Introducción

La estadística inferencial utiliza técnicas para estimar parámetros que caracterizan una distribución.
En este curso estudiaremos dos herramientas fundamentales:

  1. Intervalos de confianza
  2. Pruebas de hipótesis

Un intervalo de confianza nos da un rango de valores plausibles para un parámetro poblacional, acompañado de un nivel de confianza (ej. 95%).

Función t.test

La función t.test permite calcular intervalos de confianza para la media y para la diferencia de medias.
Se basa en la distribución t de Student, que es adecuada cuando la varianza poblacional es desconocida.

Intervalo de confianza bilateral para la media \(\mu\)

Cuando la población es normal y la varianza es desconocida, usamos la distribución t para construir intervalos de confianza de la media.

Ejemplo: Intervalo de confianza del 90% para la altura promedio de los hombres.

url <- 'https://raw.githubusercontent.com/fhernanb/datos/master/medidas_cuerpo'
datos <- read.table(file = url, header = TRUE)

head(datos,10)
##    edad peso altura   sexo muneca biceps
## 1    43 87.3  188.0 Hombre   12.2   35.8
## 2    65 80.0  174.0 Hombre   12.0   35.0
## 3    45 82.3  176.5 Hombre   11.2   38.5
## 4    37 73.6  180.3 Hombre   11.2   32.2
## 5    55 74.1  167.6 Hombre   11.8   32.9
## 6    33 85.9  188.0 Hombre   12.4   38.5
## 7    25 73.2  180.3 Hombre   10.6   38.3
## 8    35 76.3  167.6 Hombre   11.3   35.0
## 9    28 65.9  183.0 Hombre   10.2   32.1
## 10   26 90.9  183.0 Hombre   12.0   40.4
attach(datos)
hombres <- datos[sexo == "Hombre",]
attach(hombres)

# Mostrar si altura proviene de una distribución normal
lillie.test(altura)$p.value
## [1] 0.3839829
cvm.test(altura)$p.value
## [1] 0.2303828
pearson.test(altura)$p.value
## [1] 0.694963
ad.test(altura)$p.value
## [1] 0.2659667
sf.test(altura)$p.value
## [1] 0.3764676
cat("Con todas las pruebas de normalidad probadas, se concluye que las alturas de los hombres provienen de una distribución normal")
## Con todas las pruebas de normalidad probadas, se concluye que las alturas de los hombres provienen de una distribución normal
res <- t.test(x = hombres$altura, conf.level = 0.90)$conf.int
cat(" El intervalo de confianza del 90% para μ está entre:", res)
##  El intervalo de confianza del 90% para μ está entre: 176.4384 181.7172

Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de medias (\(μ_1−μ_2\))

Cuando queremos comparar dos poblaciones independientes (ej. hombres vs mujeres), usamos t.test con los argumentos x, y, paired=FALSE y var.equal.

Ejemplo: Intervalo de confianza del 95% para la diferencia de alturas entre hombres y mujeres.

mujeres <- datos[datos$sexo == "Mujer", ]

# Prueba de normalidad para las alturas
lillie.test(x = hombres$altura)$p.value
## [1] 0.3839829
lillie.test(x = mujeres$altura)$p.value
## [1] 0.51194
res1 <- t.test(x=hombres$altura, y=mujeres$altura,
             var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)$conf.int

cat("El intervalo de confianza del 95% para la diferencia de alturas (Hombres - Mujeres) está entre:", res1)
## El intervalo de confianza del 95% para la diferencia de alturas (Hombres - Mujeres) está entre: 10.05574 20.03315

Función var.test

La varianza mide la dispersión de los datos. Para construir intervalos de confianza de la varianza poblacional, se usa la distribución Chi-cuadrado.

if (!require('devtools')) install.packages('devtools')
devtools::install_github('fhernanb/stests', force=TRUE)
## 
## ── R CMD build ─────────────────────────────────────────────────────────────────
##          checking for file 'C:\Users\esspa\AppData\Local\Temp\RtmpqUG0UJ\remotes2594638751f5\fhernanb-stests-b25bf7e/DESCRIPTION' ...  ✔  checking for file 'C:\Users\esspa\AppData\Local\Temp\RtmpqUG0UJ\remotes2594638751f5\fhernanb-stests-b25bf7e/DESCRIPTION' (336ms)
##       ─  preparing 'stests': (3.7s)
##    checking DESCRIPTION meta-information ...     checking DESCRIPTION meta-information ...   ✔  checking DESCRIPTION meta-information
##       ─  checking for LF line-endings in source and make files and shell scripts (388ms)
##   ─  checking for empty or unneeded directories
##      Omitted 'LazyData' from DESCRIPTION
##       ─  building 'stests_0.1.0.tar.gz' (506ms)
##      
## 
library(stests)

Intervalo de confianza bilateral para la varianza \(σ^2\)

Ejemplo: Intervalo de confianza del 90% para la varianza de la altura de los hombres.

res2 <- stests::var.test(x = hombres$altura, conf.level = 0.90)$conf.int
cat("El intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional está entre:", res2)
## El intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional está entre: 25.53407 81.23046

Intervalo de confianza bilateral para la razón de varianzas \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\)

Si el intervalo incluye el valor 1, concluimos que las varianzas son iguales.

resp1 <- stests::var.test(x=hombres$altura, y=mujeres$altura, conf.level=0.95)$conf.int
resp1
## [1] 0.2327398 1.6632830
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Función prop.test

La función prop.test se usa para calcular intervalos de confianza para proporciones y diferencias de proporciones.

Intervalo de confianza bilateral para la proporción \(p\)

Ejemplo: Proporción de casas con más de dos televisores.

resp2 <- prop.test(x = 275, n = 500, conf.level=0.90)$conf.int
resp2
## [1] 0.5122310 0.5872162
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9

Intervalo de confianza bilateral para la diferencia de proporciones \(p_1−p_2\)

Ejemplo: Comparación de piezas defectuosas antes y después de un cambio en el proceso.

tabla2 <- data.frame(Num_piezas=c("Defectuosas", "Analizadas"), Antes=c(75,1500), 
                     Después=c(80,2000))
flextable(tabla2)

Num_piezas

Antes

Después

Defectuosas

75

80

Analizadas

1,500

2,000

resp3 <- prop.test(x=c(75, 80), n=c(1500, 2000), conf.level=0.90)$conf.int
resp3
## [1] -0.002314573  0.022314573
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9

Conclusión

Los intervalos de confianza son una herramienta poderosa para la estimación estadística.
Permiten cuantificar la incertidumbre y tomar decisiones fundamentadas en datos.
En este documento vimos ejemplos para:

  • Media
  • Diferencia de medias
  • Varianza
  • Razón de varianzas
  • Proporción
  • Diferencia de proporciones