(b) Explicación del resultado: Los votantes de DG no pudieron elegir más representantes porque una gran parte de ellos fue “concentrada” (packing) en solo dos distritos. En esos distritos (1 y 2), DG obtuvo victorias abrumadoras (9-1), lo que significa que muchos de sus votos fueron “excedentes” más allá de los necesarios para ganar. Mientras tanto, en los otros tres distritos, DG quedó en clara minoría. Esta concentración desperdicia votos y reduce su eficiencia.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: LA FUNCIÓN DE BRECHA DE EFICIENCIA

Contexto: Búsqueda de un estándar legal

Demostrar en un tribunal que un mapa otorga una ventaja injusta es difícil. En 2016, votantes de Wisconsin usaron la Función de Brecha de Eficiencia como argumento. Esta función mide cuán eficientemente un partido convierte votos en escaños.

Concepto clave: Un voto desperdiciado es: 1. Todo voto emitido por el partido perdedor en un distrito. 2. Todo voto por encima del 50% + 1 (lo necesario para ganar) emitido por el partido ganador en un distrito.

(5) Análisis de datos electorales

Datos: Un estado con 500 votantes, 5 distritos de 100 votantes cada uno.

Distrito	Votos DG	Votos LG	Ganador
1	75	25	DG
2	60	40	DG
3	43	57	LG
4	48	52	LG
5	49	51	LG
Total	275	225

(a) Partido Gris Oscuro (DG): * Porcentaje del voto: $275/500 = 55\%$ * Escaños ganados: 2 (Distritos 1 y 2). * En una representación proporcional pura, con el 55% de los votos, “debería” tener aproximadamente 2.75 escaños.

(b) Partido Gris Claro (LG): * Porcentaje del voto: $225/500 = 45\%$ * Escaños ganados: 3 (Distritos 3, 4 y 5).

(c) Eficiencia de los votos: A simple vista, LG hizo un uso más eficiente de sus votos. Con solo el 45% del voto popular, logró ganar el 60% de los escaños (3 de 5). DG, con el 55% de los votos, solo ganó el 40% de los escaños.

(6) Cálculo de votos desperdiciados y Brecha de Eficiencia

Para calcular los votos desperdiciados: * En un distrito ganado, los votos desperdiciados son los que superan la mitad más uno (es decir, votos totales del ganador $-$ 51). * En un distrito perdido, todos los votos del partido perdedor se consideran desperdiciados.

Completando la tabla (ejemplos): * Distrito 1 (Gana DG): DG desperdicia $75 - 51 = 24$. LG desperdicia todos sus 25 votos. Voto neto desperdiciado: $24 (DG) - 25 (LG) = -1$ (1 voto neto desperdiciado a favor de LG). * Distrito 4 (Gana LG): LG gana 52-48. LG desperdicia $52 - 51 = 1$. DG desperdicia todos sus 48 votos. Voto neto: $48 (DG) - 1 (LG) = 47$ (a favor de DG). * Distrito 5 (Gana LG): LG desperdicia $51 - 51 = 0$ (o 1, dependiendo del redondeo; se asume 0 para simplificar). DG desperdicia 49.

Distrito	Votos DG	Votos LG	Votos DG Desperd.	Votos LG Desperd.	Voto Neto Desperd.
1	75	25	24	25	-1 (LG)
2	60	40	9	40	-31 (LG)
3	43	57	43	6	+37 (DG)
4	48	52	48	1	+47 (DG)
5	49	51	49	0	+49 (DG)
Total	275	225	173	72

(7) y (8) Cálculo e interpretación de la Brecha de Eficiencia

(7) Partido que desperdició más votos: * DG desperdició 173 votos. * LG desperdició 72 votos. * DG desperdició 101 votos más que LG ($173 - 72 = 101$). Este es el número neto de votos desperdiciados a favor de LG.

(8) Cálculo de la Brecha de Eficiencia: * Fórmula: $\text{Brecha de Eficiencia} = \frac{\text{Votos Netos Desperdiciados a favor del Partido Favorecido}}{\text{Total de Votos Emitidos}}$ * Cálculo: $101 / 500 = 0.202$ → 20% * Interpretación: La Brecha de Eficiencia es del 20% a favor del Partido Gris Claro (LG). Esto significa que, debido a la forma en que se trazaron los distritos, el LG obtuvo una ventaja equivalente al 20% del total de votos. Una brecha superior al 7% a menudo se argumenta como inconstitucional, lo que indica una manipulación severa.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Matemático	Aplicación en el Contexto del Gerrymandering	¿Por Qué es Importante?
Porcentajes y Proporciones	Calcular el porcentaje del voto popular vs. el porcentaje de escaños ganados. Permite medir la desproporcionalidad (ej: 55% de votos → 40% de escaños).	Es la base para identificar una posible injusticia. Un desajuste grande sugiere manipulación.
Concepto de “Voto Desperdiciado”	Operacionalizar la injusticia. Un voto no cuenta si: 1) es para el perdedor, o 2) es “excedente” para el ganador.	Convierte un problema político complejo en un problema de conteo y medición cuantificable, crucial para los argumentos legales.
La Brecha de Eficiencia	Sintetizar toda la distribución de votos en un solo número (un porcentaje) que mide la ventaja partidista neta incorporada en un mapa.	Proporciona un “estándar viable” potencial para que los tribunales evalúen la imparcialidad de un mapa, como se buscaba en Wisconsin.
Representación Visual y Geométrica	Los mapas de distritos (rectángulos divididos) muestran cómo la geografía de los votos (dónde vive la gente) interactúa con las fronteras arbitrarias para producir resultados.	Ayuda a visualizar tácticas como “cracking” (fragmentar un grupo) y “packing” (concentrarlo), haciendo abstractos los conceptos concretos.
Razonamiento Crítico con Datos	Filtrar información: no todos los números importan igual. En una elección por distritos, solo gana quien tiene más votos en cada distrito, no el total estatal.	Enseña que la estructura del sistema (cómo se suman los votos) es tan importante como los votos mismos. Es una lección clave en alfabetización cívica y mediática.

