Variabel Diskrit

Variabel Diskrit adalah variabel yang hanya dapat mengambil nilai yang dapat dihitung (countable) atau terbatas.

Variabel Kontinu

Variabel Kontinu adalah variabel yang dapat mengambil nilai numerik apa pun dalam rentang tertentu, dan nilainya bersifat tak terhitung (uncountable).

Visualisasi Variabel Diskrit

• Alat: Diagram Batang (Bar Chart).
• Fitur: Terdapat celah/ruang di antara setiap batang.
• Tujuan: Untuk menunjukkan bahwa setiap kemungkinan hasil adalah entitas yang terpisah (dapat dihitung).

Visualisasi Variabel Kontinu

• Alat: Histogram dan Kurva Kepadatan (Density Curve).
• Fitur Histogram: Tidak ada celah di antara setiap batang, mencerminkan sifat data yang kontinu.
• Kurva Kepadatan (Density Curve): Merupakan representasi halus dari histogram, menunjukkan distribusi probabilitas variabel kontinu.

Kurva kepadatan adalah kunci untuk memahami probabilitas variabel kontinu.

Probabilitas pada Kurva Kepadatan

Untuk variabel kontinu, probabilitas tidak bisa dihitung untuk satu titik nilai spesifik.

1. Probabilitas Titik Tunggal adalah Nol: \[P(X = x) = 0\]

   • Penjelasan: Probabilitas seseorang memiliki usia tepat 23.5000000000… tahun adalah nol, karena ada kemungkinan tak terbatas di sekitar titik tersebut.

2. Probabilitas adalah Luas di Bawah Kurva: Probabilitas bahwa variabel acak kontinu \(X\) berada dalam rentang nilai tertentu (misalnya, antara \(a\) dan \(b\)) diwakili oleh luas area di bawah Kurva Kepadatan dalam rentang tersebut. \[P(a \le X \le b) = \text{Luas di bawah kurva } f(x) \text{ dari } a \text{ sampai } b\]

   • Secara matematis, luas di bawah kurva dihitung menggunakan Integral (meskipun istilah integral tidak disebutkan eksplisit, ini adalah konsep di balik “formula kurva kepadatan”).

Fokus Utama: Distribusi Normal

Video ini menyoroti bahwa Distribusi Normal (Normal Distribution) adalah jenis Kurva Kepadatan yang akan sering digunakan. Distribusi Normal menjadi model penting dalam probabilitas variabel kontinu.

Untuk Distribusi Normal, perhitungan probabilitas biasanya melibatkan standarisasi nilai \(X\) menjadi skor \(Z\):

Rumus Z-Score (Skor Standar): \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

• \(Z\): Nilai standar (Z-Score).
• \(X\): Nilai data observasi.
• \(\mu\): Rata-rata populasi.
• \(\sigma\): Simpangan baku (Standard Deviation) populasi.

Parameter Distribusi Populasi

Distribusi Populasi diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu\) dan simpangan baku \(\sigma\).

• Notasi: \(X \sim N(\mu, \sigma)\)
• Z-score Populasi (Standarisasi): \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\] Digunakan ketika menganalisis nilai individu (\(X\)) dari populasi.

Parameter Distribusi Sampling (dari Rata-rata Sampel, \(\bar{x}\))

Distribusi Sampling dari rata-rata sampel \((\bar{x})\) juga akan menjadi distribusi normal (berkat Central Limit Theorem) dan memiliki karakteristik sebagai berikut:

1. Rata-rata Distribusi Sampling (\(\mu_{\bar{x}}\)): Rata-rata dari semua rata-rata sampel sama dengan rata-rata populasi. \[\mu_{\bar{x}} = \mu\]

2. Simpangan Baku Distribusi Sampling (Galat Baku / Standard Error): Simpangan baku dari distribusi sampling selalu lebih kecil daripada simpangan baku populasi. Ini menunjukkan penyebaran yang lebih kecil/sempit (lebih sedikit variabilitas). \[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] di mana \(n\) adalah ukuran sampel.

• Notasi: \(\bar{x} \sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n})\)

3. Z-score Distribusi Sampling (Standarisasi): Digunakan untuk menghitung probabilitas suatu rata-rata sampel (\(\bar{x}\)) tertentu. \[Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\]

Kasus A: Probabilitas Rata-rata Sampel (Menggunakan Distribusi Sampling)

Soal Contoh: Berapa probabilitas rata-rata tinggi badan dari 10 orang kurang dari 157 cm?

1. Identifikasi: Gunakan Z-score Distribusi Sampling (dengan \(\sigma_{\bar{x}}\)) karena ini melibatkan rata-rata sampel (\(n=10\)).

2. Hitung \(Z\): Masukkan \(\bar{x}\), \(\mu\), dan \(\sigma_{\bar{x}}\) ke dalam rumus Z-score Distribusi Sampling.

3. Cari Area: Gunakan nilai \(Z\) yang dihasilkan untuk mencari luas area/probabilitas yang dicari (misalnya, \(P(\bar{x} < 157)\)) menggunakan tabel Z atau fungsi pnorm() di R.

Kasus B: Probabilitas Nilai Individu (Menggunakan Distribusi Populasi)

Soal Contoh: Berapa proporsi semua orang yang memiliki tinggi badan lebih dari 170 cm?

1. Identifikasi: Gunakan Z-score Populasi (dengan \(\sigma\)) karena ini melibatkan individu dari seluruh populasi, bukan rata-rata sampel.

