2.1 Variabel Acak

Sebuah variabel acak diklasifikasikan sebagai kontinu jika variabel tersebut mampu mengambil nilai apa pun dalam suatu rentang atau interval pada garis bilangan riil. Artinya, tidak ada “lompatan” atau celah di antara nilai-nilai yang mungkin.

Contoh-contoh variabel acak kontinu yang umum dijumpai meliputi: tinggi badan, durasi waktu, suhu, usia, tekanan, dan kecepatan.

Karakteristik utama yang mendefinisikan variabel acak kontinu adalah:

• Rentang Nilai: Variabel ini dapat mengambil setiap nilai dalam suatu interval terbuka \((a, b)\) atau bahkan pada seluruh garis bilangan riil \((-\infty, +\infty)\).

• Probabilitas pada Titik Tunggal: Probabilitas bahwa variabel acak kontinu \(X\) mengambil tepat satu nilai tertentu (\(P(X = x)\)) adalah selalu nol. Hal ini disebabkan karena ada jumlah titik yang tak terhingga dalam suatu interval.

• Probabilitas dalam Interval: Probabilitas hanya dapat diukur selama variabel tersebut berada dalam suatu interval tertentu, yang dihitung menggunakan integral:\[P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx\]

2.2 Kepadatan Probabilitas Meliputi

Untuk variabel acak kontinu, probabilitas tidak dihitung pada titik tunggal, melainkan melalui sebuah fungsi yang dikenal sebagai Fungsi Kepadatan Probabilitas (PDF), dilambangkan sebagai \(f(x)\).

Sebuah fungsi \(f(x)\) diakui sebagai PDF yang valid jika memenuhi dua kriteria dasar berikut:

1. Kondisi Non-negatif

Fungsi harus selalu bernilai positif atau nol untuk semua kemungkinan nilai \(x\) dalam domainnya.\[f(x) \ge 0 \quad \text{untuk semua } x\] Ini memastikan bahwa kepadatan (density) probabilitas tidak pernah memiliki nilai negatif.

2. Total Luas Area Sama dengan 1

Luas total area di bawah kurva fungsi \(f(x)\) di seluruh domain variabel harus tepat sama dengan satu (1). Hal ini merefleksikan kepastian bahwa variabel acak harus mengambil suatu nilai dalam rentang kemungkinan yang ada.\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx = 1\]

Penting untuk memahami bagaimana menginterpretasikan nilai \(f(x)\):

• Bukan Probabilitas: Nilai \(f(x)\) itu sendiri bukanlah probabilitas. Probabilitas hanya dapat diukur melalui luas area di bawah kurva PDF untuk suatu interval tertentu.

• Mengukur Kepadatan: Nilai \(f(x)\) yang lebih besar mengindikasikan kepadatan probabilitas yang lebih tinggi di sekitar nilai \(x\) tersebut. Secara intuitif, ini berarti kemungkinan variabel acak jatuh pada dekat nilai tersebut lebih besar.

Contoh PDF

Pertimbangkan fungsi berikut sebagai contoh Fungsi Kepadatan Probabilitas:\[f(x) = 3x^2 \quad \text{untuk } 0 \le x \le 1\] Validasi:Untuk memastikan validitasnya, kita hitung luas area di bawah kurva dalam interval yang ditentukan:\[\int_{0}^{1} 3x^2 \,dx\] Hasil dari integral ini harus sama dengan 1, yang mengonfirmasi bahwa fungsi tersebut adalah PDF yang sah.

2.3 Probabilitas Pada Interval

Karena probabilitas pada titik tunggal untuk variabel acak kontinu selalu nol, kita hanya dapat menghitung probabilitas variabel acak \(X\) jatuh di antara dua nilai, yaitu dalam suatu interval \([a, b]\).

