1. Variabel Diskrit (Discrete Variables)

• Sifat Dasar: Variabel yang nilainya hanya dapat mengambil jumlah yang dapat dihitung (countable) atau terbatas.
• Cara Memperoleh: Data diperoleh melalui penghitungan.
• Contoh: Jumlah anak dalam keluarga, skor ujian, atau jumlah heads saat melempar koin.
• Representasi Visual: Diagram Batang (Bar Chart) yang memiliki celah.

2. Variabel Kontinu (Continuous Variables)

• Sifat Dasar: Variabel yang nilainya dapat mengambil nilai numerik apa pun dalam rentang tertentu, bersifat tidak terhingga dan tidak dapat dihitung (uncountable).
• Cara Memperoleh: Data diperoleh melalui pengukuran.
• Contoh: Berat badan, usia, suhu, dan jarak.
• Representasi Visual: Histogram (tanpa celah) atau Kurva Kepadatan (Density Curve).
• Probabilitas: Diwakili oleh luas di bawah Kurva Kepadatan.

Rumus Kunci (Fungsi Kepadatan Probabilitas Distribusi Normal)

Untuk menghitung probabilitas variabel kontinu yang paling umum (seperti Distribusi Normal), digunakan rumus Fungsi Kepadatan Probabilitas (FKP) berikut, yang dirujuk dalam video sebagai ‘formula kurva kepadatan’:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\]

• \(\mu\) (mu): Rata-rata populasi.
• \(\sigma\) (sigma): Simpangan baku populasi.

1. Perbedaan Utama

library(knitr)

tabel_distribusi <- data.frame(
Konsep = c(
"Distribusi Populasi",
"Distribusi Sampel",
"Distribusi Sampling"
),
Penjelasan = c(
"Distribusi yang mengukur setiap individu dalam populasi secara keseluruhan (mis. tinggi 10.000 orang).",
"Distribusi yang mengukur setiap individu dalam satu sampel tunggal (mis. tinggi 5 orang yang dipilih).",
"Distribusi yang dibuat dari statistik (mis. rata-rata $\\bar{x}$) yang dihitung dari banyak sampel acak yang diambil dari populasi yang sama."
),
Tujuan = c(
"Mengetahui karakteristik $\\mu, \\sigma$ seluruh populasi.",
"Menginterpretasikan data dari satu kelompok kecil.",
"Memperkirakan karakteristik populasi $\\mu$ dengan efisien tanpa mengukur seluruh populasi."
),
stringsAsFactors = FALSE
)

kable(
tabel_distribusi,
caption = "Perbandingan: Populasi vs Sampel vs Sampling"
)

2. Cara Kerja Distribusi Sampling

1. Ambil sampel acak pertama ukuran \(n\) dari populasi.
2. Hitung rata-rata sampel pertama \(\bar{x}_1\).
3. Ulangi langkah 1 dan 2 berkali-kali (ratusan hingga ribuan kali).
4. Plot semua rata-rata sampel
   \(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \bar{x}_3, \dots\) ke dalam sebuah histogram.
5. Histogram dari seluruh rata-rata sampel itulah yang disebut Distribusi Sampling.

3. Karakteristik Penting Distribusi Sampling

Ketika data sampelnya cukup banyak, Distribusi Sampling Rata-rata akan memiliki dua properti utama:

library(knitr)

tabel_properti <- data.frame(
  Properti = c(
    "Rata-rata (\\mu)",
    "Simpangan Baku (\\sigma)"
  ),
  Populasi = c(
    "$\\mu$ (Mean Populasi)",
    "$\\sigma$ (Standard Deviation Populasi)"
  ),
  Sampling = c(
    "Sama: Rata-rata semua $\\bar{x}$ = $\\mu$.",
    "Lebih kecil: disebut *Galat Baku* (Standard Error)."
  ),
  stringsAsFactors = FALSE
)

kable(
  tabel_properti,
  caption = "Properti Distribusi Populasi vs Distribusi Sampling",
  escape = FALSE,
  align = c("l","l","l")
)

Penting: Distribusi Sampling cenderung berbentuk Distribusi Normal jika ukuran sampel \((n)\) cukup besar. Ini adalah ide inti dari Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem), yang disinggung di video

4. Formula Kunci yang Digunakan

Video ini secara eksplisit menunjukkan dua rumus standardisasi (perhitungan Skor-Z) yang berbeda, tergantung apakah kita berurusan dengan data populasi atau data sampling:

library(knitr)

tabel_konsep <- data.frame(
  Konsep = c(
    "Populasi",
    "Sampling (Galat Baku)"
  ),
  Simpangan_Baku = c(
    "$\\sigma$",
    "$\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$"
  ),
  Rumus_Z = c(
    "$Z = \\frac{x - \\mu}{\\sigma}$",
    "$Z = \\frac{\\bar{x} - \\mu}{\\sigma/\\sqrt{n}}$"
  ),
  stringsAsFactors = FALSE
)

kable(
  tabel_konsep,
  caption = "Konsep, Simpangan Baku (σ distribusi), dan Rumus Standardisasi (Z-score)",
  escape = FALSE
)

Keterangan Formula
- \(Z\) : Nilai terstandardisasi (Skor-Z).
- \(x\) : Nilai observasi individu (Populasi).
- \(\bar{x}\) : Rata-rata sampel (Sampling).
- \(\mu\) : Rata-rata populasi.
- \(\sigma\) : Simpangan baku populasi.
- \(n\) : Ukuran sampel.

