Resumo do Modelo Básico de Kiyotaki e Moore (1997)

Credit Cycles - Seção II

1 Introdução

Este documento apresenta um resumo detalhado do Modelo Básico (Seção II) do artigo seminal “Credit Cycles” de Nobuhiro Kiyotaki e John Moore (1997). O objetivo é “abrir as contas” do modelo, explicitando as derivações matemáticas e a intuição econômica por trás das restrições de crédito e dos mecanismos de amplificação dinâmica.

Ao final, encontra-se uma seção de Exercícios Resolvidos aplicados ao modelo.

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2 Configuração da Economia

A economia é modelada em tempo discreto (t=0, 1, 2, ...) com dois bens fundamentais:

1. Terra (K): Ativo durável, com oferta fixa \bar{K} e sem depreciação.
2. Fruta: Bem não-durável (numeraire).

Existem dois tipos de agentes, ambos com vida infinita e risco-neutros:

• Fazendeiros (Farmers): População de medida 1.
• Coletores (Gatherers): População de medida m.

2.1 Preferências

As funções de utilidade esperada são lineares para ambos os agentes:

• Fazendeiro: E_t \sum_{s=0}^{\infty} \beta^s x_{t+s}
• Coletor: E_t \sum_{s=0}^{\infty} (\beta')^s x'_{t+s}

NotaSuposição 1: Impaciência Relativa

\beta < \beta' Esta condição implica que os fazendeiros são mais impacientes que os coletores. Em equilíbrio, a taxa de juros R será determinada pela paciência dos coletores (agentes poupadores): R = \frac{1}{\beta'} Como \beta < \beta', segue que \beta R < 1. Isso garante que os fazendeiros desejam antecipar consumo e, portanto, gostariam de tomar emprestado em equilíbrio.

2.2 Tecnologia

A terra é o insumo essencial para a produção de frutas, que leva um período para maturar.

2.2.1 Fazendeiros

Possuem uma tecnologia linear (retornos constantes de escala): y_{t+1} = (a + c) k_t \quad \text{(Eq. 2)}

• a k_t: Fruta comercializável (pode ser vendida, trocada ou investida).
• c k_t: Fruta não-comercializável (“bruised”, consumida apenas pelo próprio fazendeiro).

NotaSuposição 2: Incentivo ao Investimento

c > \left(\frac{1}{\beta} - 1\right)a

Derivação Detalhada (Utilidade de Investir > Utilidade de Consumir):

Para demonstrar que o fazendeiro deseja comprar terra o máximo possível (reinvestir todo o output comercializável), comparamos a utilidade de investir uma unidade marginal de fruta comercializável versus consumir essa unidade hoje.

1. O Custo de Comprar Terra (Down Payment) No steady state, o down payment necessário se iguala à produtividade comercializável da terra (Eq. 13a): u^* = a

2. Estratégia de Investimento (Comprar Terra) Suponha que o fazendeiro tenha 1 unidade de fruta comercializável. * Ele usa essa unidade para pagar a entrada de novas terras. * Quantidade de terra comprada: \frac{1}{u^*} = \frac{1}{a}.

No período seguinte (t+1), essa terra produz: * Output Comercializável (a \cdot k): a \cdot \frac{1}{a} = 1. O fazendeiro reinveste essa unidade para manter o capital (estratégia de reinvestimento contínuo). * Output Não-Comercializável (c \cdot k): c \cdot \frac{1}{a} = \frac{c}{a}. Este output é consumido.

Como ele reinveste o output comercializável, gera um fluxo perpétuo de consumo de frutas “bruised” a partir de t+1. A utilidade esperada desse fluxo (valor presente) é: U_{investir} = \sum_{s=1}^{\infty} \beta^s \left( \frac{c}{a} \right) = \frac{c}{a} \left( \frac{\beta}{1-\beta} \right)

3. Estratégia de Consumo Imediato Alternativamente, o fazendeiro consome a 1 unidade hoje: U_{consumir} = 1

4. Comparação e Derivação Para preferir investir: U_{investir} > U_{consumir} \frac{c}{a} \left( \frac{\beta}{1-\beta} \right) > 1