Conclusión: El gerrymandering es un claro ejemplo de cómo las matemáticas no son solo números abstractos, sino herramientas poderosas para modelar, analizar y (esperemos) mejorar los sistemas del mundo real. Al aplicar conceptos como porcentajes, proporciones y medidas de eficiencia, podemos pasar de la mera queja sobre la injusticia política a un análisis cuantitativo riguroso que puede sustentar argumentos en tribunales y en el debate público. Esta lección refuerza que el razonamiento cuantitativo es una habilidad esencial para la ciudadanía informada en una democracia.

Esta página titulada 6.1: Quantway Core 1.5-SJ (Gerrymandering) - Lección para estudiantes se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

Nota sobre la aplicación real: Los cálculos de la Brecha de Eficiencia se han simplificado ligeramente para fines didácticos. En casos legales reales, como el de Wisconsin mencionado en la lección, los cálculos pueden ser más complejos y considerar elecciones múltiples. Además, un ejemplo contemporáneo de este debate ocurre en Carolina del Norte, donde un nuevo mapa electoral aprobado en 2025 ha sido calificado como gerrymandering, al buscar alterar el balance de poder a favor de un partido.

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5.2: Los grandes numeros

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🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta lección, deberías comprender que:

La magnitud de los números grandes se ve en el valor posicional y en la notación científica.
Las proporciones son una forma de comparar números de magnitudes variables.
Es posible que se necesiten diferentes comparaciones para evaluar con precisión dos o más cantidades.

Al final de esta lección, deberías poder:

Expresar números en notación científica.
Estimar y calcular proporciones de números grandes.
Utilizar cálculos múltiples para comparar cantidades.
Comparar y clasificar números, incluidos aquellos de diferentes magnitudes (millones, miles de millones).

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: COMPARACIÓN DE POBLACIONES

En esta situación, compararás las poblaciones de China y Estados Unidos, y las de cada país con la población mundial, usando notación científica.

Recordatorio: Notación Científica Un número en notación científica se escribe como $a × 10^n$, donde $1 ≤ a < 10$ y $n$ es un número entero.

Ejemplos:

4,300,000,000 personas = $4.3 × 10^9$
28,930,000 = $2.893 × 10^7$

(1) Población de EE. UU. y del mundo (2014)

(a) Escribe en notación científica.

Población de EE. UU. (2014): 318,000,000 = $3.18 × 10^8$
Población mundial (2014): 7.2 mil millones = $7.2 × 10^9$

(b) Ventaja de la notación científica para comparar:

Al expresar los números con la misma base (10), es más fácil comparar sus órdenes de magnitud ($n$). Aquí, la población mundial ($10^9$) es un orden de magnitud mayor que la de EE. UU. ($10^8$).

(2) Razón: Población de EE. UU. vs. Población Mundial

Fracción: $\frac{3.18 × 10^8}{7.2 × 10^9} = \frac{3.18}{7.2} × 10^{-1} \approx 0.0442$
Porcentaje: $0.0442 × 100\% \approx 4.42\%$

Interpretación: En 2014, la población de EE. UU. representaba aproximadamente el 4.4% de la población mundial.

(3) Razón: Población de China vs. Población de EE. UU. (2014)

Población de China (2014): 1.363 mil millones = $1.363 × 10^9$
Población de EE. UU. (2014): $3.18 × 10^8$
Razón (China / EE. UU.): $\frac{1.363 × 10^9}{3.18 × 10^8} = \frac{1.363}{3.18} × 10^{1} \approx 4.29$

Interpretación en contexto: En 2014, la población de China era aproximadamente 4.3 veces mayor que la población de los Estados Unidos.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: COMPARACIÓN DE LAS POBLACIONES PENITENCIARIAS

En esta situación, analizarás datos sobre poblaciones carcelarias de varios países para calcular y comparar sus tasas de encarcelamiento.

La siguiente tabla muestra una parte de la Lista de Población Carcelaria Mundial de 2015.

Tabla 1: Poblaciones carcelarias en 2015

País	Población total (en millones)	Población carcelaria (en miles)
China	1393.8	1,658
Estados Unidos	317.76	2,217
Indonesia	253.18	162
Brasil	202.03	608
Rusia	144.4	642

(4) Observación inicial de los datos

Sin cálculos, se observa que EE. UU. tiene una población carcelaria absoluta más alta que China (2,217,000 vs. 1,658,000), a pesar de que China tiene una población total más de 4 veces mayor. Esto sugiere una posible diferencia significativa en las políticas de justicia criminal entre ambos países.

(5) Cálculo para China

(a) Población carcelaria en notación estándar: 1,658 (miles) = 1,658,000 personas

(b) Razón y porcentaje:

Razón: $\frac{1,658,000}{1,393,800,000}$
Cálculo decimal: $0.001189...$
Porcentaje: $0.001189 × 100\% \approx 0.119\%$
Para la tabla: 0.12% (redondeado)

(6) Cálculos para los demás países y comparación

(a) Porcentajes para completar la tabla:

La fórmula general es: $\text{Porcentaje} = \left( \frac{\text{Población Carcelaria (en miles)} \times 1,000}{\text{Población Total (en millones)} \times 1,000,000} \right) \times 100\%$

País	Cálculo	Porcentaje (aprox.)
EE. UU.	$\frac{2,217,000}{317,760,000} \times 100\%$	0.70%
Indonesia	$\frac{162,000}{253,180,000} \times 100\%$	0.064%
Brasil	$\frac{608,000}{202,030,000} \times 100\%$	0.30%
Rusia	$\frac{642,000}{144,400,000} \times 100\%$	0.44%

Tabla 1 completa:

País	Población total (millones)	Población carcelaria (miles)	% en prisión
China	1393.8	1,658	0.12%
EE. UU.	317.76	2,217	0.70%
Indonesia	253.18	162	0.064%
Brasil	202.03	608	0.30%
Rusia	144.4	642	0.44%

(b) Comparación final:

El país con el menor porcentaje es Indonesia (0.064%).
EE. UU. tiene el porcentaje más alto (0.70%) de la tabla. Su tasa de encarcelamiento es aproximadamente 5.8 veces mayor que la de China (0.70% vs. 0.12%).