Untuk menghitung probabilitas dalam interval tersebut, kita menggunakan integral dari Fungsi Kepadatan Probabilitas (PDF), \(f(x)\), yang merepresentasikan luas area di bawah kurva dalam batas-batas interval yang diminati:\[P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx\] Contoh Perhitungan:Dengan menggunakan PDF contoh sebelumnya, \(f(x) = 3x^2\) untuk \(0 \le x \le 1\), jika kita ingin mencari probabilitas \(X\) berada di antara \(0.5\) dan \(1\), kita akan menghitung integral berikut:\[P(0.5 \le X \le 1) = \int_{0.5}^{1} 3x^2 \,dx\]

2.4 Distribusi Kumulatif

Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF), dilambangkan sebagai \(F(x)\), memberikan probabilitas kumulatif bahwa variabel acak kontinu \(X\) mengambil nilai yang kurang dari atau sama dengan nilai tertentu \(x\).

Sama seperti PDF, CDF juga didefinisikan menggunakan integral, tetapi batas atas integralnya adalah nilai \(x\) itu sendiri: \[F(x) = P(X \le x) = \int_{0}^{x} 3t^2 \,dt = x^3\] Hubungan antara PDF dan CDF

Terdapat hubungan matematis yang erat dan saling timbal balik antara CDF dan PDF. Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, Fungsi Kepadatan Probabilitas (\(f(x)\)) adalah turunan dari Fungsi Distribusi Kumulatif (\(F(x)\)):\[f(x) = F'(x)\] Hubungan ini memungkinkan kita untuk beralih dari fungsi probabilitas kumulatif ke fungsi kepadatan probabilitas, dan sebaliknya.

3.1 Definisi dan Perbedaan

3.2 Perbandingan Distribusi Populasi vs Distribusi Sampling

membandingkan karakteristik Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampling dari Rata-Rata Sampel (\(\bar{x}\))

3.3 Tujuan Distribusi Sampling

Kegunaan utama dari Distribusi Sampling adalah:

• Kenyamanan dan Efisiensi: Memungkinkan kita mendapatkan ide tentang nilai rata-rata populasi (\(\mu\)) tanpa harus mengukur setiap individu, yang sangat menghemat waktu, biaya, dan tenaga (misalnya, mengukur tinggi badan 8 miliar orang di bumi) .
• Menghitung Probabilitas: Memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas mendapatkan hasil sampel tertentu berdasarkan ukuran sampel (\(n\)) yang digunakan

rumus-rumus utama untuk notasi dan standardisasi yang digunakan pada Distribusi Sampling:

1. Simpangan Baku Distribusi Sampling (Standard Error)

Simpangan baku dari distribusi sampling rata-rata sampel (\(\sigma_{\bar{x}}\)) dikenal sebagai Standard Error dan dihitung dengan membagi simpangan baku populasi dengan akar kuadrat dari ukuran sampel (\(n\)):\[\text{Standard Error: } \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] 2. Notasi dan Karakteristik Distribusi Sampling

Ketika ukuran sampel (\(n\)) cukup besar (berdasarkan Central Limit Theorem, yang dibahas singkat), Distribusi Sampling rata-rata sampel dapat didekati dengan Distribusi Normal.\[\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

• \(\mu\): Rata-rata populasi.

• \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\): Standard Error (\(\sigma_{\bar{x}}\)).

3.Rumus Standardisasi (Skor-Z) untuk Distribusi Sampling

Untuk menghitung probabilitas suatu rata-rata sampel (\(\bar{x}\)), kita menggunakan rumus Skor-Z yang distandardisasi menggunakan Standard Error sebagai pembagi:\[\text{Skor-Z: } Z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\] Sebagai perbandingan, rumus Skor-Z untuk data individu (\(x\)) dalam Distribusi Populasi adalah:\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

4.1 Teorema Batas Pusat (Central Limit Theorem / CLT)

CLT adalah teorema yang memprediksi bentuk dari Distribusi Sampling berdasarkan ukuran sampel (\(n\)).

A. Pernyataan Utama

CLT menyatakan bahwa jika ukuran sampel (\(n\)) cukup besar, maka Distribusi Sampling dari Rata-Rata Sampel (\(\bar{x}\)) akan berbentuk Distribusi Normal, terlepas dari bentuk Distribusi Populasi aslinya.