Isolando \beta: \frac{c\beta}{a(1-\beta)} > 1 \implies c\beta > a - a\beta \implies \beta(a+c) > a \beta > \frac{a}{a+c}

Rearranjando para a forma do paper: c > \left(\frac{1}{\beta}-1\right) a

2.2.2 Coletores

Possuem uma tecnologia com retornos decrescentes de escala: y'_{t+1} = G(k'_t) \quad \text{(Eq. 5)} Onde G' > 0 e G'' < 0. Isso implica que a produtividade marginal da terra nas mãos dos coletores cai à medida que eles acumulam mais terra.

3 Restrições de Crédito

O mercado de crédito opera com contratos de dívida de curto prazo (um período). A característica central do modelo é a fricção financeira decorrente da inalienabilidade do capital humano.

Como o fazendeiro pode ameaçar abandonar a terra (reduzindo seu valor produtivo), os credores exigem que os empréstimos sejam totalmente colateralizados. O valor de repagamento da dívida (R b_t) não pode exceder o valor de mercado da terra colateralizada no próximo período (q_{t+1} k_t).

ImportanteRestrição de Empréstimo (Collateral Constraint)

\underbrace{R b_t}_{\text{Repagamento}} \le \underbrace{q_{t+1} k_t}_{\text{Valor do Colateral}} \quad \text{(Eq. 3)}

4 Comportamento dos Agentes

4.1 Fazendeiros

O fazendeiro maximiza sua utilidade sujeito à restrição orçamentária (fluxo de fundos) e à restrição de crédito.

Fluxo de Fundos: \begin{aligned} \underbrace{q_t(k_t - k_{t-1})}_{\text{Compra Líquida de Terra}} + \underbrace{R b_{t-1}}_{\text{Repagamento Dívida}} + \underbrace{x_t}_{\text{Consumo}} \\ = \underbrace{a k_{t-1}}_{\text{Output Comercializável}} + \underbrace{c k_{t-1}}_{\text{Output Não-Comercializável}} + \underbrace{b_t}_{\text{Novo Empréstimo}} \quad \text{(Eq. 4)} \end{aligned}

Dadas as suposições do modelo (\beta R < 1 e Suposição 2), o comportamento ótimo do fazendeiro é: 1. Consumir apenas o output não-comercializável: x_t = c k_{t-1}. 2. Tomar emprestado o máximo permitido pela restrição: b_t = \frac{q_{t+1}}{R} k_t.

Substituindo no fluxo de fundos e rearranjando: q_t k_t - q_t k_{t-1} + R b_{t-1} = a k_{t-1} + \frac{q_{t+1}}{R} k_t \left( q_t - \frac{q_{t+1}}{R} \right) k_t = (a + q_t) k_{t-1} - R b_{t-1}

Definimos o Down Payment (Entrada) por unidade de terra como u_t: u_t \equiv q_t - \frac{q_{t+1}}{R}

A equação de acumulação de terra do fazendeiro torna-se: k_t = \frac{1}{u_t} \underbrace{[(a + q_t) k_{t-1} - R b_{t-1}]}_{\text{Net Worth (Patrimônio Líquido)}} \quad \text{(Eq. 7)}

Agregando para todos os fazendeiros (K_t, B_t): K_t = \frac{1}{u_t} [(a + q_t) K_{t-1} - R B_{t-1}] \quad \text{(Eq. 9)} B_t = \frac{q_{t+1}}{R} K_t \quad \text{(Eq. 10)}

4.2 Coletores

Os coletores não enfrentam restrições de crédito ativas. Eles ajustam seu estoque de terra até que o produto marginal da terra iguale o custo de uso (user cost). Para um agente não restrito, o custo de uso é exatamente o down payment u_t (o custo de comprar hoje e vender amanhã descontado).