1. Inti Teorema Limit Pusat (CLT)

• Teorema Limit Pusat(CLT) menyatakan bahwa: Jika kita mengambil sampel acak yang cukup besar dari suatu populasi, maka Distribusi Sampling Rata-Rata Sampel (\(\bar{x}\)) akan selalu berbentuk Distribusi Normal, terlepas dari bentuk asli distribusi populasi tersebut (apakah miring/skewed, seragam, atau bentuk lainnya).
  • Pentingnya: Teorema ini sangat berguna karena memungkinkan kita menggunakan teknik analisis statistik yang berhubungan dengan Distribusi Normal untuk menganalisis data, bahkan ketika kita tidak tahu (atau tahu bahwa) distribusi populasi aslinya tidak normal.

2. Aturan Ukuran Sampel

• (\(n\))Kondisi Kunci: Distribusi Sampling Rata-Rata akan mendekati Normal jika ukuran sampel (\(n\)) lebih besar dari atau sama dengan 30 (\(\mathbf{n \ge 30}\)).
• Pengecualian: Jika distribusi populasi aslinya sudah normal sejak awal, CLT masih berlaku, meskipun ukuran sampelnya kecil.

3. Properti Distribusi Sampling di Bawah CLT

Di bawah CLT, Distribusi Sampling Rata-Rata memiliki hubungan langsung dengan karakteristik populasi:

# Load library untuk kable

library(knitr)
library(kableExtra)
library(tibble)

tabel_properti <- tibble::tibble(
  Properti = c("Rata-rata Distribusi", "Simpangan Baku"),
  Rumus = c(
    "$\\mu_{\\bar{x}} = \\mu$",
    "$\\sigma_{\\bar{x}} = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$"
  ),
  Keterangan = c(
    "Rata-rata dari semua rata-rata sampel sama dengan rata-rata populasi.",
    "Disebut Galat Baku (Standard Error). Nilainya selalu lebih kecil dari simpangan baku populasi ($\\sigma$)."
  )
)

kable(
  tabel_properti,
  caption = "Properti Distribusi Rata-rata Sampel",
  escape = FALSE
) %>% 
  kable_styling(full_width = FALSE)

4. Formula Standardisasi (Skor-Z)

Untuk menghitung probabilitas rata-rata sampel dalam Distribusi Sampling, kita menggunakan rumus Skor-Z dengan Galat Baku: \[Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\] - \(\mathbf{Z}\): Nilai terstandardisasi (Skor-Z).
- \(\mathbf{\bar{x}}\): Rata-rata sampel yang diobservasi.
- \(\mathbf{\mu}\): Rata-rata populasi.
- \(\mathbf{\sigma}\): Simpangan baku populasi.
- \(\mathbf{n}\): Ukuran sampel.

1. Konsep Dasar Proporsi

• Proporsi Populasi (\(\mathbf{p}\)): Proporsi hasil yang diinginkan untuk seluruh populasi.
  • Contoh dari video: Jika \(N = 5.000\) dan \(X = 900\) (bermata hijau), maka \(\mathbf{p} = 900/5.000 = 0.18\).
  • Notasi ukuran yang digunakan:
    • \(\mathbf{X}\) (Jumlah Hasil yang Diinginkan)
    • \(\mathbf{N}\) (Total Ukuran Populasi)
• Proporsi Sampel (\(\mathbf{\hat{p}}\) atau p-hat): Proporsi hasil yang diinginkan untuk satu sampel acak.
  • Contoh dari video: Jika \(n = 10\) dan \(X = 2\) (bermata hijau), maka \(\mathbf{\hat{p}} = 2/10 = 0.2\).
  • Notasi ukuran yang digunakan:
    • \(\mathbf{X}\) (Jumlah Hasil yang Diinginkan)
    • \(\mathbf{n}\) (Total Ukuran Sampel)

Rumus Dasar Proporsi: \[\text{Proporsi} = \frac{\text{Jumlah Hasil yang Diinginkan (X)}}{\text{Total Jumlah Outcome (n atau N)}}\]

• Jumlah Hasil yang Diinginkan (\(\mathbf{X}\)): Ini adalah variabel yang Anda minati (misalnya, jumlah orang bermata hijau, jumlah produk yang lolos uji).
• Total Jumlah Outcome (\(\mathbf{n}\) atau \(\mathbf{N}\)): Ini adalah total jumlah observasi.
  • Notasi ukuran:
    • \(\mathbf{n}\) digunakan untuk Sampel (sample size).
    • \(\mathbf{N}\) digunakan untuk Populasi (population size).

