Ejercicio 1.1
Una empresa vende un solo producto y la demanda mensual viene dada por
\[ p(x)=120-0{,}4x, \]
donde:
El costo total mensual es
\[ C(x)=1.000+20x, \]
medido también en miles de pesos.
Se pide:
Paso 1: Función de utilidad.
El ingreso total es
\[ R(x)=p(x)\cdot x=(120-0{,}4x)x = 120x-0{,}4x^2. \]
La utilidad es
\[ U(x)=R(x)-C(x) =(120x-0{,}4x^2)-(1.000+20x) =-0{,}4x^2+100x-1.000. \]
Por tanto,
\[ \boxed{U(x)=-0{,}4x^2+100x-1.000} \quad\text{(miles de pesos)}. \]
El dominio económico viene dado por \(x\ge 0\) y \(p(x)\ge 0\Rightarrow x\le 300\), es decir, \[ 0\le x\le 300. \]
Paso 2: Puntos críticos.
Derivamos:
\[ U'(x)=-0{,}8x+100. \]
Buscamos \(U'(x)=0\):
\[ -0{,}8x+100=0 \quad\Rightarrow\quad x=125. \]
Este valor pertenece al intervalo \([0,300]\).
La segunda derivada es
\[ U''(x)=-0{,}8<0, \]
por lo que la función es cóncava hacia abajo y \(x=125\) corresponde a un máximo de la utilidad.
Paso 3: Utilidad máxima y precio óptimo.
Evaluamos la utilidad en \(x=125\):
\[ U(125)=-0{,}4(125)^2+100(125)-1.000=5.250 \]
(en miles de pesos), es decir,
\[ \boxed{U_{\max}=5.250.000\ \text{pesos}.} \]
El precio correspondiente es
\[ p(125)=120-0{,}4\cdot 125=70 \]
(en miles de pesos), es decir,
\[ \boxed{p^\ast=70.000\ \text{pesos por unidad}.} \]
Paso 4: Conclusión.
\[ \boxed{x^\ast=125\ \text{unidades}.} \]
\[ \boxed{p^\ast=70.000\ \text{pesos por unidad}.} \]
\[ \boxed{U_{\max}=5.250.000\ \text{pesos}.} \]
Ejercicio 1.2
Una empresa produce y vende un solo artículo. Su costo total mensual (en miles de pesos) al producir \(x\) unidades viene dado por
\[ C(x)=500+40x+0{,}2x^2, \]
donde \(x\) es la cantidad producida (en unidades).
Se pide:
Paso 1: Función de costo medio.
El costo medio es el costo por unidad producida:
\[ CM(x)=\frac{C(x)}{x}, \quad x>0. \]
Entonces,
\[ CM(x)=\frac{500+40x+0{,}2x^2}{x} =\frac{500}{x}+40+0{,}2x. \]
Luego,
\[ \boxed{CM(x)=\frac{500}{x}+40+0{,}2x},\quad x>0. \]
Paso 2: Derivada y punto crítico.
Derivamos:
\[ CM'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{500}{x}\right)+\frac{d}{dx}(40)+\frac{d}{dx}(0{,}2x) = -\frac{500}{x^2}+0+0{,}2 =0{,}2-\frac{500}{x^2}. \]
Buscamos los puntos críticos resolviendo \(CM'(x)=0\):
\[ 0{,}2-\frac{500}{x^2}=0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2=\frac{500}{x^2} \quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{500}{0{,}2}=2.500. \]
Entonces:
\[ x=\sqrt{2.500}=50, \]
y como \(x>0\), tomamos
\[ \boxed{x=50}. \]
Paso 3: Comprobación de mínimo y valor del costo medio.
Calculamos la segunda derivada:
\[ CM''(x)=\frac{d}{dx}\left(0{,}2-\frac{500}{x^2}\right) =\frac{d}{dx}\left(-500x^{-2}\right) =1.000x^{-3} =\frac{1.000}{x^3}. \]
En \(x=50\):
\[ CM''(50)=\frac{1.000}{50^3}>0, \]
por lo que \(x=50\) corresponde a un mínimo del costo medio.
Calculamos el costo medio mínimo:
\[ CM(50)=\frac{500}{50}+40+0{,}2\cdot 50 =10+40+10 =60. \]
Por tanto,
\[ \boxed{CM_{\min}=60} \]
(en miles de pesos por unidad), es decir, \(60.000\) pesos por unidad.
Paso 4: Conclusión.
\[ \boxed{x^\ast=50\ \text{unidades}.} \]
\[ \boxed{CM_{\min}=60.000\ \text{pesos por unidad}.} \]
Desde el punto de vista administrativo, producir alrededor de \(50\) unidades permite aprovechar mejor los costos fijos y lograr el menor costo por unidad según este modelo.
Ejercicio 1.3
Una empresa organiza un seminario para directivos y sabe que el número de personas dispuestas a asistir depende del precio de la inscripción \(p\) (en miles de pesos) según
\[ N(p)=800-10p, \]
donde \(N(p)\) es el número de asistentes.
El ingreso total por inscripciones está dado por
\[ R(p)=p\cdot N(p). \]
Se pide:
Paso 1: Función de ingreso.
\[ R(p)=p\cdot N(p)=p(800-10p)=800p-10p^2. \]
Luego,
\[ \boxed{R(p)=800p-10p^2}. \]
El dominio económico se obtiene de \(N(p)\ge 0\):
\[ 800-10p\ge 0 \Rightarrow p\le 80,\quad p\ge 0. \]
Por tanto, \(0\le p\le 80\).