\underbrace{\frac{G'(k'_t)}{R}}_{\text{PMg Descontado}} = \underbrace{u_t}_{\text{Custo de Uso}} \quad \text{(Eq. 11)}

5 Equilíbrio de Mercado

O mercado de terra deve limpar (oferta igual à demanda): K_t + m k'_t = \bar{K} \implies k'_t = \frac{\bar{K} - K_t}{m}

Substituindo na condição de otimalidade dos coletores, obtemos a função de equilíbrio do custo de uso u(K_t): u_t = u(K_t) \equiv \frac{1}{R} G'\left( \frac{\bar{K} - K_t}{m} \right) \quad \text{(Eq. 12)}

Como G'' < 0, a função u(K_t) é crescente em K_t. Intuição: Se os fazendeiros detêm mais terra (K_t \uparrow), sobra menos terra para os coletores. Como a produtividade marginal dos coletores é decrescente, a escassez relativa aumenta sua produtividade marginal, elevando o preço que estão dispostos a pagar pelo uso da terra (u_t \uparrow).

6 Estado Estacionário (Steady State)

No estado estacionário, as variáveis são constantes no tempo (q_t = q^*, K_t = K^*, B_t = B^*).

6.1 1. Determinação do Down Payment (u^*)

Partimos da equação de acumulação agregada (Eq. 9) impondo a condição de estacionariedade K_t = K_{t-1} = K^*: K^* = \frac{1}{u^*} [(a + q^*) K^* - R B^*]

Sabemos que a restrição de crédito é ativa, logo a dívida é B^* = \frac{q^*}{R} K^*. Substituindo R B^* = q^* K^*: K^* = \frac{1}{u^*} [(a + q^*) K^* - q^* K^*] K^* = \frac{1}{u^*} [a K^*] u^* K^* = a K^* \implies u^* = a \quad \text{(Eq. 13a)}

6.2 2. Determinação do Preço da Terra (q^*)

Usamos a definição de down payment no estado estacionário: u^* = q^* - \frac{q^*}{R} = q^* \left( 1 - \frac{1}{R} \right) = q^* \left( \frac{R-1}{R} \right)

Igualando com o resultado anterior (u^* = a): a = q^* \left( \frac{R-1}{R} \right) q^* = \frac{R}{R-1} a

Isso mostra que o preço da terra é o valor presente descontado dos dividendos de produtividade (a), ajustado pela restrição de crédito.

DicaIntuição do Steady State

No longo prazo, o custo de uso da terra (u^*) deve igualar a produtividade comercializável da terra (a). * Se u^* < a: O fazendeiro gera excedente de caixa e expande K. * Se u^* > a: O fazendeiro tem déficit de caixa e vende K.

6.3 Ineficiência Alocativa

O preço da terra no steady state é q^* = \frac{R}{R-1} a. Comparando as produtividades marginais: * Fazendeiros: PMg_F = a + c * Coletores: PMg_G = R u^* = R a

Como assumimos a + c > R a, a terra é mais produtiva nas mãos dos fazendeiros. No entanto, eles não conseguem adquirir toda a terra (\bar{K}) devido à restrição de crédito. Isso gera uma ineficiência alocativa permanente.

7 Dinâmica e Multiplicador (Linearização)

Analisamos a resposta da economia a um choque de produtividade temporário e não antecipado em t. A produtividade dos fazendeiros aumenta de a para a(1+\Delta) apenas no período t.

7.1 1. Linearização da Acumulação de Terra (Eq. 15a)

A equação de acumulação em t é: u_t K_t = (a(1+\Delta) + q_t) K_{t-1} - R B_{t-1}

Como o choque é não antecipado, a dívida passada B_{t-1} foi contratada esperando q^*. Logo, R B_{t-1} = q^* K^*. Substituindo K_{t-1} = K^* (partimos do steady state): u_t K_t = a(1+\Delta) K^* + q_t K^* - q^* K^* u_t K_t = (a + a\Delta + q_t - q^*) K^*

Linearizando u_t em torno de u^*: u_t \approx u^* (1 + \hat{u}_t) Onde \hat{x}_t = \frac{x_t - x^*}{x^*} é o desvio percentual.