(7) Comparación: Población carcelaria de EE. UU. vs. Mundial

Población carcelaria mundial (2015): 10.35 millones = 10,350,000.
Población carcelaria de EE. UU. (2015): 2,217,000.
Fracción: $\frac{2,217,000}{10,350,000} \approx 0.214$
Porcentaje: $0.214 × 100\% = 21.4\%$

(8) Interpretación de las comparaciones

Sobre la Pregunta 2: Aunque en 2014 los Estados Unidos albergaban solo alrededor del 4.4% de la población mundial…

Sobre la Pregunta 7: … en 2015, albergaba aproximadamente el 21% de la población carcelaria mundial. Esto muestra una desproporción extrema, indicando que EE. UU. encarcela a su población a una tasa mucho más alta que el promedio mundial.

🔹 APLICACIONES ADICIONALES: TENDENCIAS HISTÓRICAS

(9) Análisis de la población carcelaria de EE. UU. en 1961 vs. 2015

(a) Porcentaje en prisión en 1961:

Población carcelaria: 220,149.
Población total: 183.7 millones = 183,700,000.
Porcentaje: $\frac{220,149}{183,700,000} \times 100\% \approx 0.12\%$

(b) Comparación de la población total (1961 vs. 2015): * Población 2015: 317.76 millones.

Población 1961: 183.7 millones.
Razón: $\frac{317.76}{183.7} \approx 1.73$

La población total en 2015 era aproximadamente 1.7 veces mayor (un 73% más) que en 1961.

(c) Comparación de la población carcelaria (1961 vs. 2015):

Población carcelaria 2015: 2,217,000.
Población carcelaria 1961: 220,149.
Razón: $\frac{2,217,000}{220,149} \approx 10.07$

La población carcelaria en 2015 era aproximadamente 10 veces mayor que en 1961, un incremento mucho más dramático que el del crecimiento poblacional general.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Notación Científica para Números Grandes	Es una herramienta esencial para manejar y comparar órdenes de magnitud (potencias de 10). Permite ver de un vistazo, por ejemplo, que una población de $10^9$ es 10 veces mayor que una de $10^8$, facilitando comparaciones entre países y con el total mundial.
Razones y Porcentajes para Comparar Proporciones	Para comparar poblaciones de tamaños muy diferentes (como EE. UU. y China), los números absolutos pueden engañar. Calcular razones (fracciones) y porcentajes (como el % de la población en prisión) permite hacer comparaciones justas y significativas, revelando verdaderas diferencias en las tasas de encarcelamiento.
Comparaciones Múltiples para un Panorama Completo	Una sola estadística no cuenta la historia completa. Para entender el fenómeno del encarcelamiento en EE. UU., necesitamos múltiples puntos de comparación: su porcentaje de la población mundial (4.4%) vs. su porcentaje de la población carcelaria mundial (21%), y su tasa actual (0.70%) vs. su tasa histórica (0.12% en 1961).
Interpretación de Datos en Contexto	Los números por sí solos no son suficientes. Debemos interpretarlos en su contexto social y político. La enorme discrepancia entre la población de EE. UU. y su población carcelaria a nivel global apunta a decisiones políticas y legales específicas (como leyes de sentencias más duras y la “guerra contra las drogas” iniciada en los años 70 y 80) que han llevado a un encarcelamiento masivo desproporcionado.
Crecimiento Relativo vs. Absoluto	Es crucial distinguir entre crecimiento absoluto (2 millones más de personas en prisión) y crecimiento relativo (10 veces más desde 1961). El crecimiento relativo, especialmente cuando supera con creces el crecimiento de la población general (1.7 veces), revela un cambio fundamental en las políticas de un país, no solo un cambio demográfico.

Conclusión: Esta lección demuestra que las herramientas matemáticas fundamentales (notación científica, razones, porcentajes, comparaciones) son poderosas para analizar problemas sociales complejos. Al aplicarlas a los datos de encarcelamiento, vemos claramente que Estados Unidos es una anomalía global, con una tasa de encarcelamiento que es múltiples veces superior a la de otros países desarrollados y que ha crecido exponencialmente desde la década de 1970 debido a factores políticos y legales, no a cambios en la población o el crimen. Este análisis cuantitativo es el primer paso esencial para comprender la escala del “encarcelamiento masivo” y debatir posibles reformas.

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5.3: Raza y Encarcelamiento

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🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta lección, deberías comprender que:

Los porcentajes siempre implican un numerador (valor de comparación) y un denominador (valor de referencia).
El lenguaje para describir porcentajes determina qué cantidades se comparan.
Las comparaciones justas requieren identificar correctamente los grupos de referencia.

Al final de esta lección, deberías poder:

Identificar correctamente las cantidades en enunciados sobre porcentajes.
Convertir entre proporciones, decimales y porcentajes.
Leer y utilizar información de tablas de datos.
Calcular e interpretar porcentajes en contextos de justicia social.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA: EL LENGUAJE DE LOS PORCENTAJES

En esta actividad, examinaremos datos sobre tasas de encarcelamiento por raza en EE.UU. Los porcentajes ayudan a comparar grupos, pero el lenguaje puede confundir. ¡Presta atención!

Considera estas cuatro cantidades diferentes:

P1: Porcentaje de estadounidenses negros que están encarcelados.
P2: Porcentaje de estadounidenses blancos que están encarcelados.
P3: Porcentaje de personas encarceladas que son negras.
P4: Porcentaje de personas encarceladas que son blancas.

(1) Predicciones iniciales

(a) ¿Cuál crees que es mayor: P1 o P2? Discute con tu grupo. (b) ¿Cuál crees que es mayor: P1 o P3? Discute con tu grupo.

