1 Introduction

2 Countinuous Random

Dalam memahami probabilitas, penting untuk membedakan antara variabel diskrit dan variabel kontinu, karena masing-masing memiliki sifat, contoh, serta cara penyajian data yang berbeda.

3 Sampling Distributions

# Install and load package jika belum ada
# install.packages("ggplot2")

library(ggplot2)

# Parameter
mu <- 160
sigma <- 7
n <- 10
SE <- sigma / sqrt(n)

# Range x
x <- seq(130, 190, length.out = 400)

# ================================
# 1. Distribusi Populasi vs Sampling
# ================================
df1 <- data.frame(
  x = rep(x, 2),
  density = c(dnorm(x, mu, sigma), dnorm(x, mu, SE)),
  group = factor(rep(c("Populasi", "Distribusi Sampling (n=10)"), each = length(x)))
)

ggplot(df1, aes(x, density, color = group)) +
  geom_line(size = 1.2) +
  labs(
    title = "Perbandingan Distribusi Populasi dan Distribusi Sampling",
    x = "Tinggi Badan (cm)", y = "Kepadatan"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(text = element_text(size = 14))

# ================================
# 2. Area untuk x > 170 (Probabilitas)
# ================================
df2 <- data.frame(
  x = x,
  density = dnorm(x, mu, sigma)
)

# Data untuk shading area
shade_x <- seq(170, 190, length.out = 200)
shade_df <- data.frame(
  x = shade_x,
  density = dnorm(shade_x, mu, sigma)
)

ggplot(df2, aes(x, density)) +
  geom_line(size = 1.2, color = "blue") +  # tambahkan color
  geom_area(data = shade_df, aes(x, density), alpha = 0.3, fill = "red") +
  labs(
    title = "Probabilitas Tinggi Badan > 170 cm",
    x = "Tinggi Badan (cm)", y = "Kepadatan"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(text = element_text(size = 14))

4 Central Limit Theorem

4.1 Definisi

Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) adalah prinsip mendasar dalam statistik yang menjelaskan bagaimana bentuk distribusi sampling dari mean sampel akan berperilaku ketika proses pengambilan sampel dilakukan berulang kali. Teorema ini menyatakan bahwa jika ukuran sampel cukup besar—umumnya dianggap n≥30—maka distribusi sampling dari mean sampel akan cenderung mendekati distribusi normal, meskipun distribusi populasi asal tidak berbentuk normal.

Beberapa hal penting dari CLT:

1. Rata-rata distribusi sampling \(\mu_{\bar{X}}\)
2. sama dengan rata-rata populasi (𝜇)
3. Simpangan baku distribusi sampling disebut standard error, yaitu \(\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
4. Ukuran sampel yang cukup besar biasanya \(n \ge 30\)

Catatan Penting

1. Jika ukuran sampel kecil (<30) dan populasi tidak normal → CLT tidak berlaku → distribusi sampling tidak normal

2. Jika populasi awal sudah normal, distribusi sampling tetap normal bahkan untuk sampel kecil

3. CLT sangat berguna untuk analisis data besar karena memungkinkan kita menebak distribusi sampling dan membuat inferensi statistik.

4.2 Rumus Teorema Limit Pusat

1. Mean Distribusi Sampling

\[ \mu_{\bar{X}} = \mu \]

Keterangan Simbol

\(\mu_{\bar{X}}\)

Disebut mean of the sampling distribution of the sample mean — yaitu rata-rata dari seluruh mean sampel yang diperoleh dari proses pengambilan sampel berulang kali.

\(\bar{X}\)

Ini adalah mean sampel (sample mean), yaitu rata-rata dari satu sampel tertentu yang kita ambil dari populasi.

\(\mu\)

Ini adalah mean populasi, yaitu nilai rata-rata dari seluruh anggota populasi.

2. Standard Error (SE) atau Simpangan Baku Distribusi Sampling \[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Keterangan Simbol

\(\sigma_{\bar{X}}\)

Ini adalah Standard Error (SE), yaitu simpangan baku dari distribusi sampling. Standard Error menunjukkan seberapa jauh mean sampel bisa menyimpang dari mean populasi.

\(\sigma\)

Ini adalah simpangan baku populasi, yang menggambarkan variasi data asli dalam populasi.

\(n\)

Ini adalah ukuran sampel, yaitu berapa banyak data yang kita ambil dalam satu sampel.

4.3 Contoh

1. Untuk setiap bentuk distribusi populasi yang dijelaskan di bawah ini, tentukan opsi mana yang akan menghasilkan distribusi sampling yang mendekati normal.

