Karakteristik utamanya:

• Variabel tersebut dapat mengambil nilai-nilai dalam suatu interval seperti (a, b) atau bahkan (-∞, ∞).

• Probabilitas pada satu titik tertentu selalu bernilai nol:

\[P(X = x) = 0\]

• Probabilitas hanya bermakna jika dihitung pada sebuah interval:

\[P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)\, dx\]

Fungsi f(x) disebut sebagai Probability Density Function (PDF) yang valid jika memenuhi syarat berikut:

• Tidak Bernilai Negatif

\[f(x) \ge 0 \quad \forall x\]

• Luas total sama dengan 1

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1\]

Interpretasi:

Nilai f(x) yang lebih besar menunjukkan kepadatan probabilitas yang lebih tinggi di sekitar nilai tersebut.

Namun, f(x) bukanlah probabilitas; probabilitas diperoleh dari luas di bawah kurva (area under the curve).

Contoh :

\[P(0.5 \le X \le 1)\]

Interpretasi :

Rumus ini menunjukkan hubungan fundamental antara PDF (Probability Density Function) f(x) dan CDF (Cumulative Distribution Function) F(x), di mana PDF merupakan turunan dari CDF.

Kegunaan Distribusi Sampling

Distribusi Sampling digunakan karena Kemudahan dan Efisiensinya. contohnya Jika kita ingin mengetahui rata-rata tinggi seluruh manusia di bumi, secara teori kita harus mengukur dan mencatat tinggi setiap individu. Proses tersebut tentu memerlukan tenaga, waktu, dan biaya yang sangat besar. Di sinilah distribusi sampling menjadi berguna. Dengan mengambil sebagian kecil populasi (sampel) dan memahami distribusi sampling, kita dapat memperkirakan parameter populasi secara efisien serta menghitung probabilitas memperoleh hasil tertentu berdasarkan ukuran sampel yang digunakan. Distribusi sampling membuat proses estimasi jauh lebih praktis tanpa harus mengumpulkan data dari seluruh populasi.

Cara Membuat dan menghitung Distribusi Sampling dari Rata-rata Sampel

• Menentukan Object yang akan di evaluasi. contohnya tinggi badan, berat badan, warna bola mata, dan nilai ulangan. Kali ini kita akan membuat contoh rata rata tinggi badan di sebuah wilayah.

• Tentukan Ukuran Sampel yang akan dihitung. contoh kita membutuhkan 1000 orang dalam perhitungan rata rata tinggi badan. lalu kelompokkan lagi menjadi skala yang lebih kecil misalnya 50 orang untuk sekali perhitungan.

Catatan : Semakin besar n, distribusi sampling rata-rata akan mendekati distribusi normal (Teorema Limit Pusat).

• Mengumpulkan data yang kita perlukan. Pada evaluasi kali ini kita membutuhkan data berupa tinggi badan setiap orang yang terlibat.

• Hitung Rata Rata setiap 10 orang dengan rumus :

\[ \bar{x} = \frac{\text{Jumlah tinggi badan dalam sampel}}{n} \]

• Ulangi kalkulasi dengan hal serupa hingga seluruh random sampling telah terhitung

• Buat Distribusi Frekuensi dari Rata-rata Sampel. Hasilnya adalah sampling distribution of the sample mean.

Contoh Distribusi Frekuensi

library(ggplot2)

set.seed(123)

# Parameter
pop_mean <- 165
pop_sd <- 8
n <- 50
n_samples <- 1000

# Generate sampling distribution
sampling_means <- replicate(n_samples, {
  mean(rnorm(n, pop_mean, pop_sd))
})

# Plot sederhana
ggplot(data.frame(means = sampling_means), aes(x = means)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), 
                 bins = 25, 
                 fill = "#800000", 
                 alpha = 0.7) +
  geom_density(color = "#000080", size = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = pop_mean, 
             color = "green", 
             size = 1.5, 
             linetype = "dashed") +
  labs(title = "Distribusi Sampling Rata-rata Tinggi Badan",
       subtitle = paste("n =", n, "| Berdasarkan", n_samples, "sampel"),
       x = "Rata-rata Sampel (cm)",
       y = "Frekuensi Relatif") +
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(size = 16, face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(size = 12, hjust = 0.5)
  )

Ringkasan

• Populasi distribusi adalah distribusi yang menggambarkan nilai suatu karakteristik untuk seluruh individu dalam populasi.