🔹 ANÁLISIS DE DATOS: GRÁFICO DE 2019

El siguiente gráfico muestra datos reales de encarcelamiento en EE.UU. en 2019:

Descripción visual:

Eje Y: Porcentaje (0% a 70%)
Eje X: Tres grupos (Blanca, Latina, Negra)
Dos barras por grupo:
- Gris: % de la población total de EE.UU.
- Blanca: % de la población encarcelada

Datos aproximados del gráfico:

Población Blanca: 60% (del total) | ~40% (de los encarcelados)
Población Negra: ~12% (del total) | ~40% (de los encarcelados)
Población Latina: ~20% (del total) | ~20%+ (de los encarcelados)

(2) Interpretar el gráfico

Completa las oraciones con la información del gráfico:

Aproximadamente el 60% de la población de EE.UU. es blanca.
Aproximadamente el ______% de ______________________ es ______________.
Aproximadamente el ______% de ______________________ es ______________.
Aproximadamente el ______% de ______________________ es ______________.
Aproximadamente el ______% de ______________________ es ______________.
Aproximadamente el ______% de ______________________ es ______________.

🔹 CÁLCULOS CON NÚMEROS REALES

(3) Cálculos con datos de 2019

(a) Población total de EE.UU. (2019): 328,000,000 personas * Calcula el número de personas blancas (~60% del total): * $328,000,000 = $ ________ * Calcula el número de personas negras (~12% del total): * $328,000,000 = $ ________

(b) Población encarcelada (2019): 1,900,000 personas * Calcula el número de encarcelados blancos (~40% del total): * $1,900,000 = $ ________ * Calcula el número de encarcelados negros (~40% del total): * $1,900,000 = $ ________

(c) Completa la tabla y calcula porcentajes:

Grupo Racial	Población Total	Población Encarcelada
Blanco	________	________
Negro	________	________

(i) Calcula P1: $ = % = $ ________%

(ii) Calcula P2: $ = % = $ ________%

🔹 RESULTADOS Y ANÁLISIS CRÍTICO

(4) Resumen de los cuatro porcentajes

P1 (Porcentaje de negros encarcelados): ________%
P2 (Porcentaje de blancos encarcelados): ________%
P3 (Porcentaje de encarcelados que son negros): ________%
P4 (Porcentaje de encarcelados que son blancos): ________%

(5) Diferencia entre P1/P2 y P3/P4

Explica por qué P1 puede ser muy diferente de P2, pero P3 puede ser similar a P4.

(6) ¿Qué comparación es más relevante?

Para determinar si existe disparidad racial en el encarcelamiento, ¿qué par deberíamos comparar? * P1 versus P2 (tasas por grupo racial) * P3 versus P4 (composición de las prisiones)

(7) Cálculo de la razón de disparidad

Si elegiste comparar P1 y P2, calcula:

$ = = $ ________

Escribe una interpretación completa:

“En 2019, los estadounidenses negros tenían aproximadamente ________ veces más probabilidades de estar encarcelados que los estadounidenses blancos. Esto significa que por cada persona blanca encarcelada, había aproximadamente ________ personas negras encarceladas en proporción a sus poblaciones respectivas.”

(8) Factores sociales

¿Qué factores históricos, económicos o políticos podrían contribuir a las diferencias que encontraste?

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la discusión:

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Estructura de un Porcentaje	Cada porcentaje tiene un numerador (parte) y un denominador (todo). Cambiar cuál es el “todo” cambia completamente el significado. P1 y P3 usan denominadores diferentes (población negra vs. población encarcelada), por eso miden cosas distintas.
Tasas vs. Composición	P1 y P2 son tasas (riesgo de encarcelamiento). P3 y P4 son composiciones (quién está en prisión). Para analizar desigualdad, comparamos tasas (P1 vs. P2), no composiciones. Una prisión podría ser 50% blanca y 50% negra (P3≈P4), pero si hay 5 veces más blancos en el país, ¡la tasa para negros es mucho mayor!
El Poder del Lenguaje	Decir “el 40% de los presos son negros” (P3) suena diferente a decir “los negros tienen X% de probabilidad de ser encarcelados” (P1). Las matemáticas nos ayudan a traducir entre estos lenguajes y entender la realidad completa.
Razones para Comparar Desigualdad	La razón P1/P2 (ej: 5.8) resume la disparidad en un solo número comprensible: “Los negros tienen 5.8 veces más probabilidades de ser encarcelados”. Esta es una herramienta poderosa para la abogacía y el cambio de políticas.
Contexto Social de los Datos	Los números no surgen de la nada. La disparidad racial en el encarcelamiento está ligada a historia de racismo estructural, políticas de drogas desiguales, sesgo en sentencias judiciales, y desigualdad económica. Las matemáticas cuantifican el problema, pero necesitamos otras disciplinas para entender sus causas y soluciones.

Conclusión: Esta lección demuestra que entender porcentajes y razones es esencial para analizar problemas sociales complejos como la justicia racial. Al aplicar estas herramientas a datos reales, vemos claramente que existe una desproporción significativa en las tasas de encarcelamiento por raza en EE.UU. Este análisis cuantitativo es el primer paso para comprender la escala del problema y abogar por un sistema de justicia más equitativo.

Esta página titulada 6.3: Quantway Core 1.8-SJ (Raza y encarcelamiento) - Lección para estudiantes se comparte bajo una licencia CC BY-NC 4.0 y fue creada, remezclada y/o curada por Carnegie Math Pathways (WestEd).

Aquí tienes la lección “Quantway Core 3.7-TCU” sobre proporciones y el Monumento a Caballo Loco, adaptada al formato estilístico que has solicitado.

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5.4: Proporciones en Contexto Histórico

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

Las relaciones proporcionales se basan en una razón constante.
Las reglas para resolver ecuaciones pueden aplicarse en situaciones desconocidas.

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Establecer una proporción a partir de una situación contextual.
Resolver una proporción utilizando métodos algebraicos.

🔹 ANTECEDENTES HISTÓRICOS: EL MONUMENTO A CABALLO LOCO

En respuesta a la construcción del Monte Rushmore, el jefe lakota Henry Standing Bear quiso crear un monumento en honor a los indígenas norteamericanos. Contactó al escultor Korczak Ziolkowski para que creara un monumento a un gran héroe: Caballo Loco (Crazy Horse).

