Tugas Week 11 ~ Probability Distribution

2.1.1 Variabel Diskrit (Dapat Dihitung)

Variabel Diskrit adalah variabel yang hanya dapat mengambil sejumlah nilai yang dapat dihitung (countable), biasanya bilangan bulat, dalam suatu rentang. • Definisi: Nilai-nilainya terpisah dan terbatas. Kita bisa menyebutkan satu per satu nilai yang mungkin, tanpa ada nilai di antaranya.

• Cara Memperoleh Data: Diperoleh melalui proses menghitung (counting).

• Contoh Sehari-hari:

• Jumlah anak dalam sebuah keluarga (hanya mungkin 0, 1, 2, 3, dst., tidak mungkin 2,5 anak).

• Jumlah sisi “Angka” saat melempar koin sebanyak empat kali (hanya mungkin 0, 1, 2, 3, atau 4).

• Nilai uang di rekening bank (meskipun ada desimal, jumlahnya tetap terbatas dan dapat dihitung, seperti 420 dolar dan 69 sen).

• Visualisasi: Biasanya direpresentasikan menggunakan Diagram Batang (Bar Chart) dengan celah di antara setiap batang, menunjukkan bahwa tidak ada kontinuitas di antara nilai-nilai tersebut.

2.1.2 Variabel Kontinu (Dapat Diukur)

Variabel Kontinu adalah variabel yang dapat mengambil nilai apa pun di dalam rentang tertentu. Secara teori, jumlah nilainya tak terbatas (infinite) dan tidak dapat dihitung.

• Definisi: Nilai-nilainya mengalir secara mulus dalam suatu skala. Kita selalu dapat menemukan nilai di antara dua nilai yang sudah ada.

• Cara Memperoleh Data: Diperoleh melalui proses mengukur (measuring).

• Contoh Sehari-hari:

• Usia: Seseorang tidak hanya berusia 23 tahun atau 24 tahun, tetapi bisa 23 tahun, 6 bulan, 2 hari, 3 detik, dan seterusnya hingga detail waktu yang tak terhingga.

• Berat Badan atau Tinggi Badan: Nilai dapat mencakup banyak angka desimal (misalnya 150.305482 kg).

• Suhu atau Jarak.

• Visualisasi: Direpresentasikan menggunakan Histogram (batang yang tanpa celah untuk menunjukkan kontinuitas) atau Kurva Kepadatan (Density Curve).

• Probabilitas: Untuk variabel kontinu, kita tidak dapat mencari probabilitas untuk satu titik nilai tertentu (misalnya, probabilitas berat badan tepat 75.000000 kg). Sebaliknya, probabilitas dihitung sebagai luas area di bawah Kurva Kepadatan dalam suatu rentang nilai. Kurva Normal adalah salah satu contoh Kurva Kepadatan yang paling umum.

2.2.1 Memahami Tiga Jenis Distribusi

Agar dapat memahami Distribusi Sampling, kita perlu membedakannya dari dua jenis distribusi lainnya:

• Distribusi Populasi: Distribusi yang dibuat jika kita mengukur semua individu dalam suatu populasi (misalnya, mengukur tinggi semua 8 miliar penduduk bumi). Distribusi ini memiliki rata-rata \((\mu)\) dan simpangan baku \((\sigma)\).

• Distribusi Sampel: Distribusi yang dibuat dari hasil pengukuran satu sampel tunggal yang diambil dari populasi tersebut. Rata-rata sampel \((\bar{x})\) ini mungkin berbeda dari rata-rata populasi \((\mu)\).

• Distribusi Sampling (DS): Ini adalah distribusi yang dibuat dari nilai statistik yang sama (misalnya, nilai rata-rata \(\bar{x}\)) yang dihitung dari banyak sampel acak berulang yang diambil dari populasi yang sama.

2.2.2 Proses Pembentukan dan Sifat Kunci

Distribusi Sampling dibentuk dengan langkah-langkah berikut:

1. Ambil sampel acak berukuran n (misalnya n=10) dari populasi.
2. Hitung statistik (misalnya, rata-rata, \(\bar{x}\)) dari sampel tersebut.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 berkali-kali (ratusan hingga ribuan kali).
4. Plot semua nilai \(\bar{x}\) tersebut menjadi sebuah histogram. Hasilnya adalah Distribusi Sampling.