B. Aturan Umum (Rule of Thumb)

Untuk menerapkan CLT (yaitu, untuk menganggap Distribusi Sampling normal), ada dua kondisi yang harus dipenuhi:

• Jika Distribusi Populasi Tidak Diketahui atau Tidak Normal: Ukuran sampel harus besar (umumnya \(n \ge 30\)).

• Jika Distribusi Populasi Sudah Normal: Distribusi Sampling akan selalu Normal, bahkan dengan ukuran sampel yang kecil (\(n < 30\)).

C. Notasi Distribusi Sampling (Dampak CLT)

Bila \(n \ge 30\) (atau populasi awal sudah Normal), Distribusi Sampling dapat menggunakan notasi Normal:\[\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

4.2 Tinjauan Distribusi Sampling (Review: Sampling Distribution)

Distribusi Sampling adalah distribusi yang dibentuk dari statistik (misalnya, rata-rata \(\bar{x}\)) yang dihitung dari berbagai sampel acak berganda yang ditarik dari suatu populasi.

Proses Pembentukan Distribusi Sampling dari Rata-Rata Sampel (\(\bar{x}\)):

1. Ambil sampel acak sederhana dari populasi.
2. Hitung rata-rata sampel (\(\bar{x}\)) untuk sampel tersebut.
3. Plot nilai \(\bar{x}\) tersebut ke dalam sebuah grafik (histogram).
4. Ulangi langkah 1-3 berkali-kali (ratusan hingga ribuan kali).
5. Hasil akumulasi dari plot \(\bar{x}\) inilah yang membentuk Distribusi Sampling.

Rumus Terkait Distribusi Sampling

library(knitr)

data <- data.frame(
  Konsep = c("Rata-Rata Distribusi Sampling", "Simpangan Baku (Standard Error)"),
  Rumus = c("$\\mu_{\\bar{x}} = \\mu$", "$\\sigma_{\\bar{x}} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$"),
  Keterangan = c(
    "Rata-rata dari semua rata-rata sampel sama dengan rata-rata populasi.",
    "$\\sigma$: Simpangan baku populasi. $n$: Ukuran sampel."
  )
)

kable(data, escape = FALSE)

4.3 Rumus Standardisasi (Skor-Z)

Untuk menghitung probabilitas rata-rata sampel tertentu, digunakan rumus Skor-Z dengan Standard Error (\(\sigma_{\bar{x}}\)) sebagai pembagi:\[\text{Skor-Z: } Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\]

5.1 Definisi Proporsi dan Distribusi Sampling

Dalam statistika, proporsi (\(p\)) adalah pecahan yang menggambarkan fraksi hasil yang diinginkan (sukses) berbanding dengan keseluruhan hasil.

• Proporsi Populasi dilambangkan dengan \(p\).

• Proporsi Sampel dilambangkan dengan \(\hat{p}\).

Distribusi Sampling Proporsi Sampel (\(\hat{p}\)) dibentuk dengan melakukan proses berulang: mengambil banyak sampel acak dari populasi, menghitung \(\hat{p}\) untuk setiap sampel, dan kemudian memplot semua nilai \(\hat{p}\) tersebut pada sebuah grafik. Distribusi ini adalah distribusi dari statistik \(\hat{p}\).

5.2 Karakteristik Distribusi Sampling Proporsi

Distribusi \(\hat{p}\) memiliki karakteristik rata-rata dan simpangan baku (standard error):

• Rata-Rata (\(\mu_{\hat{p}}\)): Rata-rata dari semua proporsi sampel (\(\hat{p}\)) yang dikumpulkan akan sama dengan proporsi populasi (\(p\)) yang sebenarnya.\[\mu_{\hat{p}} = p\]
• Simpangan Baku (Standard Error, \(\sigma_{\hat{p}}\)): Standard error mengukur seberapa tersebar rata-rata proporsi sampel di sekitar rata-rata populasi. Nilainya akan mengecil seiring bertambahnya ukuran sampel (\(n\)).\[\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

5.3 Teorema Batas Pusat (CLT) untuk Proporsi

Sama seperti rata-rata sampel, Distribusi Sampling Proporsi (\(\hat{p}\)) akan mendekati Distribusi Normal jika kondisi CLT terpenuhi. Hal ini penting karena memungkinkan kita menggunakan tabel Z-score dan rumus Distribusi Normal.