2. Apa itu Distribusi Sampling Proporsi (\(\hat{p}\))?

Distribusi Sampling Proporsi adalah distribusi yang dibuat dengan:
* Mengambil banyak sampel acak dari populasi. * Menghitung Proporsi Sampel (\(\hat{p}\)) dari setiap sampel tersebut. * Menggabungkan semua nilai \(\hat{p}\) tersebut ke dalam satu grafik
. Jika proses ini diulang berkali-kali, hasilnya adalah Distribusi Sampling Proporsi.

3. Karakteristik Penting Distribusi Sampling Proporsi

Apabila Distribusi Sampling Proporsi mendekati normal (mengikuti Teorema Limit Pusat), distribusinya memiliki karakteristik berikut:

library(knitr)
library(kableExtra)
library(tibble)

tabel_proporsi <- tibble::tibble(
  Karakteristik = c(
    "Rata-rata",
    "Simpangan Baku"
  ),
  Notasi = c(
    "$\\mu_{\\hat{p}}$",
    "$\\sigma_{\\hat{p}}$"
  ),
  Formula = c(
    "$\\mu_{\\hat{p}} = p$",
    "$\\sigma_{\\hat{p}} = \\sqrt{\\frac{p(1-p)}{n}}$"
  ),
  Keterangan = c(
    "Rata-rata dari semua $\\hat{p}$ sama dengan Proporsi Populasi ($p$).",
    "Disebut *Standard Error of Proportion*. (Dengan $q = 1 - p$.)"
  )
)

kable(
  tabel_proporsi,
  caption = "Karakteristik Distribusi Sampling untuk Proporsi",
  escape = FALSE
) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)

4. Syarat Penerapan Teorema Limit Pusat (CLT)

Berbeda dengan Distribusi Sampling Rata-Rata (yang hanya mensyaratkan \(n \ge 30\)), CLT untuk proporsi membutuhkan dua syarat yang harus dipenuhi:

1. Ukuran sukses cukup: \(n \cdot p \ge 10\)
   
2. Ukuran gagal cukup: \(n \cdot (1-p) \ge 10\)
   

Jika kedua syarat ini terpenuhi, Distribusi Sampling Proporsi (\(\hat{p}\)) dianggap berdistribusi normal dan kita bisa menggunakan rumus Skor-Z.

5. Formula Standardisasi (Skor-Z)

Ketika kondisi CLT terpenuhi, Anda dapat menstandardisasi proporsi sampel (\(\hat{p}\)) untuk mencari probabilitas (luas di bawah kurva normal) menggunakan rumus Skor-Z: \[Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} \quad \text{atau} \quad Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\]

• \(\mathbf{Z}\): Nilai terstandardisasi (Skor-Z).
  
• \(\mathbf{\hat{p}}\): Proporsi Sampel yang diamati.
  
• \(\mathbf{p}\): Proporsi Populasi.
  
• \(\mathbf{n}\): Ukuran sampel.

Studi Kasus Dasar:

• Populasi: 200 kelereng hijau (Sukses) dan 300 kelereng biru (Gagal).
• Total 500 kelereng.Probabilitas Sukses (\(\mathbf{p}\)): \(200 / 500 = \mathbf{0.4}\)
• Probabilitas Gagal (\(\mathbf{q}\)): \(300 / 500 = \mathbf{0.6}\)

1. Metode Ruang Sampel (Ketika n Kecil: n=3)

Ketika jumlah percobaan sangat kecil, probabilitas dapat dihitung secara manual dengan mencantumkan semua kemungkinan hasil (ruang sampel) dan menjumlahkan probabilitasnya.

• Soal Kasus: Berapa peluang mengambil minimal 2 kelereng hijau dari 3 kali pengambilan?

• Langkah:

1. Tentukan semua kombinasi yang memenuhi syarat (misalnya: GGB, GBG, BGG, GGG).
2. Hitung probabilitas setiap kombinasi (misalnya: P(GGB) = 0.4×0.4×0.6=0.096).
3. Jumlahkan probabilitas dari semua kombinasi yang diinginkan.

• Kelemahan: Metode ini tidak efisien jika n bertambah besar.

2. Metode Distribusi Binomial (Ketika \(n\) Menengah: \(n=5\))

Ketika jumlah percobaan mulai bertambah, metode manual menjadi sulit, sehingga digunakan Rumus Binomial untuk menghitung probabilitas secara tepat (ekstrak) untuk jumlah keberhasilan (\(k\)) yang spesifik.