Sifat Matematika Distribusi Sampling (untuk rata-rata \(\bar{x}\)):

2.2.3 Pentingnya dan Contoh Sehari-hari

Tujuan Utama:

Distribusi Sampling sangat penting karena menawarkan kemudahan dan efisiensi. Daripada menghabiskan waktu, biaya, dan tenaga untuk mengukur seluruh populasi, kita bisa menggunakan Distribusi Sampling dari sampel berulang untuk memperkirakan nilai \(\mu\) populasi dan menghitung probabilitas hasil tertentu.

Contoh Relevan dalam Kehidupan Sehari-hari:

1. Survei Opini Publik (Quick Count):

Ketika sebuah lembaga survei ingin memprediksi hasil pemilihan (populasi pemilih), mereka tidak perlu menghitung setiap suara. Mereka mengambil banyak sampel acak dari berbagai TPS, menghitung rata-rata proporsi pemilih di setiap sampel, dan menggabungkan rata-rata ini untuk membentuk Distribusi Sampling. Distribusi ini memberikan perkiraan yang akurat dan cepat mengenai rata-rata populasi pemilih, lengkap dengan margin error (yang diwakili oleh Standard Error, \(\sigma_{\bar{x}}\)).

2. Kontrol Kualitas Produk:

Sebuah pabrik ingin memastikan rata-rata berat produk keripik kentang mereka adalah 150 gram. Daripada menimbang semua produk (populasi), Quality Control (QC) mengambil 10 bungkus (sampel) setiap jam, menghitung rata-ratanya, dan memplotnya ke dalam Distribusi Sampling. Jika rata-rata sampel ini berada di luar batas Distribusi Sampling yang normal (yang telah dipersempit oleh \(\sigma_{\bar{x}}\)), maka proses produksi dianggap bermasalah.

2.3.1 Inti dari Teorema Limit Pusat

Teorema Limit Pusat (TLP) adalah sebuah prediksi luar biasa mengenai bentuk dari Distribusi Sampling. TLP menyatakan bahwa:

Jika kita mengambil sampel acak yang cukup besar (n besar) secara berulang kali dari sebuah populasi, maka Distribusi Sampling dari rata-rata sampel (\(\bar{x}\)) akan selalu mendekati Distribusi Normal (berbentuk lonceng), terlepas dari apa pun bentuk asli (original) dari Distribusi Populasi tersebut.

Sederhananya, meskipun data asli dari populasi (misalnya, penghasilan masyarakat yang cenderung menceng/skewed) memiliki bentuk yang aneh, rata-rata dari banyak sampel yang kita ambil dari populasi itu akan selalu membentuk kurva normal yang indah.

2.3.2 Aturan Praktis (Rule of Thumb)

Kunci agar TLP dapat berlaku adalah ukuran sampel (n). Kapan ukuran sampel dianggap “cukup besar”?

• Aturan Umum:

Secara umum, TLP dianggap aman untuk diterapkan ketika ukuran sampel (n) lebih besar atau sama dengan 30 (n \(\geq\) 30).

• Kasus Pengecualian:

Jika Distribusi Populasi Anda memang sudah berdistribusi Normal sejak awal, maka Distribusi Sampling juga akan Normal, bahkan jika ukuran sampelnya kecil (n < 30). Namun, dalam praktik, ukuran sampel yang besar (n \(\geq\) 30) tetap disarankan untuk memastikan estimasi yang lebih presisi dan andal.

2.3.3 Pentingnya dan Contoh Sehari-hari

TLP adalah alasan utama statistika inferensial (pengambilan kesimpulan) bekerja:

• Penyederhanaan Analisis: Setelah kita tahu bahwa Distribusi Sampling kita berbentuk Normal, kita dapat menggunakan semua alat dan rumus yang dikembangkan untuk Distribusi Normal (seperti perhitungan Z-score dan tabel normal) untuk menghitung probabilitas dan membuat Interval Kepercayaan (Confidence Intervals).