Kondisi Penerapan CLT:Untuk proporsi, kondisi agar Distribusi Sampling dianggap Normal adalah:

• Jumlah hasil sukses harus besar: \(n \cdot p \ge 10\)

• Jumlah hasil gagal harus besar: \(n \cdot (1-p) \ge 10\)

5.4 Rumus Standardisasi (Skor-Z)

Jika kondisi CLT terpenuhi, kita dapat menggunakan rumus Z-Score untuk mencari probabilitas \(\hat{p}\) tertentu:\[\text{Skor-Z: } Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\]

6.1 Metode Probabilitas Dasar (Ruang Sampel)

Metode ini digunakan ketika jumlah percobaan (\(n\)) sangat kecil. Probabilitas dihitung dengan membuat ruang sampel lengkap dari semua hasil yang mungkin dan menjumlahkan probabilitas hasil yang relevan.

• Kasus: Penarikan kelereng \(n=3\) kali.

• Pertanyaan: Berapa probabilitas mendapatkan minimal 2 kelereng hijau?

• Langkah: Hitung \(P(\text{tepat 2 H})\) dan \(P(\text{tepat 3 H})\) menggunakan perkalian probabilitas dan menjumlahkan hasilnya.

Rumus Terkait:

1. Probabilitas Sukses (\(p\)): \[p = \frac{\text{Jumlah Hasil Sukses}}{\text{Total Hasil}} = \frac{200}{500} = 0.4\]
2. Probabilitas Hasil Spesifik (tanpa pengulangan):\[P(\text{H-H-B}) = p \times p \times (1-p) = 0.4 \times 0.4 \times 0.6\]

6.2 Metode Distribusi Binomial

Metode ini digunakan ketika \(n\) meningkat, sehingga membuat ruang sampel menjadi tidak praktis, tetapi jumlah perhitungan masih dapat dikelola. Distribusi Binomial menghitung probabilitas mendapatkan tepat \(k\) sukses dalam \(n\) percobaan.

• Kasus:Penarikan kelereng \(n=5\) kali.

• Pertanyaan: Berapa probabilitas mendapatkan minimal 2 kelereng hijau?

• Langkah: Hitung \(P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\) menggunakan rumus Binomial untuk setiap nilai \(k\).

Rumus Terkait:

Rumus Probabilitas Binomial (Mencari probabilitas tepat k sukses dalam n percobaan): \[P(k) = \mathbf{\binom{n}{k}} P^k (1-P)^{n-k}\]

6.3 Metode Aproksimasi Normal (CLT)

Metode ini digunakan ketika \(n\) sangat besar, sehingga perhitungan menggunakan Binomial menjadi terlalu banyak (tidak feasible). Metode ini memanfaatkan Teorema Batas Pusat (CLT) untuk mengaproksimasi probabilitas menggunakan Distribusi Normal dan Z-Score.

• Kasus: Penarikan kelereng \(n=100\) kali.

• Pertanyaan: Berapa aproksimasi probabilitas mendapatkan minimal 35 kelereng hijau?

• Langkah:

1. Cek apakah Kondisi CLT terpenuhi.
2. Hitung Standard Error (\(\sigma_{\hat{p}}\)).
3. Hitung Z-Score untuk proporsi \(\hat{p} = 35/100 = 0.35\).
4. Gunakan tabel Z-Score untuk mencari probabilitas (luas area di bawah kurva).

Rumus Terkait:

1. Kondisi Penerapan CLT (Proporsi):

• \(n \cdot p \ge 10\)

• \(n \cdot (1-p) \ge 10\)

2. Standard Error Distribusi Proporsi:\[\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\] 3. Rumus Z-Score Distribusi Proporsi:\[Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\]