2. Hitung \(Z\): Masukkan nilai individu (\(X\)), \(\mu\), dan \(\sigma\) ke dalam rumus Z-score Populasi.

3. Cari Area: Cari probabilitasnya. Jika tabel/fungsi R memberikan area di sebelah kiri, lakukan \(1 - Area\) untuk mendapatkan probabilitas di sebelah kanan (\(P(X > 170)\)).

Formula Proporsi

Proporsi dihitung dengan membagi jumlah hasil yang menguntungkan dengan total jumlah hasil (ukuran sampel atau populasi):

\[\hat{p} \text{ atau } p = \frac{\text{Jumlah hasil yang menguntungkan (x)}}{\text{Total jumlah hasil (n atau N)}}\]

Parameter Distribusi Sampling Proporsi

Jika distribusi sampling ini mendekati normal (memenuhi CLT), distribusinya memiliki tiga karakteristik utama:

1. Rata-rata Distribusi Sampling (\(\mu_{\hat{p}}\)): Rata-rata dari semua \(\hat{p}\) sama dengan proporsi populasi (\(p\)). \[\mu_{\hat{p}} = p\]
2. Simpangan Baku Distribusi Sampling (\(\sigma_{\hat{p}}\)): Disebut juga Galat Baku (Standard Error) proporsi. \[\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \text{ atau } \sqrt{\frac{pq}{n}}\]
   • \(n\): Ukuran sampel.
   • \(p\): Proporsi hasil sukses.
   • \(q\): Proporsi hasil tidak sukses, di mana \(q = 1 - p\).
3. Bentuk Distribusi: Distribusi Sampling dari \(\hat{p}\) akan berdistribusi Normal.

Perbandingan Kondisi CLT

Berikut adalah perbandingan dua kondisi utama agar Distribusi Sampling dapat dianggap Normal dan formula Z-score dapat digunakan:

1.1 Metode Dasar (Analisis Ruang Sampel)

Kapan Digunakan: Ketika \(n\) sangat kecil (misalnya \(n=3\)). Ini adalah metode fundamental yang menggunakan Aturan Perkalian Probabilitas. Proses: Kita harus secara manual mengidentifikasi dan menghitung probabilitas setiap hasil yang memenuhi syarat di ruang sampel, kemudian menjumlahkannya. Contoh (\(n=3\), \(P(X \ge 2)\)):

$$P(\text{HHB}) = 0.4 \times 0.4 \times 0.6 = 0.096$$
$$P(X \ge 2) = (\text{3 urutan untuk } X=2) + (\text{1 urutan untuk } X=3) = \mathbf{0.352}$$

1.2 Metode Distribusi Binomial

Kapan Digunakan: Ketika \(n\) mulai membesar (misalnya \(n=5\) hingga \(n=50\)). Penghitungan manual melalui ruang sampel menjadi tidak praktis, sehingga kita membutuhkan alat yang efisien untuk menghitung kombinasi. Formula Kunci: Formula Binomial digunakan untuk menemukan probabilitas tepat \(k\) kali sukses. \[\mathbf{P(X=k)} = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\] Contoh (\(n=5\), \(P(X \ge 2)\)): Diperlukan penjumlahan empat perhitungan Binomial (untuk \(k=2, 3, 4, 5\)). \[P(X \ge 2) = \mathbf{0.6634}\]

# P(X >= 2) = 1 - P(X <= 1)
n <- 5
p <- 0.4
prob_eksak_binomial <- 1 - pbinom(1, size = n, prob = p)
# Hasil: 0.66304 (Probabilitas Eksak)

2.1 Kondisi Wajib Central Limit Theorem (CLT)

Pendekatan Normal hanya dapat digunakan jika Distribusi Sampling Proporsi (\(\hat{p}\)) telah mendekati bentuk Normal.

Syarat Wajib: Kedua kondisi berikut harus terpenuhi (berbeda dengan CLT untuk Rata-rata \(\bar{x}\)): 1. \(n \cdot p \ge 10\) 2. \(n \cdot (1-p) \ge 10\) Validasi (\(n=100, p=0.4\)): \(40 \ge 10\) dan \(60 \ge 10\). (Lolos, Pendekatan Normal Valid)

2.2 Perhitungan Probabilitas Proporsi (Z-score)

Konsep Kunci: Kita beralih dari menghitung jumlah sukses (\(X\)) menjadi menghitung proporsi sampel (\(\hat{p}\)), yang kini menjadi variabel acak berdistribusi Normal.

Kasus: \(P(\text{Minimal 35 Hijau}) \implies P(\hat{p} \ge 0.35)\)

Langkah 1: Hitung Z-score: Z-score berfungsi sebagai jembatan yang mentransformasi nilai \(\hat{p}\) ke Distribusi Normal Baku (Mean 0, SD 1). \[Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} = \frac{0.35 - 0.4}{\sqrt{\frac{0.4(0.6)}{100}}} \approx \mathbf{-1.02}\]

Langkah 2: Hitung Luas Area (Probabilitas Perkiraan): \[P(Z \ge -1.02) = 1 - P(Z < -1.02) = 1 - 0.1539 = \mathbf{0.8461}\]

# Hitung Standard Error (SE)
p <- 0.4
n <- 100
se_proporsi <- sqrt(p * (1 - p) / n)

# P(phat >= 0.35) menggunakan Normal Approximation
phat_target <- 0.35
prob_perkiraan_normal <- 1 - pnorm(phat_target, mean = p, sd = se_proporsi)
# Hasil: 0.84613 (Probabilitas Perkiraan)