2.1.1 Variabel Acak

Suatu variabel acak dikatakan kontinu jika dapat mengambil nilai apa pun dalam suatu interval pada garis bilangan rill. Contohnya meliputi: tinggi, waktu, suhu, usia, tekanan, dan kecepatan.

Karakteristik utama:

– Variabel mengambil nilai dalam interval seperti \((a, b)\) atau bahkan \((-\infty, +\infty)\).

– Probabilitas setiap titik tunggal selalu nol: \(P(X = x) = 0\) – Probabilitas hanya bermakna pada interval:\(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

2.1.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas

Sebuah fungsi f(x) adalah Fungsi Kepadatan Probabilitas (PDF) yang valid jika memenuhi:

1.Non-negatif:

\(f(x)≥0∀xf(x)≥0∀x\)

2.Luas Totalnya Sama dengan 1:

\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,dx = 1\)

Interpretasi:

– Nilai yang lebih besar dari \(f(x)\) menunjukkan kepadatan probabilitas yang lebih tinggi di sekitar nilai tersebut.

– Namun, \(f(x)\) bukan merupakan probabilitas; probabilitas berasal dari area di bawah kurva.Contoh PDF: \(f(x) = 3x^2\) pada \([0, 1]\)

Pertimbangkan fungsi kepadatan probabilitas: \(f(x) = 3x^2, \quad 0 \leq x \leq 1\)\(Validasi:\)\(\int_{0}^{1} 3x^2 \,dx = 1\)

2.1.3 Probabilitas pada Interval

Untuk menghitung probabilitas dalam suatu interval: \(P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} 3x^2 \,dx\) Contoh: \(P(0.5 \leq X \leq 1)\)

2.1.4 Fungsi Distribusi Kumulatif

– Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) didefinisikan sebagai:\(F(x) = P(X \leq x) = \int_{0}^{x} 3t^2 \,dt = x^3\)

– Hubungan antara PDF dan CDF:\(f(x) = F'(x)\)

2.2.1. Definisi dan Perbedaan Distribusi

Tiga konsep utama dalam statistika berdasarkan video:

1.Distribusi Populasi (Population Distribution): Distribusi yang dibuat dengan mengukur setiap individu dalam populasi. Memiliki Rata-rata (\(\mu\)) dan Standar Deviasi(\(\sigma\)).

2.Distribusi Sampel (Sample Distribution): Distribusi yang dibuat dari satu sampel tunggal yang diambil dari populasi.

3.Distribusi Sampling (Sampling Distribution): Distribusi dari statistik (misalnya, rata-rata \(\bar{x}\)) yang dibuat dari berbagai sampel acak sederhana yang diambil berulang kali dari populasi tertentu.

2.2.2 Karakteristik Distribusi Sampling Rata-Rata (\(\bar{x}\))

Distribusi sampling rata-rata sampel (\(\bar{x}\)) memiliki properti yang berbeda dari distribusi populasi aslinya:

Karakteristik Distribusi

2.2.3. Pentingnya Distribusi Sampling

Tujuan utama menggunakan Distribusi Sampling adalah:

– Efisiensi: Memberikan perkiraan tentang nilai rata-rata populasi (\(\mu\)) tanpa perlu mengukur setiap individu, yang menghemat waktu dan biaya.

– Probabilitas: Memungkinkan perhitungan probabilitas untuk mendapatkan rata-rata sampel tertentu berdasarkan ukuran sampel \(n\) yang digunakan.

2.2.4 Contoh Perhitungan Probabilitas

Dua contoh yang menunjukkan perbedaan penggunaan rumus standardisasi Z-score untuk populasi vs. distribusi sampling:

Contoh Perhitungan Probabilitas:

2.3.1 Inti Teorema

Prinsip utama CLT menyatakan bahwa jika ukuran sampel (\(n\)) cukup besar, maka distribusi sampling rata-rata sampel (\(\bar{x}\)) akan mendekati distribusi normal.

Hal ini berlaku terlepas dari bentuk distribusi populasi aslinya. Artinya, meskipun data populasi awalnya miring (skewed) atau tidak normal, distribusi rata-rata dari sampel-sampel yang diambil akan menjadi normal.

2.3.2. Aturan Penerapan

Untuk menentukan apakah \(n\) dianggap “cukup besar,” digunakan aturan praktis sebagai berikut:

– Syarat Umum: CLT dapat diterapkan dengan aman ketika ukuran sampel (\(n\)) lebih besar atau sama dengan 30 (\(n \geq 30\)).

– Pengecualian: Jika distribusi populasi yang dijadikan sumber pengambilan sampel sudah normal sejak awal, maka distribusi samplingnya akan normal bahkan dengan ukuran sampel yang kecil (\(n < 30\)).

2.3.3. Manfaat CLT

CLT sangat penting karena dengan mengetahui bahwa distribusi sampling akan normal, ahli statistik dapat:

Menggunakan formula dan metode analisis yang terkait dengan distribusi normal untuk menginterpretasikan data sampel.