Caballo Loco (Tasunke Witco), un guerrero Oglala Lakota, es famoso por su papel en la Batalla de Little Big Horn. Es un símbolo querido para el pueblo Lakota por su resistencia y humildad. El Monumento a Caballo Loco, tallado en el Thunderhead Mountain, será la escultura más grande del mundo una vez completada, superando enormemente en escala al Monte Rushmore.

La construcción comenzó en 1947 y continúa hoy en día, dirigida por los descendientes de Ziolkowski. El monumento es una poderosa declaración sobre la historia y la resistencia de los pueblos indígenas.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: EL MONUMENTO A CABALLO LOCO

Para construir un monumento tan enorme, los artistas crean maquetas a escala. Estas son versiones más pequeñas, pero proporcionalmente idénticas, del modelo final.

(1) Comprender la escala

Las maquetas del monumento tienen escalas de 1:34 y 1:300. * Predicción: ¿Cuál de los dos modelos a escala es más grande? ¿1:34 o 1:300? Explica tu razonamiento.

(2) Dimensiones del monumento

El Monumento a Caballo Loco tendrá 641 pies de largo y 563 pies de alto. (a) Completa la tabla calculando la longitud de cada modelo a escala.

Modelo a Escala	Longitud (pies)
1:34	________
1:300	________

(b) Completa la tabla calculando la altura de cada modelo a escala.

Modelo a Escala	Altura (pies)
1:34	________
1:300	________

(3) Cálculos de características específicas

(a) En el modelo a escala 1:300, ¿cuál sería una unidad de medida más apropiada para el brazo de la estatua: pulgadas o pies? (b) En el monumento real, el brazo extendido de Caballo Loco mide 263 pies. Usando la escala 1:300, calcula la longitud del brazo en el modelo. (c) La cara del monumento mide 87 pies y 6 pulgadas. Usando la escala 1:300, calcula la altura de la cara en la maqueta. (d) En el modelo original, el dedo índice mide 1.18 pulgadas. ¿Cuántos pies y pulgadas medirá ese dedo en el monumento final a escala real?

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: APLICANDO FACTORES DE ESCALA

Un factor de escala se puede usar para agrandar o reducir cualquier forma.

(4) Rectángulos proporcionales

Se tiene un rectángulo grande (ABCD) y uno más pequeño (EFGH). El factor de escala para pasar de ABCD a EFGH es 3:1 (el original es 3 veces más grande que la reducción). Si se conocen algunas dimensiones, puedes usar la proporción para encontrar las medidas faltantes.

(5) La Torre del Diablo

La Torre del Diablo es un monumento nacional que mide 867 pies de altura. Existe una maqueta de esta torre que mide 5 pulgadas de alto y tiene una base de 9.7 pulgadas de largo. (a) Usando la proporción entre la maqueta y el monumento real, calcula la longitud de la base de la Torre del Diablo real. (b) Calcula el factor de escala (en forma de razón, por ejemplo, 1:x) que relaciona la maqueta con la torre real.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la lección:

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
La Razón Constante	El corazón de una relación proporcional es que la razón entre dos cantidades se mantiene constante. En una maqueta a escala 1:300, 1 unidad en el modelo corresponde siempre a 300 unidades en la realidad, ya sea para medir largo, alto o ancho.
La Proporción como Ecuación	Una proporción es una ecuación que afirma la igualdad de dos razones (ej: `modelo/realidad = 1/300`). Esto nos permite usar todas las reglas del álgebra (multiplicación cruzada, despejar incógnitas) para resolver problemas donde una cantidad es desconocida.
Aplicación en Contextos Reales y Culturales	Las proporciones no son solo ejercicios abstractos. Son herramientas esenciales en arquitectura, ingeniería, cartografía y arte. En este caso, entenderlas nos permite apreciar la inmensa escala de un monumento cultural y el trabajo preciso detrás de su planificación.
Consistencia en las Unidades	El error más común al trabajar con proporciones es mezclar unidades (pies con pulgadas, metros con centímetros). Antes de plantear la ecuación, es crítico convertir todas las medidas a la misma unidad. Esto garantiza que la razón sea correcta y la solución, exacta.
Interpretación del Factor de Escala	Un factor de escala 1:34 significa que el modelo es 34 veces más pequeño. Un factor 3:1 (como en el problema 4) significa que la figura original es 3 veces más grande que la reducción. Saber qué representa cada número en la razón es clave para plantear correctamente la proporción (¿modelo/realidad o realidad/modelo?).

Conclusión: Esta lección demuestra cómo el razonamiento proporcional es un puente entre las matemáticas y el mundo real. Al aplicar estas herramientas al Monumento a Caballo Loco y a la Torre del Diablo, no solo practicamos habilidades algebraicas, sino que también nos conectamos con la historia, la cultura y la ingeniería detrás de monumentos emblemáticos. La capacidad de establecer y resolver proporciones te permitirá analizar y comprender la escala de objetos, desde mapas hasta modelos, en tu vida diaria y profesional.

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5.5: Fuerza Laboral (Atención Médica)

Carnegie Math Pathways | Carolina del Norte Educación Occidental

🔹 INTRODUCCIÓN: TABLAS DE COMPRENSIÓN Y SÍNTESIS (CaS)

Puedes usar la Tabla de Comprensión y Síntesis (CaS) en esta colaboración. Esta herramienta te ayuda a: * Comprender los problemas principales que se deben resolver. * Reconocer la información cuantitativa disponible. * Organizar tu razonamiento para facilitar la resolución de problemas.

Cómo completar la Tabla CaS:

Columna A: ¿Qué aspectos del problema necesitas comprender? ¿Qué información del contexto es importante?
Columna B: ¿Qué información numérica clave te da el problema? (No solo cifras, también palabras numéricas).
Columna C: Usando la información de la Columna B, ¿cómo podrías abordar los problemas de la Columna A? Haz una lluvia de ideas. No realices cálculos todavía.