1. Distribusi populasi berbentuk persegi/rectangular, ukuran sampel 15
2. Distribusi populasi bimodal, ukuran sampel 29
3. Distribusi populasi miring (skewed), ukuran sampel 40
4. Distribusi populasi segitiga (triangular), ukuran sampel 35
5. Distribusi populasi normal, ukuran sampel 20
6. Distribusi populasi normal, ukuran sampel 30

jawaban

1. (rectangular, n = 15) → n < 30 → tidak normal

2. (bimodal, n = 29) → n < 30 → tidak normal

3. (skewed, n = 40) → n ≥ 30 → CLT berlaku → sampling normal

4. (triangular, n = 35) → n ≥ 30 → CLT berlaku

5. (normal, n = 20) → populasi normal → selalu menghasilkan sampling normal

6. (normal, n = 30) → populasi normal → sampling normal

4.4 Visualisasi Teorema limit

library(ggplot2)
library(dplyr)

set.seed(999)

pop <- rexp(100000, rate = 1/10)

sample_dist <- function(n) {
  data.frame(
    mean = replicate(3000, mean(sample(pop, n, replace = TRUE))),
    n = paste("n =", n)
  )
}

df <- bind_rows(sample_dist(5), sample_dist(30), sample_dist(100))

ggplot(df, aes(x = mean, fill = n)) +
  geom_density(alpha = 0.45) +
  facet_wrap(~ n, scales = "free") +
  labs(title = "Evolusi Teorema Limit Pusat", x = "Rata-rata Sampel") +
  theme_minimal()

Interpretasi : Visualisasi tersebut menunjukkan bagaimana Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem/CLT) bekerja ketika ukuran sampel diperbesar, meskipun populasi awal memiliki distribusi yang sangat miring. Pada grafik pertama dengan ukuran sampel n = 5, distribusi rata-rata sampel masih tampak mirip dengan distribusi populasi exponential yang miring ke kanan, sehingga bentuknya belum simetris dan belum menyerupai distribusi normal. Ketika ukuran sampel meningkat menjadi n = 30, distribusi rata-rata sampel mulai terlihat lebih stabil, lebih simetris, dan mulai mendekati bentuk kurva normal. Ini menunjukkan bahwa CLT mulai bekerja, sebab semakin banyak elemen yang dirata-ratakan, semakin kecil pengaruh kemiringan populasi asal. Pada panel terakhir dengan n = 100, distribusi mean sampel terlihat hampir sepenuhnya normal: simetris, puncaknya jelas, dan variansinya mengecil karena rata-rata makin stabil. Hal ini menegaskan inti dari CLT, yaitu bahwa tidak peduli seberapa miring atau tidak normal bentuk populasi aslinya, distribusi rata-rata sampel akan selalu mendekati distribusi normal apabila ukuran sampel cukup besar.

5 Sample Proportion

Distribusi sampling proporsi merupakan konsep dasar dalam statistika inferensial yang menggambarkan perilaku nilai proporsi sampel \(\hat{p}\) ketika proses pengambilan sampel dari suatu populasi dilakukan secara berulang. Melalui distribusi ini, peneliti dapat memahami bagaimana variasi acak dalam sampel memengaruhi estimasi proporsi populasi yang sebenarnya. Distribusi sampling proporsi memiliki karakteristik yang terdefinisi dengan baik, yaitu rata-rata yang sama dengan proporsi populasi \(p\) dan deviasi standar yang mengikuti rumus \(\frac{p(1 - p)}{n}\). Ketika syarat Teorema Limit Pusat terpenuhi, distribusi sampling proporsi mendekati distribusi normal, sehingga memungkinkan penggunaan tabel Z dan teknik standardisasi untuk menentukan probabilitas serta melakukan inferensi. Pemahaman mengenai distribusi sampling proporsi sangat penting dalam analisis statistik, terutama dalam estimasi parameter, uji hipotesis, dan pengambilan keputusan berbasis data yang melibatkan variabel proporsi.

5.1 Definisi Distribusi sampling dan Proporsi Sample

Distribusi sampling dari proporsi sampel adalah distribusi yang terbentuk ketika kita mengambil sampel dari populasi secara berulang, kemudian menghitung proporsi hasil yang menguntungkan \(\hat{p}\) untuk masing-masing sampel. Nilai-nilai proporsi ini kemudian digabungkan ke dalam grafik sehingga membentuk pola distribusi tertentu. Distribusi ini membantu peneliti memahami perkiraan proporsi populasi \(p\) dan variasi yang mungkin muncul antar sampel.

