2.3 ⏩Rumus Penting: Distribusi Normal

Seperti yang disebutkan dalam video, Distribusi Normal adalah distribusi kontinu yang paling umum digunakan dan memiliki rumus PDF yang sangat spesifik:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]

• \(x\): Variabel acak.

• \(\mu\) (\(\text{mu}\)): Nilai rata-rata (mean) dari distribusi.

• \(\sigma\) (\(\text{sigma}\)): Nilai simpangan baku (standard deviation) dari distribusi.

Rumus Praktis: Nilai \(Z\) (Standardisasi)Karena menghitung integral dari rumus Normal sangat rumit, dalam praktik, kita menggunakan Distribusi Normal Baku (Standard Normal Distribution) dengan \(\mu=0\) dan \(\sigma=1\).Kita menggunakan Nilai \(Z\) (Z-score) untuk mengubah nilai \(X\) dari distribusi normal apa pun menjadi nilai yang sesuai pada kurva standar, yang kemudian dapat dicari probabilitasnya menggunakan Tabel \(Z\):\[\text{Nilai } Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\] Kesimpulan: Probabilitas variabel kontinu (seperti waktu, berat, atau usia) secara matematis dihitung menggunakan Integral dari fungsi probabilitas yang relevan, seperti yang ditunjukkan oleh \(\int_{a}^{b} f(x) dx\). Namun, dalam kasus yang paling sering ditemui (Distribusi Normal), kita praktis menggunakan rumus Nilai \(Z\) untuk menstandarisasi data dan mencari luas (probabilitas) di bawah kurva menggunakan tabel.

3.2 ⏩Karakteristik Kunci Distribusi Sampling

Distribusi Sampling Rata-Rata Sampel memiliki hubungan yang jelas dengan Distribusi Populasi asalnya:

1. Rata-rata Rata-rata dari Distribusi Sampling (\(\mu_{\bar{x}}\)) selalu sama dengan rata-rata populasi (\(\mu\)).\[\mu_{\bar{x}} = \mu\]

2. Variabilitas (Standard Error) Variabilitas dalam Distribusi Sampling, yang disebut Standard Error (Kesalahan Baku) (\(\sigma_{\bar{x}}\)), selalu lebih kecil daripada simpangan baku populasi (\(\sigma\)). Ini karena nilai rata-rata cenderung kurang bervariasi daripada nilai observasi individu.

\[{\text{Standard Error ($\sigma_{\bar{x}}$)}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Dimana \(n\) adalah ukuran sampel.

3. Bentuk Jika proses pengambilan sampel dilakukan berulang kali, Distribusi Sampling cenderung memiliki bentuk Distribusi Normal (Kurva Lonceng), terlepas dari bentuk populasi aslinya. Fenomena ini dijelaskan oleh Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem).
   Distribusi Normal (Kurva Lonceng)

4.2 ⏩Aturan Umum Ukuran Sampel (\(n\))

Kapan \(n\) dianggap “cukup besar” agar CLT dapat diterapkan?

• Aturan Praktis (Rule of Thumb): Umumnya, CLT dianggap aman untuk diterapkan ketika ukuran sampel (\(n\)) lebih besar atau sama dengan 30 (\(\mathbf{n \ge 30}\)).

• Jika \(n < 30\), perkiraan Normal (berdasarkan CLT) tidak akan akurat karena variabilitas yang lebih besar.

5.2 ⏩Kondisi Penerapan CLT (Normalitas)

Untuk dapat mengasumsikan Distribusi Sampling \(\hat{P}\) bersifat Normal dan menggunakan rumus \(Z\), dua kondisi harus dipenuhi:

1. Jumlah keberhasilan (sukses) harus minimal 10: \(\mathbf{n \cdot P \ge 10}\).

2. Jumlah kegagalan (nonsukses) harus minimal 10: \(\mathbf{n \cdot (1-P) \ge 10}\).

Jika kedua syarat ini terpenuhi, maka kita bisa menggunakan Distribusi Normal untuk analisis probabilitas proporsi.

6.2 ⏩Distribusi Binomial

• Kapan Digunakan: Ketika jumlah percobaan (\(n\)) relatif kecil hingga sedang (misalnya, \(n=5\)).

• Metode: Menggunakan Rumus Binomial untuk menghitung probabilitas tepat sejumlah keberhasilan (\(k\)).

• Kelemahan: Jika \(n\) sangat besar (misalnya, \(n=100\)) dan pertanyaannya adalah tentang rentang probabilitas (“minimal \(k\)”), metode ini mengharuskan penghitungan rumus binomial berulang kali (misalnya, puluhan kali), yang tidak efisien.