2.1 Discrete Variables

Variabel disrkit adalah sebuah variabel kuantitatif(Numerik) yang nilai nya dapat dihitung.

Contohnya adalah ketika mengambil data dari banyaknya anak yang dimiliki oleh tiap keluarga, dimana jumlah anak yang dimiliki tiap keluarga kemungkinan satu atau, dua, tiga, dan seterusnya. Karena hal tersebut dapat dihitung, sehingga dapat dikatakan bahwa hal itu adalah variabel diskrit. Tetapi tidak hanya bilangan bulat, bilangan desimal juga termasuk kedalam variabel diskrit, contohnya jumlah uang yang ada pada bank atau skor dalam sebuah test.

Dalam variabel diskrit biasanya digunakan visualisasi Bar Chart untuk melihat seberapa besar jumlah perhitungan yang ada. Contoh: ketika ingin melempar koin sebanyak 4 kali, dapat divisualisasikan seberapa banyak untuk mendapatkan nilai head/tails.

Variabel diskrit memiliki beberapa rumus:

• \(P(k)=\binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k}\)
• \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
• \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
• \(P(A^c)=1-P(A)\)
• dan seterusnya..

2.2 Continuous Variable

Variabel kontiniu adalah variabel yang dapat diperoleh dari nilai apa pun yang dimana nilai nya dicari dengan cara diukur dan tidak dapat dihitung karena memiliki nilai yang tidak terbatas. Hal yang biasanya diukur kontiniu variable adalah berat badan, usia, suhu, dan jarak. Variable acak kontiniu diperoleh dari luas area yang ada di bawah kurva Probability Density Function (PDf).

Variabel kontiniu menggunakan visualisasi Histogram karena dalam histogram tidak ada celah pada data untuk mencerminkan kontiniutas data.

3.1 Sample Distribution

Sample Distribution adalah distribusi dari sebuah sample yang diambil dari sebuah populasi secara acak, dimana setiap individu diukur dan membuat distribusi dari nilai tersebut. Kelemahan dari sample distribusi adalah lebih banyaknya variabilitas mengandung sedikit informasi dan tidak selalu mewakili Populasi karena terkadang sample x dan sample y memiliki nilai yang berbeda walau dari satu populasi.

Contoh: Ketika menghitung tinggi badan dari sebuah populasi sebanyak 10.000 dan mengambil sebuah sample secara acak. sample pertama bisa menghasilkan rata-rata dengan nilai 5.4 namun ketika mengambil sample lagi, bisa menjadi 5.3 ; 5.7 ; dan seterusnya. Sehingga sample distribution tidak selalu mewakili dari populasi.

3.2 Sampling Distribution of the Sample mean

Sampling Distribution adalah distribusi sample dari beberapa sample acak yang didapatkan dari sebuah populasi.

Berikut hal yang harus diperhatikan dalam mencari distribusi sampel dari rata-rata sampel:

• Menentukan populasi
• Mencari sampel acak dari populasi
• menghitung rata-rata sample dari sampel yang ditemukan.
• membuat distribusi frekuensi dari perhitungan rata-rata sampel.

Kesimpulan: Sehingga untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat, hal tersebut harus dilakukan berulang kali sehingga mendapatkan distribusi sampling dan membentuk dsitribusi normal yang dimana distribusi normal terjadi karena teorema limit pusat.

5.1 Proportion

Dalam Statistika, proporsi menunjukkan seberapa besar nilai dari sampel dibandingkan dengan populasi. Misalnya ingin mencari berat badan, tinggi badan, warna mata, skor tes dari seseorang. Hal tersebut adalah variabel terukur yang didapatkan dari suatu populasi atau sampel.

Rumus untuk menghitung proporsi adalah: \[ Proportion=\frac{jumlah\,hasil\,yang\,diinginkan}{jumlah\,total\,hasil} \] Contoh:Misal ingin mengukur proporsi orang yang memiliki warna mata hijau, Hal tersebut dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan mengukur sampel dan populasi nya.

• Proporsi Sampel (\(\hat p\)): Porporsi dar i sampel yang memiliki karakteristik tertentu.