• Estimasi Populasi: TLP memungkinkan kita membuat kesimpulan tentang rata-rata populasi (\(\mu\)) tanpa perlu mengukur setiap individu, sehingga menghemat waktu dan biaya.

Contoh Kasus: Estimasi Waktu Tunggu Layanan Publik

Bayangkan kita adalah manajer layanan pelanggan di bank. Kita tahu bahwa waktu tunggu nasabah di teller memiliki distribusi yang sangat menceng (skewed)—sebagian besar nasabah dilayani cepat, tetapi ada beberapa yang harus menunggu sangat lama karena masalah kompleks.

• Populasi: Waktu tunggu semua nasabah (Distribusi Skewed).

• Penerapan CLT: Anda mengambil 50 sampel berulang (misalnya, setiap sampel terdiri dari n=40 nasabah) setiap hari dan mencatat rata-rata waktu tunggu setiap sampel.

• Hasil: Berdasarkan TLP (karena n=40 sudah besar/\(\geq\) 30), jika Anda memplot semua rata-rata sampel ini, distribusinya akan berbentuk Distribusi Normal yang sempurna.

Dengan mengetahui bahwa Distribusi Samplingnya normal, kita bisa dengan mudah menghitung: “Berapa probabilitas rata-rata waktu tunggu nasabah besok akan melebihi 15 menit?” Hal ini memungkinkan kita mengambil keputusan operasional yang akurat.

2.4.1 Definisi Proporsi dan Proporsi Sampel

Proporsi Populasi (p): Bagian dari seluruh populasi yang memiliki karakteristik tertentu (misalnya, proporsi seluruh penduduk Indonesia yang memiliki smartphone). Nilai ini biasanya tidak diketahui.

Proporsi Sampel (\(\hat{p}\)): Dihitung dari sampel kecil, yaitu jumlah hasil yang menguntungkan (X) dibagi dengan ukuran sampel (n).

\(\hat{p}\) = \(\frac{\text{Jumlah Hasil Favorable } (X)}{\text{Ukuran Sampel } (n)}\)

Distribusi Sampling Proporsi (\(\hat{p}\)): Jika kita mengambil banyak sampel acak berulang dari populasi yang sama, menghitung \(\hat{p}\) dari setiap sampel, dan memplotnya, kita akan mendapatkan Distribusi Sampling Proporsi.

2.4.2 Sifat Kunci Distribusi Sampling Proporsi

Jika kondisi-kondisi tertentu terpenuhi (yaitu, Central Limit Theorem berlaku), Distribusi Sampling Proporsi akan mendekati Distribusi Normal. Sifat-sifat statistiknya adalah:

2.4.3 Syarat Penerapan Central Limit Theorem(CLT)

Agar Distribusi Sampling Proporsi dapat dianggap Normal (dan kita bisa menggunakan tabel Z-score), ada dua syarat ketat yang harus dipenuhi:

1. n \(\cdot\) p \(\geq\) 10 (Jumlah “sukses” yang diharapkan harus minimal 10).
2. n \(\cdot\) (1-p) \(\geq\) 10 (Jumlah “gagal” yang diharapkan juga harus minimal 10).

Jika kedua syarat ini terpenuhi, barulah kita dapat menggunakan rumus Z-score untuk proporsi untuk menghitung probabilitas:

\(Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)

Contoh Kasus: Survei Kepuasan Konsumen Online

Misalnya, sebuah perusahaan layanan streaming ingin mengetahui proporsi (p) pelanggan di Indonesia yang puas dengan kualitas layanan mereka. Mereka menganggap p yang sebenarnya adalah 0.80 (80%). Mereka mengambil sampel acak n=100 pelanggan.

1. Cek Syarat CLT:

• \(n \cdot p = 100 \cdot 0.80 = 80 ( \geq 10, OK)\) • \(n \cdot (1-p) = 100 \cdot 0.20 = 20 ( \geq 10, OK)\) • Karena kedua syarat terpenuhi, kita dapat berasumsi Distribusi Sampling Proporsi adalah Normal.