Columna A	Columna B	Columna C
¿Cuál(es) es(son) el(los) problema(s) principal(es) en esta situación problemática?	¿Cuál es la información cuantitativa clave que necesita para resolver los problemas?	Describe por escrito cómo la información de la Columna B le ayudará a abordar los problemas de la Columna A más adelante en la lección. (Ej: “Podría usar X para calcular Y y comparar con Z”).
Ejemplo: Calcular cuánto debe pagar una familia por su seguro médico.	Ejemplo: Umbral de pobreza, porcentajes de ingresos, costo del plan.	Ejemplo: Multiplicando el ingreso familiar por el porcentaje de la tabla, puedo hallar su pago máximo. Comparando eso con el costo total, puedo ver cuánto subsidio recibe.
(Completa con tu equipo)	(Completa con tu equipo)	(Completa con tu equipo)

🔹 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Al final de esta colaboración, deberías comprender que:

La flexibilidad con los cálculos es una habilidad cuantitativa importante.
A menudo son posibles y útiles distintos métodos de cálculo (diferentes formas de llegar a la misma respuesta).

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Escribir un cálculo de al menos dos maneras diferentes, usando:
- Formas equivalentes de fracciones, decimales y porcentajes.
- La relación entre multiplicación y división.
- Propiedades como la conmutativa, el orden de operaciones y la distributiva.

🔹 OBJETIVOS DE LENGUAJE Y ALFABETIZACIÓN

Al final de esta colaboración, deberías poder:

Leer y comprender la situación del problema y la tabla de “Contribución a la Prima”.
Completar la Tabla CaS con información sobre la Ley de Cuidado de Salud Asequible.
Demostrar comprensión escribiendo respuestas completas y correctas.
Describir, analizar y sintetizar información sobre esta ley usando vocabulario apropiado.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1: LA LEY DE CUIDADO DE SALUD ASEQUIBLE

La Ley de Cuidado de Salud Asequible (ACA) ofrece ayuda financiera a familias de bajos ingresos para comprar seguro médico. La ayuda se calcula usando las Líneas Federales de Pobreza (FPL).

En 2014, el umbral de pobreza era:
- $11,670 para una persona.
- $23,850 para una familia de cuatro.
Las familias que ganan entre 100% y 400% del FPL pueden recibir ayuda.
El gobierno determina un porcentaje máximo de sus ingresos que la familia debe pagar. El gobierno cubre el resto mediante un crédito fiscal.

Tabla: Contribución a la Prima (Familia de 4 en 2014)

Porcentaje de la Línea de Pobreza	Contribución como % del Ingreso
100% – 133%	2%
133% – 150%	3% – 4%
150% – 200%	4% – 6.3%
200% – 250%	6.3% – 8.1%
250% – 300%	8.1% – 9.5%
300% – 400%	9.5%

(1) Factores Determinantes Hagan una lluvia de ideas: ¿Qué factores determinan cuánto paga una familia por su seguro bajo la ACA? Escriban su respuesta en una o dos oraciones completas.

(2) Estimación Rápida Estimen (sin calculadora) los ingresos anuales de una persona que está en el 150% del umbral de pobreza ($11,670). Expliquen la estrategia mental que usaron.

(3) Flexibilidad en los Cálculos El objetivo es hallar el ingreso exacto para el 150% del FPL. * Consigna: Escriban tantas expresiones matemáticas diferentes como puedan que representen este cálculo. Por ejemplo: 1.5 × 11,670 o (150/100) × 11,670. * Después: Usen una calculadora para encontrar el valor exacto.

(4) Caso de Estudio: La Familia de William y Vanessa Esta familia de cuatro tiene un ingreso anual de $31,200. (a) Calculen sus ingresos como porcentaje de la línea de pobreza ($23,850). (b) Usando la tabla, calculen la cantidad máxima mensual que esta familia tendría que pagar por su cobertura médica.

🔹 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2: COSTOS MENSUALES Y AYUDA GUBERNAMENTAL

Las familias eligen entre varios planes (Catastrófico, Bronce, Plata, Oro, Platino). El Plan Plata es el plan “estándar”. El subsidio del gobierno se calcula así: Subsidio = Costo del Plan Estándar - Pago Máximo de la Familia

(5) Cálculo del Subsidio para William y Vanessa En su comunidad, el Plan Plata para su familia cuesta $11,064 al año. * Escriban una expresión matemática para calcular cuánta ayuda mensual recibe esta familia del gobierno.

(6) Explicación en Palabras Escriban una o dos oraciones completas que expliquen: * Cuánto pagan William y Vanessa cada mes por su seguro. * Cuánto reciben de ayuda del gobierno cada mes.

(7) Presupuesto Familiar La familia tiene estos gastos mensuales promedio. Calculen su gasto total anual.

Concepto	Gasto Mensual
Alquiler	$1,250
Servicios públicos	$200
Alimentos	$400
Cuidado de salud	$52
Total Anual	?

(8) Comparación: La Familia Aziz Esta familia de cuatro tiene un ingreso anual de $72,000. También les interesa el Plan Plata ($11,064/año). (a) ¿Cuál es el porcentaje máximo de sus ingresos que tendrían que destinar a salud? (b) Calculen el pago máximo mensual para esta familia. (c) Calculen la ayuda mensual del gobierno que recibiría la familia Aziz por el Plan Plata.