• Soal Kasus: Berapa peluang mengambil minimal 2 kelereng hijau dari 5 kali pengambilan?

• Langkah:

1. Tentukan bahwa minimal 2 berarti \(k=2, 3, 4,\) atau \(5\).
2. Hitung probabilitas secara terpisah untuk \(P(k=2), P(k=3), P(k=4),\) dan \(P(k=5)\) menggunakan Rumus Binomial.
3. Jumlahkan keempat probabilitas tersebut.

• Kelemahan: Meskipun lebih baik dari metode manual, metode ini masih tidak praktis jika \(n\) sangat besar (misalnya \(n=100\)), karena Anda harus menghitung dan menjumlahkan puluhan hingga ratusan probabilitas binomial.

3. Metode Aproksimasi Normal (CLT) (Ketika \(n\) Besar: \(n=100\))

Ketika \(n\) sangat besar, perhitungan binomial menjadi tidak praktis. Statistika menggunakan Distribusi Sampling Proporsi dan Teorema Limit Pusat (CLT) untuk menemukan probabilitas perkiraan (aproksimasi) yang sangat dekat dengan nilai eksak.

• Soal Kasus: Berapa perkiraan peluang mengambil minimal 35 kelereng hijau dari 100 kali pengambilan? (Proporsi minimum adalah \(\hat{p} = 35/100 = 0.35\)).

• Langkah (Pengujian CLT):

  • 1. Pastikan CLT dapat diterapkan pada Proporsi:
    • \(n \cdot p = 100 \cdot 0.4 = 40 \ge 10\) (Terpenuhi)
    • \(n \cdot (1-p) = 100 \cdot 0.6 = 60 \ge 10\) (Terpenuhi)
  • 2. Karena CLT terpenuhi, kita dapat menggunakan Distribusi Normal (Kurva Lonceng) dan Skor-Z.

• Perhitungan Skor-Z: Mengubah \(\hat{p} = 0.35\) menjadi Skor-Z: \[Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} = \frac{0.35 - 0.4}{\sqrt{\frac{0.4(0.6)}{100}}} = \mathbf{-1.02}\]

• Visualisasi dan Hasil:

• Skor \(Z = -1.02\) menunjukkan proporsi 0.35 berada \(1.02\) simpangan baku di bawah rata-rata.
• Karena yang dicari adalah peluang “minimal 35” (\(\hat{p} \ge 0.35\)), kita mencari area di sebelah kanan Skor-Z tersebut.
• Area di sebelah kiri \(Z=-1.02\) adalah 0.1539.
• Peluang yang dicari \(= 1 - 0.1539 = \mathbf{0.8461}\) atau \(\mathbf{84.61\%}\)

Kesimpulan Tiap-Tiap Video

library(knitr)
library(kableExtra)

tabel_video <- data.frame(
  No = 1:5,
  Judul_Video = c(
    "Introduction to the Probability of Continuous Variables (7.1)",
    "Sampling Distributions (7.2)",
    "The Central Limit Theorem (7.3)",
    "Sampling Distribution of the Sample Proportion (7.4)",
    "Review: Sampling Distribution of the Sample Proportion, Binomial Distribution, Probability (7.5)"
  ),
  Ringkasan = c(
    "Membedakan Variabel Diskrit (dihitung) dan Variabel Kontinu (diukur). Untuk variabel kontinu, probabilitas dihitung sebagai area di bawah kurva kepadatan dan sering menggunakan Distribusi Normal.",
    "Menjelaskan Distribusi Sampling sebagai distribusi dari statistik seperti rata-rata (x̄). Rata-rata distribusi sampling (μx̄) = μ, dan simpangan bakunya (σx̄ = σ/√n) lebih kecil.",
    "Distribusi sampling rata-rata akan mendekati Distribusi Normal jika n cukup besar (umumnya n ≥ 30), meskipun populasi tidak normal.",
    "Distribusi sampling proporsi (p̂) berbentuk normal jika memenuhi syarat: n·p ≥ 10 dan n·(1−p) ≥ 10. Rata-rata μp̂ = p dan galat baku σp̂ = √(p(1−p)/n).",
    "Merangkum tiga metode probabilitas proporsi: ruang sampel (n kecil), Distribusi Binomial (n sedang), dan Aproksimasi Normal/CLT (n besar)."
  ),
  stringsAsFactors = FALSE
)

tabel_video %>%
  kable(
    caption = "Ringkasan Materi tiap tiap Video",
    align = "l",
    escape = FALSE
  ) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE, bootstrap_options = c("striped", "hover"))

Keterkaitan Antara Video 1 sampai 5

Kesimpulan Akhir