中級統計学：復習テスト20
すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト14〜20を順に重ねて左上でホチキス止めし，第3回中間試験実施日（12月12日の予定）に提出すること．
- \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) から抽出した 大きさ n の無作為標本の標本平均を \bar{X} とする．
\bar{X} の分布を求めなさい．
\sigma^2 を既知として \mu の 95％信頼区間を求めなさい．
- 期待値の線形性より
\begin{align*} \operatorname{E}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1+\dots+X_n)}{n} \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1)+\dots+\operatorname{E}(X_n)}{n} \\ & =\frac{\mu+\dots+\mu}{n} \\ & =\mu \end{align*}
X_1,\dots,X_n は独立なので
\begin{align*} \operatorname{var}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{var}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1+\dots+X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1)+\dots+\operatorname{var}(X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2+\dots+\sigma^2}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2}{n} \end{align*}
正規分布の線形変換は正規分布なので
\bar{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
- 標準化すると
\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim \mathrm{N}(0,1)
標準正規分布表より
\Pr\left[-1.96 \le \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \le 1.96\right]=0.95
すなわち
\Pr\left[-1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \le \bar{X}-\mu\le 1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\right]=0.95
または
\Pr\left[\bar{X}-1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \le \mu\le \bar{X}+1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\right]=0.95
したがって \mu の 95％信頼区間は
\left[\bar{X}-1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}},\bar{X}+1.96\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\right]
- \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) から抽出した大きさ n の無作為標本の標本分散を s^2 とする．
s^2 はどのような分布をもつか？（ヒント：変形が必要）
n=10 として \sigma^2 の 95％信頼区間を求めなさい．
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
- \chi^2 分布表より
\Pr\left[2.70039 \le \frac{9s^2}{\sigma^2} \le 19.0228\right]=0.95
すなわち
\Pr\left[\frac{1}{19.0228} \le \frac{\sigma^2}{9s^2} \le \frac{1}{2.70039}\right]=0.95
または
\Pr\left[\frac{9s^2}{19.0228} \le \sigma^2 \le \frac{9s^2}{2.70039}\right]=0.95
したがって \sigma^2 の 95％信頼区間は
\left[\frac{9}{19.0228}s^2,\frac{9}{2.70039}s^2\right]
- \mathrm{N}\left(\mu_X,\sigma_X^2\right),\mathrm{N}\left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) から独立に抽出した大きさ m,n の無作為標本の標本分散を s_X^2,s_Y^2 とする．
s_X^2,s_Y^2 はどのような分布をもつか？（ヒント：変形が必要）
s_X^2/s_Y^2 はどのような分布をもつか？（ヒント：同上）
m=4，n=6 として \sigma_X^2/\sigma_Y^2 の95％信頼区間を求めなさい．
\begin{align*} \frac{(m-1)s_X^2}{\sigma_X^2} & \sim \chi^2(m-1) \\ \frac{(n-1)s_Y^2}{\sigma_Y^2} & \sim \chi^2(n-1) \end{align*}
\frac{s_X^2/\sigma_X^2}{s_Y^2/\sigma_Y^2} \sim \mathrm{F}(m-1,n-1)
すなわち
\frac{s_X^2/s_Y^2}{\sigma_X^2/\sigma_Y^2} \sim \mathrm{F}(m-1,n-1)
- F 分布表より
\Pr\left[\frac{1}{14.885} \le \frac{s_X^2/s_Y^2}{\sigma_X^2/\sigma_Y^2} \le 7.764\right]=0.95
すなわち
\Pr\left[\frac{1}{7.764} \le \frac{\sigma_X^2/\sigma_Y^2}{s_X^2/s_Y^2} \le 14.885\right]=0.95
または
\Pr\left[ \frac{1}{7.764}\frac{s_X^2}{s_Y^2} \le \frac{\sigma_X^2}{\sigma_Y^2} \le 14.885\frac{s_X^2}{s_Y^2} \right]=0.95
したがって \sigma_X^2/\sigma_Y^2 の 95％信頼区間は
\left[\frac{1}{7.764}\frac{s_X^2}{s_Y^2},14.885\frac{s_X^2}{s_Y^2}\right]