• Distribusi sampel adalah distribusi yang menunjukkan nilai karakteristik untuk individu-individu yang ada di dalam suatu sampel.

• Distribusi sampling dibuat dengan cara mengambil banyak sampel secara berulang, menghitung statistik dari setiap sampel (misalnya mean), lalu menggabungkan semua nilai statistik tersebut hingga membentuk sebuah distribusi baru.

Studi Kasus 1

Tinggi rata rata orang kanada mengikuti normal distribusi memiliki rerata 160cm dan standart deviasi nya 7 cm. berapa peluang rata rata tinggi 10 orang acak yang kurang dari 157cm ?

Berdasarkan grafik distribusi sampling rata-rata (X̄), area yang diarsir menunjukkan peluang bahwa rata-rata tinggi badan dari sampel berukuran 10 orang bernilai kurang dari 157 cm. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai tersebut berada 1.355 standar deviasi di bawah mean populasi, sehingga peluangnya adalah P(X̄ < 157) = 0.0877. Nilai ini berarti bahwa hanya sekitar 8.77% sampel berukuran 10 orang yang akan memiliki rata-rata kurang dari 157 cm apabila populasi sebenarnya memiliki mean 160 cm dan standar deviasi 7 cm. Dengan demikian, rata-rata 157 cm termasuk dalam kategori kejadian yang cukup jarang, karena berada pada bagian ekor kiri distribusi normal.

Studi Kasus 2

Tinggi rata rata orang kanada mengikuti normal distribusi dengan rerata 160cm dan stndart deviasi nya 7 cm. berapa proporsi semua orang yang memiliki tinggi badan lebih dari 170 cm ?

Berdasarkan hasil perhitungan dan grafik, diperoleh bahwa probabilitas rata-rata sampel ((X)) bernilai kurang dari 157 hanya sebesar sekitar 0.0869 atau 8.69%. Nilai ini didapat dari konversi ke Z-score sebesar (-1.36), yang menunjukkan bahwa 157 berada cukup jauh di bawah rata-rata distribusi sampel. Area biru pada kedua grafik—baik distribusi (X) maupun distribusi Z menggambarkan bagian kecil di sebelah kiri kurva normal, sehingga memperlihatkan bahwa kejadian (X < 157) tergolong jarang terjadi. Dengan demikian, nilai 157 bukan representasi yang biasa muncul dari sampel apabila rata-rata populasi berada di sekitar nilai pusat distribusi.

Teorema Limit Tengah menyatakan bahwa jika ukuran sampel (n) cukup besar, maka distribusi rata-rata sampel akan mendekati distribusi normal. Artinya, apa pun bentuk distribusi populasi awal, distribusi dari rata-rata sampelnya tetap akan cenderung normal ketika sampelnya besar.Teorema Limit Tengah sangat membantu dalam menganalisis data berukuran besar.Karena distribusi sampling akan mendekati normal, kita bisa memakai rumus-rumus statistik yang memang dibuat untuk distribusi normal. Dengan begitu, proses membaca, menghitung, dan menarik kesimpulan dari data menjadi lebih mudah dan jelas.

Panduan Ukuran Sampel pada Teorema Limit Pusat

• n≥30 dianggap cukup aman untuk menerapkan Teorema Limit Tengah (Central Limit Theorem/CLT). Ketika ukuran sampel memenuhi syarat ini, distribusi rata-rata sampel akan mendekati distribusi normal apa pun bentuk distribusi populasi awalnya.

• Jika n<30, maka:

  • Distribusi sampling mean mungkin belum berbentuk normal.

  • Hasil estimasi bisa lebih mudah meleset (lebih sensitif terhadap outliers dan bentuk distribusi populasi).

  • Semakin kecil sampelnya, semakin terlihat bentuk asli distribusi populasi pada distribusi sampling.

• Namun, terdapat pengecualian, Jika populasi awal memang sudah berdistribusi normal, maka distribusi sampling mean akan tetap normal meskipun ukuran sampel kecil, bahkan untuk sampel sekecil n=5 atau n=10.

Rumus Proporsi

\[ \text{Proporsi} = \frac{\text{jumlah yang menguntungkan}}{\text{total angka yang keluar}} \]

Jika distribusi sampling dari proporsi sampel memiliki distribusi normal dan mengikuti teorema limit tengah