🔹 ESTABLECIENDO CONEXIONES

Ideas matemáticas importantes de la lección:

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Flexibilidad de Cálculo	No hay una sola forma “correcta” de calcular. Usar porcentajes (3%), decimales (0.03) o fracciones (3/100) para multiplicar un ingreso es igual de válido. Esta flexibilidad te permite elegir el método más eficiente o comprensible según los números.
La Tabla CaS como Herramienta de Organización	Antes de hacer números, organizar el pensamiento es clave. La Tabla CaS te obliga a identificar: 1) Qué preguntas responder (Col A), 2) Con qué datos cuentas (Col B), y 3) Una estrategia posible (Col C). Esto evita errores y da claridad.
Interpretación de Tasas y Porcentajes en Contexto	Un “9.5%” no es solo un número. En la ACA, representa un compromiso financiero máximo vinculado al ingreso familiar. Entender que este porcentaje se aplica a los ingresos anuales para luego calcular un pago mensual es aplicar matemáticas a una política real.
De la Expresión Algebraica a la Decisión Personal	Una expresión matemática como `(Costo del Plan - (Ingreso × Porcentaje Máximo)) / 12` se traduce en dinero real que una familia ahorra o debe pagar cada mes. Este puente entre el álgebra y la economía doméstica es el corazón del razonamiento cuantitativo.
Comparación Relativa (Porcentajes) vs. Absoluta (Dólares)	Una familia con ingresos altos (Aziz) puede pagar más dólares en prima, pero un porcentaje menor de sus ingresos que una familia de ingresos moderados (William/Vanessa). Ambas comparaciones son necesarias para entender la equidad y el impacto económico de una política.

Conclusión: Esta lección demuestra que las matemáticas son una herramienta fundamental para la ciudadanía informada. Al aprender a calcular con flexibilidad y a desglosar problemas complejos (como el costo de un seguro), desarrollas habilidades para tomar decisiones financieras inteligentes y comprender políticas públicas que afectan tu vida y la de tu comunidad.

Ingreso Tributable	Impuesto
\(\$0\)–\(\$9,950\)	\(10\%\) del ingreso
\(\$9,951\)–\(\$40,525\)	\(\$995.00 + 12\%\) del exceso sobre \(\$9,950\)
\(\$40,526\)–\(\$86,375\)	\(\$4,664.00 + 22\%\) del exceso sobre \(\$40,525\)

Precio gasolina	Distancia (ida+vuelta)	Costo alquiler total	Costo por milla
\(\$3.50\)	386 millas	\(\$170.96\)	\(\$0.443\)
\(\$5.00\)	386 millas	\(\$181.51^{*}\)	\(\$0.470\)
\(\$3.50\)	772 millas	\(\$204.91^{*}\)	\(\$0.265\)
\(\$5.00\)	772 millas	\(\$225.77^{*}\)	\(\$0.292\)

Precio gasolina	Distancia (ida+vuelta)	Costo total propio auto	Costo por milla
\(\$3.50\)	386 millas	\(\$99.20\)	\(\$0.257\)
\(\$5.00\)	386 millas	\(\$115.84^{*}\)	\(\$0.300\)
\(\$3.50\)	772 millas	\(\$198.40^{*}\)	\(\$0.257\)
\(\$5.00\)	772 millas	\(\$231.68^{*}\)	\(\$0.300\)

Concepto	2001 (32 mm)	2021 (55 mm)	Cambio relativo
Altura	32 mm	55 mm	\(\frac{55-32}{32} \times 100\% = 71.9\%\)
Área (\(A = \pi r^2\))	\(\pi(16)^2 = 804.2 \text{ mm}^2\)	\(\pi(27.5)^2 = 2375.8 \text{ mm}^2\)	\(\frac{2375.8-804.2}{804.2} \times 100\% = 195.5\%\)
Volumen (\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\))	\(\frac{4}{3}\pi(16)^3 = 17157.3 \text{ mm}^3\)	\(\frac{4}{3}\pi(27.5)^3 = 87026.5 \text{ mm}^3\)	\(\frac{87026.5-17157.3}{17157.3} \times 100\% = 407.2\%\)

Tiempo (\(t\))	Cálculo	BAC (\(B\))
1 hora	\(0.191 - 0.015(1)\)	\(0.176\)
3 horas	\(0.191 - 0.015(3)\)	\(0.146\)
5 horas	\(0.191 - 0.015(5)\)	\(0.116\)

Tienda	Peso	Precio	Precio por Onza (Cálculo)	Precio Unitario
Kroger	280 g	\(\$4.29\)	\(\frac{\$4.29}{280 \text{ g}} \times 28.35 \frac{\text{g}}{\text{oz}}\)	\(\$0.435/\text{oz}\)
Byler’s	350 g	\(\$5.12\)	\(\frac{\$5.12}{350 \text{ g}} \times 28.35 \frac{\text{g}}{\text{oz}}\)	\(\$0.415/\text{oz}\)

Tamaño	Peso (oz)	Precio Esperado	Precio Real	Comparación
16.5 oz	16.5	\(\$6.73\)	\(\$6.00\)	Más barato
13.5 oz	13.5	\(\$5.51\)	\(\$5.40\)	Más barato
1.5 oz	1.5	\(\$0.61\)	\(\$1.00\)	Más caro

Símbolo	Significado	Unidades
\(d\)	Distancia de frenado	pies (ft)
\(v_0\)	Velocidad inicial	pies/segundo (ft/s)
\(g\)	Aceleración gravitacional	\(32.2 \text{ ft/s}^2\)
\(f\)	Coeficiente de fricción	adimensional (0 < f < 1)
\(G\)	Pendiente de la carretera	adimensional (decimal)

Variable	Descripción	Valores típicos
\(B\)	Porcentaje de BAC (en decimal)	Ej: 0.08 para 0.08%
\(N\)	Número de bebidas estándar	≥ 1
\(W\)	Peso en libras	-
\(r\)	Tasa de distribución	0.68 (hombres), 0.55 (mujeres)
\(t\)	Horas desde primera bebida	-

GB utilizados (\(g\))	Costo	Ecuación
0	20	\(P = 20\)
1	30	\(P = 20 + 10\)
2	40	\(P = 20 + 2(10)\)
3	50	\(P = 20 + 3(10)\)
4	60	\(P = 20 + 4(10)\)
5	70	\(P = 20 + 5(10)\)
10	120	\(P = 20 + 10(10)\)
\(g\)	\(20 + 10g\)	\(P = 20 + 10g\)

