2.1 Variabel Acak

Suatu variabel dikatakan kontinu jika dapat mengambil nilai apa pun dalam suatu interval pada garis bilangan riil. Dalam video tersebut menjelaskan bahwa pada variabel kontinu, probabilitas selalu diperlakukan sebagai area, bukan hitungan kasus individu, karena terdapat tak hingga banyak nilai dalam interval mana pun. Oleh sebab itu, probabilitas titik tunggal tidak mungkin memiliki nilai positif.

Karakteristik Utama:

• Variabel mengambil nilai dalam interval seperti (\(a,b\)) atau bahkan (\(-\infty , +\infty\))

• Probabilitas setiap titik tunggal selalu nol: \[ P(X=x)=0 \]

• Probabilitas bermakna pada interval:

\[ P(a\leq X \leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\, dx \]

2.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas (PDF)

Sebuah fungsi \(f(x)\) adalah fungsi kepadatan probabilitas yang valid jika memenuhi:

• Non-Negatif \[ f(x) \geq 0\, \forall x \]

• Luas Totalnya sama dengan 1 \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 \]

Penjelasan:

• Nilai yang lebih besar dari \(f(x)\) menunjukkan kepadatan dari probabilitas yang lebih tinggi di sekitar nilai tersebut

• Namun, \(f(x)\) bukan merupakan probabilitas ; probabilitas berasal dari area dibawah kurva

Contoh dari PDF: \(f(x)=3x^2\) pada titik [0,1] pertimbangan dari probability density function: \[ f(x)=3x^2,\, \, 0\leq x \leq 1 \] dengan validasi: \[ \int_{0}^{1}3x^2dx=1 \]

Sehingga, walaupun PDF dapat bernilai lebih dari 1, hal tersebut tetap valid selama luas total area = 1. Ini sering terjadi pada interval yang sangat sempit.

2.3 Probabilitas pada Interval

Kozak menjelaskan bahwa probabilitas pada variabel kontinu selalu digambarkan sebagai area berarsir (shaded area) di bawah kurva. Pendekatan visual ini membantu pemula memahami integral sebagai “jumlah area”, bukan perhitungan abstrak.

Untuk menghitung probabilitas dalam suatu interval: \[ P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}3x^2dx \]

contoh: \[ P(0.5\leq X\leq 1) \]

2.4 Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) didefinisikan sebagai: \[ F(x)=P(X\leq x)=\int_{0}^{x}3t^2dt=x^3 \]

Hubungan antara PDF dan juga CDF: \[ f(x)=F'(x) \]

3.1 Konsep Dasar Distribusi Populasi dan Sampel

Distribusi populasi dan distribusi sampel digunakan untuk memahami bagaimana nilai-nilai suatu karakteristik (misalnya tinggi badan) tersebar baik pada seluruh kelompok maupun pada sebagian kecil kelompok tersebut.

Karakteristik utama:

Distribusi populasi menggambarkan seluruh anggota dalam kelompok besar, sehingga parameter seperti mean (μ) dan standar deviasi (σ) bersifat tetap. Contoh: tinggi badan seluruh warga Kanada.

Distribusi sampel menggambarkan nilai-nilai dari sekelompok kecil yang diambil dari populasi. Nilai rata-ratanya ({x}) dapat berbeda dari rata-rata populasi (\(\mu\)) karena ukuran sampel lebih kecil dan terdapat variasi alami antarindividu.

Setiap sampel dapat menghasilkan rata-rata yang berbeda, sehingga dua sampel dengan ukuran sama bisa memiliki hasil yang tidak identik.

Proses pembentukan sampling distribution dilakukan dengan mengambil banyak sampel dari populasi, menghitung rata-rata tiap sampel, kemudian menggambarkannya sehingga membentuk distribusi baru yang disebut sampling distribution of the mean.

Rumus dasar rata-rata sampel: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

3.2 Distribusi Sampling secara otomatis

Distribusi sampling menjelaskan bagaimana nilai rata-rata sampel berubah ketika kita mengambil banyak sampel dari populasi yang sama. Bentuk dan sifatnya dapat dihitung secara matematis sehingga sangat penting untuk inferensi statistik.

Karakteristik utama:

• Rata-rata distribusi sampel sama dengan rata-rata populasi: \[ \mu_{\bar x}=\mu \]

Interpretasi: Jika kita mengambil banyak sekali sampel dan menghitung rata-rata tiap sampel, lalu merata-ratakannya lagi, hasilnya akan sama dengan rata-rata populasi sebenarnya. Ini menunjukkan bahwa rata-rata sampel adalah estimator yang tidak bias untuk rata-rata populasi.

• Variabilitas distribusi sampel lebih kecil dibanding variabilitas populasi.
• Standar deviasi distribusi sampel disebut Standard Error (SE): \[ SE=\frac{\sigma}{\sqrt n} \]

Interpretasi: SE menunjukkan seberapa jauh rata-rata sampel dapat menyimpang dari rata-rata populasi. Jika ukuran sampel \(n\) besar, maka nilai SE menjadi kecil sehingga rata-rata sampel cenderung mendekati \(\mu\). Sebaliknya, jika \(n\) kecil, maka SE menjadi besar sehingga rata-rata sampel lebih mudah menyimpang dari \(\mu\).