Proporsi sendiri menggambarkan fraksi hasil yang menguntungkan terhadap total hasil. Dalam populasi, proporsi dilambangkan dengan \(p\) sedangkan dalam sampel dilambangkan dengan \(\hat{p}\)

Proporsi sampel dihitung dengan rumus:

\[ \hat{p} = \frac{\text{jumlah hasil yang menguntungkan}}{\text{jumlah total hasil}} \]

Contoh:

1. jika dari 10 orang dalam sampel, 2 memiliki mata hijau, maka \[ \hat{p} = \frac{2}{10} = 0.2 \]

2. Untuk populasi dengan 5.000 orang, jika 900 memiliki mata hijau, proporsinya adalah

\[ p = \frac{900}{5000} = 0.18 \]

Jika kita mengambil sampel berulang kali, nilai \(\hat{p}\) akan berbeda-beda karena unsur peluang. Namun, jika semua nilai \(\hat{p}\) dikumpulkan, kita akan memperoleh distribusi sampling proporsi, yang memiliki rata-rata dan deviasi standar tertentu.

5.2 tiga hal yang ditemukan dalam distribusi sampling dari proporsi sampel

1. Rata-rata:

\[ \mu_{\hat{p}} = p \]

Artinya, rata-rata semua proporsi sampel sama dengan proporsi populasi.

2. Deviasi standar:

\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

Semakin besar ukuran sampel \(n\), semakin kecil deviasi standar, sehingga proporsi sampel lebih stabil.

3. Standardisasi (Z-score):

\[ z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \]

Digunakan untuk menghitung probabilitas tertentu atau area di bawah kurva distribusi normal.

5.3 Central Limit Theorem

Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem / CLT) diterapkan pada dua jenis distribusi sampling:

1. Distribusi Rata Rata Sampel

CLT menyatakan bahwa jika ukuran sampel \(n \ge 30\), distribusi sampling mean sampel akan mendekati distribusi normal, terlepas dari bentuk distribusi populasi.

2. Distribusi Sampling Proporsi

CLT juga berlaku untuk distribusi proporsi, tetapi dengan syarat khusus:

\[ n \cdot p \ge 10 \]

\[ n \cdot (1-p) \ge 10 \]

Jika syarat ini terpenuhi, distribusi sampling proporsi dianggap mendekati distribusi normal. Kita bisa menggunakan standardisasi Z:

\[ z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \]

5.4 Visualisasi Distribusi Sampling Proporsi

# Load library
library(ggplot2)
library(dplyr)

set.seed(123)

# ============================
# Parameter Populasi
# ============================
p <- 0.6          # proporsi sebenarnya di populasi
n <- 30           # ukuran sampel
num_samples <- 3000  # jumlah sampel yang diambil

# ============================
# Fungsi untuk mengambil sampel
# ============================
sample_proportion <- function(n, p) {
  mean(rbinom(n, size = 1, prob = p))  # menghasilkan proporsi sampel
}

# ============================
# Ambil banyak sampel
# ============================
sample_props <- replicate(num_samples, sample_proportion(n, p))
df <- data.frame(p_hat = sample_props)

# ============================
# Visualisasi Distribusi Sampling Proporsi
# ============================
ggplot(df, aes(x = p_hat)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 30, fill = "skyblue", color = "black", alpha = 0.7) +
  geom_density(color = "red", size = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = p, linetype = "dashed", color = "blue", size = 1) +
  labs(title = "Distribusi Sampling Proporsi",
       subtitle = paste("Proporsi Populasi p =", p, ", Ukuran Sampel n =", n),
       x = "Proporsi Sampel (p̂)",
       y = "Density") +
  theme_minimal()

Visualisasi distribusi sampling proporsi menunjukkan bagaimana proporsi sampel (p̂) tersebar ketika kita mengambil banyak sampel dari populasi dengan proporsi sebenarnya p = 0.6. Histogram biru menampilkan frekuensi proporsi sampel dari 3000 sampel, menunjukkan bahwa sebagian besar proporsi sampel berkumpul di sekitar nilai populasi. Garis merah yang merupakan kurva kepadatan memberikan gambaran bentuk distribusi sampling yang halus dan simetris seperti lonceng, sesuai dengan Teorema Limit Pusat, yang menyatakan bahwa distribusi proporsi sampel mendekati normal saat ukuran sampel cukup besar. Garis putus-putus biru menunjukkan proporsi populasi sebenarnya, yang menjadi pusat distribusi, menandakan bahwa proporsi sampel merupakan estimator tidak bias dari proporsi populasi. Selain itu, semakin besar ukuran sampel, distribusi proporsi sampel akan semakin sempit, sehingga estimasi menjadi lebih presisi. Secara keseluruhan, visualisasi ini memperlihatkan bahwa rata-rata proporsi sampel mendekati proporsi populasi dan variasinya dipengaruhi oleh ukuran sampel.

6 Riview Sampling Distribution

6.1 Contoh 1

1. Bayangkan kita memiliki toples yang memiliki 200 kelereng hijau dan 300 kelereng biru. Jika kelereng diambil tiga kali dengan pengembalian, berapakah peluang mengambil setidaknya dua kelereng hijau?