Contoh: jika ingin mengambil proporsi orang yang bermata hijau dari jumlah sampel 10 dan hanya 2 orang yang bermata hijau, maka proporsi nya adalah \(\frac{2}{10}\) atau 0.2

• Proporsi Populasi (p): Proporsi dari seluruh populasi yang memiliki karakteristik tertentu.

Contoh: jika ingin mengambil proporsi orang yang bermata hijau dari populasi sebanyak 5000 dan hanya 900 orang yang memiliki mata hijau, maka proporsi nya \(\frac{900}{5000}\) atau 0.18

5.2 Sampling Distribution of the Sample Proportion

Distribusi Sampel dari Sample Proportion adalah distribusi satistik \(\hat p\) yang dibuat dari sampel acak secara berulang kali. Dalam distribusi ini, terdapat nilai mean (\(\mu_{\hatp}\)) dan juga nilai Standard Deviation (\(\sigma_{\hat p}\)).

Ada 3 hal yang dapat dilihat jika distribusi sampling dari proporsi sampel normal dan mengikuti theorema limit pusat, yaitu:

• \(\mu_{\hat p}=p\) memiliki arti bahwa seluruh rata-rata \(\hat p\) yang digabungkan sama dengan proporsi populasi.
• \(\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
• \(\hat p \approx N(p\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}})\)

Ketika sudah didapatkan hasil, maka dapat menggunakan tabel distribusi z untuk membantu menghitung area yang terkait dengan skor z tertentu.

dengan distribusi normal, dapat menggunakan rumus standarisasi: \[ z=\frac{\hat p-p}{\sigma_{\hat p}} \]

6.1 Probability

Probabilitas adalah ukuran kemungkinan suatu kejadian terjadi, sementara ruang sampel adalah kumpulan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

Mengikuti soal utama, jika kelereng ditarik sebanyak tiga kali pengembalian, berapa probabilitas menarik setidaknya dua kelereng hijau? \[ P(Hijau)=\frac{jumlah\,hasil\,yang\,diinginkan}{jumlah\,total\,hasil} \] \[ = \frac{200}{500} \] \[ P(Hijau)=0.4 \]

dan menghitung Probabilitas kelereng biru: \[ P(Biru)=\frac{jumlah\,hasil\,yang\,gagal}{jumlah\,total\,hasil} \] \[ =\frac{300}{500} \] \[ P(Biru)=0.6 \]

Sehingga kemungkinan hasil dari:

• 2 hijau, 1 biru: \(2(0.4)\times 0.6=0.096\)
• 3 hijau: $3(0.4)=0.064 $

dan ada 3 cara untuk mendapatkan 2 hijau: \(3\times 0.096=0.288\)

Sehingga total probabilitas minimal dua hijau adalah: \(0.288+0.064=0.352\)

6.2 Distribusi Binomial

Distribusi Binomial digunakan untuk menghitung probabilitas jumlah kejadian sukses dalam sebuah percobaan independen, dengan probabilitas suksesnya tetap untuk setiap percobaan.

Mengikuti soal utama, jika diambbiil 5 kelereng dengan pengembalian, berapa probabilitas mendapatkan tepat 2 kelereng hijau?

Menggunakan rumus distribusi binomial: \[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \] dimana diketahui bahwa n=5; k=2; p=0.4 sehingga \(P(X=2)=\binom{5}{2}(0.4)^2(0.6)^3=10\times 0.16\times 0.216=0.3456\)

6.3 Sampling Distribution of the Sample proportion

Distribusi sampling proporsi sampel adalah distribusi dari nilai proporsi sampel (\(\hat p\)) yang diambil dari banyaknya sampel acak sebuah populasi

Mengikuti soal utama, jika diambil 100 kelereng dengan pengembalian, berapa probabilitas proporsi kelereng hijau lebih dari 35%?

• Proporsi populasi \(p=0.4\)

• Ukuran sampel \(n=100\)

• Syarat CLT untuk terpenuhi: \(n\cdot p=40\geq10,\, n\cdot (1-p)=60\geq 10\)

• Menggunakan rumus standarisasi: \[ z=\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}=\frac{0.35-0.4}{\sqrt{\frac{0.4\times 0.6}{100}}}=-1.02 \]

• Area dikanan \(z=-1.02\) adalah 0.846, sehingga probabilitas proporsi lebih dari 355 adalah 84.61%