2. Standard Error:

\(\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.80(1-0.80)}{100}} = \sqrt{\frac{0.16}{100}} = 0.04\)

3. Pertanyaan Probabilitas:

Berapa probabilitas bahwa proporsi sampel (\(\hat{p}\)) dari 100 pelanggan ini akan di bawah 0.75 (75%)? • Menggunakan Z-score dan \(\sigma_{\hat{p}} = 0.04\), perusahaan dapat menghitung probabilitas tersebut.

Hal ini memungkinkan perusahaan membuat kesimpulan, seperti: “Jika proporsi pelanggan puas dari sampel kami turun hingga di bawah 75%, ada kemungkinan besar bahwa proporsi kepuasan di seluruh populasi telah menurun.”

2.5.1 Probabilitas Dasar (Untuk Jumlah Percobaan Kecil)

Untuk jumlah percobaan (n) yang sangat kecil (misalnya n=3 atau n=4), kita dapat menghitung probabilitas dengan metode dasar:

• Metode:

Mendaftarkan semua kemungkinan hasil (sample space) (misalnya, GGB, GBG, BGG) dan menghitung probabilitas setiap urutan dengan mengalikan peluang peristiwanya.

• Contoh Sehari-hari:

Probabilitas mendapatkan dua kali menang dalam tiga kali lemparan koin. Perhitungannya bisa dilakukan secara manual karena kemungkinan urutannya sedikit.

2.5.2 Distribusi Binominal (Untuk Jumlah Percobaan sedang)

Ketika jumlah percobaan (n) bertambah (misalnya n=5 hingga n=20), metode pendaftaran semua hasil menjadi tidak efisien. Di sinilah Distribusi Binomial digunakan.

• Metode:

Distribusi Binomial menghitung probabilitas mendapatkan tepat k kali sukses dari n percobaan. Rumus ini dapat digunakan berulang kali dan hasilnya dijumlahkan untuk menjawab pertanyaan seperti “probabilitas minimal k sukses”.

• Contoh Sehari-hari:

Peluang sebuah agen pemasaran menelepon 10 calon pelanggan dan berhasil mendapatkan tepat 3 pelanggan baru, jika ia memiliki tingkat keberhasilan (proporsi sukses, p) 20%.

2.5.3 Distribusi Sampling Proporsi / Pendekatan Normal (Untuk Jumlah Percobaan Besar)

Ketika jumlah percobaan (n) sangat besar (misalnya n=100 ke atas), menggunakan rumus Binomial secara berulang (bisa ratusan kali) menjadi tidak praktis. Oleh karena itu, kita menggunakan Distribusi Sampling Proporsi dengan pendekatan Distribusi Normal.

A. Syarat Penggunaan (CLT untuk Proporsi)

Pendekatan Normal ini hanya valid jika memenuhi dua syarat Teorema Limit Pusat (CLT) untuk Proporsi:

1. Jumlah “sukses” yang diharapkan harus cukup besar:
2. \(n \cdot p \geq 10\)
3. Jumlah “gagal” yang diharapkan juga harus cukup besar:
4. \(n \cdot (1-p) \geq 10\)

B. Perhitungan

Jika kedua syarat terpenuhi, Distribusi Sampling Proporsi (\(\hat{p}\)) akan mendekati Distribusi Normal. Kita kemudian dapat menggunakan rumus Z-score untuk Proporsi untuk menghitung probabilitas perkiraan (approximate probability):

\(Z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} \quad \text{di mana} \quad \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

C. Contoh Relevan dalam Kehidupan Sehari-hari

• Survei Pemilu (Quick Count):

Sebuah lembaga survei mengambil sampel n=1000 pemilih. Mereka ingin tahu peluang bahwa proporsi (\(\hat{p}\)) dukungan terhadap kandidat A (yang diyakini memiliki proporsi populasi p=0.55) berada di bawah 50%.

• Karena n sangat besar, mereka tidak mungkin menggunakan Binomial.

• Mereka akan memeriksa kondisi CLT (misalnya 1000 \(\cdot\) 0.55 = 550 \(\geq\) 10, OK) dan menggunakan rumus Z-score untuk mendapatkan peluang perkiraan tersebut.