Langkah Penyelesaian:

1. Menentukan probabilitas sukses (menulis hijau):

\[ P(\text{hijau}) = \frac{200}{500} = 0.4 \]

Probabilitas gagal (menulis biru):

\[ P(\text{biru}) = \frac{300}{500} = 0.6 \]

2. Membuat ruang sampel

Semua kombinasi 3 ulasan dengan penggantian:

GGB, GBG, BGG → 2 hijau + 1 biru

GBB, BGB, BBG → 1 hijau + 2 biru

BBB → 3 biru

GGG → 3 hijau

3. Menghitung probabilitas setiap kombinasi:

Contoh: GBB → \(0.4 \times 0.6 \times 0.6 = 0.144\)

Menjumlahkan semua kombinasi yang sesuai dengan syarat setidaknya 2 hijau, misalnya:

2 hijau + 1 biru: 0.096 + 0.096 + 0.096 = 0.288

3 hijau: 0.064 → Total: 0.288 + 0.064 = 0.352

Kesimpulan: Probabilitas menulis setidaknya 2 ulasan hijau dari 3 percobaan adalah 0.352 atau 35.2%

6.2 Contoh 2

1. Apa yang terjadi jika lima kelereng diambil dan bukan tiga? Jadi jika lima kelereng diambil dengan pengembalian, berapakah peluang mengambil setidaknya dua kelereng hijau?

Jawab:

Langkah 1: Gunakan Rumus Binomial

Rumus distribusi binomial:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k} \]

Dimana:

\(n = 5\) (jumlah percobaan)

\(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\) (jumlah sukses hijau)

\(p = 0.4\) (probabilitas sukses hijau)

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) (kombinasi)

Kita ingin setidaknya 2 hijau, berarti \(k \ge 2\)

\[ P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \]

Langkah 2: Hitung setiap probabilitas

1. \(P(X = 2)\)

\[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \, 3!} = 10 \]

\[ P(X = 2) = 10 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^3 \]

\[ = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 0.3456 \]

2. \(P(X = 3)\)

\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \, 2!} = 10 \]

\[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 \]

\[ = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304 \]

3. \(P(X = 4)\)

\[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4! \, 1!} = 5 \]

\[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6) \]

\[ = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768 \]

4. \(P(X = 5)\)

\[ \binom{5}{5} = 1 \]

\[ P(X = 5) = 1 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 \]

\[ = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024 \]

Langkah 3: Jumlahkan untuk \(k \ge 2\)

\[ P(X \ge 2) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 \]

\[ P(X \ge 2) = 0.66304 \]

Jawaban

\[ P(X \ge 2) \approx 0.663 \quad \text{atau} \quad 66.3\% \]

6.3 Contoh 3

1. Jika sebuah kelereng diambil 100 kali dengan pengembalian, berapakah peluang mengambil setidaknya 35 kelereng hijau?

Jawab:

Gunakan Distribusi Sampling Proporsi dan Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem / CLT)

1. Periksa syarat CLT:

\(n \cdot p \ge 10 \Rightarrow 100 \times 0.4 = 40 \ge 10\) ✅

\(n \cdot (1-p) \ge 10 \Rightarrow 100 \times 0.6 = 60 \ge 10 \ ✅\)

Kedua syarat terpenuhi → CLT dapat diterapkan.

2. Standarisasi proporsi (Z-score):

\[ Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \]

Dimana:

\(\hat{p} = 0.35\) — proporsi sampel

\(p = 0.4\) — proporsi populasi

\(n = 100\) — ukuran sampel

3. Hitung Z-score:

\[ Z = \frac{0.35 - 0.4}{\sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{100}}} = -1.02 \]

4. Cari probabilitas area di sebelah kiri Z-score:

Nilai dari tabel Z → \(P(Z < -1.02) = 0.1539\)

5. Probabilitas setidaknya 35 hijau:

Karena kita ingin area kanan Z, gunakan:

\[ P(X \ge 35) = 1 - 0.1539 = 0.8461 \]

Hasil: Probabilitas setidaknya 35 hijau dari 100 percobaan ≈ 84.61%

7 Reference

1. Modul daring dari Universitas Jember tentang “Distribusi Sampling”. https://statslab-rshiny.fmipa.unej.ac.id/

2. Application of Three Probability Distributions to Justify Central Limit Theorem — https://abjournals.org/ajmss/papers/volume-6/issue-4/application-of-three-probability-distributions-to-justify-central-limit-theorem/?utm_source

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem?utm_source

4. Artikel/metode yang membahas distribusi sampling, standard error, dan aplikasi CLT dalam inferensi statistik. https://paggalih.github.io/