Paso 2: Derivada y punto de máximo.
\[ R'(p)=800-20p. \]
Buscamos \(R'(p)=0\):
\[ 800-20p=0 \Rightarrow p=40. \]
La segunda derivada es
\[ R''(p)=-20<0, \]
por lo que \(p=40\) da un máximo de \(R\) en \([0,80]\).
Paso 3: Ingreso máximo y asistentes.
\[ R(40)=800\cdot 40-10\cdot 40^2=32.000-16.000=16.000. \]
Como \(p\) está en miles de pesos:
\[ \boxed{R_{\max}=16.000\ \text{(miles de pesos)}=16.000.000\ \text{pesos}.} \]
Número de asistentes:
\[ N(40)=800-10\cdot 40=800-400=400. \]
Conclusión:
\[ \boxed{p^\ast=40\ \text{mil pesos por inscripción}.} \]
\[ \boxed{R_{\max}=16.000.000\ \text{pesos}.} \]
\[ \boxed{N^\ast=400\ \text{personas}.} \]
Ejercicio 1.4
Una empresa de servicios invierte \(x\) millones de pesos al mes en publicidad digital. El beneficio neto mensual (ingresos adicionales menos costos de publicidad) viene dado por
\[ B(x)=-0{,}1x^2+1{,}2x-1, \]
donde \(B(x)\) se mide en millones de pesos y \(x\ge 0\).
Se pide:
Paso 1: Derivada del beneficio y punto crítico.
\[ B(x)=-0{,}1x^2+1{,}2x-1. \]
\[ B'(x)=-0{,}2x+1{,}2. \]
Buscamos \(B'(x)=0\):
\[ -0{,}2x+1{,}2=0 \Rightarrow 0{,}2x=1{,}2 \Rightarrow x=\frac{1{,}2}{0{,}2}=6. \]
Así,
\[ \boxed{x=6}. \]
Paso 2: Comprobación de máximo.
La segunda derivada es
\[ B''(x)=-0{,}2<0, \]
por lo que la función es cóncava hacia abajo y \(x=6\) corresponde a un máximo de \(B(x)\).
Paso 3: Beneficio máximo.
\[ B(6)=-0{,}1(6)^2+1{,}2(6)-1 =-0{,}1\cdot 36+7{,}2-1 =-3{,}6+7{,}2-1 =2{,}6. \]
Por tanto,
\[ \boxed{B_{\max}=2{,}6\ \text{millones de pesos}.} \]
Conclusión:
\[ \boxed{x^\ast=6\ \text{millones de pesos en publicidad}.} \]
\[ \boxed{B_{\max}=2{,}6\ \text{millones de pesos}.} \]
Interpretación administrativa: invertir menos de \(6\) millones implica no aprovechar todo el potencial de la publicidad; invertir más de \(6\) millones hace que el costo de la publicidad crezca más rápido que los ingresos adicionales, reduciendo el beneficio neto.
Ejercicio 1.5
Una empresa vende un producto cuya demanda mensual
viene dada por \[
p(x)=90-0{,}3x,
\] donde \(x\) es la cantidad
vendida (en unidades) y \(p(x)\) es el
precio por unidad (en miles de pesos).
El costo total mensual es \[
C(x)=600+15x,
\] en miles de pesos.
Ejercicio 1.6
El costo total mensual de producción de cierto bien viene dado (en miles de pesos) por \[ C(x)=800+25x+0{,}1x^2, \] donde \(x\) representa el número de unidades producidas.
Ejercicio 1.7
Una empresa de capacitación organiza un curso para gerentes. El número de participantes depende del precio de inscripción \(p\) (en miles de pesos) según \[ N(p)=500-5p. \]
Ejercicio 1.8
Una empresa invierte \(x\) millones de pesos al mes en publicidad en redes sociales. El beneficio adicional generado (en millones de pesos) se modela por \[ B(x)=-0{,}05x^2+0{,}7x-0{,}5, \] con \(x\ge 0\).
Ejercicio 1.9
La función de ingreso mensual de una empresa (en miles de pesos) está dada por \[ R(x)=120x-0{,}2x^2, \] y su costo total mensual por \[ C(x)=1.000+30x, \] donde \(x\) es la cantidad producida y vendida.
Ejercicio 1.10
Una empresa mantiene un stock promedio de \(x\) unidades de cierto producto. El costo mensual total de almacenamiento (en miles de pesos) se aproxima por \[ A(x)=\frac{900}{x}+12x, \] con \(x>0\).
Ejercicio 1.11
La demanda de cierto servicio depende del precio \(p\) (en miles de pesos) según \[ q(p)=300-8p+0{,}1p^2, \] donde \(q(p)\) es la cantidad demandada. El ingreso total se define como \(R(p)=p\cdot q(p)\).
(Suponga que solo tienen sentido los valores de \(p\) que entregan \(q(p)\ge 0\)).
Ejercicio 1.12
El costo total de producir \(x\) unidades de un artículo (en miles de pesos) viene dado por \[ C(x)=400+18x+0{,}05x^2. \]
Ejercicio 1.13
Una empresa produce un bien cuya demanda viene dada por \[ p(x)=75-0{,}25x, \] y su costo total (en miles de pesos) por \[ C(x)=500+10x+0{,}05x^2. \]
La empresa se ha fijado un precio mínimo aceptable de \(p\ge 35\) (miles de pesos).
Ejercicio 1.14
Un centro de atención al cliente modela el costo diario de operación en función del número de horas de atención continua \(h\) (entre 4 y 12 horas) como \[ K(h)=2h^2-28h+120, \] medido en cientos de miles de pesos.