Substituindo na equação e lembrando que u^* = a: a(1 + \hat{u}_t) K^*(1 + \hat{K}_t) = (a + a\Delta + q_t - q^*) K^* Dividindo tudo por a K^* e ignorando termos de segunda ordem (\hat{u}_t \hat{K}_t \approx 0): 1 + \hat{u}_t + \hat{K}_t = 1 + \Delta + \frac{q_t - q^*}{a} \hat{K}_t + \hat{u}_t = \Delta + \frac{q^*}{a} \hat{q}_t

Sabemos que q^* = \frac{R}{R-1} a, logo \frac{q^*}{a} = \frac{R}{R-1}. Também precisamos relacionar \hat{u}_t com \hat{q}_t. Da definição u_t = q_t - \frac{q_{t+1}}{R}: \hat{u}_t = \frac{1}{\eta} \hat{q}_t - \dots (Aqui o paper simplifica usando a elasticidade da oferta de terra residual). Kiyotaki e Moore mostram que, devido à oferta de terra dos coletores, \hat{u}_t = \frac{1}{\eta} \hat{K}_t.

Substituindo \hat{u}_t = \frac{1}{\eta} \hat{K}_t: \hat{K}_t + \frac{1}{\eta} \hat{K}_t = \Delta + \frac{R}{R-1} \hat{q}_t \left( 1 + \frac{1}{\eta} \right) \hat{K}_t = \Delta + \frac{R}{R-1} \hat{q}_t \quad \text{(Eq. 15a)}

ImportanteO Multiplicador de Alavancagem

O termo \frac{R}{R-1} representa o efeito alavancagem. Se R=1.01, esse termo é 101. Um pequeno aumento no preço da terra (\hat{q}_t) gera um aumento enorme no patrimônio líquido dos fazendeiros.

7.2 2. Dinâmica do Preço do Ativo (Eq. 16)

Para t+s (após o choque), a produtividade volta a a. A dinâmica é governada por: \hat{u}_{t+s} = \frac{1}{\eta} \hat{K}_{t+s} E a relação de arbitragem do preço: \hat{q}_t = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{1}{R^s} \frac{u^*}{q^*} \hat{u}_{t+s} Como \frac{u^*}{q^*} = \frac{R-1}{R}: \hat{q}_t = \frac{R-1}{R} \sum_{s=0}^{\infty} \frac{1}{R^s} \hat{u}_{t+s}

Sabendo que o capital decai à taxa \lambda = \frac{\eta}{\eta+1}, temos \hat{u}_{t+s} = \lambda^s \hat{u}_t = \lambda^s \frac{1}{\eta} \hat{K}_t. Substituindo na soma: \hat{q}_t = \frac{R-1}{R} \frac{1}{\eta} \hat{K}_t \sum_{s=0}^{\infty} \left( \frac{\lambda}{R} \right)^s

A soma da PG infinita é \frac{1}{1 - \lambda/R}: \hat{q}_t = \frac{1}{\eta} \frac{R-1}{R} \frac{1}{1 - \frac{1}{R} \frac{\eta}{\eta+1}} \hat{K}_t \quad \text{(Eq. 16)}

7.3 Solução Final

Resolvendo o sistema formado por (15a) e (16):

\hat{q}_t = \frac{1}{\eta} \Delta \quad \text{(Eq. 17)} \hat{K}_t = \frac{1}{1 + \frac{1}{\eta}} \left( 1 + \frac{R}{R-1} \frac{1}{\eta} \right) \Delta \quad \text{(Eq. 18)}

O modelo demonstra como fricções financeiras amplificam choques pequenos e transitórios em flutuações grandes e persistentes no produto e nos preços dos ativos.

8 Mecanismo de Transmissão do Choque (Passo a Passo)

Abaixo, detalhamos a cadeia de eventos desencadeada por choques de produtividade, ilustrando o mecanismo de amplificação financeira.

