中級統計学：復習テスト21

作者

村澤 康友

公開

2025年12月11日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 21〜26 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（1月27日の予定）に提出すること．

  1. 以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各 20 字程度）．

  1. 統計的仮説

  2. 検定

  3. 帰無仮説

  4. 第 1 種の誤り

  5. 有意水準

  6. 検定統計量

  7. 棄却域

  1. 母集団分布に関する仮説

  2. 統計的仮説の真偽を標本から判定すること

  3. とりあえず真と想定する仮説

  4. H_0 が真なのに H_0 を棄却する誤り

  5. 許容する第 1 種の誤りの確率

  6. 検定に用いる統計量

  7. 標本（検定統計量）の値域で H_0 を棄却する領域

  1. \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) から抽出した大きさ n の無作為標本の標本平均を \bar{X} とする．\sigma^2 を既知として次の検定問題を考える．

H_0:\mu=0 \quad \text{vs} \quad H_1:\mu=1

  1. \bar{X} の分布を求めなさい．

  2. 検定統計量を与えなさい．

  3. 検定統計量の H_0 の下での分布を導きなさい．

  4. 有意水準 5％の検定の棄却域を定めなさい．

  5. 検定統計量の H_1 の下での分布を導きなさい．

  1. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1+\dots+X_n)}{n} \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1)+\dots+\operatorname{E}(X_n)}{n} \\ & =\frac{\mu+\dots+\mu}{n} \\ & =\mu \end{align*}

X_1,\dots,X_n は独立なので

\begin{align*} \operatorname{var}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{var}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1+\dots+X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1)+\dots+\operatorname{var}(X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2+\dots+\sigma^2}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2}{n} \end{align*}

正規分布の線形変換は正規分布なので

\bar{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)

Z:=\frac{\bar{X}}{\sqrt{\sigma^2/n}}

  1. H_0 の下で

Z \sim \mathrm{N}(0,1)

  1. 標準正規分布表より H_0 の下で

\Pr[Z \ge 1.65]=0.05

したがって棄却域は [1.65,\infty)．

  1. H_1 の下で

\begin{align*} Z & =\frac{\bar{X}-1+1}{\sqrt{\sigma^2/n}} \\ & =\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{\sigma^2/n}}+\frac{1}{\sqrt{\sigma^2/n}} \\ & \sim \mathrm{N}\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^2/n}},1\right) \end{align*}