• Variansi distribusi sampel: \[ \sigma^2_{\bar{x}} = SE^2 = \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2 = \frac{\sigma^2}{n} \]

Variansi mengecil seiring bertambahnya ukuran sampel. Ini menegaskan bahwa pengambilan sampel yang lebih besar menghasilkan estimasi yang lebih stabil dan dapat diandalkan.

• Distribusi sampling menjadi semakin sempit ketika ukuran sampel meningkat.

contoh : Jika standar deviasi populasi tinggi badan σ = 6 cm dan ukuran sampel n = 10 \[ SE=\frac{6}{\sqrt 10}=1.897 \]

Rata-rata tinggi dari sampel berisi 10 orang biasanya hanya berbeda sekitar ±1,9 cm dari rata-rata populasi.

3.3 Standardisasi (Z-score) pada Populasi dan Distribusi Sampel

Standardisasi digunakan untuk mengubah nilai tinggi, rata-rata sampel, atau data lainnya ke dalam satuan standar (Z-score) sehingga dapat dihitung peluangnya menggunakan tabel distribusi normal.

• Z-score untuk nilai individu dalam populasi: \[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]

Rumus ini menunjukkan seberapa jauh nilai X berada dari rata-rata populasi, diukur dalam satuan standar deviasi.

• Z-score untuk rata-rata sampel: \[ Z=\frac{\bar X-\mu}{SE} \]

• Standardisasi memungkinkan kita menghitung peluang suatu nilai atau rata-rata tertentu dengan menggunakan tabel Z (normal standar).

CONTOH: Misalkan rata-rata tinggi populasi μ = 162 cm dan standar deviasi σ = 6 cm. Jika rata-rata sampel 10 orang adalah 157 cm, maka:

1. Hitung SE: \[ SE=\frac{6}{\sqrt 10}=1.897 \]

2. Hitung Z-score \[ Z=\frac{157-162}{1.897}=-2.63 \] Jadi Z = –2.63 berarti rata-rata sampel tersebut sangat jauh di bawah rata-rata populasi, sehingga peluangnya terjadi secara acak sangat kecil.

3.4 Teorema Batas Tengah (Central Limit Theorem/ CLT)

Teorema Batas Tengah menjelaskan mengapa rata-rata sampel cenderung mengikuti distribusi normal, bahkan ketika data populasi tidak berdistribusi normal.

Karakteristik utama:

• Jika ukuran sampel cukup besar (umumnya n ≥ 30), distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal.

• Distribusi sampling yang terbentuk memiliki rumus: \(\mu_\bar x=\mu\) dan \(SE=\frac{\sigma}{\sqrt n}\)

• CLT membuat perhitungan probabilitas menjadi jauh lebih mudah, karena kita bisa menggunakan tabel Z untuk menganalisis rata-rata sampel.

Contoh sederhana:

Meskipun tinggi badan populasi sedikit miring ke satu sisi (tidak normal sempurna), rata-rata dari sampel 10 orang akan mendekati bentuk kurva normal jika diambil berulang kali.

3.5 Contoh Penerapan:

Probabilitas rata-rata tinggi < 157cm

Contoh di video memperlihatkan cara menghitung peluang bahwa rata-rata tinggi 10 orang yang dipilih acak kurang dari 157 cm.

Langkah-langkah utama:

• Hitung Standard Error (SE): \(SE=\frac{\sigma}{\sqrt n}\)

• Hitung Z-score untuk rata-rata sampel: \(Z = \frac{\bar{X} - \mu}{SE}\)

• Gunakan tabel Z untuk mendapatkan probabilitas.

contoh : Jika μ = 162 cm, σ = 6 cm, dan n = 10 Probabilitas Z < –2.63 sangat kecil.

4.1 Intuisi Teorema Limit Pusat

CLT dapat dipahami secara intuitif melalui visual. Ketika sampel diambil berulang kali dari populasi yang miring atau tidak normal, nilai rata-rata sampel (x̄) lebih sering muncul di sekitar mean populasi (μ), dan lebih jarang muncul jauh dari μ. Kumpulan semua nilai x̄ ini membentuk pola menyerupai kurva normal.

Poin-poin utama:

• Sampel lebih sering mengambil data dari bagian populasi yang paling padat.
• \(\bar x\) berkumpul di sekitar μ.
• \(\bar x\) yang ekstrem jarang muncul.
• Hasil akhirnya menyerupai kurva normal.