Choque Positivo (\Delta > 0)

1. Choque Inicial: A produtividade dos fazendeiros aumenta inesperadamente (a \uparrow).
2. Aumento do Net Worth: O fluxo de caixa dos fazendeiros cresce imediatamente.
3. Aumento da Demanda: Com mais recursos, os fazendeiros demandam mais terra para expandir a produção.
4. Aumento do Preço (q_t \uparrow): Como a oferta de terra é fixa, a maior demanda pressiona o preço da terra para cima.
5. Amplificação (Efeito Colateral): O aumento em q_t valoriza o estoque de terras que os fazendeiros já possuíam. Isso expande drasticamente seu patrimônio líquido e capacidade de endividamento (efeito alavancagem), permitindo que comprem ainda mais terra.
6. Realocação de Ativos: Terra é transferida dos Coletores (menos eficientes) para os Fazendeiros (mais eficientes).
7. Persistência: Com mais terra hoje, os fazendeiros terão maior produção e patrimônio amanhã. Isso mantém a demanda por terra e o preço do ativo elevados por vários períodos, mesmo após o choque de produtividade ter desaparecido.

Choque Negativo (\Delta < 0)

1. Choque Inicial: A produtividade dos fazendeiros cai inesperadamente.
2. Queda do Net Worth: O fluxo de caixa dos fazendeiros se reduz.
3. Necessidade de Venda: Para cobrir suas dívidas (que são fixas em valor nominal), os fazendeiros precisam vender terra ou reduzir drasticamente novas compras.
4. Queda do Preço (q_t \downarrow): A menor demanda (ou aumento da oferta de venda) derruba o preço da terra.
5. Amplificação (Fire Sales): A queda em q_t desvaloriza o colateral dos fazendeiros. Isso contrai seu limite de crédito severamente, forçando-os a vender ainda mais terra para pagar dívidas existentes, o que deprime o preço ainda mais (espiral deflacionária de ativos).
6. Realocação Ineficiente: Terra é transferida dos Fazendeiros para os Coletores, reduzindo a produtividade agregada da economia.
7. Persistência: Com menos terra, a capacidade produtiva dos fazendeiros é permanentemente reduzida, mantendo a economia em recessão por um longo período.

8.1 Diagrama do Mecanismo de Transmissão

A figura abaixo ilustra o fluxo de causalidade de um choque negativo, destacando o feedback estático (multiplicador) e a propagação dinâmica (persistência).

flowchart TD
    %% Estilos para simular o diagrama do paper (P&B, alto contraste)
    classDef default fill:#fff,stroke:#000,stroke-width:1px,color:#000;
    classDef group fill:none,stroke:none,color:#000,font-weight:bold,font-size:14px;

    %% Coluna Data t
    subgraph T0 ["Data t"]
        direction TB
        Shock["Choque Temporário Negativo"]
        NW_t["Net Worth (t) cai"]
        D_t["Demanda por Terra (t) cai"]
        u_t["User Cost (t) cai"]
        q_t["Preço do Ativo (t) cai"]
    end

    %% Coluna Data t+1
    subgraph T1 ["Data t+1"]
        direction TB
        NW_t1["Net Worth (t+1) cai"]
        D_t1["Demanda por Terra (t+1) cai"]
        u_t1["User Cost (t+1) cai"]
    end

    %% Coluna Data t+2
    subgraph T2 ["Data t+2 ..."]
        direction TB
        NW_t2["Net Worth (t+2) cai"]
        D_t2["Demanda por Terra (t+2) cai"]
        u_t2["User Cost (t+2) cai"]
    end

    %% Conexões Intratemporais (Dentro de t)
    Shock --> NW_t
    NW_t --> D_t
    D_t --> u_t
    u_t --> q_t
    q_t -->|Feedback| NW_t

    %% Conexões Intratemporais (Dentro de t+1)
    NW_t1 --> D_t1
    D_t1 --> u_t1

    %% Conexões Intratemporais (Dentro de t+2)
    NW_t2 --> D_t2
    D_t2 --> u_t2

    %% Conexões Intertemporais (Persistência: Demanda t -> NW t+1)
    D_t --> NW_t1
    D_t1 --> NW_t2

    %% Conexões de Expectativas (User Cost Futuro -> Preço Hoje)
    u_t1 --> q_t
    u_t2 --> q_t

    %% Ajuste de Layout
    class T0,T1,T2 group;