Membuat kesimpulan (inferensi) yang andal dan akurat tentang populasi berdasarkan data sampel besar.

2.4.1 Definisi Proporsi dan Simbol

Proporsi dalam statistika menjelaskan pecahan dari hasil yang menguntungkan (favorable outcomes) dibandingkan dengan keseluruhan total.

Konsep Proporsi Sampel dan Populasi:

2.4.2. Distribusi Sampling Proporsi Sampel

Distribusi Sampling Proporsi Sampel adalah distribusi dari statistik \(\hat{P}\) yang dibuat dengan mengambil sampel acak berulang kali dari populasi dan menghitung \(\hat{P}\) untuk setiap sampel, lalu memplot semua nilai \(\hat{P}\) tersebut.

2.4.3. Karakteristik Distribusi \(\hat{P}\)

Jika distribusi sampling proporsi sampel ( \(\hat{P}\) ) berdistribusi normal (sesuai CLT), ia memiliki tiga karakteristik utama:

2.4.4 Syarat Penerapan Teorema Batas Pusat (CLT)

Berbeda dengan distribusi rata-rata sampel (di mana syaratnya adalah \(n \geq 30\)), Distribusi Sampling Proporsi Sampel harus memenuhi dua kondisi agar dapat dianggap normal dan CLT dapat diterapkan:

– \(n \cdot P \geq 10\) (Jumlah perkiraan keberhasilan dalam sampel harus minimal 10).

– \(n \cdot (1-P) \geq 10\) (Jumlah perkiraan kegagalan dalam sampel juga harus minimal 10).

Jika kedua syarat ini terpenuhi, distribusi \(\hat{P}\) dapat dianggap normal, dan rumus Z-score di atas dapat digunakan.

2.5.1 Probabilitas Dasar (Menggunakan Ruang Sampel)

Metode ini digunakan ketika jumlah percobaan (\(n\)) sangat kecil dan mudah untuk didaftarkan semua kemungkinan hasilnya (ruang sampel).

– Contoh Soal: Mengambil 3 kelereng secara acak dari stoples (200 hijau, 300 biru). Berapa probabilitas mendapatkan setidaknya 2 kelereng hijau?

– Penyelesaian: Karena \(n=3\) kecil, probabilitas dihitung dengan mendaftarkan semua kombinasi yang mungkin (misalnya, Hijau-Hijau-Biru atau HHB) dan menjumlahkan probabilitasnya.

– Kelemahan: Metode ini menjadi tidak praktis jika jumlah percobaan (\(n\)) meningkat.

2.5.2 Distribusi Binomial (Menggunakan Rumus Binomial)

Metode ini digunakan ketika jumlah percobaan (\(n\)) sedang dan terlalu besar untuk mendaftarkan ruang sampel, tetapi masih terlalu kecil untuk menggunakan aproksimasi normal (CLT).

– Rumus Binomial: Menghitung probabilitas mendapatkan jumlah keberhasilan (\(k\)) yang tepat dari \(n\) percobaan.

– Contoh Soal: Mengambil 5 kelereng secara acak. Berapa probabilitas mendapatkan setidaknya 2 kelereng hijau?

– Penyelesaian: Probabilitas yang dicari adalah \(P(k=2) + P(k=3) + P(k=4) + P(k=5)\). Setiap bagian probabilitas harus dihitung secara terpisah menggunakan rumus binomial.

– Kelemahan: Metode ini menjadi tidak praktis (membutuhkan perhitungan berulang) jika \(n\) sangat besar.

2.5.3 Distribusi Sampling Proporsi Sampel (Aproksimasi Normal/CLT)

Metode ini digunakan ketika jumlah percobaan (\(n\)) sangat besar, sehingga metode Binomial menjadi tidak efisien. Metode ini memberikan probabilitas perkiraan (approximate probability).

– Contoh Soal: Mengambil 100 kelereng. Berapa perkiraan probabilitas mendapatkan setidaknya 35 kelereng hijau?

– Penyelesaian:

1.Cek Syarat CLT: Harus memenuhi \(n \cdot P \geq 10\) dan \(n \cdot (1-P) \geq 10\). Dalam contoh ini, \(n=100\) dan \(P=0.4\), sehingga kedua syarat terpenuhi (\(40 \geq 10\) dan \(60 \geq 10\)).

2.Hitung Z-score: Gunakan rumus standardisasi untuk proporsi: \(Z = \frac{\hat{P} - P}{\sigma_{\hat{P}}}\).

3.Cari Probabilitas: Gunakan nilai Z-score yang dihasilkan dan tabel Z-score untuk menemukan area (probabilitas) yang diinginkan.

– Keunggulan: Metode tercepat dan paling efisien untuk \(n\) yang besar, tetapi perlu diingat bahwa hasilnya adalah perkiraan, bukan nilai probabilitas yang eksak.