Visualisasi

Penjelasan kurva:

• Kurva Populasi Miring(Skewed Population): menampilkan distribusi populasi yang tidak simetris. Kurva ini menunjukkan bahwa:

  • Nilai kecil ada banyak
  • Nilai besarnya semakin kecil
  • Bentuk kurva juga miring ke kanan (right-skewed) Artinya populasi tidak normal dan kondisi tersebut sesuai untuk didemonstrasikan Teorema Limit Pusat

• Proses Pengambilan Sampel: Memperlihatkan contoh satu sampel acak yang diambil dari populasi miring. Proses nya meliputi:

  • Mengambil sampel sebanyak 40
  • Melakukan proses secara berulang sebanyak 5000 kali
  • Setiap sampel memiliki nilai rata-rata tersendiri

• Distribusi rata-rata sampel menjadi normal: Visualisasi terakhir menunjukkan rata-rata dari seluruh sampel yang memiliki hasil:

  • Bentuk kurva semakin simetris
  • Grafik histogram mendekati bentuk lonceng
  • Distribusi rata-rata menjadi normal walau populasi di awal berbentuk miring

5.1 Definisi Sampling Distribution dan Proporsi Sampel

Sampling distribution adalah distribusi nilai suatu statistik (misalnya rata-rata atau proporsi) yang diperoleh dari pengambilan sampel berulang dari populasi yang sama.

Pada data kategorik (ya/tidak, berhasil/gagal), statistik yang digunakan adalah proporsi sampel, yaitu fraksi kejadian yang memenuhi kondisi tertentu.

Rumus proporsi sampel: \[ \hat p=\frac{x}{n} \]

5.2 Variasi Proporsi Sampel dan Pembentukan Sampling Distribution

Jika kita mengambil sampel berkali-kali, nilai \(\hat p\) tidak akan selalu sama. Misalnya:

• 0.21
• 0.19
• 0.17
• 0.23 dan seterusnya.

Kumpulan nilai \(\hat p\) ini membentuk sampling distribution of the sample proportion.

Distribusi ini memiliki dua parameter penting:

• Rata-rata (mean): \[ \mu_\hat p=p \]
• Deviasi Standar (Standar Error): \[ \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

5.3 Teorema Limit Pusat untuk Proporsi Sampel

Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa distribusi proporsi sampel akan mendekati normal jika syarat tertentu terpenuhi.

Tiga sifat utama ketika CLT berlaku:

• Mean sampling distribution: \[ \mu_\hat p=p \]

• Standar Error: \[ \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

• Distribusi Sampling Proporsi dapat menggunakan Z-Score: \[ Z=\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \]

5.4 Syarat CLT untuk Proporsi Sampel

Berbeda dengan rata-rata sampel \((\bar x)\) yang cukup menggunakan n ≥ 30, proporsi sampel memiliki dua syarat wajib:

• np ≥ 10
• n(1−p) ≥ 10 Jika kedua syarat terpenuhi, maka distribusi proporsi dapat dianggap normal.

Jika tidak terpenuhi, analisis harus menggunakan distribusi binomial.

5.5 Standardisasi Z untuk Proporsi Sampel

Jika distribusi sampling proporsi normal, maka nilai (\(\hat p\)) dapat diubah menjadi Z-score: \[ Z=\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \] Standardisasi ini digunakan untuk menghitung probabilitas, interval kepercayaan, dan uji hipotesis tentang proporsi.

6.1 Distribusi Sampel dari Percobaan Berulang

Video memperkenalkan konsep bahwa ketika suatu percobaan dilakukan berulang secara independen, hasilnya membentuk pola probabilitas yang dapat dimodelkan dengan distribusi tertentu. Untuk dua hasil (sukses/gagal), distribusi yang sesuai adalah distribusi binomial (SimpleLearningPoo, 2023).

Secara teoretis, distribusi binomial menggambarkan banyaknya keberhasilan dalam percobaan Bernoulli berulang (Diez et al., 2019; Bluman, 2018).

6.2 Contoh Distribusi Binomial: Probabilitas Minimal Dua Keberhasilan

Video memberikan contoh penggunaan distribusi binomial dengan pengambilan tiga mutiara secara independen. Probabilitas minimal dua hijau dihitung dari kombinasi pola: P(≥2) = 0.352

Contoh ini menunjukkan bagaimana distribusi sampel dari percobaan kecil dapat dihitung secara eksplisit.

6.3 Distribusi Sampel Ketika Ukuran Sampel Meningkat

Ketika jumlah percobaan meningkat menjadi lima, video menunjukkan bahwa metode manual tidak efisien. Oleh karena itu diperlukan rumus baku distribusi binomial: \[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]

Total probabilitas minimal dua hijau: P(X ≥ 2)=0.6634

Menurut Diez et al. (2019), distribusi binomial merupakan pondasi dari distribusi sampling proporsi.

6.4 Transisi ke Distribusi Sampling: Ketika n Besar

Video menunjukkan bahwa ketika n=100, menghitung peluang secara binomial menjadi sangat tidak praktis. Di sinilah distribusi sampel proporsi (\(\hat p\)) digunakan sebagai representasi statistik yang lebih efisien.

Tmemungkinkan distribusi tersebut didekati dengan distribusi normal apabila syarat berikut terpenuhi (Diez et al., 2019; Bluman, 2018), yaitu np≥10 dan n(1−p)≥10. Pada kasus yang dibahas dalam video, kedua syarat tersebut terpenuhi.