Transmissão de um Choque Temporário Negativo (Baseado em Kiyotaki & Moore, 1997)

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9 Exercícios Resolvidos

Questão Practice Exam 2025: Choque e R

Enunciado: O efeito súbito de um choque de produtividade inesperado \Delta no modelo de Kiyotaki e Moore pode ser resumido pelas seguintes duas equações:

\hat{k}_{F,t} = \frac{\eta}{1+\eta} \left( \Delta + \frac{R}{R-1} \hat{q}_t \right) \quad \text{(3)} \hat{q}_t = \frac{1}{\eta} \frac{R-1}{R} \frac{1}{1 - \frac{1}{R} \frac{\eta}{1+\eta}} \hat{k}_{F,t} \quad \text{(4)}

a) Explique a interdependência entre \hat{k}_{F,t} e \hat{q}_t.

Resposta: Esta interdependência reflete o mecanismo de feedback central do modelo (“Credit Cycles”):

1. Canal do Patrimônio Líquido (Eq. 3): Um aumento no preço do capital (\hat{q}_t) valoriza o colateral dos fazendeiros. Como eles são alavancados, isso expande drasticamente seu Net Worth, permitindo que comprem mais terra (\hat{k}_{F,t}).
2. Canal do Preço do Ativo (Eq. 4): Se os fazendeiros detêm mais terra hoje (\hat{k}_{F,t}), eles demandarão mais terra no futuro devido à persistência da riqueza. Isso pressiona os custos de uso futuros para cima. Agentes racionais antecipam isso, elevando o preço da terra hoje (\hat{q}_t).

b) Como um R maior altera o efeito do choque?

Resposta: Um aumento na taxa de juros R amortece o efeito do choque. * Efeito Estático: Com R maior, o valor presente do colateral cai, reduzindo a capacidade de alavancagem (\frac{R}{R-1} diminui). * Efeito Dinâmico: O futuro é descontado mais fortemente. O aumento na demanda futura por terra tem menos impacto no preço presente, enfraquecendo o feedback do preço do ativo.

Questão Final 2023: Demanda por Terra

Enunciado: A demanda por terra pelo fazendeiro é dada por: k_t = \frac{(a + q_t)k_{t-1} - R b_{t-1}}{q_t - \frac{q_{t+1}}{R}} Forneça uma intuição para esta demanda.

Resposta: Esta não é uma demanda derivada de igualdade entre custo e benefício marginal, mas sim uma demanda restrita por liquidez. * Numerador: Representa o Patrimônio Líquido (NW_t) do fazendeiro: o valor de seus ativos brutos menos o repagamento da dívida passada. É o “dinheiro no bolso”. * Denominador: Representa o Down Payment (u_t): a entrada necessária por unidade de terra (preço total menos o montante financiável). * Intuição: O fazendeiro alavanca seu patrimônio ao máximo, comprando tanta terra quanto seu dinheiro permite pagar a entrada.

Questão Drive Exam Final: User Cost

Enunciado: Definimos u_t = q_t - \frac{q_{t+1}}{R} como o custo de uso. Em equilíbrio: u_t = G'\left( \frac{\bar{K} - K_t}{m} \right).

1) Qual o significado econômico desta equação? Representa o equilíbrio no mercado de terra determinado pelos agentes não restritos (Coletores). O custo de uso (u_t) deve igualar a produtividade marginal da terra no setor dos coletores. Se os fazendeiros acumulam mais terra (K_t \uparrow), a terra se torna mais escassa para os coletores, aumentando sua produtividade marginal e, consequentemente, o custo de uso de equilíbrio.

2) Por que u_t representa o “down payment”? Para comprar terra, o fazendeiro paga q_t. Ele pode financiar no máximo o valor presente do colateral futuro, \frac{q_{t+1}}{R}. A diferença, q_t - \frac{q_{t+1}}{R}, é a parcela que ele deve pagar com recursos próprios (equity). Portanto, u_t é a entrada efetiva necessária para a aquisição do ativo.

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Referência: Kiyotaki, N., & Moore, J. (1997). Credit Cycles. Journal of Political Economy, 105(2), 211-248.