di mana:

• \(x\) = jumlah kejadian “sukses” dalam sampel
  
• \(n\) = ukuran sampel

Menurut Agresti & Finlay (2009), proporsi sampel merupakan statistik yang paling umum digunakan untuk menganalisis data kategorik karena \(\hat{p}\) adalah unbiased estimator dari proporsi populasi \(p\).

Nilai harapan proporsi sampel memenuhi: \(E(\hat{p}) = p\)

Hal ini berarti bahwa rata-rata proporsi sampel dari banyak sampel acak akan sama dengan nilai proporsi populasi.

Distribusi Sampling Proporsi Sampel

Memahami Distribusi Sampling

Distribusi sampling terbentuk dengan:

• Mengambil sampel berulang‑ulang dari populasi.
• Menghitung statistik misalnya \(\bar{x} \text{ or } \hat{p}\) untuk tiap sampel.
• Menyusun semua statistik yang dihitung pada sebuah grafik, membentuk distribusi.

Distribusi sampling memperlihatkan bagaimana statistik sampel bervariasi di antara sampel‑sampel yang diambil dari populasi yang sama.

Proporsi dalam Statistik

Proporsi menggambarkan fraksi hasil yang menguntungkan dibandingkan total keseluruhan.

Contoh variabel yang dapat diukur:

• Tinggi Badan
• Berat Badan
• Warna Mata
• Nilai Test

Rumus menghitung proporsi: \(\text{Proportion} = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of outcomes}}\)

Contoh perhitungan:

• Sampel: 2 orang dari 10 memiliki mata hijau → \(\hat{p} = \frac{2}{10} = 0.2\)

• Populasi: 900 orang dari 5.000 memiliki mata hijau → \(p = \frac{900}{5000} = 0.18\)

Simbol:

• Proporsi populasi: (p)
• Proporsi sampel:\(\hat{p}\)

Membuat Distribusi Sampling: \(\hat{p}\)

Saat secara berulang mengambil sampel dan menghitung \(\hat{p}\) untuk tiap sampel:

• Setiap sampel menghasilkan nilai \(\hat{p}\) yang berbeda (mis. 0,21; 0,19; 0,17).
• Variasi ini muncul karena probabilitas dan pengambilan sampel acak.
• Menggambar semua nilai \(\hat{p}\) membentuk distribusi sampling proporsi sampel.

Sifat‑sifat Distribusi Sampling \(\hat{p}\)

Seperti distribusi lain, distribusi sampling ini memiliki:

• Mean (rata‑rata):\(\mu_{\hat{p}}\)

• Standard deviation (deviasi standar):\(\sigma_{\hat{p}}\)

Syarat‑syarat Teorema Limit Tengah

Jika distribusi sampling mendekati normal dan memenuhi Teorema Limit Tengah, tiga hal penting muncul:

1. Mean distribusi sampling

• Nilai rata‑rata semua proporsi sampel = proporsi populasi ((p))

2. Standard deviation distribusi sampling

• \[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{pq}{n}} \]
• Dimana :
  • 14. = ukuran sampel
  • 16. = proporsi keberhasilan
  • (q = 1-p) = proporsi kegagalan

3. Standardisasi untuk menghitung z‑score

• \[z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\]

• Dengan nilai z ini, kita dapat menggunakan tabel z untuk inferensi.

Aturan Penerapan Teorema Limit Tengah

Tinjauan Probabilitas: Distribusi Binomial & Proporsi Sampel

Contoh 1: Menggambar Kelereng dengan Penggantian

Diberikan: Jar berisi 200 kelereng hijau dan 300 kelereng biru (total 500 kelereng).

Pertanyaan: Jika kelereng diambil 3 kali dengan penggantian, berapa peluang mendapatkan setidaknya dua kelereng hijau?

Penyelesaian:

• Peluang sukses (kelereng hijau) = \(p = \frac{200}{500} = 0.4\)

• Peluang gagal (kelereng biru) = \(1 - p = \frac{300}{500} = 0.6\)

Ruang sampel untuk 3 tarikan:

Setidaknya dua kelereng hijau berarti:

• Tepat 2 kelereng hijau:
  \(3 \times 0.096 = 0.288\)

• Tepat 3 kelereng hijau:
  \(0.064\)

Jawaban akhir:
> \(0.288 + 0.064 = 0.352\) atau 35.2%

Contoh 2: Menggunakan Rumus Binomial

Saat metode ruang sampel menjadi tidak praktis (≥5 percobaan), gunakan rumus binomial:

Rumus peluang untuk mendapatkan \(k\) keberhasilan adalah:

\[ P(k \text{ successes}) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{\,n-k} \]

Skenario baru: 5 pengambilan dengan penggantian, peluang mendapatkan setidaknya 2 kelereng hijau.

Pendekatan penyelesaian: \(P(\ge 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)\)

Dengan:

• \(n = 5\) (jumlah percobaan)
• \(p = 0.4\) (peluang sukses / kelereng hijau)
• \(k = 2, 3, 4, 5\) (jumlah keberhasilan)

Hasil perhitungan: \(0.6634 \text{ atau } 66.34\%\)

Contoh 3: Menggunakan Distribusi Sampel

Saat kedua metode di atas tidak praktis (≥100 percobaan), pakai distribusi sampel proporsi.

Skenario: 100 tarikan, hitung peluang setidaknya 35 hijau.

Langkah 1: Periksa kondisi Teorema Limit Tengah (CLT)

• \(n \times p \ge 10\)
  \(100 \times 0.4 = 40 \checkmark\)

• \(n \times (1-p) \ge 10\)
  \(100 \times 0.6 = 60 \checkmark\)

Step 2: Terapkan Rumus Standardisasi

Rumus standardisasi:

\[ z = \frac{\hat{p} - p}{\sigma_{\hat{p}}} \]

Dengan:

• \(\hat{p} = 0.35\)   (proporsi sampel)
  
• \(p = 0.4\)   (proporsi populasi)
  
• \[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}= \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{100}}= 0.049 \]

Perhitungan: \(z = \frac{0.35 - 0.4}{0.049} = -1.02\)

Step 3: Cari Probabilitas

• Luas di kiri \(z = -1.02\): 0.1539

• Luas di kanan (yang dicari): \(1 - 0.1539 = 0.8461\)

Jawaban akhir:

\(\mathbf{0.8461 \text{ atau } 84.61\%}\)

Ringkasan Kunci

1. Metode ruang sampel: Cocok untuk jumlah percobaan kecil (≤3).

2. Rumus binomial: Cocok untuk jumlah percobaan menengah (4‑30).

3. Distribusi sampel: Cocok untuk jumlah percobaan besar (≥30) bila syarat CLT terpenuhi.

Catatan penting: Menggunakan CLT memberi probabilitas aproksimasi, bukan nilai eksak.