GB utilizados (\(g\))	Costo	Ecuación
0	60	\(U = 60\)
1	60	\(U = 60\)
2	60	\(U = 60\)
10	60	\(U = 60\)
\(g\)	60	\(U = 60\)

Intervalo (mph)	Cálculo de la pendiente	Valor (pies/mph)
5 a 15	\((8.84 - 0.98) / (15 - 5) = 7.86 / 10\)	0.786
15 a 20	\((15.72 - 8.84) / (20 - 15) = 6.88 / 5\)	1.376
20 a 30	\((35.37 - 15.72) / (30 - 20) = 19.65 / 10\)	1.965
30 a 50	\((98.24 - 35.37) / (50 - 30) = 62.87 / 20\)	3.144

Período (meses)	Cálculo	Monto Acumulado (\(A\))
1 mes	\(\$1,000 × (1 + 0.01) = \$1,000 × 1.01\)	\(\$1,010.00\)
2 meses	\(\$1,000 × (1.01)²\)	\(\$1,020.10\)
3 meses	\(\$1,000 × (1.01)³\)	\(\$1,030.30\)
6 meses	\(\$1,000 × (1.01)⁶\)	\(\$1,061.52\)
12 meses (1 año)	\(\$1,000 × (1.01)^{12}\)	\(\$1,126.83\)
24 meses (2 años)	\(\$1,000 × (1.01)^{24}\)	\(\$1,269.73\)

Período de Capitalización	Monto Final (\(A\)) después de 2 años
Mensual (\(n=12\))	\(\$1,269.73\)
Trimestral (\(n=4\))	\(\$1,266.77\)

Edad del Auto (años)	Cálculo	Valor (\(D\))
Nuevo (\(t=0\))	\(\$26,000 × (0.85)^0\)	\(\$26,000.00\)
1 año	\(\$26,000 × (0.85)^1\)	\(\$22,100.00\)
2 años	\(\$26,000 × (0.85)^2\)	\(\$18,785.00\)
5 años	\(\$26,000 × (0.85)^5\)	\(\$11,537.43\)
\(t\) años	\(\$26,000 × (0.85)^t\)	\(D = 26,000 × (0.85)^t\)

Concepto Clave	¿Qué Significa y Por Qué es Importante?
Fórmula General del Interés Compuesto	\(A = P(1 + r/n)^{(nt)}\) es la herramienta definitiva para calcular el crecimiento de inversiones* con cualquier frecuencia de capitalización. La variable \(n\) (períodos por año) es crucial para modelar con precisión productos financieros reales como cuentas de ahorro, CDs o préstamos.
Efecto de la Frecuencia de Capitalización	A mayor frecuencia de capitalización (\(n\) más grande), mayor es el monto final acumulado, dado el mismo capital, tasa anual y plazo. Esto se debe a que el “interés sobre el interés” comienza a generarse antes y con más frecuencia. Este es el principio detrás de términos como “rendimiento anual efectivo” (APY), que siempre es mayor que la tasa nominal (APR) si hay capitalización más de una vez al año.
Simetría entre Crecimiento y Decaimiento Exponencial	- Crecimiento (Inversión): \(Valor = Inicial × (1 + tasa)^t\) - Decaimiento (Depreciación): \(Valor = Inicial × (1 - tasa)^t\) Ambos son procesos de cambio multiplicativo constante, pero en direcciones opuestas. La estructura matemática es idéntica: un valor inicial multiplicado por un factor constante elevado al tiempo.
Patrón Gráfico Distintivo	- Crecimiento Exponencial (Inversión): Gráfica cóncava hacia arriba (curva que se vuelve más empinada). - Decaimiento Exponencial (Depreciación): Gráfica cóncava hacia abajo (curva que se vuelve menos empinada). Reconocer estas formas ayuda a identificar rápidamente el tipo de proceso modelado.
El Tiempo como Variable Exponencial	En ambos modelos, la variable tiempo (\(t\)) está en el exponente. Esto significa que pequeños cambios en el tiempo producen grandes cambios en el resultado final. Es la razón por la cual empezar a ahorrar/invertir temprano y mantener los bienes por más tiempo tienen impactos tan significativos en las finanzas.
Aplicaciones Prácticas y Finanzas Personales	1. Comparar Inversiones: Permite comparar CDs o cuentas de ahorro con diferentes tasas y frecuencias de capitalización para encontrar la mejor opción. 2. Planificar Grandes Compras: El modelo de depreciación ayuda a estimar el valor futuro de un auto, guiando decisiones de compra y venta. 3. Entender Préstamos y Tarjetas: La capitalización frecuente también trabaja en tu contra en las deudas, haciendo que los saldos no pagados crezcan rápidamente.

Característica	Crecimiento Exponencial	Decaimiento Exponencial
Fórmula	\(y = A(1 + r)^x\)	\(y = A(1 - r)^x\)
Tasa de cambio	\(r\) (porcentaje del valor anterior)	\(r\) (porcentaje del valor anterior)
Intersección vertical (valor inicial)	\(A\)	\(A\)
Aplicaciones	Cualquier cantidad que aumenta en el mismo % por unidad de \(x\).	Cualquier cantidad que disminuye en el mismo % por unidad de \(x\).

Característica	Crecimiento Lineal	Decaimiento Lineal
Fórmula	\(y = A + mx\)	\(y = A - mx\)
Tasa de cambio	\(m\) (cantidad constante)	\(m\) (cantidad constante)
Intersección vertical (valor inicial)	\(A\)	\(A\)
Aplicaciones	Cualquier cantidad que aumenta en la misma cantidad (\(m\)) por unidad de \(x\).	Cualquier cantidad que disminuye en la misma cantidad (\(m\)) por unidad de \(x\).

País	Cálculo	Porcentaje (aprox.)
EE. UU.	\(\frac{2,217,000}{317,760,000} \times 100\%\)	0.70%
Indonesia	\(\frac{162,000}{253,180,000} \times 100\%\)	0.064%
Brasil	\(\frac{608,000}{202,030,000} \times 100\%\)	0.30%
Rusia	\(\frac{642,000}{144,400,000} \times 100\%\)	0.44%